prob distribution nk2557 - kku web hosting · 1...

1

การแจกแจงความนาจะเปน

(Probability Distribution)

ผศ. นคม ถนอมเสยง

ภาควชาชวสถตและประชากรศาสตร

คณะสาธารณสขศาสตร ม.ขอนแกน

Email: [email protected]

After studying this chapter,

1. understand selected discrete distributions and how to

use them to calculate probabilities in real-world problems.

2. understand selected continuous distributions and how to

use them to calculate probabilities in real-world problems.

3. be able to explain the similarities and differences between

distributions of the discrete type and the continuous type

and when the use of each is appropriate.

2


-การแสดงความนาจะเปนของคาทเปนไปไดทกคา

ของตวแปรสม

-แสดงในรป ตาราง, กราฟ, ฟงกชนทางคณตศาสตร

ตวแปรทสนใจของหนวยสงเกต เชนเพศของบคคล

เมอ หนวยสงเกตถกสม ตวแปรทสนใจเรยกวา “ตวแปรสม”

ตวแปรสม x 1=male

0=female

การแสดงความนาจะเปนเชน

สมมต มประชากร 2 คน เปนโรคฟนพ 1 คน D+

ไมผ 1 คน D-

-สมแลวใสคน 2 ครง

โอกาสทสมแตละครง ไดคนฟนพ =1/2 ฟนไมผ =1/2

เมอสม 2 ครง โอกาสพบฟนผ, ไมผ ไดแก

D+D+, D+D-, D-D+, D-D-

กฎความนาจะเปน

Pr(A and B) = Pr(A) x Pr(B)

Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B)

3

P(X=2) = P(D+D+) =

P(X=1) = P(D+D-)+P(D-D+) =

P(X=0) = P(D-D-) =

41

21

x21

4

2

2

1x2

1

2

1x2

1

41

21

x21

ความนาจะเปนในการเกดเหตการณ

ตวแปรสมทสนใจ คอ ฟนผ (X)

ถาใหการสมไดผปวยฟนผทงสองคน =2 (X=2)

หนงคน=1 (X=1) ศนยคน=0 (X=0)

ความนาจะเปน

กฎความนาจะเปน

Pr(A and B) = Pr(A) x Pr(B)

Pr(A or B) = Pr(A) + Pr(B)

แสดงในรปตาราง X ความนาจะเปน

0 1/4

1 2/4

2 1/4

กราฟ

ฟงกชนทางคณตศาสตร

2;4

1

1,0;4

1

xx

xx

f(x)

4


1. การแจกแจงความนาจะเปนไมตอเนอง

ไดแก การแจกแจงแบบทวนาม (binomial distribution)

การแจกแจงแบบปวซงค (Poisson distribution)

การแจกแจงแบบ Multinomial distribution

ฯลฯ

2. การแจกแจงความนาจะเปนตอเนอง

เชน การแจกแจงแบบปกต (Normal distribution)

การแจกแจงแบบท (t distribution)

การแจกแจงแบบเอฟ (F distribution)

การแจกแจงแบบไครสแควร (Chi-Square distribution)

ฯลฯ

ประเภทการแจกแจงความนาจะเปนการเกดเหตการณ

1. การแจกแจงความนาจะเปนตวแปรไมตอเนอง

เชน ปวย ไมปวย, หาย ไมหาย

2. การแจกแจงความนาจะเปนตวแปรตอเนอง

เชน อาย นาหนก ความดนโลหต sysBP

5

การแจกแจงความนาจะเปนตวแปรไมตอเนอง

คณสมบต

1. f(x) = P(X=x)

คาฟงกชนของตวแปรสม x มคาเทากบ

ความนาจะเปนท X มคาเทากบ x

2. ทกคาของ x

3. xall xall

x)P(Xf(x) 10)( xf


-การแจกแจงแบบทวนาม

-การแจกแจงแบบปวซงค

nxppx

nxXPxf xnx ...,,2,1,0;)1()()(

...,2,1,0;!

)()(

xx

exXPxf

x

6


1. f(x) = P(X=x) คาฟงกชนของตวแปรสม x มคาเทากบ


ตวอยาง อบตการณของฟนผในเดกมคาเทากบ 10% บรษทยาสฟน

ตองการทดสอบยาสฟนวาไดผลในการปองกนฟนผ โดยให

ทดลองใชยาสฟนกบเดกกลมหนง 20 คนหลงจากนน 1 ป พบ

เดกฟนผ 1 คน บรษทยาสฟนจะโฆษณาวายาสฟนไดผลด

หรอไม

-การเกดฟนผ มการแจกแจงแบบทวนาม

nxppx

nxXPxf xnx ...,,2,1,0;)1()()(

-การเกดฟนผ มการแจกแจงแบบทวนาม

392.270.122.

