SMJER: KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE

SEMINARSKI RAD IZ PREDMETA:

Mobilni komunikacijski sistemi

Tema: Performanse digitalnih modulacija preko bežičnih kanala

Mentor: Studenti:

Van.prof.dr: Himzo Bajrić Hafizović Mahira

Šuvalija Emina

Sarajevo, juli 2012. godina

Sadržaj:

1. Performanse digitalnih modulacija preko bežičnih kanala................................................3

1.1. AWGN kanali.................................................................................................................3

1.1.1. Odnos snage signal-šum i energija bit/simbol.........................................................3

1.1.2. Vjerovatnoća greške za BPSK i QPSK...................................................................4

1.1.3. Vjerovatnoća greške za MPSK.............................................................................6

1.1.4. Vjerovatnoća greške za MPAM i MQAM.............................................................7

1.1.5. Vjerovatnoća greške za FSK i CPFSK..................................................................10

1.1.6. Aproksimacija vjerovatnoće greške za koherentne modulacije.........................11

1.1.7. Vjerovatnoća greške za diferencijalnu modulaciju............................................11

1.2. Prikaz alternativne Q funkcije...................................................................................13

1.3. Fading - slabljenje signala.........................................................................................13

1.3.1. Vjerovatnoća gubitaka..........................................................................................14

1.3.2. Prosječna vjerovatnoća greške..................................................................................15

1.3.3. Funkcija generacije momenata pristupa prosječnoj vjerovatnoći greške..................17

1.3.4. Kombinacija gubitaka i prosječne vjerovatnoće greške.............................................23

1.4. Doppler-ovo širenje..........................................................................................................24

1.5. Intersimbolska interferencija...........................................................................................28

2

1. Performanse digitalnih modulacija preko bežičnih kanala

1.1. AWGN kanali

U ovom poglavlju bit će opisan i definisan odnos snaga signal-šum (SNR), te usklađenost sa Eb (energija po bitu), te Es (energija po simbolu). Nakon toga, ispitat ćemo vjerovatnoću greške u AWGN kanalu za različite tehnike modulacije, odnosne parametre koji se odnose na mjerenja spomenutih energija.

1.1.1. Odnos snage signal-šum i energija bit/simbol

U AWGN kanalu modulirani signal s(t) = Ɽ { u(t) e j2πfct } karakteriše šum n(t). To je Gausov bijeli šum sa srednjom vrijednosti nula i snagom spektralne gustoće N0 /2. Primljeni signal jednak je r(t) = s(t) + n(t). Primljeni odnos snaga signal-šum (SNR) definišemo kao odnos snage primljenog signala P i snage šuma unutar prospunog opsega poslanog signala s(t). Snaga primljenog signala Pr određena je snagom poslanog signala i gubicima na putu, efektima sjene, te multipath isčezavanjem (fading). Snaga šuma određena je propusnim opsegom poslanog signala, te spektralnim karakteristikama šuma n(t). U posebnim slučajevima kada je propusni opseg kompleksne enevelppe u(t) od s(t) jednak B, onda je propusni opseg poslanog signala s(t) jednak 2B. Kako šum n(t) ima uniformnu spektralnu snagu gustoće No/2, tada ukupna snaga šuma unutar opsega 2B iznosi N = No/2 * 2B = NoB. Tako da je SNR na prijemu jednak:

SNR = Pr

NoB

Za računanje vjerovatnoće greške u sistemima sa interferencijom, koristimo, umjesto SNR, SINR – odnos snaga signal-šum plus interferencija. Ukoliko su statistike interferencije približne onima Gausovog šuma, onda je to realna aproksimacija. Tada, SINR na prijemu iznosi:

SNR = Pr

NoB+PI

gdje je PI srednja snaga interferencije. SNR se najčešće izražava kao energija signala po bitu Eb ili po simbolu Es :

SNR = Pr

NoB =

EsNoBTs

= Eb

NoBTb ( 1.1)

3

gdje je Ts vrijeme trajanja simbola, a Tb vrijeme trajanja bita (za binarnu modulaciju vrijedi T s

= Tb i Es = Eb). Za podatkovne impulse gdje je Ts = 1/B, npr. povišen kosinus sa β =1, imamo da je SNR = Es/N0, za signalizaciju za više nivoa i SNR = Eb/N0 za binarnu signalizaciju. Za opće impulse , Ts =k/B za neku konstantu k, i u tom slučaju k*SNR = Es/N0.

Količine γs=Es/N0 i γb=Eb/N0 često se nazivaju i SNR po simbolu i SNR po bitu, respektivno. Za specifikacije performansi, vjerovatnoća greške po bitu Pb računa se kao funkcija od γb.

Međutim, za M-arnu signalizaciju (npr. MPAM i MPSK), vjerovatnoća greške po bitu zavisi kako od vjerovatnoće greške po simbolu, tako i od mapiranja bita po simbolu. Tako, vjerovatnoća greške po simbolu Ps računa se obično kao funkcija od γs bazirana na konceptu prostora signala, te tako dobijemo Pb kao funkciju od γb, koristeći pri tome tačnu ili približnu konverziju. Aproksimativna (približna) konverzija pretpostavlja da je energija simbola jednako podijeljena između svih bitova, te da se „Sivo“ kodiranje koristi tako da, uz realan SNR, uvijek imamo situaciju da jedna greška simbola odgovara tačno jednoj grešci bita. Ove pretpostavke za M-arnu signalizaciju vode ka slijedećim aproksimacijama:

γb ≈ γ s

log2 M (1.2)

i

Pb ≈ Ps

log2 M (1.3)

1.1.2. Vjerovatnoća greške za BPSK i QPSK

BPSK modulaciju razmatramo u okvirima koherentne detekcije, te vraćanja faze i frekvencije signala nosioca. Kod binarne modulacije svaki simbol odgovara jednom bitu, tako da su simbolske i bitske greške iste. Poslani signal je s1(t) = Ag(t)cos(2πfct) za slanje 0 bita, i s2 = - Ag(t)cos(2πfct) za slanje 1 bita. Odranije je poznato da je vjerovatnoća greške :

Pb = Q (dmin

√2 N0

¿ (1.4)

Iz ranijih poglavlja važi da je: dmin = IIs1 – s0II = IIA –(-A)II = 2A. Ukoliko povežemo A sa energijom po bitu važi da je:

Eb = ∫0

Tb

s12 (t )dt = ∫

0

Tb

s22 ( t )dt = ∫

0

Tb

A2 g2(t)cos2 (2πf ct) dt = A2 (1.5)

Tako da je konstelacija signala za BPSK za energiju po bitu data sa s0 = √Eb i s1 = - √Eb. Ovo doprinosi računanju mininalne distance dmin = 2A = 2√Eb. Uvrštavajući ovo u (1.4) dobivamo:

4

Pb=Q( 2√Eb

√2 N0

)= Q (√ 2 Eb

N 0

) = Q (√2 γ b ) (1.6)

QPSK modulacija sastoji se iz BPSK modulacije, i iz faznih i kvadraturnih komponenti signala. Sa savršenim vraćanjem faze i nosioca, komponente primljenog signala koje odgovaraju svakoj od ovih grana su ortogonalne. Tako da su bitske vjerovatnoće grešaka za svaki dio iste kao i za BPSK: Pb = Q (√2 γ b). Simbolske vjerovatnoće grešaka jednake su vjerovatnoći da svaki dio (grana) ima bitsku grešku:

Ps= 1 -¿2 (1.7)

Kako je energija simbola podijeljena između fazne i kvadraturne grane, imamo da je γ s= 2γ b . Ukoliko to uvrstimo u (1.7) dobijemo da je Ps uz γ s jednako:

Ps = 1 – [1 – Q(√γ s]2 (1.8)

Ukoliko u obzir uzmemo činjenicu da je minimalna udaljenost između konstelacija dmin =

√2 A2, dobijemo da je najbliža aproksimacija:

Ps ≈ 2Q ( √ A2

N 0

) = 2Q (√ γ s

2) (1.9)

Primjer 1.1:

Izračunati bitsku vjerovatnoću greške Pb i simbolsku vjerovatnoću greške Ps QPSK uz zadato γb = 7 Db. Uporediti egzaktno Pb sa njegovom aproksimacijom Pb = Ps/2 bazirano na pretpostavci Sivog kodiranja. Na kraju, izračunati Ps bazirano na najbližem skoku (granici) γs = 2γb, i uporediti sa tačnim Ps.

Rješenje:

Imamo sa je γb = 107/10 = 5.012, tako da je:

Pb = Q(√2 γ b) = Q(√10.024) = 7.726 * 10 -4.

Tačna simbolska vjerovatnoća greške Ps je:

Ps= 1-[1-Q(√2 γ b)]2 = 1-[1-Q(√10.02¿¿¿2 = 1.545 * 10-3.

