scomposizione_polinomi

7/22/2019 Scomposizione_polinomi

1/11

LA SCOMPOSIZIONE

DEI POLINOMI8

Per ricordare

H Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di altri polinomi.Nella scomposizione di un polinomio non devono quindi comparire operazioni di addizione o sottra-zione fra polinomi. Per esempio:

a x 2 x 2 e una scomposizione del polinomio ax2 4a

x a 2 y a 2 non e una scomposizione del polinomio ax 2x ay 2y

Un polinomio che non si puo scrivere in nessun modo come prodotto di altri polinomi si dice irriduci-bile.I fattori che compaiono nella scomposizione di un polinomio devono essere tutti polinomi irriducibili.

H I metodi che si utilizzano per scomporre un polinomio si basano sulle proprieta delle operazioni e sulleregole dei prodotti notevoli; essi possono essere cos sintetizzati:

raccoglimento a fattor comune totale: si applica quando tutti i termini del polinomio hanno un divi-sore comune ed utilizza la proprieta di raccoglimento

3ab2 6a2bx 9ab 3ab b 2ax 3

raccoglimento a fattor comune parziale: si applica quando alcuni termini del polinomio hanno undivisore comune e altri termini hanno un altro divisore comune, in modo pero che, al termine del rac-coglimento parziale, si ottengano dei fattori comuni a tutto il polinomio e si possa operare un racco-glimento totale

2xy 6x

|{z}fattore comune 2x by 3b

|{z}fattore comune b 2x y 3

b y 3

|{z}fattore comune y 3

y 3

2x b

riconoscimento di prodotti notevoli: rientrano in questi casi

il quadrato di un binomio (3 termini) a2 6a 9 a 3 2

il quadrato di un trinomio (6 termini) a2 4x2 9y2 4ax 6ay 12xy 3y 2x a 2

il cubo di un binomio (4 termini) 8x3 27a3 36ax2 54a2x 2x 3a 3

la differenza di quadrati (2 termini) 9x2 1 3x 1 3x 1

trinomio caratteristico: e un trinomio di secondo grado del tipo x2 a b x ab nel quale il ter-mine noto puo essere visto come prodotto di due numeri ae b tali che la loro somma sia uguale alcoefficiente del termine di primo grado; in questo caso il polinomio si scompone nel prodottox a x b X

x2 7x 12 3 12 3 4 e 7 3 4 3 x2 7x 12 x 3 x 4


2/11

ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO

Scomponi i seguenti polinomi in fattori mediante raccoglimenti totali.

1 ESERCIZIO GUIDATOESERCIZIO GUIDATO

ax2 a2x2 3abx a3x

Il MXCXDX fra i termini del polinomio e ax che e quindi il fattore da raccogliere; all'internodella parentesi si scrive il quoziente fra il polinomio dato ed il fattore comune:

axXXXXX

XXXXX

XXXXXX

XXXXX

ax x ax 3b a2

82 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

regola di Ruffini: si applica quando si riesce ad individuare un divisore della forma x a; i numeri asono da ricercarsi fra i divisori del termine noto del polinomio e le frazioni che hanno al numeratoreun divisore del termine noto e al denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado mas-simo

x3 2x2 5x 2

possibili numeri aX 1, 2 essendo P 1 0, il polinomio e divisibile per x 1

1 2 5 2

1 1 3 2

1 3 2 0

3 x3 2x2 5x 2 x 1 x2 3x 2

H Risultano poi utili le seguenti considerazioni: an bn e sempre divisibile per la differenza della basi e, se n e pari, e divisibile anche per la

somma delle basi

an bn e divisibile per la somma delle basi solo se n e dispari e non e mai divisibile per la dif-ferenza delle basi.

Di conseguenza binomi del tipo an bn con n pari sono sempre irriducibili.

