risk_ve_belirsizlik_altinda_karar_alma

1

Risk ve Belirsizlik Altında Karar VermeAltında Karar Verme

1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları3 O T i i3. Oyun Teorisi

KONU 6

Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler

Gelecekte gerçekleşmesi mümkün olan olaylar “Olası Durumlar” şeklinde ifade edilebilir.

Değişik olası durumlar altında oluşabilecek farklı ödeme değerlerinin yer aldığı çizelgeye “Ödeme Tablosu” denilmektedir.

Söz konusu tablodan yola çıkılarak karar verme aşamasındaki yöneticiye önemli bilgiler sunulabilmektedir.

Olası Durumlar

Karar A b

1 Ödeme 1a Ödeme 1b

2 Ödeme 2a Ödeme 2b

2 Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

2

Olasılık Değerleri Olmadan Karar Verme

Kullanılan Temel Yöntemler

Maximax Maximin

Mi i t H iMinimax regret Hurwicz

Eşdeğer İhtimal

Olası Durumlar

Karar

(S t Al )

Güçlü Ekonomik Koşullar

Zayıf Ekonomik Koşullar(Satın Alma) Koşullar Koşullar

Apartman inşası 50000 30000

Ofis inşası 100000 – 40000

Depo inşası 30000 10000


Maximax KriteriÖdeme değerlerinin maksimumu bulunun ve bunlararasından maksimum değer seçilir.(Minimum maliyetli değerlerin en küçüğü)

Olası Durumlar

Karar

(Satın Alma)


Zayıf Ekonomik Koşullar


Ofis inşası 100000 – 40000

Ödeme Tablosu

ş


Maksimum ödeme değeri seçilir


3

Maximin Kriteri

Minimum ödeme değerlerinin maksimum olanı seçilir.

Olası Durumlar

Karar

(Satın Alma)




Ofis inşası 100000 – 40000

Ödeme Tablosu

ş


Maksimum ödeme değeri seçilir


Minimax Pişmanlık KriteriMinimum ödeme değerlerinin maksimum değerli olanı seçilir.

Güçlü Ekonomik Koşullar Zayıf Ekonomik Koşular100000 – 50000 = 50000 30000 – 30000 = 0100000 – 100000 = 0 30000 – (- 40000) = 70000100000 30000 70000 30000 10000 20000

Olası Durumlar

Karar

(Satın Alma)




Pişmanlık Matrisi

100000 – 30000 = 70000 30000 – 10000 = 20000


Ofis inşası 0 70000


Minimum pişmanlık değeri seçilir


4

Hurwicz Kriteri

İyimserlik katsayısı : Kötümserlik Katsayısı : 1 –

Olası Durumlar

Karar

(S t Al )



(kötümser) 0 < < 1 (iyimser)

(Satın Alma) Koşullar Koşullar


Ofis inşası 100000 – 40000



Karar Değerler

Hurwicz Kriteri

En iyi sonuç

Apartman inşası 50000 (0.4) + 30000 (0.6) = 38000

Ofis inşası 100000 (0.4) – 40000 (0.6) = 16000

Depo inşası 30000 (0.4) +10000 (0.6) = 18000

Hurwics kriterine göre karar verilirken; en iyi koşullardaki ödemed ğ l i il l k i k l d ğ l i kötü lik k tdeğerleri ile çarpılırken, geriye kalan değerler ise kötümserlik katsayısıile çarpılır. Sonuç olarak, tüm karar alternatiflerine göre en iyi değerseçilir.


5

Eşit Olasılık Kriteri

Eşit olasılık kriterine göre karar verilirken; olası durumlar altında yer alanher ödeme değeri eşit olasılık katsayısı ile çarpılır ve elde edilen sonucun

ük k l t ih dilien yüksek olanı tercih edilir.

Karar Değer

Apartman inşası 50000 (0.5) + 30000 (0.5) = 40000

Ofis inşası 100000 (0.5) – 40000 (0.5) = 30000

Depo inşası 30000 (0 5) + 10000 (0 5) = 20000

En iyi değer

Depo inşası 30000 (0.5) + 10000 (0.5) = 20000


Olasılıklar Altında Karar Verme

Beklenen Değer (EV): her karar ilişkin ödeme değeri, olasıduruma ilişkin olasılık ile çarpılarak tespit edilir.ş ç p p

E(x) : Σi=1n Xi.P(xi),

N: “x” rassal değişkeninin aldığı değerlerin sayısı

EV (apartman) : 50.000.(0,6) + 30.000.(0,4) = 42.000 $

EV (Ofis) : 100.000.(0,6) + (-40.000.(0,4)) = 44.000 $

En iyi sonuç

EV (depo) : 30.000.(0,6) + 10.000.(0,4) = 22.000 $

En iyi karar beklenen değeri en yüksek olan seçenektir.


