programa eiq-342-05

8/18/2019 Programa EIQ-342-05

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Escuela de Ingeniería Química

Termodinámica General

EIQ 342

1er Semestre 2015

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Balances de Materia

• Balances de Materia en Estado no Estacionario.

– Nos interesa conocer el valor de la variable dependiente en función

del tiempo. El término de estado no estacionario se refiere a los

procesos en los que las cantidades o las condiciones de operacióndentro del sistema cambian con el tiempo. Usaremos

indistintamente los términos de proceso dinámico o proceso

transitorio.

EIQ –

342 Termodinámica General –

Mg.Cc. ICQ. Enrique Cortés Toro

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Balances de Materia


– En general, los problemas que implican procesos en estado no

estacionario son más difíciles de formular y resolver que

aquellos en los que intervienen procesos en estado estacionario.Son muchos los problemas industriales que pertenecen a esta

categoría:

• Puesta en marcha de un equipo

• Calentamiento en reacciones batch (por lotes)

•

Modificación de las condiciones de operación• Perturbaciones producto de fluctuaciones en las condiciones de un proceso

EIQ –



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Balances de Materia


– Los balances se plantean en función del tiempo, ya sea para

representar el comportamiento de un equipo batch o bien para

analizar los cambios que ocurren durante la transición de unestado estacionario a otro.

EIQ –



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Balances de Materia


– El modelo matemático está constituido por un sistema de

ecuaciones diferenciales ordinarias cuya variable diferencial es el

tiempo (modelo macroscópico o basado en parámetrosenglobados) o un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales, que abarca tanto las coordenadas espaciales (p.e. x, y, z )

como la variable tiempo (modelo microscópico o basado en

parámetros distribuidos).

EIQ –



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Balances de Materia


– Balance macroscópico.

• I gnora todos los detal les de un sistema y por tanto equivale a un balance

alrededor de todo el sistema.• La var iable independiente es el tiempo .

• Las vari ables dependientes , como la concentración y la temperatura, no sonfunciones de la posición, sino que representan promedios globales queabarcan todo el volumen del sistema.

• Se supone que el sistema está bien mezclado por lo que las composiciones y

temperaturas de salida son equivalentes a las composiciones y temperaturasdentro del sistema .

EIQ –



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Balances de Materia



– Esta ecuación puede aplicarse a la masa de una sola especie o a la

masa total de materia del sistema.

acumulación(aumento odisminución)dentr o delsistema

=

transportehacia elsistema a

través de sufrontera

-

transportehacia afueradel sistema através de sufrontera

+

generacióndentr o delsistema

-

consumodentr o delsistema

Ec. 1

EIQ – 342 Termodinámica General – Mg.Cc. ICQ. Enrique Cortés Toro

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Balances de Materia



Frontera

Transporte

de salida

Transporte

de entrada

Generación

(fuente)

Consumo

(sumidero)

1 2


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Balances de Materia



• Consideremos un incremento de tiempo Dt . Asimismo, consideremos una

acumulación positiva (aumento) durante este intervalo de tiempo, es decir, de t a t + Dt .

• El balance de masa para el componente A será:

•

Donde = masa de A por unidad de volumen, p.e. kg A/m 3

, y V =volumen del sistema. El símbolo |t o |t + Dt significa que r AV se evalúa en eltiempo t o en el tiempo t + Dt , según corresponda.

t At t A V V || r r Dacumulación


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Balances de Materia



• Dividiremos el transporte de masa a través de la frontera del sistema en dos

partes: – El transporte a través de la frontera del sistema por medio de las

superficies definidas S 1 y S 2, cuyas áreas se conocen y

– El transporte a través de la frontera del sistema por medio de otras

superficies (no definidas).


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Balances de Materia



• Transporte a través de las superficies definidas:

• Donde u = velocidad lineal en un ducto de sección transversal S y S = áreade la sección transversal perpendicular al flujo de materia.

