persamaan non linier metode tertutup (biseksi dan regula falsi)
DESCRIPTION
PERSAMAAN NON LINIER METODE TERTUTUP (BISEKSI DAN REGULA FALSI)TRANSCRIPT
PRAKTIKUM II
PERSAMAAN NON LINIER METODE TERTUTUP (BISEKSI
DAN REGULA FALSI)
I. Dasar Teori
Masalah persamaan non linier umumnya ditujukan untuk mencari akar
persamaan. Penyelesaian masalah persamaan tak linier bersifat iteratif,
dilakukan berulang-ulang sehingga konvergensi tercapai. Suatu fungsi f(x)
terdefinisi dan diketahui sebuah range . Fungsi f(x) akan mempunyai akar
bila dan berlawanan tanda atau memenuhi.
Pada saat awal pembuatan program harus didefinisikan terlebih dahulu
toleransi perhitungan yang diperkenankan serta bentuk kriteria konvergensi
yang digunakan. Salah satu dari 2 kriteria konvergensi berikut dapat
digunakan untuk mengevaluasi roses iterasi :
i. |xi-xi-1| < toleransi
ii. |f(x)| < toleransi
Bentuk umum persamaan tak linier variabel tunggal adalah :
f(x)=0
Ada beberapa metode komputasi yang dapat digunakan utuk
menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan tak linier, diantaranya :
a. Metode biseksi
Disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang
digunakan untuk mencari akar-akar ersamaan nonlinier melalui proses
iterasi dengan persamaan :
x0=x1+x2
2
Dimana nilai f(x1) dan nilai f(x1) harus memenuhi persyaratan
1
f(x1) * f(x2) < 0
Dari nilai x0 ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.
Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(x1) dan
f(x2) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian
mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui
sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal
[a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak
‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a,
Gambar pencarian akar menggunakan metode biseksi
b. Metode Regula Falsi
Disebut juga metode Interpolasi Linier yaitu metode yang
digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinier melalui proses
iterasi dengan persamaan :
xo=x1 f ( x2 )−x2 f (x1 )f ( x2 )−f (x1 )
Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi
dengan melakukan update range. Kecepatan atau laju konvergensi dari
Metode Regula-Falsi sama dengan Metode Bisection, yaitu
‘konvergensi linier’, namun dengan faktor pengali (konstanta) yang
lebih besar dari 1 2 (factor pengali berkisar antara 1/ 2 … 1).
Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode
Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah
2
kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak
‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a,
Gambar metode regula falsi dapat digambarkan sebagai berikut :
3
II. Listing
Function Listing
Perhitungan
4
III. Flow Chart
a. Biseksi
5
b. Regula Falsi
6
IV. Tugas
a. Soal
Blood behaves as a non-Newtonian fluid, and can be modeled as a
“Casson fluid”. This model predicts that unlike simple fluids such as
water, blood will flow through a tube such that the centrel core will
move as a plug with little deformation, and most of the velocity
gradient will occur near the vessel wall. Tha following equation is used
to describe the plug flow of a Casson fluid :
F (ξ )=1−167√ξ+ 4
3ξ− 1
21ξ4
Where F measures the reduction in flowrate (relative to a
Newtonian fluid) experienced by the Casson fluid for a given pressure
gradient and ξgives an indication of what fraction of the tube is filled
with plug flow. For a value of F=0.40, determine the corresponding
value of ξ. Use a starting guess ξ = 0,05 and a second starting guess of
0,15.
b. Jawaban
Listing yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diatas
sama dengan listing yang ada pada bagian listing, tetapi perbedaannya
hanya pada function listing karena listing perulangannya masih tetap
sama. Listing function penyelesaian dari soal diatas dapat ditulis seperti
gambar dibawah
7
Pada soal tertulis F (ξ )=1−167√ξ+ 4
3ξ− 1
21ξ4
bisa berubah menjadi
listing diatas karena diketahui pada soal bahwa F=0.4 kemudian
disederhanakan menjadi F (ξ )=0.6−167√ξ+ 4
3ξ− 1
21ξ4
. Tertulis di
listing fungsi yang awalnya f(ξ) berubah menjadi y. Ini hanya
tergantung inisialisasi yang kita ingin tuliskan ada coding kita. Pada
listing diatas √ξdiubah menjadi “sqrt(x)” agar program Marlab dapat
membaca rumus fungsi yang sudah kita tulis. Karena jika kita menulis
x12 maka tidak bisa keluar hasil sesuai yang kita inginkan.
Untuk listing rumus yang berisi perulangan semuanya sama seperti
yang dilakukan saat praktikum. Disini saya akan membahas sedikit
secara runtut dari awal sampai akhir. Pada program yang saya buat,
pengguna program dapat memberi input batas atau tebakan awal dan
tebakan kedua pada program ini. Untuk banyaknya iterasi yang ingin
pengguna lakukan juga bisa disesuaikan keinginan pengguna.
