pracownia fizyczna i - mif.pg.gda.pl
TRANSCRIPT
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Skrypt do laboratorium
PRACOWNIA FIZYCZNA I
�wiczenie 3: Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ konden-
satorow¡.
Opracowanie: mgr Tomasz Neumann
Gda«sk, 2011
Projekt �Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi¦dzywydziaªowe�
wspóª�nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
USTALENIA WST�PNE
Wymagania wst¦pne:
Zapoznanie si¦ z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem ¢wiczenia zawartymi w
instrukcji do ¢wiczenia.
Cele ¢wiczenia:
1. Usystematyzowanie wiadomo±ci z elektrostatyki.
2. Zapoznanie studentów z metod¡ pomiaru wzgl¦dnej przenikalno±ci elektrycznej.
3. Wykonanie pomiaru pojemno±ci kondensatora powietrznego oraz kondensatora z die-
lektrykiem.
4. Analiza zebranych danych pomiarowych, bª¦dów pomiarowych oraz wykonanie odpo-
wiedniego wykresu wykresu w celu wyznaczenia przenikalno±ci elektrycznej materiaªu.
5. Oszacowanie niepewno±ci pomiarowych.
6. Sformuªowanie wniosków.
Wykaz przyrz¡dów niezb¦dnych do wykonania ¢wiczenia:
Rys. 1: Ukªad pomiarowy: 1 - okªadki kondensatora pªaskiego z regulacj¡ odlegªo±ci po-
mi¦dzy okªadkami za pomoc¡ ±ruby mikrometrycznej; 2 - multimetr cyfrowy; 3 - pªytki
dielektryczne.
Wykaz literatury podstawowej:
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy �zyki.
2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych.
3. I. Tarjan - Fizyka dla przyrodników.
4. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma.
5. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z �zyki.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
2
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
WPROWADZENIE DO �WICZENIA
Pole elektryczne jest to przestrze« wokóª ªadunku tj. ¹ródªa pola elektrycznego w której,
na inne umieszczone ªadunki dziaªa siªa elektrostatyczna. Pole elektryczne mo»emy zobra-
zowa¢ za pomoc¡ linii siª pola elektrycznego. W przypadku ªadunku punktowego linie te
b¦d¡ póªprostymi (pole centralne), wychodz¡cymi w ka»dym kierunku jak na rysunku 2.
W zale»no±ci od tego, jaki ªadunek rozpatrujemy, linie te b¦d¡ zwrócone �od ªadunku� w
przypadku ªadunku dodatniego lub �do ªadunku� w przypadku ªadunku ujemnego. Z liniami
siª pola elektrycznego jest zwi¡zany wektor nat¦»enia pola elektrycznego, który jest zawsze
styczny do linii siª pola o zwrocie zgodnym ze zwrotem linii siª pola. Warto±¢ nat¦»enia pola
Rys. 2: Linie pola oraz powierzchnie ekwipotencjalne ªadunku a) dodatniego, b) ujemnego.
elektrycznego w odlegªo±ci r od ªadunku punktowego jest opisana zale»no±ci¡
E =1
4πεoεr
|Q|r2, (1)
w której ε0 jest przenikalno±ci¡ elektryczn¡ pró»ni (teoretycznie ε0 = 8, 85 · 10−12 F/m), za±
εr jest wzgl¦dn¡ przenikalno±ci¡ dielektryczn¡ o±rodka. Zale»no±¢ 1 opisuje nam siª¦ elek-
trostatyczn¡ (Coulomba) dziaªaj¡c¡ na ªadunek umieszczony w tym polu. Nat¦»enie pola
elektrycznego jest wielko±ci¡ wektorow¡, wi¦c oprócz warto±ci musimy zna¢ równie» zwrot
wektora ~E.
Wygodniejsz¡ wielko±ci¡ opisuj¡c¡ pole elektryczne jest potencjaª elektryczny V , który in-
formuje nas o energii potencjalnej ªadunku q umieszczonego w polu ªadunku Q, do warto±ci
tego ªadunku, co mo»na zapisa¢ zale»no±ci¡
V =Epq
=1
4πεoεr
Q
r. (2)
Jednostk¡ potencjaªu elektrycznego jest wolt. Nale»y jednak pami¦ta¢, »e potencjaª mo»e
przyjmowa¢ zarówno warto±ci dodatnie (ªadunki dodatnie) lub ujemne (ªadunki ujemne). W
przypadku pola elektrycznego bezwirowego, które jest wytwarzane wokóª ªadunku punkto-
wego, istnieje zale»no±¢ pomi¦dzy nat¦»eniem pola elektrycznego a potencjaªem postaci
~E = −gradV = −~∇V, (3)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
3
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
w którym operator nabla (~∇), jest operatorem ró»niczkowym przeksztaªcaj¡cym pole ska-
larne w pole wektorowe. W przypadku pola jednorodnego zwi¡zek ten mo»na zapisa¢ w
postaci~E = −i d
drV, (4)
w której i wyró»nia nam pewien kierunek w przestrzeni. Z zale»no±ci 4 wynika, »e jednostk¡
nat¦»enia pola elektrycznego jest wolt na metr.