21|| S AS A t uS t uS DD r r

flujo neto a través de

la frontera por S 1 y S 2


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Balances de Materia



• Transporte a través de las superficies no definidas:

• Donde velocidad de flujo másico de A, p.e. kg /s , (a través de lafrontera del sistema) que no pasa por las superficies definidas.

t w AD flujo residual neto a través de

la frontera por otras superficies

Aw


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Balances de Materia



• Por último, supondremos que el término de (generación – consumo) neto,

dentro del sistema, se debe a una reacción química:

• Donde velocidad neta de generación – consumo de A, p.e. kg A/s, debida a la reacción química.

t r AD flujo neto generación – consumo

Ar


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Balances de Materia



• Introduciendo todos estos términos en laEc. 1, obtenemos la Ec. 2, el balance

de materia de la especie A:

t r t wt uS t uS V V A AS AS At At t A DDDDD 21 |||| r r r r

acumulación



flujo residual neto a través de


flujo neto

generación – consumo

Ec. 2

Balance de materia

de la especie A


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Balances de Materia



• El balance total de mater ia produce la Ec. 3:

t wt uS t uS V V S S t t t DDDD 21 |||| r r r r



flujo residual neto a través de


Ec. 3

Balance total de materiaacumulación


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Balances de Materia



• Dividiendo la Ec. 2 (balance de materia de la especie A) por Dt obtenemos:

• Y dividiendo también la Ec. 3 (balance total de materia) por Dt obtenemos:

A AS AS At At t A r wuS uS

t

V V

DD

21||

|| r r

r r Ec. 4

wuS uS

t

V V S S

t t t

D

D21

||||

r r r r

Ec. 5


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Balances de Materia



• Tomando límites con Dt tendiendo a 0, obtenemos las siguientes ecuaciones

diferenciales :

A A A

A r wuS dt

V d D r

r

wuS

dt

V d D r

r Ec. 7. Balance total de mater ia

Ec. 6. Balance de mater ia para A


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Balances de Materia



• Puede ser bastante difícil resolver analíticamente una de estas ecuaciones

generales, o cualquier combinación de ellas.• En este curso restringiremos nuestro análisis a casos sencillos.

• En la resolución de problemas en estado no estacionario, podemos plantear la

ecuación como en las ecuaciones 2 o 3, o utilizar directamente las ecuaciones

diferenciales 6 o7.

• Para completar la formulación del problema será necesario incluir unvalor

conocido de la variable dependiente (o de su derivada) en un instanteespecificado, por lo regular la condición in icial .


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Balances de Materia


– Actividad N°16. Balance de materia en estado no estacionario sin

generación – consumo neto.

– Un tanque contiene 100 galones de una disolución de 4.0 lb de salen agua. Entra agua en el tanque a razón de 5 gal/min y la

disolución de sal se desborda con la misma velocidad. Si el

mezclado en el tanque es suficiente para mantener la concentración

de sal en el tanque uniforme en todo momento, ¿cuánta sal habrá

en el tanque al término de 50 min?. Suponga que la densidad de ladisolución de sal es prácticamente la misma que la del agua


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Balances de Materia




– Solución.

– 1. Hacer un dibujo y anotar los datos conocidos.

100 gal de

disolución

(4.0 lb sal)

5 gal /min

Agua pura

0 lb sal /gal

5 gal /min

Disolución


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Balances de Materia




– 2. Escoger las variables independientes y dependientes.• Variables independientes: el tiempo, t .

• Variables dependientes: la concentración de sal en el estanque, c.

– 3. Escribir la condición inicial.

• En t = 0, c = 4.0 lb/100 gal = 0.040 lb/gal .

– 4. Plantear las ecuaciones.


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Balances de Materia




– Balance total de materia:

wuS

dt

V d D r

r

Si suponemos que no hay flujo residual neto (a través de la frontera) por otras superficies,


EntradaSalida EntradaSalida uS uS

dt

V d

w

||||

0

r r r r r

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Balances de Materia




– Puesto que la densidad de la disolución de sal es prácticamente la

misma que la del agua (otra suposición), podemos decir que,

min gal uS

uS uS dt

V d

EntradaSalida

EntradaSalida EntradaSalida

5

||||

r r r r r

r r r Agua Disolución


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Balances de Materia




– Por lo que,

– Esta ecuación nos dice que la masa total de disolución en el

sistema permanece constante, en otras palabras, que el flujo

(másico) de agua que entra es igual al flujo (másico) de la

disolución que sale del tanque.

