Panevropski univerzitet Apeiron

Fakultet poslovne ekonomije

Predmet:Kvantitativne metodeSeminarski rad:TEMA: KAMATNI RAUN

Mentor: Student:Profesor dr Mirjana Landika Dragan Maksimovi Indeks 47-09/RPMBanja Luka, 2011.

SADRAJ:

1. Uvod...........................................................................................................................................22. Procentni raun.........................................................................................................................32.1. Procentni raun od sto........................................................................................................32.2. Procentni raun vie od sto i nie od sto (100).................................................................32.3. Promilni raun.....................................................................................................................42.4. Prost interesni raun...........................................................................................................52.4.1. Interesni raun od sto....................................................................................................52.4.2. Interesni raun vie od sto i nie od sto.......................................................................72.4.3. Izraunavanje interesa na vie suma...........................................................................83. Srednji rok plaanja..................................................................................................................94. Eskontovanje............................................................................................................................105. Komercijalni eskont.................................................................................................................106. Racionalni eskont.....................................................................................................................107. Jednakost efekata.....................................................................................................................118. Sloeni interesni raun............................................................................................................118.1. Dekurzivno raunanje vremena.........................................................................................119. Faktor akumulacije..................................................................................................................129.1. Izraunavanje krajnje vrijednosti kapitala......................................................................1210. Generalizacija faktora akumulacije......................................................................................1311. Konformna (ekvivalentna) stopa...........................................................................................1412. Eskontni faktor.......................................................................................................................1513. Faktor dodajnih uloga............................................................................................................1514. Ulaganje poetkom obraunskog perioda............................................................................1615. Ulaganje krajem obraunskog perioda................................................................................1716. Ulaganje je ee (rjee) od kapitalisanja............................................................................1817. Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga................................................................................1918. Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga.............................................................................1919. Zajmovi....................................................................................................................................2019.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima.................................................................2019.1.1.1. Zakon otplata........................................................................................................2119.1.1.2. Izraunavanje bilo koje otplate pomou prve otplate i obrnuto......................2319.1.1.3. Izraunavanje otplaenog dijela duga i ostatka duga.......................................2319.1.1.4. Anuiteti jednaki i ei od kapitalisanja.............................................................2419.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjei od kapitalisanja.............................................................2519.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama..................................................................2619.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima..........................................................2719.1.4. Amortizacija zajma zaokruenim anuitetima...........................................................2719.1.5. Konverzija zajma.........................................................................................................2820. Literatura................................................................................................................................291. UVOD

Prema definiciji, kamata je cijena kapitala koji se posuuje na neki odreeni vremenski period. U poslovnoj praksi, predmet kamatnog rauna je obraun (raunanje) cijene kapitala. Kamate se raunaju u procentu od kapitala u istim novanim jedinicama na koje glasi kapital ili glavnica. Kamatni raun moe biti jednostavan (ili prost) i sloen, zavisno od toga da li se i na kamate raunaju kamate. Kod prostog kamatnog rauna dospjele kamate se ne kapitaliu, a kod sloenog kamatnog rauna to je pravilo. Dospjele kamate se pribrajaju kapitalu, tako da u novom vremenskom periodu nose kamate zajedno sa glavnicom.Primjena kamatnog rauna je vrlo rasprostranjena u poslovnoj praksi. Ovaj raun se koristi kod: svih kreditnih poslova, tednih uloga, tekuih rauna, potroakih kredita, kupovina i prodaje hartija od vrijednosti, lombardnog poslovanja, hipotekarnih zajmova, ugovornog plaanja, ...

2. PROCENTNI RAUN

2.1. Procentni raun od sto

Procentni raun je raun proporcija. Ako posmatramo neku cjelinu koju emo nazvati "glavnica" i oznaiti sa G i neki njen dio koji emo oznaiti sa P i zvati "procentni iznos", pogodno je znati koliki je dio procentnog iznosa u sto dijelova glavnice. Taj broj se naziva "procentna stopa" i oznaava se sa p. Dakle, osnovna proporcija procentnog rauna je:

G : P = 100 : P

ili ekvivalentno G p = 100 P , odakle moemo dobiti sljedee tri jednakosti:

koje se koriste za izraunavanje glavnice, procentne stope i procentnog iznosa, ako su poznate redom: procentni iznos i procentna stopa; procentni iznos i glavnica i procentna stopa.

Primer: Izraunati:a) glavnicu G ako je P = 25 i p = 4%b) procentnu stopu ako je G = 250 i P = 50c) procentni iznos P ako je G = 300 i p = 6%

a) b)

c)

2.2. Procentni raun vie od sto i nie od sto (100)

U praktinim zadacima vezanim za procentni raun ne pojavljuju se obavezno samo veliine definisane na poetku, ve se mogu pojaviti i: glavnica uveana (umanjena) za procentni iznos G+P (G-P) zajedno sa procentnom stopom, a da treba izraunati P ili G.Polazei od relacije i dodajui lijevoj i desnoj strani ove relacije 100 G odnosno P p dobijamo:

odnosno tj. odnosno

tj. dobijamo proporcije

odnosno

koje se zovu proporcije procentnog rauna vie od sto (100).