6

Beklenen Fırsat Kaybı (EOL); her karara ilişkin beklenenpismanlık değeridir.


EOL (apartman) : 50.000.(0,6) + 0.000.(0,4) = 30.000 $EOL (Ofis) : 0.000.(0,6) + (70.000.(0,4)) = 28.000 $EOL (depo) : 70.000.(0,6) + 20.000.(0,4) = 50.000 $

En iyi karar; beklenen fırsat kaybı değeri en düşük olan

En iyi sonuç

En iyi karar; beklenen fırsat kaybı değeri en düşük olanseçeneğin stercihidir.

“EV” ve “EOL” kriterlerine göre bulunan sonuçlar aslındaaynı unusuru işaret etmektedir.


Mükemmel Bilgilendirmenin Beklenen Değeri (EVPI); Karar vericinin ilave bilgiye ödeyebileceği maksimum değerdir.

Olası Durumlar

K Gü lü Ek ik Z f Ek ik


Karar

(Satın Alma)

Güçlü Ekonomik Koşullar (p=0,6)

Zayıf Ekonomik Koşular (p=0,4)

Apartman inşası 50000 30000 EVPI

Ofis inşası 100000 EVPI – 40000


EV ( ük l bil i ) 100 000 (0 6) + 30 000 (0 4) 72 000 $EV (mükemmel bilgi var) : 100.000.(0,6) + 30.000.(0,4) = 72.000 $EV (mükemmel bilgi yok) : 100.000.(0,6) + (-40.000.(0,4)) = 44.000 $

EVPI : EV (mükemmel bilgi varsa) – EV (mükemmel bilgi yoksa)

EVPI : 72.000 – 44.000 = 28.000 $

En iyi kararda; “EVPI” değeri ile “EOL” değeri birbirine eşit olacaktır.12 Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

7

Karar Ağacı

Karar Ağacı: Karar alternatiflerinin düğümler halinde ve kendilerine aitolasılık değerleri belirtilerek ifade edildiği bir şekildir.

Düğü l ili ki h l b kl d ğ l kil i l iDüğümlere ilişkin hesaplanan beklenen değerler şekile işlenir.

Karar ağacında olaylar sırasıyla ele alınmaktadır.

Karar ağacı kollarındaki en iyi seçeneğin düğüm bazındabelirlenebilmesi için olasılık değerleri kullanılarak hesaplanan “BeklenenDeğerler” arasında karşılaştırma yapılmalıdır.ğ ş ş y p

EV (Düğüm 2) : 50.000.(0,6) + 30.000.(0,4) = 41.000 $

EV (Düğüm 3) : 100.000.(0,6) + (-40.000.(0,4)) = 44.000 $

EV (Düğüm 4) : 30.000.(0,6) + 10.000.(0,4) = 22.000 $


Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı Örnek - 1

2Apartman İnşası

0.60

0.40

$ 42,000Güçlü Ekonomik Koşullar

$ 50,000

1

4

Depo0.60

$ 30,000

3

$ 44,000

Ofis


$ 100,000

$ -40,000

$ 30,000

40.40

$ 22,000

$ 10,000


8

Sıralı Yapıda Bir Karar AğacıÖrnek - 2

2Apartman

0.60

Nüfus artışı 2.000.000 $(10 yıl sonra)

1

Apartman İnşası (-800.000$)

0.40225.000 $

3Arazi alımı( 200 000$)

Nüfus stabil3.000.000 $

Nüfus artışı(3 yıl ödeme yok)

0.60 4

6

0.80

0.20700.000 $

450.000 $

Apartman inşası (-800.000$)

Nüfus artışı

Nüfus stabil

Arazi satışı

15

3(-200.000$)

5

Ticari yatırım (-600.000$)

Arazi satışı

2.300.000 $

70.30

1.000.000 $

Nüfus artışı

Nüfus stabil

Nüfus stabil(3 yıl ödeme yok)

0.40

210.000 $

0.70Karar verdiklerimiz kare şeklinde, olasılıklar ise daire şeklinde ifade edilmiştir.

Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler)Örnek - 2

Sıralı karar ağacı analizi yapabilmek için ağacın en sonunsurundan en başa doğru bir değerlendirme yapılmaktadır.

Bu kapsamda; beklenen değerler, incelenen karar aşamasındakiolasılık değerleri ile işlemin sonucunda ulaşılacak olan ödemedeğerleri ile ağırlıklandırılarak toplanır.

Diğer bir ifadeyle, olasılık değerleri bizim ağırlık oranlarımızolacaktır.

EV (düğüm 6)= 0 8x(3 000 000$) + 0 2x(700 000 $)=2 540 000 $

16

EV (düğüm 6)= 0.8x(3.000.000$) + 0.2x(700.000 $)=2.540.000 $

EV (düğüm 7)= 0.3x(2.300.000$) + 0.7x(1.000.000 $)=1.390.000 $

Beklenen değer rakamları düğümlerin üzerinde yazılmaktadır.