Je»eli ukªad skªada si¦ z wi¦kszej ilo±ci ªadunków, o rozkªadzie dyskretnym w celu wyznacze-
nia wypadkowego potencjaªu lub nat¦»enia pola elektrycznego, mo»na posªu»y¢ si¦ metod¡
superpozycji dla potencjaªów
Vw =n∑i=1
Vi, (5)
oraz nat¦»enia pola elektrycznego
~Ew =n∑i=1
~Ei. (6)
W przypadku ci¡gªego rozkªadu ªadunku, do wyznaczenia nat¦»enia pola elektrycznego
mo»na posªu»y¢ si¦ prawem Gaussa∮S
~E ◦ d~S =1ε0εr
∑i
Qi, (7)
które informuje, »e liczba linii siª pola elektrycznego przechodz¡ca przez dowoln¡ powierzch-
ni¦ zamkni¦t¡ (tzw. powierzchnia Gaussa), otaczaj¡ca ci¡gªy rozkªad ªadunków, jest równa
caªkowitemu ªadunkowi ograniczonemu przez t¡ powierzchni¡ podzielon¡ przez ε0εr. Prawo
to mo»na stosowa¢ to ka»dego rozkªadu ªadunku jak i mo»na wybiera¢ dowoln¡ powierzchni¦
Gaussa, jednak cz¦sto istnieje problem obliczenia caªki po lewej stronie.
Jednak w prosty sposób mo»na zastosowa¢ prawo Gaussa do niesko«czonej pªaszczyzny naªa-
dowanej jednorodnie z g¦sto±ci¡ powierzchniow¡ σ+ jak na rysunku 3. Dla sytuacji z rysunku
Rys. 3: Niesko«czona pªaszczyzna naªadowana ªadunkiem σ+ i jej nat¦»enie pola elektrycznego
wytwarzane w odlegªo±ci rod pªaszczyzny.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
4
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
3 speªniona jest równo±¢∮S
~E ◦ d~S =∮SE · dS = E
∮S
dS = 2ES =1ε0εr
σ+S, (8)
z której wynika, »e nat¦»enie pola elektrycznego w odlegªo±ci r od niesko«czonej pªaszczyzny
wynosi
E =σ+
2ε0εr. (9)
Nat¦»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci¡ 9 nie zale»y od odlegªo±ci r od pªyty. Poza
tym, wektor nat¦»enia pola elektrycznego jest zawsze prostopadªy do powierzchni pªaszczy-
zny, wi¦c pªaszczyzna wytwarza pole jednorodne.
Gdy rozwa»ymy dwie równolegªe niesko«czone pªaszczyzny odlegªe o d od siebie oraz naªa-
dowane ró»noimiennie z g¦sto±ci¡ powierzchniow¡ σ, wówczas nat¦»enie pola elektrycznego
b¦dzie ró»ne od zera wyª¡cznie pomi¦dzy pªaszczyznami i b¦dzie wynosi¢
E =σ
ε0εr. (10)
Rozwi¡zuj¡c równanie 4 oraz znaj¡c nat¦»enie pola elektrycznego opisane zale»no±ci¡ 10,
wyznaczymy napi¦cie pomi¦dzy dwoma pªaszczyznami, które wynosi
U = Ed. (11)
Nale»y pami¦ta¢, i» formuªa opisana wzorem 11 jest prawdziwa wyª¡cznie dla pola jedno-
rodnego.
Kondensator jest to ukªad dwóch przewodników rozdzielonych dielektrykiem, który sªu»y
do gromadzenia ªadunku. Zdolno±¢ do gromadzenia ªadunku jest opisana przez pojemno±¢
elektryczn¡ w postaci
C =Q
U, (12)
w którym Q jest ªadunkiem zgromadzonym na okªadce, a U ró»nic¡ potencjaªów pomi¦dzy
okªadkami kondensatora. Jednostk¡ pojemno±ci jest farad.