Odavde moemo dobiti:

Analogno, polazei od relacije i oduzimajui lijevoj i desnoj strani 100 G, odnosno P p, dobijamo proporcije:

(G - P) : (100 - p) = G : 100 odnosno(G - P) : (100 - p) = P : p

koje se zovu proporcije procentnog rauna nie od sto (100). Iz njih se dobije:

Primjer:Cijena robe poveana je prvi put za 10% , pa zatim za 10% , pa je zatim smanjena za 20%. Poslije smanjenja cijena, roba se prodaje za 10,68 din. Nai poetnu cijenu.Cijena robe poslije snienja iznosi snienje je za 20%, pa je cijena bila prije snienja

Ova cijena je nastala poslije drugog poskupljenja od 10%, dakle

, pa je

Ova cijena je nastala poslije poskupljenja poetne cijene G0 za prvo poveanje od 10% pa imamo:

Dakle, poetna cijena je bila 10 dinara.

2.3. Promilni raun

Potpuno analogno u pojedinim situacijama u praksi se koristi analogan raun procentnom raunu - promilni raun. Osnovna proporcija promilnog rauna je sljedea proporcija:G : P = 1000 : p , gdje suG glavnicaP promilni iznosp promilna stopa

Obrasci u primeni su potpuno analogni kao kod procentnog rauna.

2.4. Prost interesni raun

2.4.1. Interesni raun od sto

U poslovnom svijetu normalna je pojava pozajmljivanje novca ili roba (to se opet izraava novcem), tj. kreditiranje. Sama rije kredit je latinskog porekla, credere, to znai dati na zajam, vjerovati, uzdati se. Kredit je, dakle, povjerenje u dunika da e tu obavezu izmiriti. Naknada koju dunik plaa povjeriocu kredita za uslugu pozajmljivanja zove se interes ili kamata. Interes se ugovara izmeu povjerioca i dunika i to tako to se dunik obavezuje da e za svaku godinu (ili neki drugi rok) platiti povjeriocu odreeni broj dinara na svakih 100 dinara pozajmljene sume. Pozajmljena suma na koju se rauna interes se zove kapital ili glavnica - obiljeava se sa K. Kamata (interes) koja se plaa na svakih sto dinara pozajmljene sume za jednu godinu zove se interesna stopa i obiljeava se sa p (to je danas procenat). Kamata ili interes koja se plaa na cijelu sumu K za odreeno vreme obeleava se sa i.

Broj godina obiljeava se sa g.Broj meseci obiljeava se sa m.Broj dana obiljeava se sa d.

Inae, broj dana po mjesecima moe da se izraunava po kalendaru ili da se pretpostavi da svaki mjesec ima po trideset (30) dana. U prvom sluaju se rauna da godina ima 365 dana, a u drugom 360. Ovo se uvijek dogovara izmeu dunika i poverioca kapitala. Osnovne proporcije prostog interesnog rauna su vrlo sline osnovnim proporcijama procentnog rauna jedina razlika je u tome to ovde imamo i faktor vremena, jer veliina interesa zavisi od vremena na koji je novac dat. Te proporcije su:

K : i = 100 : pg g - broj godinaK : i = 1200 : pm m - broj meseciK : i = 36000 : pdd - broj dana, godina ima 360 danaK : i = 36500 : pdd - broj dana, godina ima 365 dana

Iz ovih relacija mogu se lako dobiti sljedee relacije:

K p d = 100 iK p m = 1200 iK p d = 36000 iK p d = 365 i

odakle se lako dobijaju nepoznate veliine za: K;p;g; (m, d); iako su date redom (p, g, i); (K, g, i); (K, p, i); (K, p, g). (p - je kamatna stopa uvijek na godinjem nivou).U pojedinim izraunavanjima se koriste i veliine kamatnog broja Kbr=K d i kamatnih kljueva

Iz prethodnih relacija sa ovim veliinama lako se dobijaju izrazi

odnosno

Veza izmeu ovih interesa (ako se godina rauna 360 ili 365 dana) data je relacijom

koja se lako dokazuje polazei od njihovih definicija.

Primjeri:Izraunati:a) 12% kamatu na sumu od 2000 dinara za 6 godinab) 8% kamatu na sumu od 5000 za 9 mjesecic) 15% kamatu na sumu od 9000 od 1. maja do 10. junad) kapital koji e se za 3 godine uz 10% kamatnu stopu donijeti kamate 300 din.e) vrijeme kada je vraen zajam od 60000 dinara dat 1. septembra ako je isplaena kamata od 120 dinara sa interesnom stopom od 6% (godina ima 360 dana).

Rjeenja:a) dato je p = 12%, K = 2000 din, g = 6 godina, pa je

b) Dato je p = 8%, K = 5000 din, m = 9, pa je

c) Dato je p = 15%, K = 9000 din, d = 40, ako godinu raunamo za 360 i mjesec 30 dana iimamo d = 41 , ako godinu raunamo na 365 dana i mjesece po kalendaru. u prvom sluaju je:

u drugom sluaju je:

- imamo i sluaj kada mjesece radimo po kalendaru, a broj dana u godini 360:

d) Dato je g = 3, p = 10%, i = 300 din., K = ?

e) Dato je K = 60000 din., i = 120 din., p = 6%

Dakle, uz pretpostavku da godina ima 360 dana novac je vraen 12. septembra.2.4.2. Interesni raun vie od sto i nie od sto (100)