055|||| r r r r r r

r

EntradaSalida EntradaSalida uS uS dt

V d


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Balances de Materia




– Balance para la sal (A):

– Nota: Ahora, se refiere a la concentración y no a la

densidad.

– Puesto que el término de generación – consumo neto es cero,

A A A

A r wuS dt

V d D r

r


0 Ar

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Balances de Materia




– Si suponemos que no hay flujo residual neto de A (a través de lafrontera) por otras superficies

– también es cero

Entrada ASalida A A

A

A

uS uS uS dt

V d

y

w

||

0

r r r

r

D


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Balances de Materia




– El término r AuS |Entrada = 0, puesto que la concentración de sal en laentrada es 0 lb/gal ( r A|Entrada = 0), es decir, fluye agua pura.

– Por tanto, la ecuación diferencial se reduce a:

Salida ASalida A

A uS

dt

V d || r r

r


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Balances de Materia




– Como

A A

A A

A A

dt

d

o

dt

d

dt

d

r r

r r

r r

05,0

05,05100

gal V ymin gal uS EntradaSalida 1005


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Balances de Materia




– 5. Resolver la ecuación (o el sistema de ecuaciones).

– Separando variables, la ecuación anterior queda:

–

Integrando,

dt d

A

A 05,0 r

r

5,205005,004,0

ln05.0min50

004,0

A

t

A

A dt d A r

r

r r


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Balances de Materia




– Habrán 0,328 lb de sal al cabo de 50 min .

lb gal

gal

lbV m

gal lb

e

A A

A

A

328,0100

1

00328,0

00328,0

082085,004,0

5,2

r

r

r


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Balances de Materia


– Actividad N°17. Balance de materia en una destilación por lotes.

• Un destilador pequeño está separando propano y butano a 135°C ; en un

principio contiene 10 kgmol de una mezcla cuya composición es x = 0.30,donde x es la fracción molar de butano. Se alimenta mezcla adicional ( x F =

0.30) a razón de 5 kgmol/h. Si el volumen total del líquido en el destilador es

constante y la concentración del vapor del destilador ( x D) está relacionada con

xS como sigue:

a. ¿Cuánto tardará el valor de xS en cambiar de 0.3 a 0.4?

b. ¿Cuál será el valor de estado estacionario (equilibrio) de xS en el destilador

(esto es cuando xS se hace constante)?

S

S D x

x x

1


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Balances de Materia



• Solución

•Puesto que el propano y el butano forman disoluciones ideales, no tenemosque preocuparnos por cambios de volumen durante la mezcla o la separación.

Podemos también suponer que la densidad de la mezcla es constante.

• Balance total de materia:

EntradaSalida uS uS

dt

V d

w

wuS

dt

V d

||

0

r r r

r r

D

Suponiendo que no hay flujo

residual neto (a través de la

frontera) por otras superficies,


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Balances de Materia



• Solución

hkgmol N

N N N dt N d

uS uS dt

V d

N L

L

N N V

N L L L N N uS

D

D F D

EntradaSalida

5

05

||

1

13

3

2

3

r r r

r

r

De enunciado del problema tenemos

que el volumen total del líquido en el

destilador es constante.

Por otra parte, supusimos que la

densidad de la mezcla es constante.