9


Ancak, düğüm 4 ve 5’te durum biraz farklıdır. Bu aşamalardaolasılıksal bir durum mevcut değildir (nüfusun artması veyastabil olması) yani beklenen değer hesabımızı düğümde sözstabil olması), yani beklenen değer hesabımızı düğümde sözkonusu olan alternatiflere göre yapmamız gerekmektedir.

Örneğin; 4 nolu düğümün beklenen değeri için; EV (6) değeriolan 2.540.000 $’dan apartman inşasının masrafları düşülürve geriye kalan 1.740.000 $ artık EV (4) olmaktadır.

17

4 ncü düğüm için diğer bir beklenen değer olan arsanınsatışından doğabilecek olan 450.000 $’lık bedeldir.



Ancak rasyonel karar alabilmemiz için mevcut alternatiflerarasında beklenen değeri yüksek olan seçenek seçilmelidir.Buradan hareketle 4 ncü düğümün EV (4) değeri 1 740 000Buradan hareketle, 4 ncü düğümün EV (4) değeri 1.740.000$ olacaktır.

Diğer yandan, 5 nolu düğümün beklenen değeri için; EV (7)değeri olan 1.390.000 $’dan ticari masrafları düşülür vegeriye kalan 790.000 $ artık EV (5) olmaktadır.

18

Benzer şekilde, 5 nci düğüm için diğer bir beklenen değerolan arsanın satışından doğabilecek olan 210.000 $’lıkbedeldir. Ancak yine rasyonelite gereği 5 nci düğümün EV (5)değeri 1.390.000 $ olarak seçilmelidir.


10


Son olarak, 2 ve 3 nolu düğümlerin beklenen değerleri hesaplanır.

EV (düğüm 2)= 0 6x(2 000 000$) + 0 4x(225 000 $)=1 290 000 $EV (düğüm 2) 0.6x(2.000.000$) + 0.4x(225.000 $) 1.290.000 $EV (düğüm 3)= 0.4(1.7400.000$) + 0.6x(790.000 $)=1.360.000 $

Buradan hareketle ilk düğüm olan 1 nci aşama için beklenen değerhesabına geçilir.

Maliyetlerden arındırılmış olarak en yüksek beklenen değere sahipolan seçenek tercih edilmelidir

19

olan seçenek tercih edilmelidir.

Apartman inşası : 1.290.000 $ - 800.000 $ = 490.000 $Arsa alımı : 1.360.000 $ - 200.000 $ = 1.160.000 $

En yüksek beklenen net ödeme değerine sahip seçenek arsadır.Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ


2Apartman

0.60

Nüfus artışı 2.000.000 $(10 yıl sonra)

1.290.000 $

1

Apartman İnşası (-800.000$)

0.40225.000 $

3

Arazi alımı(-200.000$)

Nüfus stabil 3.000.000 $

Nüfus artışı(3 yıl ödeme yok)

0.60 4

6

0.80

0.20700.000 $

450.000 $

Apartman inşası (-800.000$)

Nüfus artışı

Nüfus stabil

Arazi satışı

1.160.000 $ 2.540.000 $

1.740.000 $

1.360.000 $

20

3( 200.000$)

5

Ticari yatırım (-600.000$)

Arazi satışı

2.300.000 $7

0.30

1.000.000 $

Nüfus artışı

Nüfus stabil

Nüfus stabil(3 yıl ödeme yok)

0.40

210.000 $

0.70790.000 $

1.390.000 $


11

Karar Ağacı Analizinde “Bayesian” Yaklaşımı

Konuya teorik olarak bakabilmek için Bayesian kuramınıntemelini anlamak gerekir. Bayesian olasılık kuramımatematiksel istatistik kuramının bir dalı olarak ifade edilirmatematiksel istatistik kuramının bir dalı olarak ifade edilir.

Bu kuram belirsizlik taşıyan herhangi bir durumun modelinioluşturmak, bu durumla ilgili gerçekçi gözlemleri kullanaraksonuçlar üretmek amacıyla kullanılmaktadır.

Olasılık kuramında en önemli kavramlardan biri “koşulluolasılık” tır.

21

olasılık tır.

Bu tahminleri koşullu olasılık değerlerine bağlı olarakgerçekleştirmektedir (Koşullu olasılık: belirli bir olayın, başkabir olaya bağlı olarak gerçekleşmesine ilişki olasılıkdeğeridir).



P (X=x| Y=y)=r koşullu olasılığının ifadesi şöyledir: “Y=y” nindoğru olması durumunda “X=x” olma olasılığı “r”dir.

X ve Y’nin alabileceği değerlerin kombinasyonları için koşulluolasılıkları belirleyen tabloya koşullu olasılık dağılımı denilir.