Interesni raun vie od sto (100) se primjenjuje kada je dat kapital uvean za interes, tj. kada je dato K + i , a interesni raun nie od sto kada imamo dat kapital umanjen za interes K - i. Potpuno analogno kao u sluaju procentnog rauna vie i nie od sto sa za raun nie od sto:za vrijeme dato u godinama (1)i

za vrijeme dato u mjesecima (2)i

za vrijeme dato u danima, godina ima 360 dana (3)i

za vrijeme dato u danima, godina ima 365 dana (4)i

Iz ovih relacija se lako raunaju nepoznate veliine koje se pojavljuju u ovakvim zadacima, iz poznatih, gdje na primer iz (1) imamo:

Iz (2) imamo:

Iz (3) imamo:

Iz (4) imamo:

Primjeri:(1) Po odbitku interesa sa godinjom interesnom stopom 12% za 5 mjeseci dunik je vratio 3.800 din. Izraunati koliki je dug i koliki je interes?Rjeenje: Dato je K - i = 3.800, p = 12%, m = 5

Dakle, dug je 3.800+200 = 4.000Do istog rezultata se moe doi i primjenom obrasca

a onda je i = K - (K - i) = 4.000 - 3.800 = 200

(2) Zajedno sa kamatom uz interesnu stopu na godinjem nivou od 15% dunik je posle 4 mjeseca vratio 4.200 din. Izraunati koliki je bio dug i koliki je interes?Rjeenje: Dato je K + i = 4.200, p = 15%, m = 4

Dakle, na ime interesa dunik je platio 200 din.

2.4.3. Izraunavanje interesa na vie suma

Ako je vlasnikkapitala dao vie suma na zajam na razliito vrijeme sa istom ili razliitom kamatnom stopom, tada ako hoemo da izraunamo interes na ukupan dati novac izvrimo jednostavno sabiranje pojedinanih interesa za svaku sumu, dakle:(1) Date sume suK1, K2, ... KnVrijeme na koje su dateg1, g2, ...gnKamatna stopa ista za sve p ista za sve

(2) Date sume suK1, K2, ... KnVrijeme na koje su dateg1, g2, ... gnKamatne stope sup1, p2, ... pn

Analogni obrasci se mogu dati i za vrijeme dato u mjesecima - danima.Primer:Banka je dala 10.000 dinara sa kamatnom stopom od 15% na 4 mjeseca duniku A, 15.000 dinara sa kamatnom stopom 12% na 3 mjeseca duniku B i 40.000 dinara sa kamatnom stopom od 10% na 6 mjeseci duniku C. Nai interes koji e banka dobiti.

K1=10.000K2=15.000K3=40.000m1=4m2=3m3=6p1=15p2=12p3=10

3. SREDNJI ROK PLAANJA

Ukoliko je neko pozajmio novac na vie mjesta, u planiranju izmirenja obaveza nastalih pozajmicama, potrebno je ponekad izraunati srednji rok plaanja svih tih obaveza. Pri tome raunamo u tri razliita sluaja. I sluaj:Obaveze i kamatne stope su jednake, a vrijeme je razliito, dakle, imamo n istih obaveza, sa istom kamatnom stopom, a sa vremenima d1, d2, ... dn u trenutku raunanja i srednje vrijeme je aritmetika sredina:

II sluaj:Obaveze su razliite, vremena razliita, a kamatne stope iste, dakle, imamo n obaveza K1, K2, ..., Kn sa vremenom d1, d2, ..., dn i ista kamatna stopa, pa je srednje vrijeme ponderisana aritmetika sredina:

III sluaj[footnoteRef:1]: [1: Napomena: III sluaj je najoptiji i prva dva se sadre u njemu.]

Obaveze su razliite, vremena razliita, razliite kamatne stope, tj. imamo obaveze K1, K2, ..., Kn sa vremenom d1, d2, ..., dn i kamatnim stopama respektivno p1, p2, ..., pn pa je opet srednje vrijeme ponderisana aritmetika sredina:

Primjer:Dunik je u obavezi da plati sljedee fakture sa plativou u danima i kamatna stopa za svako plaanje je dato u tabeli:Kk10.00012.00015.00020.00025.000

dk1520253020

pk81512810

Dunik eli da plati cijeli dug odjednom, sumom iznosa na fakturama. Kada to moe da uini?

Reenje:To je mogue uiniti na dan srednjeg vremena plaanja, kada se izravnaju plaene i neplaene obaveze[footnoteRef:2]. [2: Napomena: Ovdje se u "izravnavanju" roka plaanja podrazumjeva da dunik ne plaa kamatu na obaveze koje je isplatio poslije isteka roka plaanja i da ne trai kamatu na sredstva za obaveze uplaena prije roka, kao i to da su te kamate iste i za dunika i za poverioca.]

dana.

4. ESKONTOVANJE

Plaanja u platnom prometu izmeu privrednih subjekata mogu biti:a) na dan dospjele obavezeb) posle dospjele obaveze - kasnijec) prije dospjele obaveze ranije

u sluaju a - plaa se tano onoliko koliko je obaveza - njena nominalna vrednost. u sluaju b - plaa se interes na zakanjenje. Obraunava se od dana dospjea do dana plaanja i dodaje se nominalnoj vrednosti. u sluaju c obraunava se interes na ranije plaenu obavezu i oduzima od nominalne vrednosti.

Interes u ovim situacijama se zove eksont, a njegov obraun eskontovanje.