)90)(.10(.1

2090.

)10.1()10(.1

20)10.1()10(.

0

20

)1()0()1()(

1220

12010200

xPxPXPxf

การเกดฟนผ หลงใชยาสฟน 1 ปมความนาจะเปนเทากบ .39 หรอ

39% (มากกวาการเกดฟนผ ตามปกต)

7

X f(x)=P(X=x)0 .121571 .270172 .285183 .190124 .0897795 .0319216 .0088677 .00197058 .00035589 .000052710 6.44e-0611 6.51e-0712 5.42e-0813 3.71e-0914 2.06e-1015 9.15e-1216 3.18e-1317 8.22e-1518 2.22e-1619 020 0Total 1

1. f(x) = P(X=x)

คาฟงกชนของตวแปรสม x มคาเทากบ



3. xall xall

x)P(Xf(x) 10)( xf

0.1

.2.3

Pr(

y)

0 5 10 15 20x

pi = 0.1

X f(x)=P(X=x)0 .121571 .270172 .285183 .190124 .0897795 .0319216 .0088677 .00197058 .00035589 .000052710 6.44e-0611 6.51e-0712 5.42e-0813 3.71e-0914 2.06e-1015 9.15e-1216 3.18e-1317 8.22e-1518 2.22e-1619 020 0Total 1

0.1

.2.3

Pr(

y)

0 5 10 15 20x

pi = 0.1

. di binomial(20,0,.1)

.12157665

. di binomial(20,1,.1)-binomial(20,0,.1)

.27017034


.28517981


.19011987

8

. bitesti 20 1 0.10N Observed k Expected k Assumed p Observed p

------------------------------------------------------------20 1 2 0.10000 0.05000

Pr(k >= 1) = 0.878423 (one-sided test)Pr(k <= 1) = 0.391747 (one-sided test)Pr(k <= 1 or k >= 3) = 0.714820 (two-sided test)

วเคราะหโดย STATA

- ความนาจะเปนทพบฟนผ อยางนอย 1 คน

392270122

(.10)(.90)1

20.90

.10)(1(.10)1

20.10)(1(.10)

0

20

101

1220

12010200

...

)P(x)P(x)P(Xf(x)


การแจกแจงทวนาม (binomial)

1. การเกดเหตการณเปนอสระตอกน

2. การเกดเหตการณ ใหผลลพธ อยางใดอยางหนง

สาเรจหรอไมสาเรจ

3. ความนาจะเปนของความสาเรจมคาคงทเทากบ p

ความนาจะเปนของความไมสาเรจมคาคงทเทากบ 1- p

ฟงกชนการแจกแจงทวนาม (binomial)

เขยนฟงกชน ดวยสญลกษณ X ~ b(n,p) หรอ X ~ b(x; n, p)

,...n,,;xp)(px

nf(x) xnx 2101

9

ลกษณะการแจกแจงทวนาม (binomial)

1. มพารามเตอร 2 ตวไดแก N, 2. คาเฉลย = N3. ความแปรปรวน = N(1-)

4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน =

5. ลกษณะการแจกแจงขนอยกบ N, เมอ n นอย ลกษณะการแจกแจงทพบ

นอย การแจกแจง เบทางบวก

= .5 การแจกแจงสมมาตร

มาก การแจกแจง เบทางลบ

เมอ N มาก ลกษณะการแจกแจงแบบสมมาตร

)1( N

0.1

.2.3

.4F

(x)

0 1 2 3 4 5x

pi = 0.3

0.1

.2.3

F(x

)

0 1 2 3 4 5x

pi = 0.5

0.1

.2.3

.4F

(x)

0 1 2 3 4 5x

pi = 0.7

0.0

5.1

.15

.2F

(x)

0 5 10 15 20x

pi = 0.3

0.0

5.1

.15

.2F

(x)

0 5 10 15 20x

pi = 0.5

0.0

5.1

.15

.2F

(x)

0 5 10 15 20x

pi = 0.7

0.0

5.1

.15

F(x

)

0 10 20 30 40 50x

pi = 0.3

0.0

5.1

F(x

)

0 10 20 30 40 50x

pi = 0.5

0.0

5.1

.15

F(x

)

0 10 20 30 40 50x

pi = 0.7

n=5 n=20 n=50

10

การแจกแจงปวซอง (Poisson Distribution)

-การแจกแจงปวซอง ตงชอตามนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส

ชอ Simeon Denis Poisson

ถาให x เปนจานวนเหตการณทเกดขนในชวงเวลาใดเวลาหนง

ความนาจะเปนของเหตการณทเกดขนไดแก

71822210 .,...;e,,;xx!