Kemudian ketika pengguna menginputkan tebakan awal dan akhir,
program langsung menghitung ke dalam fungsi yang sudah diprogram
dari awal. Jika hasil fungsi keduanya dikalikan dan hasilnya > 0
tidak memiliki hasil. Tetapi jika hasilnya < 0, akan memproses
perhitungan dimana akan menghasilkan nilai tengah (yang baru)
disebut xc. Lalu xc itu menjadi pengganti dari salah satu xa atau xb
yang kita inisialisasi pertama sebagai tebakan kita. Kemudian begitu
selanjutnya hingga didapat nilai xa=xc.
Lalu kita juga menghitung batas error sampai ke iterasi berapa
program ini looping. Karena semakin kecil error nya maka hasil iterasi
atau looping program ini semakin banyak karena program mencari
sampai batas yang mendekati error. Tidak lupa kita menampilkan
hasilnya yaitu iterasi ke berapa saja, akar, serta xa dan xb. Tidak lupa
juga error terakhir yang keluar pada iterasi ke berapa kita berhenti.
8
c. Output
Setelah listing sudah selesai yang berupa function dan perulangan
kemudian di Run (dengan menekan F5) maka akan muncul dalam
command window seperti gambar dibawah ini.
d. Tugas
1. Tentukan a value of ξ pada kasus diatas menggunakan metode
biseksi ?
Jawab :
ξ menyatakan simbol dari sebuah persamaan, dikarenakan soal
membahas tentang fluida sehingga disimbolkan dengan ξ. Tetapi
itu hanya sebatas simbol, untuk coding kita bisa mengubah simbol-
simbol itu sesuka kita asalkan kita memakainya benar. Jika kita
sudah menggunakan simbol itu, maka akan berlanjut ke coding-
coding selanjutnya.
9
2. Selesaikan problem diatas menggunakan metode regula falsi !
Dan hasilnya sebagai berikut :
10
Untuk fungsi karena disoal harus sesuai dengan soal, maka saya
tidak menyertakan fungsi karena sama dengan bab (a). Disini untuk
coding rumus saya menggunakan cara yang sama dengan biseksi hanya
rumus saja yang diubah sesuai dengan rumus regula falsi yang ada pada
dasar teori. Perbedaan antara regula falsi dan biseksi terletak pada
jumlah iterasi nya. Ketika diberi batas error 0.00001, pada regula falsi
di iterasi ke 8 sudah mendekati batas error tersebut. Lain halnya dengan
biseksi, pada iterasi ke 10 belum mendekati error. Ini menunjkkan
bahwa regula falsi lebih cepat mendapatkan nilai konvergen jika
dibandingkan dengan biseksi.
Sedangkan untuk perhitungan secara manual lebih mudah
menggunakan biseksi, karena rumusnya memudahkan untuk dihitung
secara manual. Untuk hasilnya perbedaan terletak pada X1 di regula
falsi, karena pada X1 hasilnya sama yaitu 0.05 yang menunjukkan batas
bawah dari input yang kita masukkan. Lain halnya dengan metode
biseksi, pada X1 dan X2 terlihat nilai yang berbeda karena dalam
perhitungan normal ini juga berpengaruh.
Tetapi seharusnya jika menggunakan metode yang berbeda
harusnya mendapatkan hasil yang mirip, mungkin beda 4 angka di
belakang koma. Tetapi saya belum menemukan cara bagaimana
mendapatkan hasil yang bisa sama dengan biseksi. Tetapi saya yakin
pasti jawabannya akan sama dengan biseksi. Mungkin coding yang saya
gunakan ada yang kurang atau ada peletakan dari flowchart yang salah.
3. Analisis Kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula
falsi!
Kelemahan :
Regula Falsi : Untuk mendapatkan akarnya lebih lambat
mencapai konvergen, tetapi jika dibandingkan dengan biseksi
lebih cepat. Ini dibuktikian pada persoalan diatas. Tidak hanya
itu , rumus yang digunakan untuk mendapatkan akar dengan
metode ini lebih rumit jika dibandingkan dengan biseksi.
11
Biseksi : Hasil akar yang didapatkan cenderung lebih lambat
mencapai titik konvergen jika dibandingkan dengan metode
lainnya. Karena perhitungan rumus yang cukup simpel jadi ke
konvergenan nya cukup lama. Dan metode ini tidak bisa
menggunakan fungsi kompleks.
Kelebihan :
Regula Falsi : Hasil konvergen terjamin, ini dibuktikan dengan
titik error yang diberikan pada insialisasi dan nyatanya pada
akhir program error yang dicapai mendekati error yang
diinginkan. Ini membuktikan bahwa tingkat ke konvergenan
hasil akar tersebut bisa cukup akurat.
Biseksi : Rumus yang digunakan untuk mendapatkan hasil akar
cukup simpel jika dibandingkan dengan rumus lainnya. Jika
perhitungan manual akan memudahkan. Hasil yang didapatkan
juga cukup akurat untuk mencapai konvergen. Ini bisa
ditunjukkan pada titik error.
Daftar Pustaka
http://ekonanya.blogspot.com/2012/03/metoda-iterativ.html
http://wa24z.wordpress.com/2012/05/12/metode-bisection-dan-regula-falsi/
12