Bu durum, p(X|Y) şeklinde ifade edilmekle birlikte, koşulluolasılık “çarpım kuralını” belirlemede önem arzeder.

22

Çarpim kuralı iki olayın birden oluşma olasılığını tanımlar ve p (A ∩ B) ile ifade edilir.

Bu durumda p (A ∩ B)= p (A|B).p(B)= p(B|A).p(A) olur.


12


Eşitliğin yeniden düzenlenmesi ile “Bayes Kuramı” eldeedilir.

P(A|B) = P (B/A) P(A) / P(B)

Burada:A : Belirsizlik Taşıyan ÖnermeB : KanıtP(A|B) : A’nın B kanıtından sonraki olasılığı (Posteriror)P(A) : A’nın B kanıtından önceki olasılığı (Prior)

23

( ) ğ ( )P(B|A) : B kanıtının A olayının gerçekleşmesi için oluşma

olasılığı (Likelihood)

Ayrıca 1/ P(B), normalizasyon etmeni olup hesabakatilmayabilmektedir.



Bayesian istatistikte sık kullanılan terimleri özetlersek;

a) Önsel olasılık veya dağılım (prior): Herhangi bir gözlema) Önsel olasılık veya dağılım (prior): Herhangi bir gözlemyapmadan önce modelin gerçek olma olasılığıdır. Buamaçla objektif veriler de subjektif görüşler de kullanılabilir.

b) Sonsal olasılık veya dağılım (posterior): Gözlemlerdikkate alındığında modelin gerçek olma olasılığı olabilirlik(likelihood) belli bir modeldeki verilerin koşullu olasılık

24

( e ood) be b ode de e e oşu u o asdurumudur. Buna bayes faktörü adı da verilmektedir.

Sonuç olarak, Bayesian ve klasik istatistik kuramlarıarasındaki en önemli fark olasılıkların değerlendirilmesindeyatmaktadir.


13


Daha önceki yansılarımızda, mükemmel bilgilendirmeninbeklenen değeri kavramı üzerinde durulmuşturbeklenen değeri kavramı üzerinde durulmuştur.

Mükemmel bilginin varlığı söz konusu olduğunda; karar vericinindaha iyi kararlar verebileceği ifade edilebilir.

Ancak, geleceğe yönelik olarak mükemmel bilginin varlığı nadirengözlemlenen bir unsur olduğundan, kararlarımızı almadarasyoneliteyi arttıracak olan ilave bilgilere ihtiyaç duyulmaktadır:

25

Bu bölümde, söz konusu ilave bilginin karar analizlerimizde önemlibir istatistiksel yaklaşım olan “Bayesian” yaklaşımı bağlamındaincelecektir.

Gayrimenkul örneğimiz üzerinden bu yaklaşım irdelelenecektir.



Gayrimenkul örneğimizdeki bilgilere ilaveten, karar vericininprofesyonel bir ekonomik analist çalıştıracağını düşünelimprofesyonel bir ekonomik analist çalıştıracağını düşünelim.

Buradaki temel amaç, gelecekteki olası ekonomik koşullaradair ilave bilginin teminidir.

Buradaki analist, düzenli olarak piyasayı ve ekonomikkonjonktürü incelemekte, karar verici durumundakiyatırımcının satın almayı düşündüğü yatırım araçlarının

26

y y ş ğ y çsonuçlarını tartışmaktadır.

Ekonomik analist burada potansiyel olarak “iyi ekonomikkoşullar” ve “kötü ekonomik koşullar” bağlamındadeğerlendirme raporu hazırlamaktadır.


14


Ekonomik analist geçmiş verilerden yola çıkarak gelecektekarşılaşılabilecek olası ekonomik durumlar hakkındakarşılaşılabilecek olası ekonomik durumlar hakkındatahminlerde bulunmaktadır.

Temel kuramlardan hareketle problemimize geri dönecekolursak; koşullu olasılıklara ilişkin olarak aşağıdaki notasyonuyapmak mümkündür.

27

g : iyi ekonomi

P : kötü ekonomi

P : olumlu ekonomik rapor

N : olumsuz ekonomik raporY. Doç. Fazıl GÖKGÖZ


Olası durumlara yönelik koşullu olasılık değerlerimiz;P (P/g) : 0.80P (N/g) : 0 20P (N/g) : 0.20P (P/p) : 0.10P (N/p) : 0.90

Örneğin, gelecekteki olayın iyi olması (g) ve bunun raporda olumlu(P) olarak yazılmış olması halindeki olasılık değeri P (P/g) : 0.80’dir.

Koşullu olasılık değerlerinin bilinmesi halinde, önsel olasılık (prior)d ğ l i l l l k ( t i ) d ğ l i dö ü tü ül bili

28

değerleri, sonsal olasılık (posterior) değerlerine dönüştürülebilir.