Bitska vjerovatnoća greške (približna), pod pretpostavkom Sivog kodiranja je Pb ≈ Ps/2 = 7.723 * 10-4, što je približno tačnoj vrijednosti Ps. Približna susjedna aprokismacija Ps je:

Ps ≈ 2Q(√γ s) = 2Q(√10.024) = 1.545 * 10-3

što se podudara sa tačnim Ps.

5

1.1.3. Vjerovatnoća greške za MPSK

Konstelacija signala za MPSK ima slijedeće vrijednosti: si1 = A cos[2π (i−1)

M¿ i si2 = A sin[

2π (i−1)M

¿, za i = 1, ..., M. Energija simbola je Es = A2, tako da je γs = A2/N0. Odranije je

poznato da za prijem vektor x = rejθ opisano u polarnim koordinatama, javlja se greška ukoliko je i-ta tačka konstelacije signala poslana i važi da je θɇ(2π(i -1-.5) / M, 2π(i – 1 + .5)/M). Zajedničku distribuciju r i θ možemo dobiti iz bivarijantne transformacije šuma n1 i n2 i na faznim i kvadraturnim granicama (dijelovima), iz čega dobivamo:

p(r, θ) = r

π N0 exp [ -

1N 0

( r2 - 2√2E s rcosθ + 2E s)] (1.10)

Kako vjerovatnoća greške zavisi isključivo od distribucije od θ, možemo napraviti integralnu funkciju zavisnosti r, i dobit ćemo:

p(θ) = ∫0

∞

p (r , θ ) dr= 1πe−2 γ ssin2(θ)∫

0

∞

zexp¿¿¿ 2 ] dz (1.11)

Vjerovatnoća greške ista je za svaku tačku konstelacije, simetrično gledajući. Tako da, Ps možemo dobiti iz vjerovatnoće greške uz pretpostavku da je poslana tačka konstelacije s1 = (A, 0), tako da je:

Ps = 1 - ∫−π /M

π /M

p (θ )dθ=1− ∫−π /M

π /M1π

e−2 γ ssin2 (θ )∫0

∞

z exp¿¿¿¿ cos(θ))2] dz (1.12)

Zatvorena forma rješenja za ovaj integal ne postoji za M>4, stoga tačnu vrijednost P s

moramo izračunati numerički. Svaka tačka u konstelaciji signala MPSK ima dvije najbliže susjedne tačke na udaljenosti od dmin = 2A sin(π/M). Tako da, aproksimaciju Ps na osnovu najbližih susjednih tačaka računamo kao:

Ps ≈ 2Q (√2 A/√N0 * sin (π/M)) = 2Q (√γ ssin(π/M)) (1.13)

Kao što je prikazano u primjeru za QPSK, ova aproksimacija najbližih susjednih tačaka može se razlikovati od tačne vrijednosti za Ps, više nego u odnosu na red veličine. Međutim, mnogo je jednostavnije za izračun u odnosu na numerički integraciju (1.12), koja se koristi da bismo dobili tačnu vrijednost Ps. Preciznija aproksimacija za Ps može biti dobivena aprokimacijom p(θ), i to:

p(θ) ≈ √γ sπ cos(θ)e−γ ssin2 (θ) (1.14)

6

Primjenjujući ovu aprokismaciju na lijevu stranu formule (1.12) dobivamo:

Ps ≈ 2Q (√γ s sin(π/M)) (1.15)

Primjer 1.2:

Uporediti vjerovatnoću greške za 8PSK i 16PSK uz zadato γ b = 15 Db i koristeći Ps aprokismaciju iz (1.15) zajedno sa aproksimacijama (1.2) i (1.3).

Rješenje:

Iz (6.2) imamo da je za 8PSK, γ s = (log 28) * 1015 /10 = 94.87. Ukoliko ovo uvrstimo u (1.15) dobit ćemo:

Ps ≈ 2Q (√189.74 sin(π/8)) = 1.355*10−7

i koristeći formulu (1.3) dobit ćemo Pb = Ps/3 = 4.52*10−8. Kada je u pitanju 16PSK, imamo da je γ b= (log 216 * 1015 /10 = 126.49. Ukoliko ovo uvrstimo u (1.15) dobit ćemo slijedeće:

Ps ≈ 2Q (√252.98 sin(π/16)) = 1.916 * 10−3

te koristeći formulu (1.3) imamo da je Pb = Ps/4 = 4.79 *10−4. Treba uočiti da Pb ima mnogo veću vrijednost za 16PSK nego za 8PSK za isto γ b. Rezultat je i očekivan s obzirom na to da 16PSK dodjeljuje više bita po simbolu unutar date konstelacije, tako da će za fiksnu energiju po bitu minimalna udaljenost između tačaka konstelacije biti mnogo manja.

Vjerovatnoća greške derivacije za MPSK pretpostavlja da je faza nosioca poznata na prijemniku. U fazi procjene greške, distribucija p(θ) korištena za dobijanje Ps mora uključiti distribuciju fazne rotacije povezane sa nosećim faznim pomakom. Distribucija je tipično funkcija tehnike noseće fazne procjene i SNR-a. Uticaj greške fazne procjene na koherentnim modulacijama je proučavana u [1,Dodatak C] [2, Poglavlje 4.3.2]. ovaj rad ukazuje na to da značajni fazni pomak vodi do ireducibilne vjerovatnoće bitske greške. Povrh toga, nebinarna signalizacija je osjetljivija od BPSK na fazni pomak zbog posljedica poprečnih veza između unutarnje faze i kvadratnih signalnih komponenti. Uticaj greške fazne procjene može biti posebno ozbiljan u brzom fedingu, gdje se faza kanala brzo mijenja zbog konstruktivne i destruktivne višestazne interferencije.

1.1.4. Vjerovatnoća greške za MPAM i MQAM

Konstelacija za MPAM je Ai= (2i−1−M )d , i=1,2 ,…,M . Svaka od M-2 unutarnja konstelacija ukazuje da ova konstelacija ima dva najbliža susjeda na udaljenosti 2d. Vjerovatnoća pravljenja greške kada se šalje jedna od ovih unutarnjih konstelacija ukazuje na to da je samo vjerovatnoća koju šum premašuje za d u bilo kojem smjeru:

7

Ps ( si )=p (|n|>d ) ,i=2 ,…, M−1. Za vanjsku konstelaciju ukazuje na to da postoji samo najbliži susjed, tako da se greška pojavljuje ukoliko šum premašuje za d samo u jednom smjeru: Ps ( si )=p (n>d )=.5 p (|n|>d ) , i=1 ,M . Vjerovatnoća greške je prema tome:

Ps=1M

∑i=1

M

P s ( si )=M−2M

2Q(√ 2d2

N 0)+ 2

MQ(√ 2d2

N 0)=2(M−1)

MQ(√ 2d2

N0) (1.19)

Iz (5.54) prosječna energija po simbolu za MPAM je

E s=1M∑i=1

M

A2i=

1M∑i=1

M

(2i−1−M )2 d2=13(M 2−1)d2 (1.20)

Prema tome možemo pisati Ps u smislu prosječne energije E s kao

Ps=2(M−1)

MQ (√ 6 γs

M 2−1 ) (1.21)

Razmotrimo sada MQAM modulaciju sa kvadratnom signalnom konstelacijom veličine M 2=L.

Ovaj sistem možemo posmatrati kao 2 MPAM sistema sa signalnom konstelacijom veličine L prenesene preko unutarnje faze i kvadratnih signalnih komponenti, svaka sa polovičnom energijom originalnog MQAM sistema. Tačka konstelacije u unutarnjoj fazi i kvadratnim vrijednostima uzima vrijednosti Ai= (2i−1−L ) d , i=1,2 ,…,L. Vjerovatnoća simbolske greške za svaku vrijednost MQAM sistema je prema tome data sa (1.21) sa M zamijenjeno sa L=√M i γ s jednako prosječnoj energiji po simbolu u MQAM konstelaciji:

Ps=2(√M−1)

√MQ(√ 3 γ s

M−1 ) (1.22)

Treba imati na umu da γ s je umnožen za faktor 3 u (1.22) umjesto faktorom 6 u (1.21) budući da MQAM konstelacija razdvaja svoju ukupnu prosječnu energiju γ s između svoje unutarnje faze i kvadratne grane. Vjerovatnoća simbolske greške za MQAM sistem je onda

Ps=1−(1−2(√M−1)

√MQ(√ 3 γ s

M−1 ))2

(1.23)

Najbliža susjedna aproksimacija vjerovatnoće simbolske greške ovisi o tome da li je konstelacijska tačka unutrašnja i vanjska tačka. Ukoliko uprosječimo najbližu susjednu aproksimaciju preko svih unutarnjih i vanjskih tačaka, dobijamo MPAM vjerovatnoću greške povezanu sa svakom granom:

8

Ps≈2(√M−1)

√MQ (√ 3 γ s

M−1 ) (1.24)

Za ne pravougaonu konstelaciju, jednostavno je pokazati da vjerovatnoća simbolske greške je gornja granica kao

Ps≤1−[1−2Q(√ 3 γ s

M−1 )]2

≤4Q(√ 3 γ s

M−1 ) (1.25)

Najbliža susjedna aproksimacija za nepravougaonu konstelaciju je

Ps≈ M dminQ ( dmin

√2 N0) (1.26)

gdje je M dminnajveći broj najbližih susjeda za bilo koju konstelacijsku tačku u konstelaciji i dmin

je minimalna udaljenost u konstelaciji.

