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Simetria SU(2): SpinSimetria SU(2): Spin

e Ie I --spin (spin ( IsospinIsospin ))Representao fundamental do Grupo de Simetrias SU(2):

=d

u

onde u: up, d: down.

A representao acima denota por exemplo um dubletode spins ou de i-spins. Os estados u e d representamneste caso as funes de onda de spins ou isospins defrmions caracterizadas por projees 1/2 no eixo dequantizao de spin ou i-spin. Claro que no caso do spin,estes valores so dados em unidades de h .

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Simetria fundamental:a menos de fator de fase, os estados u e d so invariantesfrente a uma rotao em torno do eixo z (eixo dequantizao).

Rotao em torno de outro eixo (por exemplo, y) de umngulo transforma os estados na forma:

Se por simplicidade introduzirmos a seguinte baseortogonal:

2

2=

=

d

u

/cos/sen

/sen/cos U

d

u

1

0=

0

1= d;u 2

2=

22

=/cos

/senu;

/sen

/cosu

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A matriz U unitria ::A norma dos vetores de estado preservada:

UU /cos/sen

/sen/cos

/cos/sen

/sen/cos =22

22

/sen/cos/cos/sen/cos/sen/cos/sen/cos/sen/sen/cos

= 22

2

2

I I == 10

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Grupo de transformaes de SU(2):

U =

S: simetria

U: unitria

Grupos:ElementosRepresentaesOperaes

TransformaesGeradoreslgebra

Forma Geral de U (forma convencional):

2

/sen.ni/cos.ni

eU

r )rr )r

Medida da rotaoem torno do eixo n

)r

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Para infinitesimal:

.ni U 2rr

Gerador das transformaesinfinitesimais de SU(2)

r

.ni 2

rr

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Vamos construir os geradores de SU(2).

1o. Passo: Como U unitria:

det U = 1 (escolha arbitrria de fase (|det U|=1)

1= UUUU .n-i.n-i

ee

rrrr

=

rr =

As matrizes so Hermitianas.

db

ca

== dc

badb

ca

db

ca

db

ba

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Vamos construir os geradores de SU(2).

2o. Passo: Como U unitria:

det e A = e trao A =1 (det A = 0)

trao A = 0

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As matrizes so Hermitianas e tm trao nulo.

r

ab

baa:real

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Condio de normalizao:

abba

12ba

01

b,a

i,b,a

01

=x

H trs matrizes deste tipo linearmenteindependentes: so as matrizes spin de Pauli:

0

= ii

y 1

0

=z

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Referncias:

1. F. E. Close, An Introduction to Quarks and Partons ,Academic press, London, 1979.