Rozwa»my kondensator pªaski, o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi¦dzy okªadkami d jak
na rysunku 4 Pojemno±¢ kondensatora pªaskiego zgodnie z równaniem 12, 11 i 10 wynosi
Rys. 4: Schemat kondensatora pªaskiego.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
5
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
C = ε0εrS
d. (13)
Poniewa» εr = 1 w pró»ni, a dla ka»dego innego medium przyjmuje warto±ci wi¦ksze od
jedno±ci, wi¦c umieszczenie dielektryka pomi¦dzy okªadkami powoduje zwi¦kszenie jego po-
jemno±ci. Pomimo, i» dielektryk nie posiada swobodnych no±ników ªadunku, mo»e on ulec
polaryzacji. W przypadku substancji polarnych - posiadaj¡cych trwaªy moment dipolowy
(polaryzacja orientacyjna), zewn¦trzne pole elektryczne d¡»y do ustawienia momentów di-
polowych cz¡steczek zgodnie ze swym kierunkiem, poprzez co w dielektryku powstaje pole
elektryczne przeciwstawiaj¡ce si¦ polu zewn¦trznemu. Stopie« polaryzacji jest uzale»niony od
zewn¦trznego pola elektrycznego i temperatury. W przypadku substancji niepolarnych mo»-
liwe jest zaindukowanie momentu dipolowego poprzez umieszczenie dielektryka w zewn¦trz-
nym polu elektrycznym. Pole zewn¦trzne mo»e powodowa¢ deformacj¦ chmury elektronowej
(polaryzacja elektronowa), lub przesuni¦cie jonów w strukturze substancji (polaryzacja jo-
nowa). Zaindukowane pole elektryczne przeciwdziaªa polu zewn¦trznemu, które je wywoªuje.
W wyniku tego wypadkowe pole elektryczne pomi¦dzy okªadkami maleje (¹ródªo napi¦cia
Rys. 5: a) Kondensator pªaski bez dielektryka podª¡czony do ¹ródªa napi¦cia; b) Kondensator z
umieszczonym dielektrykiem po odª¡czeniu od ¹ródªa napi¦cia; c) kondensator z umieszczonym
dielektrykiem podª¡czony do ¹ródªa zasilania.
odª¡czone), poprzez co maleje tak»e napi¦cie pomi¦dzy okªadkami. �adunek na okªadkach
pozostaje staªy, wi¦c pojemno±¢ kondensatora zgodnie z de�nicj¡ 12 wzrasta. W przypadku,
gdy okªadki kondensatora s¡ ci¡gle podª¡czone do ¹ródªa napi¦cia, musi nast¡pi¢ napªyw ªa-
dunku, aby skompensowa¢ zaindukowane pole elektryczne w dielektryku (napi¦cie pomi¦dzy
okªadkami musi by¢ staªe), co te» zgodnie z de�nicj¡ 12 prowadzi do zwi¦kszenia pojem-
no±ci. Pojemno±¢ kondensatora po wypeªnieniu caªkowicie dielektrykiem jest zawsze εr razy
wi¦ksza ni» kondensatora bez dielektryka i wynosi
Cd = εrC0. (14)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
6
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
PRZEBIEG �WICZENIA
Pierwszym krokiem ¢wiczenia jest ustalenie pozycji zero ±ruby mikrometrycznej, za po-
moc¡ której kontrolujemy odlegªo±¢ pomi¦dzy okªadkami. Nast¦pnie ustawiamy niezerow¡
odlegªo±¢ pomi¦dzy okªadkami kondensatora, po czym wª¡czamy multimetr cyfrowy. Dokonu-
jemy pomiarów pojemno±ci kondensatora powietrznego i wypeªnionego w peªni dielektrykiem
zgodnie z tabelami pomiarowymi oraz zgodnie ze wskazówkami prowadz¡cego zaj¦cia.
Zadania
1. Zmierzy¢ pojemno±¢ C0 kondensatora powietrznego w funkcji odlegªo±ci pomi¦dzy
okªadzinami.
2. Zmierzy¢ pojemno±¢ Cd kondensatora wypeªnionego kompletnie badanym dielektry-
kiem w funkcji odlegªo±ci pomi¦dzy okªadzinami.