5. KOMERCIJALNI ESKONT

Eskont raunat interesnim raunom od sto na nominalnoj vrijednosti nekog efekta (mjenica, kredit,...) za vrijeme od dana eskontovanja do dana dospea, zove se komercijalni eskont i obiljeava se sa Ek. Ako obiljeimo sa Kn nominalnu vrijednost eskonta sa danom dospjea t = n, sa K0 eskontovanu vrijednost efekta u vremenu t = 0, n je broj dana do dospjea efekta, a p je eskontna stopa, tada je:

i

Dakle, K0 eskontovana vrijednost, a ona je umanjena vrijednost za eskont od dana eskontovanja do dana dospea. Eskontovana vrijednost se zove sadanja vrijednost efekta.

6. RACIONALNI ESKONT

Nije teko primjetiti da za raunanje eskontovane vrijednosti u komercijalnom eskontu radimo sa raunom od sto, a da nam je nominalna vrijednost vea (ili manja) od prave sadanje eskontovane. Dakle, komercijalni eskont je eskont sa izvjesnom grekom. Zbog toga uvodimo pojam racionalnog eskonta.

Racionalni eskont je interes aktuelne racionalne vrijednosti. Obeleimo sa:

K0 - aktuelnu racionalnu vrijednost efektaKn- nominalnu vrijednost efektan- broj danap- interesnu stopuEr- racionalni eskont

tada je:

odavde je:

7. JEDNAKOST EFEKATA

Kae se da su dva efekta jednaka u odreenom trenutku, ako eskontovana istom stopom u tom trenutku imaju istu komercijalnu ili istu racionalnu aktuelnu vrijednost. Epoha (dan, mjesec, godina) kada su kapitali jednaki zove se datum ekvivalencije dva kapitala. Neka data dva efekta sa nominalnim vrijednostima Kn i Kn' imaju n i n' dana respektivno, pa su komercijalne eskontovane vrijednosti

kako se zahtjeva Ko= K0' to e biti za

Dakle, jednakost nastaje za one n i n' koji zadovoljavaju prethodnu jednakost.

Ako isti postupak provedemo za racionalne eskontovane vrijednosti, dobijamo da e se jednakost postii za n i n' koji zadovoljavaju

i vai stav da dva kapitala ne mogu biti istovremeno jednaka u komercijalnom i racionalnom eskontu.

8. SLOENI INTERESNI RAUN

8.1. Dekurzivno raunanje vremena

Pod sloenim interesnim raunom se podrazumjeva raunanje kamate na neki kapital u odreenom periodu, dodavanjem kapitalu tako da zajedno sa poetnim kapitalom nadalje donosi kamatu. Ovo obraunavanje i dodavanje interesa kapitalu zove se kapitalisanje i moe biti:

godinje(per annum) skraeno ( p.a.)polugodinje(per semestre) skraeno ( p.s.)tromeseno(per quartale) skraeno ( p.q.)meseno(per mensem) skraeno ( p.m.)

U praksi je najee godinje i polugodinje.

Raunanje i odobravanje kamate na kraju odreenog vremenskog perioda zove se dekurzivno raunanje interesa i uz kamatnu stopu se obiljeava sa d.

Pored ovakvog raunanja kamata postoji i raunanje kamata na poetku svakog predstojeeg perioda (tako banke daju zajmove) i zove se anticipativno raunanje interesa koje obiljeavamo sa slovom a uz interesnu stopu.

9. FAKTOR AKUMULACIJE

9.1. Izraunavanje krajnje vrijednosti kapitala

Vrijednost kapitala koja se daje pod interes zove se sadanja vrednost i obiljeava se sa K. Vrijednost kapitala poslije odreenog broja u n periodu na kojem je kapitalisan, zove se krajnja vrijednost i obiljeava se sa Kn. Izraunajmo Kn uz pretpostavku da je K dinara dato uz kamatnu stopu p i sa godinjim kapitalisanjem. Poslije prve godine imamo interes:

koju dodajemo na poetni kapital i dobijamo:

Na kraju druge godine imamo interes:

koji dodajemo na K1 i dobijamo:

Na isti nain dobijamo da je:

i uopte

Izraz se obiljeava sa r i zove se interesni inilac, pa posljednja jednaina postaje Kn = Krn pri emu rn predstavlja krajnju vrijednost jedne novane jedinice date pod interes sa kamatnom stopom p godinje na dekurzivno kapitalisanje od n godina, i naziva se faktor akumulacije.U sluaju da se kapitalisanje vri m puta godinje sa godinjom kamatom od p procenata, tada se procenat umanjuje m puta, a stepen se uveava m puta. Dakle, jednaina raunanja kapitala posle n godina ima oblik[footnoteRef:3]: [3: Napomena: Zbog prilino komplikovanog raunavanja vrijednosti, u praksi u bankarskim poslovima, gdje su ovi rauni esti, za ovaj raun se ne koriste logaritmi i logaritamske tablice, ve tablica I interesa na interes koja sadri krajnje vrijednosti jednog dinara na kraju 1, 2, ..., n godine uz dati procenat.]

Ovakve stope na krai period od jedne godine zovu se proporcionalne stope.

Primjer:Pronai sumu na koju naraste 5000 dinara pri a) godinje, b) polugodinjem i c) tromjesenom kapitalisanju sa godinjom stopom od 4% na 5 godina.