λef(x)

nλ

= คาเฉลยของจานวนครงของเหตการณทเกดขนในชวงเวลา

เขยนสญลกษณ X ~ p( ) หรอ X ~ P(x; )

ลกษณะของการแจกแจงแบบปวซอง

1. เหตการณทเกดขนเปนอสระตอกน โดยทเหตการณท

เกดขนในชวงใดชวงหนงหรอเวลาใดเวลาหนง

จะไมมผลตอความนาจะเปนของการเกดเหตการณ

ในชวงอนๆ หรอเวลาอนๆ

2. ในชวงใดชวงหนงมจานวนเหตการณทเกดขนอยางไมจากด

3. ความนาจะเปนของการเกดเหตการณในชวงใดๆ

เปนสดสวนกบความยาวของชวงทงหมด

4. ในชวงเวลาสน ความนาจะเปนของการเกดเหตการณ

จะมคานอย

11

ลกษณะของการแจกแจงแบบปวซอง

1. มพารามเตอร 1 ตวไดแก

2. คาเฉลย = ความแปรปรวน =

3. สวนเบยงเบนมาตรฐาน =

0.1

.2.3

.4P

r(y)

0 5 10 15 20y

Lambda = 1

0.0

5.1

.15

.2.2

5P

r(y)

0 5 10 15 20y

Lambda = 3

0.0

5.1

.15

Pr(

y)

0 5 10 15 20y

Lambda = 9

ตวอยาง การเกดอบตเหตถนนมตรภาพ ชวงระหวางประตเขา

มหาวทยาลยขอนแกน กบโรงพยาบาลศรนครนทร

โดยรถจกรยานยนตในชวง 1 สปดาห พบวาเกด

อบตเหต 2 ครง

1. ใหหาคาความนาจะเปนของการไมเกดอบตเหตในชวง 1 สปดาห

วธทา

จากโจทยมคา = 2

1. ใหหาคาความนาจะเปนของการไมเกดอบตเหตในชวง 1 สปดาห

p(x) =

p(0) = = .1353

!x

e n

!0

2 20 e

.display 1-gammap(0+1,2) หรอ

.display poissonp(2,0).13533528

12

2. ใหหาคาความนาจะเปนการเกดอบตเหต 3 ครงในชวง 2 สปดาห

ชวง 2 อาทตยมการเกดอบตเหตเทากบ 2(2) = 4

ดงนนความนาจะเปนเทากบ p(x 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

.19543!e4

p(3) .1465;2!e4

p(2)

.07331!e4

p(1) ; .01830!e4

p(0)

4342

4140

ดงนน p(x 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

= .0183 + .0733 + .1465 + .1954

= .4335

.display 1-gammap(4,4) หรอ

.display poisson(4,3)

.43347012

การแจกแจงความนาจะเปนตวแปรตอเนอง

คณสมบต


2. พนทใตโคง f(x) ทงหมดคอ

ความนาจะเปนของทกคาของ x มคาเทากบ 1

3. P(X=a) =0 เมอ a=คาคงท

ความนาจะเปนของ X ทมคาเทากบคาคงท

มคาเทากบ 0

1f(x)dx

b)XP(ab)XP(a

b)XP(ab)XP(a

0)( xf

13

F(x)

a bX

b)XP(a

พนทใตโคง f(x) ทงหมดคอความนาจะเปนของทกคาของ x

มคาเทากบ 1 ( ถง )

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรตอเนอง-การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution)

-คดโดย Abraham De Moivre

-Karl Friedrick Gauss (1774-1855) เผยแพร

และใชอยางกวางขวาง เรยกชอ Gaussian

x

14

การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรตอเนองฟงกชนการแจกแจงแบบปกต

และ e เปนคาคงทมคา 3.1459 และ 2.71828

คาเฉลย

สวนเบยงเบนมาตรฐาน

เขยนสญญลกษณ X ~ n( )

2/22)(xe

2

1f(x)

σμπ

μσ

2,

คณสมบตการแจกแจงแบบปกต

-รปโคงระฆงควาดานซายและขวาของ มความเทากน

(mirror image) (สมมาตรรอบคาเฉลย )