Primjer 1.3.

Za 16QAM sa γ b=15 dB(γ s=log2 M ∙γ b), uporediti tačnu vjerovatnoću simbolske greške (1.23) sa najbližom susjednom aproksimacijom (1.24), i sa istom vjerovatnoćom simbolske greške za 16PSK sa istim γ b koji se dobio u prethodnom primjeru.

Rješenje:

Prosječna energija simbola je γ s=4 ∙101.5=126.49. Tačni Ps je tada dat sa

Ps=1−(1−2(4−1)

4Q(√ 3∙126.49

15 ))2

=7.37 ∙10−7

Najbliža susjedna aproksimacija je data sa

Ps≈2(4−1)

4Q(√ 3∙126.49

15 )=3.68 ∙10−7

koji se razlikuje otprilike za faktor 2 od tačne vrijednosti. Vjerovatnoća simbolske greške za 16PSK u prethodnom primjeru je Ps=1.916 ∙10−3, koje je približno za četiri reda veličine veće od tačnog Ps za 16QAM. Veći Ps za MPSK protiv MQAM sa istim M i istim γ bje zbog činjenice da MQAM koristi oboje i amplitudu i fazu da šifrira podatke, a MPSK koristi samo fazu. Prema tome, za istu energiju po simbolu ili bitu, MQAM pravi više efikasniju upotrebu energije i prema tome ima bolje performanse.

9

MQAM demodulator zahtijeva oboje i amplitudnu i faznu procjenu kanala tako da odluka po područjima korištena u detekcijama da procijeni prenesene bite nije pogrešna u amplitudi ili fazi. Analiza degradacije performansi prema faznoj procjeni greške je slična slučaju MPSK koji je razmatran prije. Amplituda kanala je korištena za mjerenje odluka po područjima kako bi odgovorila prenesenim simbolima: ovo mjerenje je nazvano Automatic Gain Control (AGC). Ukoliko se dobit kanala procjenjuje u grešci tada AGC nepravilno mjeri primljeni signal, koje može dovesti do neispravne demodulacije čak i u slučaju šuma. Dobitak kanala je tipično dobijen korištenjem oglednih simbola kako bi se procijenio dobitak kanala na prijemniku. Međutim, ogledni simboli ne vode do tačne procjene kanala, i procjena greške može voditi do bitskih grešaka.

1.1.5. Vjerovatnoća greške za FSK i CPFSK

Razmotrimo prvo vjerovatnoću greške za tradicionalni binarni FSK sa koherentnim demodulatorom sa slike 5.24. Budući da je demodulator koherentan, možemo zanemariti bilo koji fazni pomak u nosećim signalima. Preneseni signal je definisan sa

si (t )=A √2T b cos (2π f i t ) , i=1,2 (1.27)

Tako da je Eb=A2 i γ b=A2/N 0. Ulaz za odlučujući uređaj je

z=x1−x2 (1.28)

Uređaj daje izlaz 1 bit ukoliko je z>0 i 0 bita ukoliko je z≤0. Pretpostavimo da je s1 ( t ) preneseno, tada je

( z|1 )=A+n1−n2 (1.29)

Greška se pojavljuje ukoliko je z=A+n1−n2 ≤0. S druge strane, ukoliko je s2 (t ) preneseno, tada je

( z|0 )=n1−A−n2 (1.30)

i greška se pojavljuje ukoliko je z=n1−A−n2>0. Za n1 i n2 nezavisne bijele Gauss-ove slučajne varijable sa mjerom nula i varijasom N0/2, njihova razlika je bijela Gauss-ova

slučajna varijabla sa mjerom nula i varijansom jednakoj sumi varijansi N 0

2−

N 0

2=N 0. Tada za

jednako vjerovatno prenesene bite

Pb= .5 p ( A+n1−n2 ≤0 )+.5 p (n1−A−n2>0 )=Q ( A /√N0 )=Q(√γ b) (1.31)

Derivacija Ps za koherentni MPSK sa M>2 je kompleksnija i ne vodi do rješenja zatvorenog oblika. Vjerovatnoća sombolske greške za nekoherentni M-FSK je izvedena u poglavlju 10 kao

10

Ps=∑m=1

M

(−1)m+1(M−1m ) 1

m+1exp [−mγ s

m+1 ] (1.32)

Vjerovatnoća greške za CPFSK ovisi o tome da li je detektor koherentan ili nekoherentan, i također da li koristi simbol po simbol detekciju ili procjenu sekvenci. Analiza vjerovatnoće greške za CPFSK je kompleksna budući da memorija u modulaciji zahtijeva analizu vjerovatnoće greške preko više simbola. Formule za vjerovatnoću greške mogu također biti kompleksan.

1.1.6. Aproksimacija vjerovatnoće greške za koherentne modulacije

Većina aproksimacija tačne vrijednosti Ps izvedene za koherentnu modulaciju imaju slijedeću formu:

Ps(γ s) ≈ αM Q(√ βM γ s) (1.33)

gdje αM i βM zavise od tipova modulacije i aproksimacije. Najbliža susjedna aproksimacija ima ovu formu gdje je αM broj najbližih susjednih tačaka konstelacije na najbližoj distanci, a βM je konstanta koja povezuje minimalno rastojanje prema prosječnoj simbolskoj energiji. U tabeli 1.1. date su zajedničke vrijednosti αM i βM za Ps, za modulacije signala PSK, QAM i FSK bazirano na izvodima ranijih odjeljaka.Specifikacije performansi su generalno više bazirane na vjerovatnoću greške Pb kao funkciju bita energije γ b. Za konverziju iz Ps u Pb i iz γ s u γ b, koristimi se aproksimacijama (1.3) i (1.2), koje pretpostavljau u tom slučaju Sivo kodiranje i visoki SNR. Koristeći aproskimaciju (1.33) dobit ćemo jednostavnu formulu za Pb kao funkciju od γ b:

Pb(γ b ¿ = α̂M Q (√ β̂M γ b, (1.34),

gdje je α̂M = αM / log 2 M i β̂M = (log 2 M )βM za αM i Βm u (1.33). Ova konverzija koristi se da se dobije Pb versus γb iz opće forme Ps versus γs u (1.33).

1.1.7. Vjerovatnoća greške za diferencijalnu modulaciju

Vjerovatnoća greške za diferencijalnu modulaciju bazira se na diferencijaciji faze asocijativno sa faznim komparatorom na slici 5.20. Specifično, komparator faze ekstrahuje fazu od:

z(k)z*(k-1) = A2e j(θ(k) – θ(k-1)) + Ae j(θ(k) + ϕ0) n*(k-1) + Ae -j(θ(k-1) + ϕ0)n(k) + n(k)n*(k-1) (1.35)

Modulacija Ps(γs) Pb(γb)BFSK: Pb = Q (√γ b)BPSK: Pb = Q (√2 γ b)QPSK, 4QAM: Ps ≈ 2Q (√γ s ) Pb ≈ Q (√2 γ b

11

MPAM:Ps ≈

2(M−1)M

Q ( √ 6 γ s

M 2−1 ) Pb ≈

2(M−1)M log2 M

Q ( √ 6 γb log2 M

(M2−1) )

MPSK: Ps ≈ 2Q ( √2 γ s sin (π/M))Pb ≈

2log2 M

Q ( √2 γ b log2 Msin(π/M))

Pravougli MQAM:Ps ≈

4 (√M−1)√M

Q ( √ 3 γ s

M−1 ) Pb ≈

4 (√M−1)√M log2 M

Q ( √ 3 γb log2 M

(M−1) )

Ne-pravougli MQAM:Ps ≈ 4Q (√ 3 γ s

M−1 ) Pb ≈

4log2 M

Q (√ 3 γb log2 M

(M−1) )

Tabela 1.1: Aproksimacije simbolske i bitske vjerovatnoće greške za koherentnu modulaciju

kako bi odredio preneseni simbol. Uzimajući u obzir simetričnost , možemo uz datu razliku faza izračunati vjerovatnoću greške. Uz pretpostavku da je θ(k) – θ(k – 1) = 0, dobit ćemo:

z(k)z*(k – 1) = A2 + Ae j(θ(k) + ϕ0) n*(k – 1) + Ae –j(θ(k – 1) + ϕ0) n(k) + n(k) n*(k-1) (1.36)