Dalle precedenti relazioni si deducono due comode regole per scomporre la somma e la differenza didue cubi:

a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2

Il trinomio nella seconda parentesi delle due scomposizioni si ricorda con il nome di falso quadratoperche la sua forma ricorda lo sviluppo del quadrato di un binomio pur non essendolo (c'e il prodottodelle basi e non il doppio prodotto).

H Il MXCXDX e il mXcXmX fra due o piu polinomi si trova con la stessa regola che si applica ai numeri e aimonomi; prima pero occorre scomporre ciascun polinomio in fattori irriducibili.


3/11

2 ax3y 2axy4 ax2y2 axy axy x2 2y3 xy 1

3 2a2b2 6ab 2a3b 8ab3 2ab ab 3 a2 4b2

4 2abx abx2 3ab aby ab 2x x2 3 y

5 13

x2y x3 2x2 x3y x2 13

y x 2 xy !6 2x3y3 6y4 2xy3 4x2y3 2y3 x3 3y x 2x2

7 2x3y3 x2y3 3xy5 xy4 xy3 xy3 2x2 x 3y2 y 1

8 2ax2y ay 3ay3 a2y2 a3y ay 2x2 1 3y2 ay a2

9

1

2ab2c

3

2a2b2c3

1

8b2c3

1

2a2b2c

1

4ab2c2 1

2b2c a 3a2c2

1

4c2 a2

1

2ac

!

10 a

2b ax2

a a

2b

x a

2b a 2b ax2 a x

11 x 1 ax ay x 1 x2 x 1 x2y x 1 x 1 ax ay x2 x2y

12 a b ax a b y 5 a b a b ax y 5

13 a 2b x ax2 a 2b ax a 2b x a 2b 1 ax a

14 x x b 2ab x b 3 x b 2b x b

2x b 2ab 2x 3b bx b2

15 x3 a b a b x2 a b a a b a b x3 1 x2 a

Scomponi i seguenti polinomi in fattori mediante raccoglimenti parziali e poi totali.

16

17 a2x 2b axb 2a ax 2 a b 18 2x 2a ax2 a2x x a ax 2

19 a2x a 2ax 2 a 2 ax 1

201

2a 1

2b a b

2a b a b

1

2

!

21 a2x a 2ax 2 a 2 ax 1

22 x3 x 2x2 2 x 2 x2 1

23 2mx2

8my

nx2

4ny 2m n x2 4y

24 x3 2 2x x2 x 1 x2 2

ESERCIZIO SVOLTOESERCIZIO SVOLTO

xb x ab a

Raccogliamo x fra i primi due termini e a fra i secondi due:

x b 1 a b 1 b 1 x a

Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA 8 - LA SCOMPOSIZIONE DEI POLINOMI 83


4/11

25 x3 y3 xy x2y2 x y2

x2 y

26 ax3 2bx3 2by ay a 2b x3 y

27 3abx2 3abz2 x2 z2 3ab 1 x2 z2

28 ax xb b c xc a x 1 a b c 29 6xy2 2y 3xy x 3x2y 1 3xy 1 x 2y 1

30 4a2b 4ab2 2a 2b 2 2ab 1 a b

31 a2x 2b2y b2 2a2y a2 b2x a2 b2 x 2y 1

32 xa xb ya yb a b a b x y 1

33 6x2y 2x3y 6ax2y 2ax3y 2x2y a 1 x 3

Scomponi riconoscendo nei seguenti trinomi anche il quadrato di un binomio.