-ปลายทงสองขางของโคงคอยๆ ลาดลงสแกน x จรดแกน x

ทอนนท

-มจดเปลยนเวาท

-คาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม มคาเทากน เมอลากเสนจาก

ยอดโคงตงฉากกบแกน x

-พนททงหมดใตโคงเหนอแกน x หรอ

คาความนาเปนของพนทเทากบ 1

μ

x

15

x

-เมอแบงโคงโดยลากเสนตงฉากจากยอดถงแกน x

ระยะหางจากคาเฉลยทงสองขางเปนดงน

1 หนวย SD พนทใตโคงเทากบ 68.26%



2 2

.zdemo -1 -2 -3 0 +1 +2 +3

16

-ความแตกตางของการแจกแจงแบบปกต ขนอยกบ

คา และ

เมอคา แตกตางกน ตาแหนงบนแกน x แตกตาง

μ σ

μ

1μ

2μ x

zdemo2 50 10 60 10

zdemo2 50 10 50 5 zdemo2 50 10 50 10

17

ถาคา ตางกน ความแบนราบและความโดงแตกตางσ

1σ

2σ

3σ

4σ5σ6σ

x

การแจกแจงปกตมาตรฐาน

Standard Normal Distribution

-เปนการแจกแจงปกตทมคาเฉลยเทากบ 0

และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 1

-บางครงเรยก unit normal distribution

Z

0

σ=1Z~N(0,1)

18

การแจกแจงปกตมาตรฐาน แปลงไดจาก

คาตวแปรสมดงน

σ

μxz i

μσ

X Z

50 -1.55

60 -0.77

70 0.00

80 0.77

90 1.55

70.00 0.00

12.91 1

ฟงกชนการแจกแจงปกตมาตรฐาน

/22ze2π

1f(x)

และ e เปนคาคงทมคา 3.1459 และ 2.71828

Z คามาตรฐาน

ใชคานวณความนาจะเปนใตโคงปกต

Z~N(0,1)

19

คา Z มความสาคญ เพราะเมอทราบคา Z

สามารถหาคาความนาจะเปนได

เชน Z = 1.96 มคาความนาจะเปนเทากบ 0.025

Z = -1.96 มคาความนาจะเปนเทากบ 0.025

-1.96 1.96

การเปดหาคาความนาจะเปนจากตาราง

Normal Distribution

(A) (B) (C)

Z Area Between Mean & Z Area Beyond Z

1.9500 0.4744 0.0256

1.9600 0.4750 0.0250

1.9700 0.4756 0.0244

Z-1.96 1.96

20

การใชโปรแกรม STATA หาคาความนาจะเปน

Normal Distribution

. display normprob(1.96) หรอ

. di normal(1.96)

.9750021

. display 1-normprob(1.96) หรอ

. di 1-normal(1.96)

.0249979

. display normprob(-1.96) หรอ

. di normal(-1.96)

.0249979

0 1.96di normal(0).5

ตวอยาง คา CHOL ประชากร ~N(0,1)

ม = 200 mg/100ml = 20 mg/100ml

จงหาความนาจะเปนทคน คนหนงคนจากประชากร

มคา CHOL

1. x ระหวาง 180 ถง 200

2. x>225

3. x<150

μ σ

21

1. ระหวาง 180 ถง 200

P(180<X<200) = P[(180-200)/20]<Z< [(200-200)/20]

=P(-1<Z<0) = 0.3414

. di normal((200-200)/2)

.5

. di normal((180-200)/20)

.15865525

. di .5-.15865525

.34134475

. di normal((200-200)/20)-normal((180-200)/20)

.34134475

นามาลบกน

2. x> 225 mg/100ml

P(X>225) = P[Z> [(225-200)/20]

=P(Z>1.25) = 0.1056

. di 1-normal((225-200)/20)

.10564977

22

3. X< 150 mg/100ml

P(X<150) = P[Z< [(150-200)/20]

=P(Z<-2.5) = 0.0062

. di normal((150-200)/20).00620967

การหาคา Z เมอทราบคา Probability Value

1. P(Z>Z1) = 0.1056

2. P(Z<Z1) = 0.025

3. P(Z>Z1) = 0.05

1. P(Z>Z1) = 0.1056

. di invnormal(1-.1056)1.2502726

23

2. P(Z<Z1) = 0.025

. di invnormal(.025)-1.959964

3. P(Z>Z1) = 0.05

. di invnormal(1-0.05)1.6448536

prob distribution nk2557 - kku web hosting · 1...

Documents