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Balances de Materia



• Solución

• Balance para el butano:

0

D

S

S S S S

r

r wuS dt

V d

r r

Puesto que el término de generación – consumo neto es 0,


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Balances de Materia



• Solución

Si suponemos que no hay flujo residual neto de A (a través de la frontera) por otras superficies

EntradaS SalidaS S

S

S

uS uS uS

dt

V d

y

w

||

0

r r r r

D


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Balances de Materia



• Solución

•Balance para el butano:

DS

DS

DS

F F D DS

xdt

dx

xdt dx

xdt

xd

N x N xdt

N xd

5,015,0

55,110

530.0510


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• Solución

•

Utilizando la relación de equilibrio:

S

S S

S

S D

DS

x x

dt dx

x

x x

xdt

dx

15,015,0

1

5,015,0


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Balances de Materia



• Solución

•

Separando variables e integrando:

0

40,0

30,0 15,015,0

40,030,00

15,015,0

dt x x

dx

xt xt

dt

x

x

dx

S S

S

S S

S

S

S


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Balances de Materia



• Solución

• El valor de xS en estado estacionario se establece cuando la acumulación de

butano es cero. En ese instante,

428,015,01

5,0

015,015,0

S

S

S

S

S S

x x

x

x

x

dt

dx


h x x

x

dx xS

S

S

S S 85,535,015,0ln35,0

1

35,035,015,0

1 40,0

30,02

40,0

30,0

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– Actividad N°19. Tanque de retención de un residuo nocivo

inestable.

•

Una planta descarga un efluente acuoso con una rapidez de flujo volumétricoPeriódicamente, el efluente se contamina con un residuo nocivo inestable, el

que sabe que se descompone a una tasa proporcional a su concentración. El

efluente debe ser desviado entonces a un tanque de retención, de volumenV ,

antes de su descarga final, como se muestra en la figura. Escriba las

ecuaciones de balance de materia para el total materia y para el residuo.

11, Ac F

00 , Ac F

1, AcV

F

Termodinámica – Mg.Cc. ICQ. Enrique Cortés Toro

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Balances de Materia



inestable.

– Solución.• Este problema involucra el balance de masa total y el balance de masa por

componente combinado con una ecuación de cinética para la tasa de

descomposición del residuo.

• Despreciando los efectos de las densidades, y suponiendo que no hay flujo

residual neto por otras superficies, el balance de masa total queda:

EntradaSalida uS uS

dt

V d

wwuS dt

V d

||

0

r r r

r r

D


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Balances de Materia



inestable.

– Solución.• O, utilizando la nomenclatura de la figura,

1001 F F F F dt dV

F dt

V d

F uS

D

Balance de masa total

10 F F dt

dV

3 L

Dimensiones


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inestable.

– Solución.• La velocidad de descomposición del residuo está dada por la ecuación

cinética siguiente:

A A kc Velocidad de reacción por unidad de volumen ( es

positiva cuando A se genera, y es negativa cuando A se

consume).

3 L M


Dimensiones

A

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inestable.

– Solución.• El término de generación – consumo neto, permite incorporar ,en la ecuación

de balance del componente , la producción o consumo de este en una reacciónquímica.

• Por lo general, las velocidades de reacción se expresan sobre una base molar,

las que se pueden convertir fácilmente a una base en masa.

f luj o másico degeneración delcomponente A

=

velocidad dereacción porunidad devolumen

Xvolumen delsistema


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inestable.

– Solución.• Por tanto, como en este caso A se consume, el término de generación –

consumo neto, estará dado por:

V kcV kcV r A A A A


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Balances de Materia



inestable.

– Solución.• Si suponemos que no hay flujo residual de A por otras superficies,

• y el balance de masa para el componente A

• se reduce a:

0 Aw

A A A

A r wuS

dt

V d D r

r

A Entrada ASalida A A A

A r uS uS r uS dt

V d D || r r r

r


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inestable.


V kc F c F cr F c F cdt

V cd

V kc F c F cr F cdt

V cd

F cuS F uS V cV

A A A A A A A

A Entrada ASalida A A A A

A A A A

1110000111

11

1

||

D

r r


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Balances de Materia



inestable.


• Esta ecuación se puede resolver en forma analítica.

• ¡Desafío! : Estudie cómo se puede resolver esta ecuación en forma analíticay uti l izando un método numérico!

V kc F c F c

dt

V cd A A A

A11100

1

Balance de masapara el componente(compuesto nocivo)


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