34 a2x2

2ax

1 a2x2

2axb

b2 ax 1

2Y ax b

2h i35 x2 2axb b2a2 x4 2a2x2 a4 x ab 2Y x2 a2

2h i

369

4a2x2 ax

1

9

9

4x4

3

2x2y2

1

4y4 3

2ax

1

3

2Y

3

2x2

1

2y2

24 5

37 ax2 43

ax 49

a9

4y2 3y2z3 y2z6 a x 2

3

2Yy2

3

2 z3

24 5

38 2a2x2 8ax 8 3x2 6bxy 3b2y2 2 ax 2 2Y 3 x by 2h i

39 14

bx2 13

b2x 19

b3 94

a3 3b2a2 ab4 b 12

x 13

b 2

Y a 32

a b2 24 5

40 a4x2 2a4xy a4y2 4a4 8a2b3 4b6 a4 x y 2Y 4 a2 b3 2

h i41 x4n 2x2ny y2 x2m 4anxm 4a2n x2n y

2Y xm 2an

2h i

Scomponi riconoscendo nei seguenti polinomi anche il quadrato di un trinomio.

42 x2 4xy 4x 4y2 8y 4 x 2y 2 2h i

431

4 x

2

ax

2

3 bx a2

4

3 ab

4

9 b

2 1

2 x a

2

3 b 24 5

441

4ax2 axy ax ay2 2ay a a 1

2x y 1

24 5

453

4x2 3xy

3

2x2y 3y2 3xy2

3

4x2y2 3 1

2x y

1

2xy

24 5

461

9a2x 2

3abx a2x2 b2x 3abx2 9

4a2x3 x 1

3a b

3

2ax

24 5

Scomponi riconoscendo anche differenze di quadrati.

47 4x2 z2 2x z 2x z



5/11

484

81x4 y2 2

9x2 y

2

9x2 y

!

49 a2 1

25b4 a 1

5b2

a

1

5b2

!

50 y4 1

4

x2 y2 1

2

x y2 1

2

x !51 z2y2

1

9z2 z2 y 1

3

y

1

3

!

52 4x2y2 y2 y22x 12x 1

539

4ay2 ax4 a 3

2y x2

3

2y x2

!

54 b a 21 b a 1 b a 1

55

56 a4 a2 2a 1 a2 a 1 a2 a 1

57 x4 4x2 4 9z4 x2 2 3z2 x2 2 3z2

58 9x2 6xy y2 9 y 3x 3 y 3x 3

59 9a2 b2 4a2b 4a4 3a b 2a2 3a b 2a2

601

4x2

2

3x

4

9

1

9y2 1

2x

2

3

1

3y

1

2x

2

3

1

3y

!

61 4x2y2 20xy 25 16z4 2xy 5 4z2 2xy 5 4z2 62 9x2m z2 3xm z 3xm z

63 y2 9x2m y 3xm y 3xm

64 9a2n 6an 1 x2m 3an 1 xm 3an 1 xm

65 4x4 4x2 1 16y2n 2x2 1 4yn

2x2 1 4yn

Scomponi riconoscendo nei seguenti polinomi anche il cubo di un binomio.

66 8x3 12x2 6x 1 2x 1 3h i

ESERCIZIO GUIDATOESERCIZIO GUIDATO

b4 x2 2ax a2

Riscrivi dapprima il polinomio raccogliendo il segno fra gli ultimi tre termini:

b4 x2 2ax a2

Il polinomio fra parentesi e adesso il quadrato di un binomio:

b4 x a 2

Puoi applicare adesso la regola della differenza di quadrati. b2 a x b2 a x



6/11

67 a3 6a2x 12ax2 8x3 a 2x 3

h i

68 27x3 9x2 x 1

273x

1

3

34 5

69 a3b3 6a2b2 12ab 8 ab 2 3

h i70 x3y3 3x2y2 3xy 1 xy 1 3

h i

71 8xz3 6xz2 3

2xz

1

8x x 2z 1

2

34 5

72 4a3b3 12a2b2c2 12abc4 4c6 4 ab c2 3

h i

731

8x4 1

2x3y 2

3x2y2 8

27xy3 x 1

2x

2

3y

34 5

Scomponi in fattori i seguenti trinomi caratteristici.