Rjeenje:

Dakle:

i se zamjenjuje sa pri godinjem kapitalisanju sa kamatom od p%. Ako se kapitalisanje vri m puta godinje sa stopom p% godinje, tada se vrijednosti kapitala na kraju n-te godine rauna na sljedei nain:

10. GENERALIZACIJA FAKTORA AKUMULACIJE

U primjeru iz prethodnog poglavlja se vidi da ako kapitalisanje vrimo ee, tada dobijamo vee sume novca na kraju. ta bi bilo ako bi kapitalisanje vrili neprekidno?

Polazei od formule:

tada bi se m neogranieno uveavalo! Imali bi, dakle:

odnosno:

roj se zove dekurzivni interesni inilac, a se zove faktor akumulacije poslije n godina pri neprekidnom ukamaivanju.

11. KONFORMNA (EKVIVALENTNA) STOPA

Iz prethodnih poglavlja smo vidjeli da se uveanjem broja kapitalisanja poveava krajnja vrijednost kapitala i da je ona najvea pri neprekidnom kapitalisanju. Prirodno je postaviti pitanje kako se moe vriti kapitalisanje vie puta (na primer m puta) u toku godine i da se isplati ista koliina novca kao pri godinjem kapitalisanju? Odgovor na ovo pitanje: ista koliina novca pri godinjem i eem kapitalisanju e se postii pomou ekvivalentne kamatne stope.Neka je:i - godinja kamatna stopaim - ekvivalentna kamatna stopa za m kapitalisanja godinje.

Neka je prema prethodnom zahtjevu kapital isti na kraju n-te godine:

odakle je

odnosno posle korjenovanja lijeve i desne strane

odnosno a odatle

tako, na primer, ako je kapitalisanje polugodinje sa kamatnom stopom od 6% tada je ekvivalentna kamatna stopa:

Oigledno, ova stopa je neto nia nego proporcionalna koja bi u ovom sluaju bila 3%. Ovo vai i u optem sluaju to se lako dokazuje koristei se binarnim obrascem. Polazei od relacije:

i rastavljajui desnu stranu po binarnom obrascu imamo:

odavde je odnosno .

Dakle, proporcionalna stopa je vea od ekvivalentne.12. ESKONTNI FAKTOR

Iz jednaine odnosno

odnosno

dobijamo krajnju vrijednost kapitala poslije n godina pri dekurzivnom godinjem, m puta u godini i neprekidnom kapitalisanju sa godinjom kamatnom stopom p. U primjenama je trebalo rjeavati i obrnut problem: koliko treba uloiti novca u sadanjem trenutku, da bi poslije n godina dobili eljenu svotu novca Kn, odnosno Kmn odnosno u zavisnosti od vrste kapitalisanja. Jasno, ovo se lako rjeava i imamo:

odnosno

odnosno

Dakle, poetna vrijednost koju treba uloiti se dobija kada se eljena vrijednost podjeli sa faktorom akumulacije, odnosno ako se eljena vrijednost pomnoi sa recipronom vrijednou faktora akumulacije koji se zove jo i eskontni faktor.Radi lakeg raunanja i eskontni faktor se zadaje tablino (za praktini raun lake je mnoiti nego dijeliti) i data je tablica II.

Primjer:Koliko treba uloiti novca danas da bi posle 10 godina sa kamatnom stopom 8% uz godinje kapitalisanje primili 5.000 din.?

13. FAKTOR DODAJNIH ULOGA

U prethodnom razmatranju sloenog kamatnog rauna izraunavali smo krajnju vrijednost kapitala za dati poetni kapital dekurzivno na n godina sa kamatnom stopom od p procenata ili obrnuto, izraunavali smo koliki kapital treba uloiti da bi imali odreenu krajnju vrijednost poslije n godina.Dakle, uvijek jedan ulog. Sada emo posmatrati situacije kada imamo ne jedan, ve vie uloga, koji mogu biti u istim vremenskim intervalima, kao i u razliitim, zatim isti ili razliiti po veliini.

14. ULAGANJE POETKOM OBRAUNSKOG PERIODA

Pretpostavimo da na poetku svake godine ulaemo K dinara i neka banka na kraju svake godine vri kamaenje sa p% kamatnom stopom. Kojom emo sumom raspolagati na kraju n-te godine?Oigledno emo imati sledeu situaciju:Prva uloena suma posne n-te godine je postala

Druga uloena suma donosi

Trea uloene suma postaje

Zadnji ulog postaje

Dakle, na kraju n-te godine imamo

Napomena 1: Zadnja relacija se moe dobiti i na sljedei nain:

i poslije mnoenja sa r imamo:

a odavde

to daje

odnosno

Napomena 2: Izraz je oigledno zbir iz I tablice od 1 do n za odreeni procenat, a koji se takoe zadaje tabelarno, tablica III, tj. vai:

i na osnovni izraz se rauna na sledei nain:

Primjer:Neko ulae poetkom svake godine 10.000 dinara. Koliko e imati u banci na kraju iste godine, ako se na ime interesa na interes rauna po 4% uz godinje dekurzivno kapitalisanje?

Ovde je K=10.000, p=4%, r=1,04, n=5, S5=?

Dakle, 15. ULAGANJE KRAJEM OBRAUNSKOG PERIODA

Ako se krajem svake godine ulae K dinara sa p% (pa) d interesa na interes pri godinjem kapitalisanju koliko emo imati novca posle n godina?