Dalje ćemo definirati nove slučajne varijable n(k ) = n(k)e –j(θ(k – 1) + ϕ0) i n(k−1) = n(k – 1) e –j(θ(k)

+ ϕ0, koje imaju iste statistike kao n(k) i n(k – 1). Tada imamo:

z(k) z*(k – 1) = A2 + A(n* (k -1) + n (k)) + n(k) n* (k – 1) (1.37)

Postoje tri uvjeta u (1.37): prvi uvjet je poželjna nulta razlika faza, i drugi i treći uvjet, koji doprinose šumu. Pri razumnom SNR-u smatra se da je treći uvjet šuma mnogo manji od drugog, tako da ga možemo zanemariti. Dijeleći preostale uvjete sa A dobit ćemo:

z = A + Ɽ { n* (k – 1) + n(k )} + jᶊ{n *(k – 1) + n (k)} (1.38)

Sada ćemo definirati x = Ɽ{z} i y = ᶊ{z}. Tada je faza od z data sa:

θz = tan -1 yx

(1.39)

Uz datu razliku faza koja je jednka nuli, javlja se greška da je |θ z| ≥ π /M . Ukoliko odredimo da je p(|θ z|≥π /M ) identično kao slučaj sa koherentnim PSK, osim (6.38) gdje imamo dva uslova za šum umjesto jednog, i tada je snaga šuma dva puta veća od koherentne faze. Ovo vodi ka performansama diferencijalne modulacije koja je grubo rečeno za 3 dB teža od koherentne modulacije.U DPSK modulaciji potrebno je razmotriti samo faznu granicu slike 5.20 da bismo donijeli odluku, tako da ćemo staviti da je x = Ɽ {z} koje ćemo koristiti u našim analizama. Osobito, uz pretpostavku da je nulti prenesen, ako je x = A + Ɽ{n* (k – 1) + n (k) < 0, tada je napravljena greška u odluci. Ova vjerovatnoća može biti dobivena ukoliko pronađemo karakteristike ili momentima definisane funkcije za x, koristeći inverznu Laplasovu transformaciju da bismo dobili distribuciju od x, i nakon toga integrišući za područje x<0. Ova tehnika je općenita tako da može biti primjenjena na na različite diferencijalne modulacije i tipove detekcije, i u AWGN i fading kanalima. U DPSK karakteristike funkcije za x su dobivene koristeći se općom kvadratnom formom komplesknih Gausovih slučajnih varijabli, i tada je rezultujuća bitska vjerovatnoća greške data sa:

12

Pb = 12

e−γ b (1.40)

Za DQPSK karakteristike funkcije za z su prikazane u poglavlju ranije, tako da imamo bitsku vjerovatnoću greške koja je data sa:

Pb ≈ ∫b

∞

x exp(−(a2+ x2 )2 )I 0 (ax ) dx−1

2exp¿¿ (1.41)

gdje je a ≈ .765 √γ b i b ≈ 1.85 √γ b.

1.2. Prikaz alternativne Q funkcije

U (1.33) vidimo da je Ps za mnoge tehnike koherentne modulacije u AWGN kanalu aproksimirano u uslovima Gausove Q funkcije. Podsjetimo da je Q(z) definirano kao vjerovatnoća da je Gausova slučajna varijabla x sa srednjom vrijednosti 0 i varijansom koja ima vrijednosti z.

Q ( z )=p ( x≥ z )=∫z

∞1

√2πe− x2 /2dx (1.42)

Q funkcija nije toliko jednostavna za raditi sa njom jer je argument z u donjoj granici integrala, integral ima beskonačnu vrijednost, a eksponencijalna funkcija integrala ne vodi ka rješenju zatvorene forme. Alternativna forma data je sa:

Q ( z )=1π∫

0

π /2

exp[ −z2

2sin2∅ ] d∅ z>0 (1.43)

Treba primijetiti da kod ove alternativne forme, gornja granica integrala ima konačnu vrijednost koja zavisi od argumenta z, a integral je Gausove forme, sa posebnim osvrtom na z. Ove karaktersitike će dokazati značaj korištenja alternativnog prikaza bi se izvukla prosječna vrijednost vjerovatnoće greške fadinga.Craigova motivacija za alternativni prikaz koristi se da pojednostavi računanje vjerovatnoće greške za AWGN kanal. Posebno, možemo računati bitsku vjerovatnoću greške za BPSK koristeći se alternativnom formom:

Pb=Q (√2 γb )= 1π∫0

π /2

exp [ −γbsin2∅ ]d∅ (1.44)

13

Slično, alternativni prikaz može se iskoristiti da se dobije jednostavna tačna formula za Ps z MPSK u AWGN kanalu, i to:

Ps=1π

∫0

(M−1) π /M

exp [−gpsk γs

sin2∅ ]d∅ (1.45)

gdje je gpsk = sin2 ¿. Treba primijetiti da ova formula ne odgovara općoj formi αMQ ( √ βM γ s), kako je opća forma aproksimativna dok je (1.45) tačno. Također, formula (1.45) data je sa integralom konačne vrijednosti jednostavnih trigonometrijskih funkcija koje se mogu vrlo lahko izračunati pomoću kalkulatora.

1.3. Fading - slabljenje signala

U AWGN kanalu vjerovatnoća simbolske greške zavisi od primljenog SNR-a, ili γ s, jednako. U fading okruženju snaga primljenog signala ovisi o rastojanju ili vremenu, a sve to u odnosu na efekat sjene i/ili multipath (višestzano –na više putanja signala) slabljenje signala. Tako da kod fadinga važi da je γ s slučajna varijabla sa raspodjelom pγ s

(γ ), tako da Ps(γ s) također ima slučajnu vrijednost. Metričke perfromanse kada je γ s slučajno, zavise od brzine promjene fadinga. Postoje tri različita kriterija performansi koje se mogu koristiti da opišu slučajnu varijablu Ps:

Vjerovatnoća gubitaka, Pout, definirana kao vjerovatnoća da γ s se nalazi između date vrijednosti i odgovarajuće maximalne dozvoljene Ps.

Prosječna vjerovatnoća greške, Ps, uprosječena preko raspodjele γ s

Kombinirana prosječna vjerovatnoća greške i vjerovatnoća gubitaka, definirana kao prosječna vjerovatnoća greške koja se može postići određenim procentom vremena, ili određenim procentom prostornog položaja.

Prosječna vjerovatnoća greške simbola primjenjuje se kada je fading signala približan simbolskom vremenu ( Ts ≈ Tc), tako da je nivo signala konstanta jednog simbolskog vremena. Mnoge tehnike za korekciju grešaka mogu rješiti nekoliko bitskih grešaka, tako da performanse s kraja-na-kraj nisu toliko degradirane od nekoliko bitskih grešaka. Tako da možemo reći da je prosječna vjerovatnoća grešaka je dobra tehnika za mjerenje kvaliteta kanala pod ovim uvjetima.Međutim, ukoliko se snaga signala sporo mijenja ( Ts << Tc), onda će duboka sjena uticati na mnoge simultane simbole. Tako da feding može dovesti do velikog snopa grešaka koje ne mogu biti korigovane kodiranjem neke razumne kompleksnosti. Ali, ove greške mogu ozbiljno naštetiti performansama veze s kraja-na-kraj. U tom slučaju, željene performanse ne mogu biti zagarantovane tokom cijelog vremena trajanja, odnosno u ćeliji, ukoliko drastično ne povećamo snagu prijenosa signala. Pod ovakvim okolnostima, vjerovatnoća gubitaka specificirana je tako da se kanala smatra beskorisnim za određeni dio vremena ili prostora. Obično se vrši kombinacija vjerovatnoće gubitaka i prosječne vjerovatnoćee grešaka, kada je kanala modeliran kao kombinacija brzog i sporog fadinga, npr. lognormalni fading sa Rayleigh-ovim.Treba primijetiti da, kada je Tc << Ts, fading će biti uprosječen preko određenog filtera u demodulatoru. Tako, za veoma brzi fading, performanse su jednake kao i u AWGN kanalu.