74

75 x2 9x 20 x2 8x 15 x 5 x 4 Y x 3 x 5 76 x2 6x 8 x2 4x 3 x 2 x 4 Y x 1 x 3

77 x2 4x 5 x2 2x 3 x 1 x 5 Y x 1 x 3

78 y2 4y 12 x2 2x 15 y 2 y 6 Y x 3 x 5

79 b2 ab 6a2 x2 3bx 4b2 b 2a b 3a Y x b x 4b

80 x2 5xy 4y2 x2 7ax 6a2 x y x 4y Y x a x 6a

81

82 2x2 3x 1 4x2 5x 1 2x 1 x 1 Y 4x 1 x 1 83 3b2 2b 1 2x2 3x 1 3b 1 b 1 Y 2x 1 x 1


x2 4x 21

Dobbiamo trovare due numeri che hanno come prodotto 21 e come somma 4.Poiche 21 7 3 7 3 ma solo la seconda coppia da per somma 4, il polinomio siscompone in x 3 x 7 .

ESERCIZIO GUIDATOESERCIZIO GUIDATO

3x2

5x 2

Il coefficiente del termine di secondo grado non e 1; dobbiamo quindi trovare due numeriche abbiano come somma 5 e come prodotto 3 2 6; essi sono 6 e 1, quindi scri-viamo il termine di primo grado 5x come somma di 6x e di x:

3x2 6x x 2

Procedi adesso con un raccoglimento parziale e poi totale. 3x 1x 2



7/11

84 3x2 x 2 2x2 7x 3 3x 2 x 1 Y x 3 2x 1

85 4x2 7x 2 5x2 6x 1 x 2 4x 1 Y x 1 5x 1

86 4x2 3x 1 4x2 3x 1 x 1 4x 1 Y 4x 1 x 1

87 4x2 5bx b2 3x2 5xy 2y2 x b 4x b Y x y 3x 2y 88 3y2 4ay a2 5a2 6ax x2 y a 3y a Y a x 5a x

Scomponi in fattori i seguenti polinomi applicando il metodo di Ruffini.

89

90 x3 4x2 x 6 x 1 x 2 x 3

91 x3 2x2 x 2 x 2 x 1 x 1

92 2x3 3x2 3x 2 2x 1 x 2 x 1 93 3x3 11x2 5x 3 3x 1 x 1 x 3

94 4x3 7x 3 2x 1 2x 3 x 1

95 y3 by2 10b2y 8b3 y b y 2b y 4b

(Suggerimento: i possibili valori di a sono b, 2b, 4b, 8b)

96 2x3 11bx2 3b2x 36b3 x 3b x 4b 2x 3b

97 2x3 5ax2 4a2x 3a3 x a 2x a x 3a

98 3x3 16x2y 3xy2 10y3 x 5y 3x 2y x y 99 x4 4x3y 13x2y2 4xy3 12y4 x 2y x y x 6y x y


x3 x2 10x 8

I possibili divisori del polinomio sono i binomi x a dove a puo essere uguale a 1, 2, 4,8. Applichiamo il teorema di Ruffini e calcoliamo i resti delle divisioni:

P 1 1 1 10 8 18 P 1 1 1 10 8 0

Abbiamo trovato il primo divisore: x 1

Eseguiamo la divisione1 1 10 8

1 1 2 8

1 2 8 0

Una prima scomposizione del polinomio e quindi x 1 x2 2x 8

Per scomporre il trinomio nella seconda parentesi possiamo usare la regola del trinomio ca-ratteristico; in definitiva:

x3 x2 10x 8 x 1 x 4 x 2



8/11

Scomponi in fattori i seguenti polinomi ricordando le regole sulla somma e differenza di cubi.

100

101 8a3y3 1 2ay 1 4a2y2 2ay 1

102 27x3 64y3 3x 4y 9x2 12xy 16y2

103 x6

1

8 x2

1

2 x4 12 x2 14 !

1041

64a3

1

125c3 1

4a

1

5c

1

16a2

1

20ac

1

25c2

!