Analizirajmo:

Uloenih K dinara na kraju prve godine posle n godina postaje Krn-1, drugi ulog od K dinara na kraju je Krn-2, trei ulog daje Krn-3 i tako dalje poslednji ulog od K dinara se ne kapitalie.

Dakle, poslije n godina imamo:

Napomena 1: Ako izraz zamjenimo tablinim izrazom , tada moemo raunati i na sljedei nain:

)

Isto tako, izmeu mogu da se uspostave sljedee veze:

Uz mnoenjem lijeve i desne strane sa r dobijamo:

Isto tako i

Napomena 2: Za sluajeve kapitalisanja eih nego to su godinja kapitalisanja pri ovom raunu sa tablicom III umesto koristi ako je broj kapitalisanja m na godinjeg nivou, a godinja kamatna stopa iznosi p (n je naravno broj godina).

16. ULAGANJE JE EE (RJEE) OD KAPITALISANJA

U sluajevima kada su ulaganja neravnomerno rasporeena i razliita po veliini, a raunaju se na odreeni broj godina, tada moemo postupiti na sljedei nain: Poslije svakog ulaganja kapital se preraunava na krajnji datum te godine i poslije se izvri uobiajeni postupak rauna godine za godinu. Ako je ulaganje rjee od kapitalisanja, tada se kapitalisanje vri sa odgovarajuom kamatnom stopom (m je broj kapitalisanja) za m-n period.

Primer:Ulagano je poetkom svakog polugodita po 10.000 dinara u banku koja plaa 6% kamate i vri godinje kapitalisanje u trajanju od 5 godina. Koliko novca e biti posle tog perioda?

Na kraju prve godine kada se vri kapitalisanje emo imati kapitalisanje za prvi ulog za cijelu godinu, a za drugi kapitalisanje za pola godine, tj.

Dakle, na kraju svake godine e biti novog novca K1=21.000 dinara, odnosno imaemo:

Napomena:

Ukoliko, na primjer, u banku ulaemo poetkom svakog od m perioda u toku jedne godine po K dinara sa godinjom kamatnom stopom p , onda emo na kraju godine imati ulog od:

Zaista, prvi ulog se kapitalie u potpunosti i na kraju imamo:

Drugi ulog e postati:

Trei ulog e postati:

...m-ti ulog e postati:

I zbir

17. FAKTOR AKTUELIZACIJE DEKURZIVNIH ULOGA

Neka krajem prve, druge, ..., n-te godine ulaemo K1, K2, ..., Kn dinara uz godinje kapitalisanje sa kamatnom stopom p procenata. Postavlja se pitanje: Koliko novca bi trebalo uloiti poetkom prve godine da na kraju n-te godine uz iste uslove imamo isti kapital?

odakle je

Ako je k1 = k2 =...= kn tada je

pri tome se zove faktor aktuelizacije [footnoteRef:4]. [4: Faktor aktuelizacije zove se jo i diskontovana vrijednost.]

Danas, faktor aktuelizacije je vrijednost ulaganja na poetku prve godine - ekvivalentna ulaganjima od po jedne novane jedinice krajem prve, ..., n-te godine.

Napomena: Radi lakeg rauna u praksi se koristi tablica za izraz to je tablica IV, dakle,

18. FAKTOR AKTUELIZACIJE ANTICIPATIVNIH ULOGA

Analogno kao u prethodnom sluaju, neka poetkom prve, druge, ..., n-te godine ulaemo k1, k2,...,kn dinara uz godinje kapitalisanje sa kamatnom stopom od p% moemo postaviti pitanje: Koliko bi novca trebalo uloiti poetkom prve godine da bi na kraju n-te godine uz iste uslove imali isti kapital?Nepoznati kapital bi, dakle, bio i on bi na kraju n-te godine bio i morao bi biti isto kao i dakle, ako je k1=k2=...kn tada je i ove vrijednosti se, slino kao i prethodne raunaju primjenom tablice IV, tj. vai:

jer je .

19. ZAJMOVI

I pored toga to se u ekonomskoj nauci u praksi ponekad pravi razlika izmeu zajma i kredita[footnoteRef:5], ovdje ne pravimo razliku izmeu ove dvije kategorije, jer sutinske razlike i nema. [5: Rije kredit se upotrebljava za kratkorone bankarske poslove, a rije zajam se upotrebljava za dugorone kredite.]

Dakle, kredit ili zajam predstavlja privredno pravni pojam, tj. duniko povjereniki odnos, zasnovan na ugovoru o uslovima za sticanje prava raspolaganja novcem (ili nekim drugim vrijednostima) od strane povjerioca prema duniku. Sama rije kredit potie od latinske rei "credo", to znai vjerujem (imam povjerenje). Interesi povjerioca (odnosno zajmodavca) su najee kamata, ali pored toga interes moe biti i odreeni ekonomski razvoj, instrument ekonomske politike, ako je povjerilac vea firma prema manjoj ili drava prema nekoj radnoj organizaciji. Zajmovi najee slue za investicione svrhe i po pravilu se odobravaju jednokratno u odreenoj visini, a dunici ih otplauju u godinjim otplatnim iznosima koji se zovu anuiteti. U anuitetima se sadre otplate glavnice i isplate kamate. Anuiteti su najee jednaki, a mogu biti i razliiti, a na primer da otplate glavnice budu jednake. Isplaivanje zajma se u ekonomskoj praksi zove amortizacija zajma.