4. Narysowa¢ wykres zale»no±ci C0 oraz Cd od 1/d wraz z niepewno±ciami.
5. Wyznaczy¢ przenikalno±¢ dielektryczn¡ powietrza oraz wzgl¦dn¡ przenikalno±¢ elek-
tryczn¡ εr badanego materiaªu metod¡ regresji liniowej.
6. Wyznaczy¢ pojemno±ci monta»owe Cm dla kondensatora powietrznego i wypeªnianego
dielektrykiem.
OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH
W do±wiadczeniu dokonywali±my pomiaru pojemno±ci kondensatora C0 i Cd oraz odle-
gªo±ci pomi¦dzy okªadzinami d zgodnie z równaniem
C = ε0εrS
d. (15)
Z wyników pomiarów mo»emy wyznaczy¢ przenikalno±¢ dielektryczn¡ powietrza oraz dielek-
tryka sprowadzaj¡c równanie 15 do równania liniowego postaci
y(x) = ax+ b, (16)
w którym y = C, x = 1/d, a = Sε0εr. W wyrazie wolnym b jest zawarta informacja o pojem-
no±ci ukªadu. Jednak w wyniku pomiarów uzyskali±my wspóªrz¦dne punktów pomiarowych
xi i yi wraz z ich niepewno±ciami maksymalnymi ∆xi i ∆yi. Po naniesieniu punktów po-
miarowych wraz z niepewno±ciami na wykres, powinni±my zauwa»y¢ ukªadanie si¦ punktów
pomiarowych wzdªu» prostej. Najlepiej dopasowana prosta do punktów pomiarowych (xi, yi),
to taka , która przechodzi mo»liwie �najbli»ej� wszystkich punktów pomiarowych. Narzuca
do warunek, aby suma kwadratów odchyªek warto±ci dopasowanych y(xi) do zmierzonych yi
byªa minimalna i speªniaªa warunek
n∑i=1
[yi − (axi + b)
]2= min . (17)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
7
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Zgodnie z równaniem 17 minimum funkcji wyznaczymy licz¡c pochodne cz¡stkowe tej funkcji
i przyrównanie je do zera. Otrzymamy do rozwi¡zania ukªad równa« postaci∂
∂a
n∑i=1
[yi − (axi + b)
]2= 0
∂
∂b
n∑i=1
[yi − (axi + b)
]2= 0.
(18)
Po rozwi¡zaniu ukªadu równa« 18 otrzymamy warto±¢ parametru a postaci
a =
n∑i=1
xin∑i=1
yi − nn∑i=1
xiyi( n∑i=1
xi)2− n
n∑i=1
x2i
, (19)
oraz b, który wynosi
b =
n∑i=1
xin∑i=1
xiyi −n∑i=1
yin∑i=1
x2i( n∑i=1
xi)2− n
n∑i=1
x2i
. (20)
Warto±ci¡ oczekiwan¡ wielko±ci mierzonej w eksperymencie jest ±rednia arytmetyczna z n
pomiarów, wi¦c wzór 19 mo»emy przedstawi¢ nast¦puj¡co
a =xy − x · y
x2 −(x)2 , (21)
a b mo»emy wyliczy¢ z zale»no±ci
b = y − ax. (22)
Znaj¡c warto±ci a i b mo»emy nanie±¢ nasz¡ prost¡ na wykres, na którym znajduj¡ si¦ za-
znaczone punkty pomiarowe wraz z niepewno±ciami. Dobrze dopasowana zale»no±¢ liniowa
do punktów pomiarowych powinna mie¢ tyle samo punktów pomiarowych �nad� jak i �pod�
dopasowan¡ prost¡ oraz przechodzi¢ przez co najmniej 68% sªupków bª¦dów. Je»eli powy»-
sze warunki nie s¡ speªnione to mo»emy podejrzewa¢, i» badana zale»no±¢ nie jest liniowa
b¡d¹ podczas pomiaru zostaªy zani»one warto±ci niepewno±ci pojedynczego pomiaru. Nale»y
jednak mie¢ na uwadze, »e dopasowane parametry prostej a i b s¡ tak»e obarczone niepewno-
±ci¡. Jest to odchylenie standardowe, które zgodnie z prawami statystyki dla wspóªczynnika
a wynosi
Sa =
√√√√√ 1n− 2
y2 − axy − by
x2 −(x)2 , (23)
natomiast Sb mo»emy wyznaczy¢ z zale»no±ci
Sb = Sa
√x2. (24)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
8
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Aby ustali¢, czy badana wspóªzale»no±¢ jest liniowa nale»y wyznaczy¢ wspóªczynnik korelacji
liniowej r dla serii pomiarów postaci
r =xy − x · y√[
x2 − (x)2][y2 − (y)2
] . (25)
Wspóªczynnik korelacji liniowej r zawiera si¦ w przedziale −1 ¬ r ¬ 1. Korelacja jest
tym wi¦ksza im warto±¢ bezwzgl¦dna z |r| zmierza do jedno±ci. W tablicy statystycznej
na ostatniej stronie zostaªy podane graniczne warto±ci r w zale»no±ci od liczby pomiarów i
poziomu istotno±ci, od których wzwy» mo»na wnioskowa¢ o istnieniu istotnej wspóªzale»no±ci
pomi¦dzy badanymi wielko±ciami.