1051

2x 2y

31 1

2x 2y 1

1

4x2 2xy 4y2

1

2x 2y 1

!

106 a3x3 1 a 3

ax a 1 a2x2 ax a2x 1 a2 2a

1071

8b3 a2 2

3 1

2b a2 2

1

4b2

1

2a2b b a4 4a2 4

!108 a y

3 a y 3 2y 3a2 y2

109 2ax 1 3 ax 2

33ax 1 3a2x2 3ax 7

110

1

2x 2

3

1

2x 2

31

4x x2 48

!

ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO

Scomponi in fattori i seguenti polinomi.

1 x3y3 3x4y2 3x5y x6 x3 x y 3h i

2 2x3 12x2 18x 2x x 3 2h i

3 3a3b 6a2b3 3ab5 3ab a b2 2

h i

42

3x4y 2x3y 2x2y

2

3xy 2

3xy x 1

3

!5 x2 x a 2 x a x x a x a x 1 2

h i


1

27a3 8x3

Il primo monomio e il cubo di1

3a, il secondo e il cubo di 2x, quindi, tenendo presente la

regola:

1

27a3 8x3

1

3a 2x

|{z}differenza delle basi

1

9a2

2

3ax 4x2

|{z}

falso quadrato



9/11

6 27x3 125x6 x3 3 5x 9 15x 25x2

7 4ay6 16a3y2 16a2y4 4ay2 y2 2a 2h i

8 x4a2 x2 x2 ax 1 ax 1

9 x2y3 18 x2z3 x2 y 12 z

y2 12 yz 14 z2 !10 3a3b3 12a2b2 12ab 3ab ab 2

2h i

11 9 x b x2 12xy x b 4 x b y2 x b 3x 2y 2h i

12 4a5x3 8a3x3 4ax3 4ax3 a 1 2

a 1 2

h i

13 x 1

3

4b2 a2 x

1

3

4ab x

1

3

x

1

3

a 2b

2

!

14 18 b6 b9 b6 12 b

b2 12 b 14 !15

1

2x 1

2

1

4x2

1

2x 1

2x

1

2x 1

21

2x 1

44 5

16 3a2b5 3a2bc2 3a2b b2 c b2 c

17 3a 6b a 3b a 2b 2a2 4b2 a 2b 3a 5b

18 xa xb 2ya 2yb a b x 2y 1 a b

19

x

4

y

4

3x2

y

2

4 xy 1 xy 1 x2

y

2

4 20 6x3 25x2 21x 10 2x 5 3x 1 x 2

21 x 1

22 x 1 ax 2 a2x2 4ax 4 ax x 3 2

h i

22 3abx 1

3 3x

1

3ab 3x 1

3

ab 1

!

23 2x3y 8x2y 2xy 12y 2y x 1 x 2 x 3

24 x5 4x4y 6x3 4x3y2 12x2y 9x x 2xy x2 3

2

h i25 y6 6x2y3 9x4 y2 y3 3x2 y y3 3x2 y 26 x 2

3x x 2

22x x 2 4 x 2 x 1

27 x3 8 4 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4

28 2ax6 4ax3 6a 2a x3 3 x 1 x2 x 1

291

3ax2y a2x

1

6byx

1

2ba 1

6b 2ax 3a xy

!

30 3y 2 23ya 6yb 2a 4b 9y2 4 3y 2 6y a 2b 31 z4 z3 5z2 z 6 z 3 z 2 z2 1



10/11

32 2x 4a 3x x 2a 2x3 4ax2 2x 1 x 2a 2 x

33 x3y2 x 1 4xy2 4x3y2 xy2 x 1 x 2 2h i

34 x5 2x2 x4 2x 2x3 4 x 2 x 1 x3 2

35 12

abx2 ax 3bx 6 12

ax 3 bx 2 !36 2x4 3x3 2x2 1 2x 1 x 1 x2 x 1

37

1

9x2

4

3x 3 1

9x 9 x 3

!