19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima

Pretpostavljamo da je dunik uzeo od povjerioca K dinara poetkom godine koje treba da otplati sa jednakim godinjim anuitetima a. Pri tome je kamata p procenat, a ukamaivanje je sloeno i vri se godinje. Koliki je anuitet a?Dug e oigledno poslije godinu dana prije otplate prve dve rate iznositi:

Poslije otplate prve rate dug iznosi Prije isplate druge rate dug postaje (zbog kamata)

i uplatom druge rate dug se smanjuje za a i iznosi

Ovaj raun nastavljamo i posle n-te godine i isplate n-te rate imamo:

jer je po pretpostavci isplatom zadnje n-te rate dug isplaen. Ako je 1 + i = r tada imamo:

tj. odnosno pri emu se zove

anuitetni faktor ili faktor povraaja koji je dat tablicom V, a koja je oigledno povezana sa tablicom IV, tj. vai

.

U sluaju da se anuiteti poveaju m puta godinje i n puta se vri kapitalisanje, tada se analognim raunom dobija veza:

Primjer: Zajam od 1.000.000 dinara amortizuje se jednakim anuitetima u toku 5 godina uz 12% kamatnu stopu ako je obraun kamate na kraju godine.Izraunati anuitet ako se:a) anuitet plaa i kapitalisanje vri godinjeb) anuitet plaa i kapitalisanje vri polugodinjec) anuitet plaa i kapitalisanje vri tromesenod) anuitet plaa i kapitalisanje vri meseno.

Rjeenje:a) b) c) d)

19.1.1.1. Zakon otplata

Ako zajam otplaujemo jednakim anuitetima tada sa svakim anuitetom plaamo prispelu kamatu na dug u tom trenutku i dajemo otplatu - smanjujemo dug. Dakle, anuitet

Pri ovakvom nainu otplaivanja zajma je oigledno da se sa vremenom otplate poveavaju, a prispele kamate smanjuju. Pregled otplata i interesa se vri po odreenom planu koji se zove amotizacioni plan. Izloimo ga pretpostavljajui da se zajam od K dinara amortizuje sa n jednakih godinjih anuiteta sa p% kamatnih stopa i godinjim dekurzivnim kapitalisanjem.Prema prethodno izraunatom imamo daje:

i pri tom imamo: za prvu godinu zajam je , interes , i otplata za drugu godinu zajam je , interes , i otplata za n-tu godinu zajam je , interes , i otplata

pri emu je posljednja otplata jednaka ostatku duga, tj.

Pregledno ovaj plan se daje tabelom:

period otplaivanjaiznos dugainteresanuitetotplate

1a

2a

3a

...............

n-1a

na

Oigledno da u ovom planu mora biti:

Primjer:

Napravimo amortizacioni plan iz prethodnog primjera a): K=1.000.000, n=3, p=12%, a=416.350 dinara.

Godine otplateIznos dugaInteresOtplata

1

2

3

UKUPNO: 1.000.000

19.1.1.2. Izraunavanje bilo koje otplate pomou prve otplate i obrnuto

Iz amortizacionog plana moemo odmah vidjeti da je:

Analogno dobijamo:

i nastavljajui do kraja

Imajui u vidu da je vrijednost data u prvoj tablici , imamo da je k=2,..., n

Obratno, ako znamo bk, dobijamo b1 na sljedei nain:

k=2,..., n

19.1.1.3. Izraunavanje otplaenog dijela duga i ostatka duga posle c prvih plaenih anuiteta

Ove vrijednosti se lako izraunavaju iz amortizacionog plana. Naime, otplaeni dug Oc posle c plaenih anuiteta je zbir prvih otplata, dakle:

Ostatak duga naravno, predstavlja razliku izmeu duga Kn otplaenog dijela Oc:

i pod istim uslovima (godinje kapitalisanje i godinji anuitet) moe se izraunati da je:

19.1.1.4. Anuiteti su jednaki i ei od kapitalisanja

Neka je kapitalisanje godinje, p procenat kamatne stope, anuitet na zajam od K dinara se isplauje m puta godinje, a broj godina za koje treba otplatiti zajam neka je n. Koliki je anuitet?Anuiteti uplaeni m puta godinje se oigledno moraju shvatiti kao ulozi dati pod istim uslovima kao to je i uzeti zajam, dakle, na kraju godine iznos anuiteta je: a zajam je postao i neotplaena suma sa kojom se ulazi u drugu godinu je .Analogno dobijamo:

...

Iz ovih relacija dobijamo (zamjenom prethodne u narednoj):

...

oznaivi imamo

odakle je

Primjer: Kupac je kupio automobil na kredit. Cijena automobila je 200.000 dinara, kamata je 10%, kapitalisanje je godinje, a kredit se otplauje na 36 jednakih mesenih rata. Koliki su anuiteti?

Rjeenje:

19.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjei od kapitalisanja

Ovaj sluaj emo objasniti na primjeru gdje se na zajam od K dinara sa p procenata godinje kamate vri kapitalisanje m puta godinje, a anuiteti se plaaju godinje n godina.Dakle, zajam na kraju prve godine postaje posle m kapitalisanja sa proporcionalnom stopom

i kada posmatramo prvi anuitet dobijamo startnu vrijednost za drugu godinu (vrijednost na kraju prve godine):

analogno

i na kraju

tj. sa n-tom otplatom zajam je otplaen.Zamjenjujui prethodni izraz u narednom dobijamo:

i tako dalje do kraja:

sabirajui

imamo jednakost

odnosno

odakle je

Dakle, ako raunamo pomou tablice je izraunata vrijednost anuiteta.19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama

Zajam se moe otplaivati i sa jednakim otplatama od n dijelova, s tim da se anuiteti dobijaju tako to se na vrijednost doda izraunati interes u trenutku isplate anuiteta. Dakle, neka je uzet zajam od K dinara na n-godina sa p procenata kamatne stope i jednakim otplatama. Koliki su godinji anuiteti?