Dopasowanie prostej do danych pomiarowych mo»emy tak»e wykona¢ metod¡ gra�czn¡.
W tym celu nale»y narysowa¢ prost¡ przechodz¡c¡ przez mo»liwie najwi¦ksz¡ ilo±¢ sªupków
pomiarowych, przy czym poªowa punktów pomiarowych powinna znajdowa¢ si¦ nad prost¡,
a druga poªowa punktów pomiarowych pod prost¡. Odczytujemy z wykresu wspóªczynnik a
jako tangens nachylenia prostej oraz wspóªczynnik b jako przeci¦cie z osi¡ odci¦tych. W celu
wyznaczenia niepewno±ci maksymalnych ∆a i ∆b wielko±ci a i b nale»y przeprowadzi¢ dwie
skrajne proste o minimalnym i maksymalnym k¡cie nachylenia jak na rysunku 6, dla których
speªniona jest jeszcze metoda regresji liniowej. Wówczas warto±¢ niepewno±ci maksymalnej
Rys. 6: Metoda regresji liniowej wykonana metod¡ gra�czn¡.
∆a mo»e by¢ oszacowana jako
∆a =amax − amin
2, (26)
natomiast ∆b jako
∆b =bmax − bmin
2, (27)
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
9
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
SPRAWD� CZY ROZUMIESZ - ZADANIA PROBLEMOWE
1. Mi¦dzy okªadki pªaskiego powietrznego kondensatora o pojemno±ci C, poª¡czonego z
akumulatorem o sile elektromotorycznej SEM , wprowadzono dielektryk o wzgl¦dnej
przenikalno±ci εr. O ile zmieni si¦ ªadunek kondensatora i nat¦»enie pola elektrycznego
mi¦dzy okªadkami?
2. Dwa kondensatory o pojemno±ci C1 i C2 naªadowano odpowiednio do napi¦cia U1 i
U2, a nast¦pnie po odª¡czeniu od ¹ródªa, poª¡czono przewodnikami okªadki jednego
kondensatora z przeciwnie naªadowanymi okªadkami drugiego kondensatora. Znale¹¢
ªadunki Q1 i Q2 na okªadkach ka»dego z kondensatorów po poª¡czeniu.
3. Do kondensatora pªaskiego o polu powierzchni S i odlegªo±ci pomi¦dzy okªadzinami d
wsuni¦to materiaª o staªej dielektrycznej εr jak na rysunku 7a i 7b. Jak¡ pojemno±¢
posiadaj¡ te ukªady po wsuni¦ciu dielektryka?
Rys. 7: Rysunek do zadania problemowego nr 3.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
10
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW
�WYZNACZANIE STA�EJ DIELEKTRYCZNEJ
METOD� KONDENSATOROW��
................................................. ......................................
nazwisko i imi¦ data wykonania
1) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora powietrznego
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C0i[ ]
di[ ]
2) Wyznaczenie pojemno±ci kondensatora wypeªnionego caªkowicie dielektrykiem
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CdF i[ ]
di[ ]
Wspóªczynniki do niepewno±ci odczytu pojemno±ci z miernika cyfrowego - dane producenta:
c1 = ............(zakres:............); c2 = ............(pomiar);
�rednica okªadek kondensatora:
φ1 = ............
..............................................
podpis prowadz¡cego zaj¦cia
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
11
Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�
Tabela wzgl¦dnych przenikalno±ci dielektrycznych ró»nych materiaªów.
Tabela krytycznych warto±ci wspóªczynnika korelacji r(n;α) dla ró»nych pozio-
mów istotno±ci α oraz liczby pomiarów n.
Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie staªej dielektrycznej metod¡ kondensatorow¡�.
12