Şöyle ki; P(P/g) ekonomik raporun olumlu olması ve buna bağlıolarak ekonomik koşulların da iyi olma olasılığıyken, P(g/P) ise;ilave bilgi niteliğindeki raporun olumlu olmasının ekonomikkoşulların iyi olması için oluşma olasılığıdır.


15


Önsel (prior) olasılıklarımız;

P (g) : 0.60 (rapor mevcut değilken ekonominin iyi olma olasılığı)(g) ( p ğ y ğ )

P (p) : 0.40 (rapor mevcut değilken ekonominin kötü olma olasılığı)

Koşullu olasılık değerlerimiz de belirli olduğundan dolayı, buradanhareketle sonsal (posterior) olasılık değerleri hesaplanabilir.

29

P(g/P) = P(P/g).P(g) ..

P(P/g).P(g) + P(P/p).P(p)P(g/P) =



(0.8).(0.6)

[ (0.8).(0.6) + (0.1).(0.4) ]P(g/P) =

P(g/P) = 0.923

Buradan, ekonomik koşulların iyi olmasına yönelik öncekiolasılığının %60 olduğu, analistin hazirladığı olumlu rapordanedinilen ilave bilgi çerçevesinde önceki olasılık değerinin%96.23 olarak revize edilebileceği ifade edilebilir.

30

Geriye kalan revize edilek önceki olasılıklar (sonsal olasılıklar)ise;

P(g/N) = 0.250P(p/P) = 0.077P(p/N) = 0.750


16

Gayrimenkul Probleminin “Bayesian” Çözümü

4Apartman

30,000 $

Ofis

50,000 $

100,000 $2

P(g/P) = 0.923

P(p/P) = 0.077

P(g/P) = 0.923

1 6

Depo5 - 40,000 $

30,000 $

10,000 $

7Apartman

$

50,000 $

P(p/P) = 0.077

P(g/P) = 0.923

P(p/P) = 0.077

P(g/N) = 0.250

31

3

9

Depo8

Ofis

30,000 $

- 40,000 $

30,000 $

10,000 $

100,000 $

P(p/N) = 0.750

P(g/N) = 0.250

P(p/N) = 0.750

P(g/N) = 0.250

P(p/N) = 0.750Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ


P(P) ve P(N) marjinal olasılıklar olarak ifade eidlmektedir.

Bu olasılıkları karar ağacı analizine yönlendirdiğimizde

Sondan başa doğru (sağdan sola) analiz yaptığımız takdirde, 4 noludüğüm için beklenen değerler

EV (Apartman) = 50.000 $ x (0.923) + 30.000 $ x (0.077)

EV (Apartman) = 48,460 $

32

Benzer şekilde düğüm 5,6,7,8,9 için de aynı hesaplamalar yapılarakdüğüm aşamalara ilişki beklenen değerler tespit edilir.

Beklenen değeri en yüksek olan seçeneğin değeri tercih edilir.


17


Son olarak, raporun olumlu P(P) veya olumsuz olma P(N) olasılıklarıaşağıdaki mantık çerçevesinde hesaplanabilir.

İki bağımlı olay A ve B’nin ikisininde olma olasılığı;İki bağımlı olay A ve B’nin ikisininde olma olasılığı;

P(AB) = P(A/B).P(B)

ise, buradan hareketle olumlu ve olumsuz rapor olasılıklarıaşağıdaki şekilde ifade edilebilir.

P(P) = P(Pg) + P (Pp)

P(P) P(P/ ) P( ) P(P/ ) P( )

33

P(P) = P(P/g).P(g) + P(P/p).P(p)

P(P) = (0.8).(0.6) + (0.1).(0.4) = = 0.52

P(N) = P(N/g).P(g) + P(N/p).P(p)

P(N) = (0.2).(0.6) + (0.9).(0.4) = 0.48Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ


Buradan hareketle, 2 ve 3 nolu düğümlerdeki beklenen değerlersırasıyla 89,220 $ ve 35,000 $ olarak bulunur.

Marjinal olasılıklar dikkate alındığında temel yatırım stratejisininbeklenen değeri ;

EV (strateji) = 89,220 $ x (0,52) + 35,000 $ (0,48)

EV (strateji) = 63,194 $

34

Söz konusu beklenen değerler ekonomist tarafından sağlananilave bilgilere göre revize edilmiş olunur. Böylece, tüm ilavebilgiler değerlendirilmiş ve strateji kararına yardımcı olmuştur.