14

1.3.1. Vjerovatnoća gubitaka

Vjerovatnoća gubitaka data je sa:

Pout=p ( γ s<γ 0 )=∫0

γ 0

pγs (γ ) dγ (1.46)

gdje γ 0 predstavlja minimalnu vrijednost SNR-a potrebnu za prihvatljiv nivo performansi. Npr. za digitalni govor, Pb = 10 -3 je prihvatljiva vrijednost greške koja može biti detektovana ljudskim uhom. Tako da za BPSK signal, odnosno Rayleighov fading, kažemo da je γ b< 7 dB, što je označeno kao gubitak, tako da ćemo staviti da je γ 0 = 7 Db.U Rayleigh-ovom fadingu, vjerovatnoća gubitaka postaje:

Pout=∫0

γ 0

1γs

e−γ s/γ sd γ s=1−e−γ 0/ γ s (1.47)

Inverzni oblik ove formule pokazuje da za datu vjerovatnoću gubitaka, zahtijevani prosječni SNR γ s iznosi:

γ s=γ0

−ln (1−Pout) (1.48)

U dB-ima to znači da 10 log γs mora prekoračiti cilj 10 log γ0 od Fd = -10 ¿ kako bi sačuvao prihvatljiv nivo odvijanja performansi sistema više od 100 * (1 – Pout) procenata vremena. Fd

zovemo dB margina sjene.

Primjer 1.4: Odrediti zahtijevani γb za BPSK modulaciju za spori Rayleigh-ov fading tako da za 95% vremena (ili prostora), Pb (γ b) < 10 -4 .

Rješenje: Za BPSK modulaciju u AWGN kanalu, ciljani BER je 8.5 Db, npr. za Pb (γ b) = Q(√2 γ b), Pb(10 .85) = 10 -4. Tako da je γ 0 = 8.5. Tako da, za Pout = p(γ b<γ 0) = .05, imamo da je :

γ b=γ0

−ln (1−Pout)= 10.85

−ln (1−.05)=21.4dB . (1.49)

1.3.2. Prosječna vjerovatnoća greške

Prosječna vjerovatnoća pogreške se koristi kao mjerilo performanci kada je T s≈T c. Dakle možemo pretpostaviti da je γ s konstanta preko simbola vremena. Tada prosječna vrijednost vjerovatnoće greške se računa integrirajući vjerovatnoću greške u AWGN-u preko feding distribucije:

15

Ps=∫0

∞

Ps (γ ) pγs( γ ) dγ , (1.50)

gdje je Ps (γ ) vjerovatnoća simbolske pogreške u AWGN-u sa SNR γ , koje se može aproksimirati izrazima u tablici 1.1. Za datu ditribuciju feding amplitude r (npr. Rayleigh, Rician, log-normal, itd.) računamo pγ s

( γ ) mijenjajući varijablu:

pγ s( γ ) dγ=p (r ) dr. (1.51)

Na primjer, u Rayleigh feding-u primljeni signal amplitude r ima Rayleigh-ovu distribuciju

p (r )= r

σ2e−r2 /σ 2

, r ≥ 0 (1.52)

i snaga signala je eksponencijalno distribuirana sa srednjom vrijednošću 2σ2. SNR po simbolu za datu amplitudu r je:

γ=r2 T s

2σn2 , (1.53)

gdje σ n2=N0/2 je PDS šuma u istoj fazi i kvadraturnoj grani. Diferenciranjem obje strane

ovog izraza dobivamo

dγ= r T s

2σn2 dr , (1.54)

Uvrštavanjem (1.53) i (1.54) u (1.52) i onda (1.51) daje:

pγ s( γ )=

σ n2

σ 2T s

e−γ σ n2/σ2T s. (1.55)

Budući da je prosječni SNR po simbolu γs je samo σ 2T s/σ n2 možemo ponovo napisati (1.55)

kao:

pγ s( γ )= 1

γ s

e−γ / γs, (1.56)

koje je eksponencijalno. Za binarno signaliranje to se smanjuje na:

pγ b(γ )= 1

γ b

e−γ / γ s,

Integriranje (6.6) preko distribucije (6.57) daje sljedeću prosječnu vjerojatnost greške za BPSK u Rayleigh-ovom feding-u. BPSK:

16

Pb=12 [1−√ γ b

1+γb]≈ 1

4 γb

,

gdje aproksimacija vrijedi i za velike γb . Slična integracija (1.31) preko (1.57) daje prosječnu vjerovatnoću greške za binarni FSK u Rayleigh-ovom feding-u. Binarni FSK:

Pb=12 [1−√ γ b

2+γ b]≈ 1

4 γb

Dakle, performanse BPSK i binarnog FSK konvergiraju na visokim SNR-ima. Za nekoherentnu modulaciju, ukoliko pretpostavimo da je faza kanala relativno konstantna tokom vremena simbola, onda dobivamo vjerovatnoću greške ponovo integrišući vjerovatnoću greške u AWGN preko feding distribucije. Za DPSK ovo daje:

DPSK: Pb=1

2 (1+γ b )≈

12 γ b

gdje ponovo aproksimacija vrijedi i za velike γb. Treba imati na umu da u granici velikih γb postoji približno 3 dB kaznene snage u korištenju DPSK umjesto BPSK. Ovo je također uočenu u AWGN-u i to je penalna snaga diferencijalnih detekcija. U praksi penalna snaga je nešto manja, jer DPSK može ispraviti za spore fazne promjene uvedene u kanalu ili prijemniku, koje nisu razmatrane u ovim izračunima grešaka.

Ukoliko koristimo generalnu aproksimaciju Ps≈αM Q(√ βM γ s) tada prosječna vjerovatnoća greške simbola u Rayleigh-ovom fading-u može biti aproksimirana kao

Ps≈∫0

∞

αM Q (√ βM γ ) ∙ 1γ s

e−γγ s d γs=

αm

2 [1−√ .5 βM γ s

1+.5 βM γ s]≈ αM

2 βM γ s

,

gdje je zadnja aproksimacija u granicama visokog SNR-a.

Zanimljivo je usporediti vjerovatnoću greške bita različitih modulacijskih šema u AWGN-u i feding-u. Za binarni PSK, FSK i DPSK, vjerojatnoća greške bita u AWGN-u eksponencijalno pada s porastom γ b. Međutim, u fedingu vjerovatnoća greške bita za sve tipove modulacija opada linearno sa porastom γ b. Slično se ponašanje javlja i kod nebinarnih modulacija. Dakle, snaga potrebna za održavanje datog Pb, osobito za male vrijednosti, je mnogo u veća u feding kanalima nego u AWGN kanalima. Na primjer na slici 6.1. crtamo vjerovatnoću greše za BPSK-a u AWGN i u ravnom Rayleighevom fedingu. Vidimo da to zahtjeva oko 8 dB SNR-a za održavanje 10−3 brzine bitske greške u AWGN-u, dok to zahtijeva oko 24 dB SNR-a za održavanje iste brzine greške u Rayleighevom fedingu. Sličan crtež za vjerovatnoće greške MQAM-a, baziranoj na aproksimacijama (1.24) i (1.61), je prikazano na slici 1.2. Iz ovih slika je jasno da za održavanje male snage potrebne su odgovarajuće tehnike za uklanjanje efekta

17

fedinga. Raspravljat ćemo o nekih tim tehnikama, uključujući kombiniranje raznolikosti, širenje spektra, i RAKE prijemnici, u kasnijim poglavljima.

Rayleighov feding je jedan od najgorih slučajeva fedinga. Na slici 1.3 prikazali smo prosječnu vjerovatnoću bitske greške BPSK u Nakagami fedingu za različite vrijednosti Nakagami-jevog m parametra. Vidimo kako se m povećava, feding se smanjuje, i prosječna vjerovatnoća bitske greške konvergira onoj od AWGN kanala.

1.3.3. Funkcija generacije momenata pristupa prosječnoj vjerovatnoći greške.

Funkcija generacije momenata (MGF) za nenegativnu slučajnu varijablu γ sa pdf-om pγ (γ ) , γ ≥0 je definisana kao:

M γ ( s )=∫0

∞

pγ ( γ ) esγ dγ (1.62)

Slika 1.1. Prosjek Pbza BPSK-a u Rayleigh fedingu i AWGN-u

Treba imati na umu da je ova funkcija samo za Laplace-ovu transformaciju pdf-a pγ (γ ), sa

argumentom obrnutog u znaku: L [pγ ( γ ) ]=M γ(−s)

18

Dakle, MGF za većinu feding distribucija od interesa može biti izračunat bilo u zatvorenom obliku koristeći klasičnu Laplace-ovu transformaciju ili kroz numeričku integraciju. Konkretno, MGF za zajedničku višestaznu feding distribuciju su kako slijedi [10, poglavlje 5.1.]:

Rayleigh: M γ s(s )=(1−sγ s)

−1 (1.63)

Ricean sa faktorom K: M γ s(s )= 1+K

1+K−s γs

exp[ Ksγ s

1+K−sγ s] (1.64)

Nakagami-m: M γ s(s )=(1−

s γ s

m)−m

(1.65)

Kao što je navedeno u njegovom imenu, moment E [γ n ] od γ može se dobiti iz M γ (s ) kao

E [γ n ]= ∂n

∂sn [M γ s(s ) ]|

s

=0 (1.66)

MGF je veoma koristan alat u analizi performansi modulacija u fedingu sa i bez raznovrsnosti. U ovom poglavlju smo raspravljali o o tome kako može biti upotrebljen da pojednostavi analizu performansi prosječne vjerovatnoće simbolske greške u fedingu. U narednom poglavlju ćemo vidjeti da također pojednostavljuje analizu u feding kanalima sa raznovrsnošću.