Anuiteti se mogu lako raunati na sljedei nain:

Prvo, i anuitet . Dakle, u drugu godinu ulazimo sa dugom i drugi anuitet je:

U treu godinu se ulazi sa dugom i trei anuitet je:

nastavljajui analogno zakljuujemo da je k-ti anuitet

i zadnji anuitet je

sa kojim je otplaen dug.

Ako se pravi amortizacioni plan zajma u koloni otplata imamo iste vrijednosti, a anuiteti se dobijaju kad se na ove vrijednosti dodaju interesi na odgovarajui iznos duga.

Primjer:Kredit od 2.700 dinara je uzet po godinjoj kamatnoj stopi od 12% , na 12 tromesenih anuiteta sa jednakim isplatama. Napraviti plan amortizacije.

Rjeenje:

Otplata je dakle 2.700 : 12 = 225 din. Kada doe vrijeme prve isplate, na kredit valja platiti interes dinara (kamata je proporcionalna) pa je prvi anuitet, dakle, 225 + 81 = 306 dinara.

Dakle, preostali dio duga je 2.475 dinara, na koji se daje otplata posle sljedea tri mjeseca koja iznosi 225+P2 a din. pa je anuitet 299,25 dinara ili pregledno u tabeli:

period otplatepoetni iznos dugainteresanuitetotplatakrajnji iznos duga

12.700813062252.475

22.47074,25299,252252.250

32.25067,50292,502252.025

42.02560,75285,752251.800

51.80054,00279,002251.575

61.57547,25272,252251.350

71.35040,50265,502251.125

81.12533,75258,75225900

990027,00252,00225675

1067520,25245,25225450

1145013,50238,50225225

122256,75231,752250

-526,503.226,502.700-

19.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima

Isplata zajma na ovaj nain se vri izradom amortizacionog plana, s tim to anuitet u svakom koraku mora biti vei od interesa i zadnji anuitet mora svesti dug na nulu.

19.1.4. Amortizacija zajma zaokruenin anuitetima

Amortizacija zajma u ovoj situaciji je vrlo slina amortizaciji zajma sa jednakim anuitetima, sa tom razlikom to se anuiteti zaokrue na neku odreenu vrijednost i na taj nain se napravi amortizacioni plan, a u posljednjem periodu izraunavamo zadnji interes i dodamo na ostatak duga. Dakle, zadnji anuitet nije isti kao ostali, ve je zbir posljednjeg interesa in i posljednjeg ostatka duga Kn (koji je jednak ostalim) i zove se jo i anuitetni ostatak.

Primjer: Zajam od 8.000 dinara amortizuje se godinjim anuitetima koji su u visini od 35% od veliine zajma sa kamatnom stopom od 5% dekurzivno, uz godinje kapitalisanje. Napraviti plan amortizacije zajma i odrediti posljednji anuitet.Rjeenje: Kako anuiteti treba da budu 35% od veliine zajma to je . Iz tablice IV imamo odavde je

Ove vrijednosti se ne nalaze u koloni procenta 5, ve je 3 < n < 4. Dakle, zajam se amortizuje 4 godine. Tri puta se plaa po 2.800, a posljednje godine ostatak. Prikaimo to amortizacionim planom:

period otplatepoetni iznos dugainteresanuitetotplatakrajnji iznos duga

18.0004002.8002.4005.600

25.6002802.8002.5203.080

33.0801542.8002.646434

443421,7455,74340

-855,78.895,78.000-

19.1.5. Konverzija zajma

Konverzija zajma je svaka promjena uslova otplaivanja zajma. Do konverzije najee dolazi na prijedlog dunika, a moe biti predviena i ugovorom o zajmu i esto je nametnuta i promjenama na tritu novca.Matematiki gledano, konverzija zajma predstavlja novi zajam sa novim uslovima, pri emu je veliina tog novog zajma ostatak duga sa prispjelom kamatom do tog trenutka za koju se pravi novi amortizacioni plan sa novim uslovima.

Primjer:

Zajam od 100.000 dinara otplauje se 25 godina godinjim anuitetima uz interes od 6% (pa) d i godinje kapitalisanje. Poslije 15 godina plaenih anuiteta, interes je smanjen na 4% (pa) d i rok je produen za 5 godina. Izraunati novi anuitet.

Prvo treba izraunati prvobitni anuitet i otplaeni deo duga sa 15 rata: ostatak duga posle 15 godina je din.

Novi anuitet je:

din.

LITERATURA:

Mitrovi Z., Poslovna matematika, I izdanje, Visoka kola za primijenjene i pravne nauke Prometej, Banja Luka, 2007.; Macanovi A., Kvantitativne metode, Visoka kola za primijenjene i pravne nauke Prometej, Banja Luka, 2011.; Hadi O., Takai ., Matematike metode, Prirodnomatematiki fakultet, Novi Sad, 2000.

3