18

Gayrimenkul Probleminin “Bayesian” Çözümü

4Apartman

30,000 $

Ofis

50,000 $

100,000 $2

P(g/P) = 0.923

P(p/P) = 0.077

P(g/P) = 0.923

48,460 $

89,220 $

89,220 $

1 6

Depo5 - 40,000 $

30,000 $

10,000 $

7Apartman

$

50,000 $

P(p/P) = 0.077

P(g/P) = 0.923

P(p/P) = 0.077

P(g/N) = 0.250

,

28,460 $

35,000 $

63,194 $

Olumlu Rapor

Olumsuz Rapor

35 000 $

P(P) = 0.52

P(N) = 0.48

35

3

9

Depo8

Ofis

30,000 $

- 40,000 $

30,000 $

10,000 $

100,000 $

P(p/N) = 0.750

P(g/N) = 0.250

P(p/N) = 0.750

P(g/N) = 0.250

P(p/N) = 0.750

- 5,000 $

15,000 $

Rapor35,000 $


Ödev – 6 (Teslim Tarihi: 10.5.2006) – Birinci Bölüm

Bir çiftçi, üç farklı ziraat ürününden hangisini ekeceğine karar vermekistemektedir. .ödeme tablosu aşağıda sunulmakta olup, tüm karar kriterlerine[M i M i i Mi i i l k H i ( 0 3) E it Ol l k] ö h

Olası Durumlar (Ödeme $)

Karar

(Ekilecek Ürün)



[Maximax, Maximin,Minimax-pişmanlık, Hurwics (α = 0.3), Eşit Olasılık] göre herkarar tercihi için rasyonel olan seçenekleri ayrı ayrı belirleyiniz. Gerekli işlem veaçıklamaları da yapınız.

36

Mısır 35,000 8,000

Fındık 18,000 12,000

Soya 22,000 20,000


19

Ödev – 6 (Teslim Tarihi: 10.5.2006) – İkinci Bölüm

300,000 $

7(-20,000 $)

0,4

Aşağıdaki aşamalı karar ağacını dikkate alarak optimal yatırımı (A veya B) gereklihesaplamalar ile değerlendirmeleri yaparak ve şekilleri çizerek belirleyiniz.

1

A Yatırımı(-70,000 $)

0,345,000 $

0,7

75,000 $

2

4

( , $)60,000 $0,6

200,000 $

8

5

(-17,000 $)70,000 $

0,2

0,8

37

1

3

60,000 $5

55,000 $

105,000 $

9

6

(-9,000 $)40,000 $

0,35

0,65

80,000 $

0,15

0,55

0,30

BYatırımı(-50,000 $)


Oyun Teorisi – Giriş

Karar analizleri ve karar ağaçları bölümünde yalnızca tekkarar verici açısından konu irdelenmiştir.

Diğer ifadeyle, önceden herhangi bir rekabet söz konusudeğildir.

Ancak gerçekte rekabetin olmadığı bir çevrenin varlığıçok nadir gözlemlenen bir olgudur. Birden fazla kararverici ortak getiriler üzerinde en iyi ödeme değerlerine

l bil i h d fl kt di

38

ulaşabilmeyi hedeflemektedir.

Bu hedefler ise Oyun Teorisi’nin konusuna girmektedir.

Oyun Teorisi kapsamında karar vericiler kazanmak içinplanlar geliştirmektedir.


20

Oyun Teorisi – Giriş

Rekabet haindeki karar vericiler “Oyuncular” olarakadlandırılır.

İki oyuncudan oluşturulan oyuna ise; “İki Kişilik Oyun”şeklinde isimlendirmek mümkündür. Eğer oyunda “n” kişibulunuyorsa, “n-kişilik Oyun” denilmektedir.

Oyunlar da kendi aralarında sınıflandırılabilir, örneğin;oyuncuların kazançları ve kayıpları toplamı sıfırld ğ d “S f T l l O ” ö k

39

olduğunda, “Sıfır Toplamlı Oyun” söz konusuolmaktadır.

Eğer bu toplam sıfıra eşit değilse yeni oyun, “SıfırToplamlı Olmayan Oyun” olarak adlandırılır.


Oyun Teorisi – Sıfır Toplamlı Oyun

Bazı Uygulama Alanları:

1) Sendika işveren ve hükümetin pazarlığını yaptığı işçi1) Sendika, işveren ve hükümetin pazarlığını yaptığı işçiücretleri

2) Ülkeler arası savaş stratejileri

3) Politikacılar arası seçim stratejileri

4) Firmaların Pazar payı arttırma stratejileri

5) Sporcu ve kulüp arasındaki transfer görüşmesi

40

6) İhalelerde teklif verme stratejileri

7) Satınalma politikaların tespiti

8) Yeni ürünler arası seçim yapılması


21

Oyun Teorisi – Sıfır Toplamlı Oyun

İki kişilik oyunda kazancını maksimize etmeye çalışankişi saldırgan olan taraftır. Kaybını minimize etmeyeçalışan taraf ise; savunma yapan kişidir.

İki rakip firmanın birbirlerine karşı geliştirdiği stratejileriinceleyelim.