Osnovna pretpostavka MGF pristupa za računanje prosječne vjerovatnoće greške u fedingu jeste da izrazi vjerovatnoću greške Ps u AWGN-u za modulaciju od interesa bilo kao eksponencijalna funkcija od γ s ,

Ps=c1exp [−c2 γ s ] (1.67)

19

Slika 1.2. Prosječni Pb za MQAM u Rayleigh-ovom fedingu i AWGN-u

Slika 1.3. Prosječni Pb za BPSK-a u Nakagami fedingu

20

za konstante c1 i c2, ili kao konačni raspon integrala takve eksponencijalne funkcije:

Ps=∫A

B

c1exp [−c2(x )γ ] dx, (1.68)

gdje konstanta c2 može ovisiti o integrandu ali SNR γ niti nema niti je u granicama integracije. Ovi oblici dozvoljavaju prosječnoj vjerovatnoći greške da bude izražena u smislu MGF-a za feding distribuciju. Specifično, ukoliko je Ps=αexp [−β γs ], tada

Ps=∫0

∞

c1exp [−c2 γ ] pγs( γ ) dγ=c1 M γs

(−c2). (1.69)

Budući da je DPSK-a u ovom obliku c1=12

i c2=1, možemo vidjeti da prosječna vjerovatnoća

bitske greške u bilo kojem tipu fedinga je

Pb=12M γs

(−1), (1.70)

Gdje M γ s(s) je MDF feding distribucije. Na primjer, koristeći M γ s

(s ) za Rayleigh-ov feding dat

sa (1.63) sa s=-1 daje Pb= [2 ( 1+γ b ) ]−1, što je isto kao ono što smo dobili u (1.60). Ukoliko je

Ps u formi integrala od (1.68) tada je

Ps=∫0

∞

∫A

B

c1exp [−c2 γ ] dx pγ s(γ ) dγ=¿¿

¿c1∫A

B [∫0

∞

c1exp [−c2 γ ] pγs( γ ) dγ ]dx=¿c1∫

A

B

M γ s(−c2(x))dx ¿. (1.71)

U ovom posljednjem slučaju, prosječna vjerovatnoća simbolske greške je jedan integral konačnog raspona MGF-a feding distribucije, koji može tipično biti pronađen u zatvorenom obliku ili se jednostavno brojčano ocjenjuje.

Sada ćemo rpimjeniti MGF pristup na specifične modulacije i feding distribucije. U (1.53) smo dali generalni izraz za Ps koherentne modulacije za AWGN u smislu Gaussove Q funkcije. Sada ćemo napraviti sitnu izmjenu u zapisu (1.33) postavljajući α=αM i g=.5 βM kako bi dobili

Ps ( γs )=αQ (√2 gγ s ), (1.72)

gdje su α i g konstante koje ovise o modulaciji. Zapis se mijenja kako bi se dobila vjerovatnoća greške kao tačan MGF, kao što smo sada pokazali.

Koristeći alternativnu funkciju Q prikazanu u (1.43), dobijemo da je

21

Ps=απ∫0

π /2

exp[ −gγsin2∅ ]d∅ , (1.73)

koji je u željenom obliku (1.68). Prema tome, prosječna vjerovatnoća greške u fedingu za

modulacije sa Ps=αQ (√2 gγ s ) u AWGN-u je dato sa

Ps=απ∫0

∞

∫0

π /2

exp[ −gγ

sin2∅ ]d∅ pγ s(γ )dγ=α

π∫0

π /2 [∫0∞

xp [ −gγ

sin2∅ ] pγs( γ ) dγ ] d∅=¿ α

π∫0

π /2

M γ s( −g

sin2∅ )d∅ ¿

, (1.74)

gdje je M γ s(s) MGF povezana sa pdf pγ s

( γ ) kao što je definisano u (1.62). Podsjetimo da je tablica 1.1 probližna vrijednost vjerovatnoće greške u AWGN-u za mnoge modulacije od

interesa kao Ps≈αQ (√2 gγ s ), i prema tome (1,74) daje aproksimaciju za prosječnu

vjerovatnoću greške ovih modulacija u fedingu. Štoviše, tačna prosječna vjerovatnoća simbolske greške za koherentni MPSK-a može se dobiti u obliku sličnom (1.74) primječujući da Craig-ova formula za Ps za MPSK-a u AWGN-u data sa (1.45) je u željenom obliku (1.68). Prema tome, tačna prosječna vjerovatnoća greške za MPSK-a postaje

Ps=∫0

∞1π

∫0

( M−1 ) π /M

exp [−g γs

sin2∅ ]d∅ pγ s

( γ ) dγ=1π

∫0

(M −1 ) π /M [∫0∞

exp[ −gγ s

sin2∅ ] pγs

(γ ) dγ ]d∅=¿ 1π

∫0

( M−1) π /M

M γ s( −g

sin2∅ )d∅ ,¿

(1.75)

gdje g=sin2( πM

) zavisi od veličine MPSK-a konstelacije. MGF M γ s(s) za Rayleigh, Rician, i

Nakagami-m distribucije je dat, respektivno, sa (1.63), (1,64) i (1,65) iznad. Uvrštavanjem s=−g /sin2∅ u ova polja izraza

Rayleigh: ....M γ s( −gsin2∅ )=(1+

−gγ s

sin2∅ )−1

(1.76)

Ricean sa faktorom K: M γ s( −gsin2∅ )= (1+K )sin2∅

(1+K ) sin2∅+gγ s

exp ( −Kgγ s

(1+K )sin2∅+gγ s) . (1.77)

Nakagami-m: M γ s( −gsin2∅ )=(1+

g γ s

msin2∅ )−m

. (1.78)

Sve ove funkcije su jednostavne trigonometrije, stoga se lahko integriraju preko konačnog raspona u (1.74) ili (1.75).

Primjer 1.5:

22

Upotrijebiti MGF tehniku kako bi se pronašao izraz za prosječnu vjerovatnoću greške za BPSK-a modulaciju u Nakagami fedingu.

Rješenje: Koristimo činjenicu da za AWGN kanal BPSK-a ima Pb=Q√2 γ b , tako da je α=2 i g=1 u (1.72). Funkcija stvaranja momenta za Nakagami – m feding je data sa (1.78), i uvrštavajući ovo u (1.74) sa α=g=1 daje

Pb=1π∫0

π /2

(1+γ b

msin2∅ )−1

d∅ .

Iz (1.23) vidimo da tačna vjerovatnoća simbolske greške za MQAM u AWHN-u sadrži oboje, Q funkciju i njen kvadrat. Na sreću, alternativni oblik Q2(z ) izveden u [8] dozvoljava nam da primjenimo iste tehnike korištene iznad za MPSK-a do MQAM modulacije. Specifično, alternativni prikaz Q2(z ) je izveden u [8] kao

Q2 ( z)=1π∫

0

π /4

exp [ −z2

2 sin2∅ ]d∅ . (1.79)

Treba imati na umu da je identično aternativnom obliku za Q(z ) dat u (6.43) izuzev toga da je gornji limit integrala je π /4 umjesto π /2. Prema tome, možemo pisati (6.23) u smislu alternativnog prikaza za Q(z ) i Q2(z ) kao

Ps ( γs )=4π (1− 1

√M )∫0

π /2

exp(−g γs

sin2∅ )d∅− 4π (1− 1

√M )2

∫0

π /4

exp(−gγ s

sin2∅ )d∅ , (1.80)

gdje g=1.5 /(M−1) je funkcija veličine MQAM konstelacije. Tada prosječna veličina vjerovatnoće simbolske greške u fedingu postaje

Ps=∫0

∞

Ps (γ ) pγs( γ ) dγ=¿ 4

π (1− 1√M )∫

0

π /2

∫0

∞

exp( −gsin2∅ ) pγs

( γ ) dγd∅−¿ 4π (1− 1

√M )2

∫0

π /4

∫0

∞

exp ( −gγsin2∅ ) pγ s

(γ ) dγd∅=¿ 4π (1− 1

√M )∫0

π /2

M γs ( −gsin2∅ )d∅−¿ 4

π (1− 1√M )

2

∫0

4/π

M γ s( −gsin2∅ )d∅ ¿¿

. (1.81)

Prema tome, prosječna vjerovatnoća simbolske greške je dobijena preko dva integrala u konačnog raspona MGF-a feding distribucije, koje se može tipično pronaći u zatvorenom obliku ili se jednostavno brojčano ocjenjuje.