38 4a 6b 2ax 3bx 4a2 12ab 9b2 2a 3b 2 x 2a 3b

392

3x2y 2

3xy2 1

5a3x 1

5a3y 2

3xy

1

5a3

x y

!

40 abx2 2abx ab x3 2x2 x ab x x 1 2h i41 a2 2a 2x

2 4x2 8ax a2 x2 2ax 4 x a 4

h i42 4x2z4 y2 2xz2 4x2z2 y 2xy 2xz2 y

2xz2 y 2x 1

43 y5 6y4 12y3 8y2 y2 y 2 3h i

44 x2y3 xy3 x2yz2 xyz2 xy x 1 y z y z

454

9x2 4xy 8y2 4

9x 3y x 6y

!46 x4 x2 x3 x 2 x 1 x 2 x2 1

47 x x 1

2

2

1

4

x

4

1

8

x

1

2

x

1

4

24 5

48 6 1 x x x2 1 x 1 x 2 x 3

49 ab x 2 4b2 2a2 5x 10 2b2x 5a 2b 2a b x 2

50 ab3x b2x a 2 2bx bx ab 2 b 1

51

3

8x4 81xy3 3x 1

2x 3y

1

4x2

3

2xy 9y2

!

52 2x3 13x2 22x 8 x 4 2x 1 x 2

53 ab3 2ab2 ab b 1 b 1 ab2 ab 1

54 2x4 ax3 2a2x2 a3x xx ax a2x a

55 x4y 4x2y 5y y x 1 x 1 x2 5

56 ay by a3 b3 a b y ab a2 b2 57 x2n xn 2 xn 1 xn 2



11/11

58 2x2n axn a2 2xn a xn a

59 a2x2n a4 a2 xn a xn a

60 x3n 8y3m xn 2ym x2n 2xnym 4y2m

Dopo aver scomposto i seguenti polinomi, determina il loro MXCXDX e il loro mXcXmXX

61

62 x3 x 3x2 3x x2 1MXCXDX x 1Y mXcXmX 3x x 1 x 1

63 a3 9a2 27a 27 a2 2a 3 a2 9

MXCXDX a 3Y mXcXmX a 3 3

a 3 a 1 h i64 2a 2 2a2 8a 6 8a2 8

MXCXDX 2 a 1 Y mXcXmX 8 a 1 a 1 a 3

65 3x2 12x 12 x3 6x2 12x 8 4x 8 MXCXDX x 2Y mXcXmX 12 x 2 3h i

66 x3 y3 x6 y6 x y

MXCXDX x yY mXcXmX x y x y xy x2 y2

x2 xy y2 h i

67 y2

by

2b2 y2

b2 y2

3by

2b2

MXCXDX y bY mXcXmX y b y b y 2b y 2b

68 x4 x2 x3 x ax2 2ax3 ax4 x3 x

MXCXDX x x 1 Y mXcXmX ax2 x 1 2

x 1 h i

69 bx2 2bx 4b2x 4b2x2 b2x3 x2 3x 2

MXCXDX 1Y mXcXmX b2x x 2 2

x 1 h i

70 4x2 7x 3 4x3 3x2 4x 3 16x3 8x2 15x 9

MX

CX

DX

4x 3Y mX

cX

mX

4x 3 2 x 1 x 1 h i


4x2 8x 4 x3 2x2 x 2 ax a x 1

Scomponiamo ciascun polinomio:

4x2 8x 4 4 x2 2x 1 4 x 1 2

x3 2x2 x 2 x2 x 2 x 2 x2 1 x 2 x 1 x 1 x 2

ax

a

x

1

a x

1

x

1

a

1 x

1

Il solo fattore comune alle tre scomposizioni e il binomio x 1; quindi:

MXCXDX x 1 mXcXmX 4 x 1 2

x 1 x 2 a 1


scomposizione_polinomi

Documents