A Firması’nın Stratejileri ($)

B Firması’nın Stratejileri ($)

B1 B2 B3 B4

A1 40 (+) 34 30 (x) 33

41

A1 40 (+) 34 30 (x) 33

A2 38 35 (+)(x) 36 37

A3 28 (x) 33 37 (+) 38 (+)

(x) : Maximin strateji ; A, sıra değerlerinin minimumunu alıp içinden maksimumunu seçer(+) : Minimax strateji ; B, sütun değerlerinin maksimumunu alıp içinden minimumu seçer


Oyun Teorisi – Sıfır Toplamlı Oyun(Maximin Strateji)

A oyuncusu 1. stratejiyi oynadığında; B oyuncusu 1.stratejiyi oynarsa 40 $, 2. ,3. ve 4. stratejiler için sırasıyla34 $, 30 $ ve 33 $ kazanacaktır. Matrisin diğer unsurlarıda benzer şekilde irdelenebilir. Her oyuncu, karşısındakioyuncunun kendine göre en iyi davranışıgerçekleştireceğini varsaymalıdır.

A oyuncusu (Maximin Strateji);a) 1. stratejiyi oynadığında, B’nin en düşük değere

42

a) 1. stratejiyi oynadığında, B nin en düşük değere sahip 3. stratejiyi (30$),

b) 2. stratejiyi oynadığında, B’nin 2. stratejiyi (35$), c) 3. stratejiyi oynadığında ise; B’nin 1. stratejiyi (28$)

oynayacağınıvarsaymaktadır.


22

Oyun Teorisi – Sıfır Toplamlı Oyun(Minimax Strateji)

Tam tersinden yapılacak bir analizle,

B oyuncusu (Minimax Strateji);B oyuncusu (Minimax Strateji);

a) 1. stratejiyi oynadığında, A’nın en yüksek değere

sahip 1. stratejiyi (40$),b) 2. stratejiyi oynadığında, A’nın da 2. stratejiyi (35$),c) 3. stratejiyi oynadığında ise; A’nın 3. stratejiyi (37$),d) 4. stratejiyi oynadığında ise; A’nın yine 3. stratejiyi

(38$)

43

(38$) oynayacağını

varsaymaktadır.

.


Oyun Teorisi – Sıfır Toplamlı Oyun (Denge Durumu)

Denge noktası; A oyuncusunun maximin A B iseDenge noktası; A oyuncusunun maximin Ai , B iseminimax Bj stratejileri ile hareket ettiğinde oyuncularınstratejilerinin üst üste geldiği durumu temsil eder.

Bu noktada iki strateji de dengeye gelmiştir. Kısaca,karar vericiler risklerini minimize etmişlerdir veyaemniyet düzeylerini maksimize etmişlerdir.

44

Denge durumundaki çakışan strateji’nin (Ai,Bj) değeriörneğimizde 35 $ olarak ifade edilebilir.


23

Oyun Teorisi – Baskın Stratejiler

B oyuncusu 4. stratejiyi hiçbir zaman tercih etmez.Bunun nedeni; A oyuncusun her stratejisinde (Ai); B3stratejisini B4’e tercih edecek olmasıdır.

Böylece, B4 stratejisi, B3 stratejisi tarafından domineedileceğinden, B’nin 4. stratejisi oyun dışı kalacaktır.



B1 B2 B3 B4

45

B1 B2 B3 B4

A1 40 (+) 34 30 (x) 33

A2 38 35 (+)(x) 36 37

A3 28 (x) 33 37 (+) 38 (+)


Oyun Teorisi – Baskın Stratejiler



B1 B2 B3 B4

A1 42 34 30 33

A2 28 35 36 37

Sıfır toplamlı iki kişilik oyunlarda denge noktası bulunmadığında, oyuncular ayrıca birsatır veya sütundaki değerleri diğer satır veya sütun değerleriyle karşılaştırır.

Satırdaki değerler A oyuncusunun stratejileridir; sıradaki değerler diğer sıradakideğerlerden büyük veya eşit olduğunda büyük/eşit olan sıra baskın strateji olarakbenimsenecektir (Her A için B3; B4’e tercih edilir)

A2 28 35 36 37

A3 28 33 35 30

46

benimsenecektir (Her Ai için B3; B4 e tercih edilir).

Bu mantık içerisinde hiçbir zaman benimsenmeyecek olan stratejiler ise, zayıfstratejiler olup, oyun matrisi dışında tutulur. Benzer bir yaklaşımla ancak tamtersinden hareketle, sütunlardaki zayıf stratejiler çıkarılarak daha az elemanlı olansadeleştirilmiş bir oyun matrisi elde edilir (Her Bi için A2; A3’e tercih edilir).

Sonuçta, baskınlık kurulan stratejiler (domine edilen) oyun dışına çıkarılarak oyunmatrisinin basitleştirilmesi sağlanır.