MGF pristup može se također primjeniti na nekoherentne i diferencijalne modulacije. Na primjer, razmotrimo nekoherentni M-FSK, sa Ps u AWGN-u dat sa (1.32), koji je konačna suma željenog oblika (1.67). Prema tome, u fedingu, prosječna vjerovatnoća simbolske greške nekoherentnog M-FSK je data sa

23

Ps=∫0

∞

∑m=1

M

(−1)m+1(M−1m ) 1

m+1exp[−mγ

m+1 ] pγ s(γ )dγ=¿∑

m−1

M

(−1)m+1(M−1m ) 1

m+1 [∫0

∞

exp[−mγm+1 ] pγs

( γ ) dγ ]=∑m−1

M

(−1)m+1(M−1m ) 1

m+1M γ s( −m

m+1 )¿

(1.82)

Konačno, za različite MPSK, može se pokazati [11] da je prosječna vjerovatnoća simbolske greške data sa

Ps=√gpsk

2 π∫

−π /2

π /2 exp [−γs (1−√1−gpsk cosθ )]1−√1−gpsk cosθ

dθ (1.83)

za gpsk=sin2 (π /M ), koji je u željenom obliku (1.68). Prema tome prosječnu vjerovatnoću simbolske greške možemo izraziti u smislu MGF-a feding ditribucije kao

Ps=√gpsk

2 π∫

−π /2

π /2 M γ s[−(1−√1−g psk cosθ ) ]1−√1−gpsk cos θ

dθ (1.84)

1.3.4. Kombinacija gubitaka i prosječne vjerovatnoće greške

Kada je feding okruženje superpozicija za oboje i za brzi i spori feding, npr. log-normalno preslikavanje i Rayleigh-ov feding, zajednička izvedba metrika je kombinacija gubitaka i prosječne vjerovatnoće greške, gdje gubitak nastaje kada spori feding pada ispod neke ciljne vrijednosti i prosječna performansa u negubicima se dobije preko usrednjavanja brzog fedinga. Koristimo sljedeće zapise:

Neka γ́ s označava prosječni SNR po simbolu za fiksni gubitak puta sa usrednjavanjem preko brzog fedinga i preslikavanja

Neka γs označava (slučajni) SNR po simbolu za fiksni gubitak puta i slučajno preslikavanje ali usrednjeno preko brzog fedinga. Njegova srednja vrijednost je γ́ s.

Neka γ s označava slučajni SNR zbog fiksnog gubitka puta, preslikavanja i multipath-a.

Sa ovim zapisom možemo odrediti prosječnu vjerovatnoću greške Ps sa nekom vjerovatnoćom 1−Pout . Gubitak je proglašen kada je primljen SNR po simbolu zbog preslikavanja i gubitka puta, γs, pada ispod date ciljne vrijednosti γs0 . Kada nije u gubicima ( γ s≥γ s0 ), prosječna vjerovatnoća greške je dobijena usrednjavanjem preko distribucije brzog fedinga uvjetovana srednjom vrijednošću SNR-a:

Ps=∫0

∞

Ps (γ s ) p ( γ s|γ s )d γ s (1.85)

Kriterij koji je korišten za određivanje ciljnih gubitaka γ s0 je tipično bazirana na datoj

maksimalnoj prosječnoj vjerovatnoći greške, npr. Ps≤P s0, gdje ciljni γ s0

mora ispuniti

24

Ps0=∫

0

∞

P s (γ s ) p ( γ s|γ s )d γ s. (1.86)

Očito kada god je γs>γ s0, prosječna vjerovatnoća greške će biti ispod ciljne vrijednosti.

Primjer 1.6.

Razmotrimo BPSK modulaciju u kanalu sa oboje i log-normalnim preslikavanjem ( σ = 8dB) i

Rayleigh-ovim fedingom. Željena maksimalna prosječna vjerovatnoća greške je Pb0=10−4 koji

zahtijeva γ b0=34 dB. Odrediti vrijednost γ́ b koji će osigurati Pb<10−4 sa vjerovatnoćom

1−Pout=.95.

Rješenje: Moramo pronaći γ́ b, prosječni γ b u oba i u brzom i u sporom fedingu tako da je

p (γb>γb0 )=1−Pout. Za log-normalno preslikavanje ovo računamo kao:

p (γ b>34 )=p( γb− γ́ b

σ≥

34− γ́b

σ )=Q( 34− γ́ b

σ )=1−Pout (1.87)

pošto je γ b− γ́b

σ Gausova distribuirana slučajna varijabla sa srednjom vrijednosti 0 i

standardnom devijacijom 1. Prema tome, vrijednost γ́ b je dobivena zamjenom vrijednosti Pout i σ u (1.87) i korištenjem tablice Q funkcija ili inverznim programom, koji daje 34−γ́ b

8=−1.6 ili γ́ b=46.8dB.

1.4. Doppler-ovo širenje

Doppler-ovo širenje rezultira u nesvodivom stepenu greške za modulacione tehnike koristeći diferencionalnu detekciju. To je zbog činjenice da je u diferencijalnoj modulaciji faza signala povezana sa jednim simbolom koji je korišten kao fazna preporuka za idući simbol. Ukoliko se faze kanala dekoreliraju preko simbola, onda fazna preporuka postaje izuzetno glasna, vodeći do visoke brzine simbolske greške koja je neovisna o snazi primljenog signala. Korelacija faza između simbola i stoga je degradacija performansi u funkciji Doppler-ove frekvencije f D=v / λ i vremena simbola T s.

Prvu analizu ireducibilnog stepena greške prema Doppler-u su uradili Bello i Nelin u [17]. U tom radu analitički izrazi za ireducibilni stepen greške za nekoherentni FSK i DPSK prema Doppler-u se određuju za Gauss-ov Doppler-ov spektar snage. Međutim, ovi izrazi nisu u zatvorenom obliku, pa se moraju ocjenjivati numeričkim putem. Izrazi u zatvorenom obliku za vjerovatnoću bitske greške DPSK u brzom Rician-ovom fedingu, gdje kanal dekorelira preko bitskog vremena, mogu se dobiti korištenjem MGF tehnike, sa MGF-ovima dobivenim na temelju generalnih kvadratnih oblika kompleksnih Gauss-ovih slučajni varijabli [18,

25

Dodatak B] [1, Dodatak B]. Različit pristup korištenjem alternativnih oblika Marcum Q funkcije se može također upotrijebiti [10, Poglavlje 8.2.5]. Rezultujuća prosječna vjerovatnoća bitske greške za DPSK je

Pb=12 [ 1+K+γb(1−pC)

1+K+γ b]exp [ −K γ b

1+K+γ b], (1.88)

gdje pC je koeficijent korelacije kanala poslije bitskog vremena T b, K je feding parametar Rician-ove distribucije, i γb je prosječni SNR po bitu. Za Rayleigh-ov feding (K=0) ovo se pojednostavljuje na

Pb=12 [ 1+γb(1−pC)

1+γ b]. (1.89)

Puštajući da γb→∞ u (6.88) dobivamo ireducibilni stepen greške:

DPSK: Pfloor=(1−pC)e

−K

2. (1.90)

Sličan pristup je korišten u [20] kako bi povezao vjerovatnoću bitske greške DQPSK u brzom Rician-ovom fedingu kao

Pb≤12 [1−√ (pC γ s/√2)

2

( γ s+1 )2−( pC γs /√2)2 ]exp [ −(2−√2 )K γs/2

( γs+1 )−( pC γ s/√2) ], (1.91)

gdje je K kao prije, pC je koeficijent korelacije signala poslije vremena simbola T s, i γ s je prosječni SNR po simboli. Puštajući da γb→∞ u (6.88) dobivamo ireducibilni stepen greške:

DQPSK: Pfloor=12 [1−√ ( pC /√2)

2

1−(pC /√2)2 ]exp [−(2−√2 )K /2

1−( pC /√2) ]. (1.92)

Kao što je diskutovanu u poglavlju 3.2.1. korelacija kanala AC (t ) preko vremena t jednaka je inverznoj Furrier-ovoj transformaciji Doppler-ovog spektra snage SC ( f ) kao funkcija Doppler-ove frekvencije f. Prema tome koeficijent korelacije je pC=AC (T )/ AC (0) vrednovana kod T=T s za DQPSK ili T=T b za DPSK. Tabela 1.2. iz [21], daje vrijednost pC za nekoliko različitih Doppler-ovih modela spektara snage kanala. Pretpostavljajući uniformni model raspršivanja ( p¿¿C=J0(2 π f DTb))¿ i Rayleigh-ov feding (K=0) u (1.90) daje ireducibilnu grešku za DPSK od

Pfloor=1−J 0(2π f DT b)

2≈ .5(π f DT b)

2, (1.93)

26

gdje je BD=f D=v / λ maksimalni Doppler u kanalu. Treba imati na umu, da stepen greške opada sa brzinom podataka R=1/T b. Ovo vrijedi općenito za ireducibilni stepen greške različitih modulacija zbog Doppler-a, budući da kanal ima manje vremena da dekorelira između prenesenih simbola. Ovaj fenomen je jedan od rijetkih slučajeva u digitalnim komunikacijama gdje se performanse poboljšavaju pri povećanju brzine podataka.

