persamaan non-linear metode tertutup (biseksi dan regula falsi)
TRANSCRIPT
PERCOBAAN II
PERSAMAAN NON-LINEAR METODE TERTUTUP
(BISEKSI DAN REGULA FALSI)
A. Tujuan
Menentukan salah satu akar riil dari suatu fungsi non linear satu variable
menggunakan metode biseksi dan regula falsi.
B. Dasar Teori
Biseksi
Metode bagidua (bisection method) memulai siklus iterasi dengan memilih dua
tebakan awal yang dekat dengan akar persamaan. Dipilih dua tebakan awal x0 dan x1 yang
cukup dekat dengan akar di mana nilai f(x0) dan nilai f(x1) berlawanan tanda.
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a)
dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah :
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik,
suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas
di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Algoritma Metode Biseksi :
1. Mendefinisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
2. Menentukan nilai a dan b
3. Menentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
4. Menghitung f(a) dan f(b)
5. Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak proses
dilanjutkan.
6. Menghitung :
7. Menghitung f(xr)
8. Bila f(xr).f(a)<0 maka b=xr dan f(b)=f(xr), bila tidak a=xr dan f(a)=f(xr)
9. Jika |b-a|<e atau iterasi>iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar =
xr, dan bila tidak, ulangi langkah 6.
Regula Falsi
Metode regula falsi ini dibuat untuk memperbaiki metode bagidua yaitu untuk
mempercepat kekonvergenan metode bagidua. Prosedur metode posisi palsu mulai
dengan memilih dua tebakan awal yaitu x0 dan x1 di mana nilai fungsinya pada kedua
tebakan awal ini berbeda tanda. Hubungkan kedua titik yaitu (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1))
dengan garis lurus, dan tentukan titik perpotongan garis ini dengan sumbu X. Sebut absis
titik perpotongan dengan x2.
Jika f(x2) dan f(x0) berlawanan tanda maka gantikan x1 dengan x2. Kemudian
gambarkan sebuah garis lurus yang menghubungkan titik (x0, f(x0)) dengan (x2, f(x2))
untuk menentukan titik perpotongan yang baru. Tetapi f(x2) dan f(x0) tidak berbeda tanda
maka gantikan x0 dengan x2, kemudian tentukan titik perpotongan yang baru.
Titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah :
Algoritma Metode Regula Falsi :
1. Mendefinisikan fungsi f(x)
2. Menentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
3. Menentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (N)
4. Menghitung Fa = f(a) dan Fb = f(b)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau error > e
•
• Hitung Fx = f(x)
• Hitung error = |Fx|
• Jika Fx.Fa <0 maka b = xr dan Fb = Fxr jika tidak a = xr dan Fa = Fxr.
6. Akar persamaan adalah xr.
C. Listing Program
Fungsi
Metode Biseksi
E. Tugas
1. Tentukan nilai dari x pada kasus diatas menggunakan metode biseksi!
2. Selesaikan problem diatas menggunakan metode regula falsi!
3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula falsi!
F. Jawab
1. Fungsi Casson Fluid
Listing program menggunakan metode biseksi
2. Listing program menggunakan metode regula falsi
3. Analisis kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula falsi
a. Metode Biseksi
• Kelebihan
Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau dengan kata lain
selalu konvergen.
• Kelemahan
1. Jika terdapat beberapa akar pada interval yang diberikan maka hanya ada satu
akar yang dapat ditemukan.
2. Hanya dapat diselesaikan apabila ada akar persamaan pada interval yang
diberikan.
3. Memiliki proses iterasi yang banyak sehingga mengakibatkan proses
penyelesaian yang semakin lama. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar
atau solusi yang dicari dekat sekali dengan batas interval yang digunakan.
b. Metode Regula Falsi
• Kelebihan
Kepastian dalam pencapaian nilai konvergen.
• Kelemahan
1. Untuk menemukan nilai yang konvergen dibutuhkan waktu yang relative
lambat.
2. Hanya salah satu ujung titik interval (x0 atau x1) yang bergerak menuju akar
dan yang lain selalu tetap untuk setiap iterasi [nilai bersifat mutlak].
G. Output Program
Casson Fluid Menggunakan Metode Biseksi