24

Oyun Teorisi – Denge Durumu’nun Yokluğu

A Firması’nın

Stratejileri ($)


B1 B2

A1 5 (x) 35 (+)

A2 20 (+) 10 ( )

Denge olan bir oyunda her oyuncu diğerininstratejisini bildiğinde stratejisini değiştirerek daha iyisonuca ulaşabilmektedir. Ancak, denge noktasıolmadığında bu durum oluşamaz.

A ’ M i i t t ji i 2 t t ji ld ğ d

A2 20 (+) 10 (x)

47

A oyuncusu’nun Maximin stratejisi 2. strateji olduğunda;B’nin Minimax stratejisi 1. strateji olmaktadır. Kısacadenge noktası yoktur.


Oyun Teorisi – Karma Stratejiler

Oyuncunun sadece Ai veya Bj’yi seçmesine “ArıStrateji” denilir. Karma stratejide ise oyunda söz konusuolan stratejilerin kombinasyonları göz önünealınmaktadır.

Her iki oyuncu da karşısındakinin stratejisini bilse dahikendi stratejisinden vazgeçmeyecektir. Bu durumda,A karma Maximin strateji’yi, B de karma Minimaxstratejiyi benimsemektedir.

48

st atej y be se e ted

Karma stratejilerle tek bir değer olarak belirlenenstratejiye “Oyunun Değeri (V)” denilir.


25


A’nın karma Maximin stratejisi V’yi minimum değerlerinmaksimumu olacak şekilde seçer.

B’nin karma Minimax stratejisi ise; A’nın beklenen değerininV’yi geçmesini engelleyecektir. Buradan hareketle, iki tarafında dengeye geldiği nokta oyunun değeri “V” olmaktadır.

Karma stratejide A’nın seçenekleri A1,... Am

ΣXi =1

X1,... Xm olasılıklarında “m” sonuçlu olasılık sürecinde “i” sonucuA ili

49

Ai seçilir.

A’nın karma stratejisi; Ai için Xi=p(Ai) olasılıkla seçildiği(X1,...Xm) olasılık setinden oluşur. Karma stratejide en az ikiolasılık sıfırdan büyük olmaktadır. Ancak, “Arı strateji”de birolasılık 1’e eşittir, diğerleri hep sıfırdır.



Arı stratejilerde denge noktasıbulunmadığında, karma stratejilerleoyuncuların emniyet düzeyleriyükseltilebilir.

Ancak karma strateji arı strateji gibi

A Firması’nın

Stratejileri ($)


B1 B2

A1 5 (x) 35 (+)Ancak, karma strateji,arı strateji gibioyuncuya kesin bir emniyetsağlamaz, çünkü olasılıklar sözkonusudur.

A2 20 (+) 10 (x)

A oyuncusunun 1. ve 2. stratejileri oynama olasılığı eşit olduğunda,

B oyuncusu;

1. Stratejiyi oynadığında oyunun değeri;

50

V = 5. (0,5) + 20.(0,5) = 12,5

2. Stratejiyi oynadığında ise oyunun değeri;

V = 35. (0,5) + 10.(0,5) = 27,5

Her iki değer de A oyuncusunun Maximin stratejisinin değerinden (10)

büyüktür.Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

26


Her oyuncu için kendi emniyet düzeyini en iyi seviyeye getiren karmastratejiyi benimsemelidir.

B, 1. stratejiyi seçtiğinde A’nın beklenen kazancı; 5 X1 + 20 X2

B, 2. stratejiyi seçtiğinde A’nın beklenen kazancı; 35 X1 + 10 X2

Beklenen değerleri eşitlersek; 5 X1 + 20 X2 = 35 X1 + 10 X2

X1 + X2 =1

X1 = 0,25 ve X2 = 0,75 bulunur.

Oyunun değeri;

51

1. Strateji için; V = 5.(0,25) + 20.(0,75) = 16,25

2. Strateji için; V = 35.(0,25) + 10.(0,75) = 16,25



.Konuya B oyuncusu için baktığımızda; B’nin karma stratejileri; B1,...Bn

Σyi = 1y1,... yn olasılıklarında “n” sonuçlu olasılık sürecinde “j” sonucu Bj seçilir. j

B’nin karma stratejisi; Bj’nin için yj=p(Bj) olasılıkla seçildiği (y1,...yn) olasılık setinden oluşur.

Soruna B youncusu açısından bakarsak, A 1. stratejiyi seçtiğinde B’ninbeklenen kaybı; 5 y1 + 35 y2

A, 2. stratejiyi seçtiğinde B’nin beklenen kaybı; 20 y1 + 10 y2

Beklenen değerleri eşitlersek; 5 y1 + 35 y2 = 20 y1 + 10 y2

52

y1 + y2 =1

y1 = 0,625 ve y2 = 0,375 bulunur.

Oyunun değeri;

1. Strateji için; V = 5.(0,625) + 35.(0,375) = 16,25

2. Strateji için; V =20.(0,625) + 10.(0,375) = 16,25Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

risk_ve_belirsizlik_altinda_karar_alma

Documents