Tabela 1.2. Koeficijenti korelacije za različite modele Doppler-ovog spektra snage

Tip Doppler-ov spektar snageSC( f ) pC=AC(T )/ AC(0)

Pravougaoni S0

2BD

,|f|<BD

sinc(2BDT )

Gaussov S0

√π BD

e−f 2/B2D e−(π BDT )

Uniformno raspršavanje S0

π √B2D−f 2

,|f|<BD

J0(2 π BDT )

Prvi Butteworth-ov red S0 BD

π (f 2+B2D)

e−2π BDT

Grafik od (1.88), vjerovatnoća greške za DPSK u brzom Rician-ovom fedingu, za uniformno raspršavanje ( p¿¿C=J0(2 π f DTb))¿ i različite vrijednosti f DT b su prikazane na slici 1.4. sa ove slike vidimo da stepen greške počinje da dominira u γ b=15 dB u Rayleigh-ovom fedingu (K=0), i kada K poveča vrijednost γ b gdje dominirajući stepen greške također se povečava. Također vidimo da povećavajući brzinu podataka Rb=1/Tb za red veličine smanjujemo stepen greške za otprilike dva reda veličine.

Primjer 1.7:

Pretpostavimo Rayleigh-ov fedingov kanal sa uniformnim raspršivanjem i maksimalnim Doppler-om f D=80 Hz. Za koji približni raspon brzina podataka će ireducibilni stepen greške za DPSK biti ispod 10−4.

27

Slika 1.4. Prosječni Pb za DPSK u brzom Rician-ovom fedingu sa uniformnim raspršivanjem

Rješenje: Imamo Pfloor=.5(π f DT b)2<10−4. Rješavajući T b sa f D=80 Hz, dobijemo

T b<√2 ∙10−4

π ∙80=5.63 ∙10−5,

koje daje R>17.77 Kbps

Izvođenje analitičkog izraza za ireducibilni stepen greške postaje nerješiv sa kompleksnijim modulacijama, u čijem slučaju simulacije su često korištene. Pojedinačno, simulacije ireducibilnog stepena greške za π /4 DQPSK sa kvadratnim korijenom podignutog kosinusnog filtriranja su provedene jer modulacija se koristi za IS-54 TDMA standard. Ovi rezultati simulacije ukazuju na stepen greške između 10−3 i10−4. Kao što je očekivano, u ovim simulacijama stepen greške se podiže sa brzinom uređaja, jer pri većim brzinama uređaja kanal dekorelira više preko vremena simbola.

28

1.5. Intersimbolska interferencija

Frekvencijski selektivan feding uzrokuje uspon ISI-a, gdje primljeni simbol preko datog perioda simbola iskusuje smetnje od ostalih simbola koji su kasnili zbog multipath-a. Budući da rast snage signala također povećava snagu ISI-a, interferencija povećava ireducibilni stepen greške koji je neovisan o snazi signala. Ireducibilni stepen greške je težak za analizu, budući da ovisi o ISI karakteristikama i formatu modulacije, i ISI karakteristike ovise o karakteristikama kanala i o sekvenci prenesenih simbola.

Prvu opsežnu analizu ISI degradacije vjerovatnoće simbolske greške su uradili Bello i Nelin[24]. U tom radu analitički izrazi za ireducibilni stepen greške koherentnog FSK i nekoherentnog DPSK su određeni pretpostavljajući Gauss-ovo kašnjenje profila za kanal. Kako bi se pojednostavila analiza, samo ISI povezan sa susjednim simbolima je uzet u obzir. Čak i sa ovim pojednostavljenjem, izrazi su veoma kompleksni i moraju biti aproksimirani za procjenu. Ireducibilni stepen greške može također biti analitički procijenjen bazirano na sekvenci najgoreg slučaja ili može biti uprosječen preko svih mogućih simbolskih sekvenci. Ovi izrazi su također kompleksni za procjenu zbog njihove ovisnosti o kanalu i karakteristikama simbolske sekvence. Aproksimacija vjerovatnoće simbolske greške sa ISI se može dobiti tretirajući ISI kao nekorelirani bijeli Gauss-ov šum. Tada SNR postaje:

γ̂ s=Pr

N0 B+ I, (1.94)

gdje je I snaga povezana sa ISI. U statičkom kanalu rezultujuća vjerovatnoća simbolske greške će biti Ps( γ̂ s) gdje je Ps vjerovatnoća simbolske greške u AWGN-u. Ukoliko oboje i preneseni signal i ISI iskuse ravni feding, tada će γ̂ s biti slučajna varijabla sa distribucijom p( γ̂ s), i

prosječna vjerovatnoća simbolske greške je tada Ps=∫ Ps( γ̂s) p (γ̂ s)d γ s. Treba imati na umu

da je γ̂ s odnos dvije slučajne varijable: primljene snage Pr i ISI snage I, i prema tome rezultujuća distribucija p( γ̂ s) može biti teška za dobijanje i nije u zatvorenom obliku.

Ireducibilni stepen greške prema ISI-u je često dobivena simulacijom, koje može lahko pripojiti različite modele kanala, formate modulacije, i karakteristike sekvence simbola. Najopsežnije simulacije za određivanje ireducibilnog stepena greške prema ISI-u je uradio Chuang. U ovom radu BPSK, DPSK, QPSK, OQPSK i MSK modulacije su simulirane za različite oblike impulsa i za kanale sa različitim profilima snage kašnjenja, uključujući Gauss-ov, eksponencijalni, jednake amplitude sa dvije zrake, i empirički profil snage kašnjenja. Rezultati [26] indiciraju da ireducibilni stepen greške je mnogo osjetljiviji na rms kašnjenje raspršenja kanala nego na oblik njegovog profila snage kašnjenja. Štoviše, impulsno oblikovanje može značajno uticati na stepen greške: u podignutom kosinusnom impulsu o kojem se raspravljalo u poglavlju 5.5, povećanje β sa nule na jedan može reducirati stepen greške za red veličine. Primjer Chuang-ovih rezultata simulacije je prikazan na slici 1.5.

29

Ova slika crta ireducibilnu brzinu bitske greške kao funkciju normalizovanog rms kašnjenja raspršivanja d=σ Tm /T s za BPSK, QPSK, OQPSK modulacije pretpostavljajući statički kanal sa Gaussovim profilom snage kašnjenja. Sa ove slike vidimo, da za sve modulacije, možemo približno ograničiti ireducibilni stepen greške kao Pfloor≤d2 za .02≤d≤ .1. Ostali rezultati simulacije podržavaju također ovu granicu. Ova granica nameće ozbiljna ograničenja na brzinu podataka čak i kada su vjerovatnoće simbolske greške u redoslijedu 10−2 su prihvatljive. Na primjer, rms kašnjenje raspršivanja u tipičnoj urbanoj sredini je približno σ T m=2.5 μsec. Kako bi se zadržalo σ T m<.1T s zahtijeva se da brzina podataka ne prekorači 40 Kbaud, koje generalno nije dovoljno za podatkovne aplikacije visoke brzine. U ruralnom okruženju, gdje multipath nije smanjen na isti stepen kao i u gradu, σ T m≈25μsec, što reducira maksimalnu brzinu podataka na 4 Kbaund.

Primjer 1.8:

Koristeći aproksimaciju Pfloor≤ (σ T m/T b )2, pronaći maksimalnu brzinu podataka koja može biti

prenesena kroz kanal sa kašnjenjem raspršivanja σ T m=3 μsec koristeći ili BPSK ili QPSK modulaciju tako da vjerovatnoća bitske greške Pb je manja od 10−3.

Rješenje: za BPSK postavljamo Pfloor≤ (σ T m/T b )2, tako da zahtjevamo T b≥σT m

√P floor

=94.87 μsec,

koje vodi do brzine podataka R= 1T b

=10.54 Kbps. Za QPSK, isto izračunavanje daje

T b≥σ T m

√P fl oor

=94.87μsec. budući da su tu 2 bita po simbolu, ovo vodi do brzine podataka

R= 2T s

=21.01 Kbps. Ovo indicira da za datu brzinu podataka, QPSK je robusniji za ISI nego

BPSK, zbog činjenice da je vrijeme simbola sporije. Ovaj rezultat je također istinit korištenjem tačnijeg stepena greške povezanog sa slikom 1.5 umjesto granica iz ovog primjera.

30

Slika 1.5. Ireducibilna greška protiv normalizovanog rms kašnjenja raspršivanja d=σ Tm /T s za Gaussov profil snage kašnjenja

31