Matematisk formelsamlingstxB-niveau

maj 2018

Denne udgave af Matematisk formelsamling stx B-niveau er udgivet af Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk.

Formelsamlingen er udarbejdet i et samarbejde mellem Matematiklærerforeningenog Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, maj 2018

Kopiering til andet end personlig brug må kun ske efter aftale med Copy-Dan.

ISBN:978-87-603-3165-7

Forfattere: Gert Schomacker, Jesper Bang-Jensen, Bodil Bruun og Jørgen Dejgaard

2

3

Forord: ”Matematisk formelsamling stx B” er udarbejdet til brug for eksaminanderne ved den skriftlige prøve og i undervisningen på stx i matematik på B-niveau. Formelsamlingen indeholder de emner, der forekommer i læreplanen for matematik på B-niveau på stx inden for både kernestof og supplerende stof. For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række elementærgeometriske figurer. Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler. Hensigten hermed er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at undervisere og forfattere af undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation, symbolsprog og terminologi. Listen over matematiske standardsymboler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det matematiske univers i gymnasiet og på hf. En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse forudsætninger (fx at nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur anskueliggør ofte ét blandt flere mulige tilfælde. Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil dog være det i tilfælde, hvor betydningen ikke følger umiddelbart af skik og brug i den matematiske litteratur.

Birte Iversen

Undervisningsministeriet, Styrelsen for Undervisning og Kvalitet,

Kontor for Prøver, Eksamen og Test Maj 2018

4

Indhold

Procent- og rentesregning 5

Indekstal 5

Proportionalitet 6

Brøkregler 6

Kvadratsætninger 7

Potensregneregler 7

Ensvinklede trekanter 8

Retvinklet trekant 8

Vilkårlig trekant 9

Vektorer i planen 10

Linjer, cirkler og parabler 13

Lineære funktioner 17

Andengradspolynomier 17

Logaritmefunktioner 18

Eksponentielt voksende funktioner 19

Eksponentielt aftagende funktioner 20

Potensfunktioner 21

Trigonometriske funktioner 22

Differentialregning 23

Afledede funktioner 24

Grupperede observationer 25

Ugrupperede observationer 26

Lineær regression 28

Kombinatorik 29

Sandsynlighedsregning 30

Binomialfordeling 31

Pascals trekant 33

Multiplikationstabel 34

Areal og omkreds, rumfang og overflade 35

Matematiske standardsymboler 36

Stikordsregister 42

5

Procent- og rentesregning

Begyndelsesværdi B Slutværdi S

(1) (1 )S B r= ⋅ +

Vækstrate r (2) 1S

rB

= -

Procentvis ændring p (3) % 100%p r= ⋅

Kapitalformel Startkapital K0

Rente p% pr. termin Kapital K efter n terminer

(4) 0 (1 )nK K r= ⋅ + , hvor 100

pr =

Annuitetsopsparing Terminsindbetaling b Rentefod r Antal indbetalinger n Kapital A efter sidste indbetaling

(5) (1 ) 1nr

A br

+ -= ⋅

Annuitetslån Hovedstol G Rentefod r Antal terminsydelser n Terminsydelse y

(6)

1 (1 ) n

ry G

r -= ⋅- +

Indekstal

Værdi B S

Indekstal BI SI

(7) S B

SI I

B= ⋅ S

B

IS B

I= ⋅

6

Proportionalitet

x og y er proportionale Proportionalitetsfaktor k

(8) y k x= ⋅ y

kx=

x og y er omvendt proportionale

(9) 1

y kx

= ⋅ x y k⋅ =

Brøkregler

(10) b a b

ac c

⋅⋅ =

(11) bc

a a c

b

⋅=

(12) ab a

c b c=

⋅

(13) abcd

a d

b c

⋅=

⋅

(14) a c a c

b d b d

⋅⋅ =

⋅

(1)

(2)

y k x = ·

(2)

(1)

1y k

x= ⋅

7

Kvadratsætninger

(15) 2 2 2( ) 2a b a b a b+ = + + ⋅

(16) 2 2 2( ) 2a b a b a b- = + - ⋅

(17) 2 2( )( )a b a b a b+ - = -

Potensregneregler

(18) r s r sa a a +⋅ =

(19) r

r ss

aa

a-=

(20) ( )r s r sa a ⋅=

(21) ( )r r ra b a b⋅ = ⋅

(22) r r

r

a a

b b

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø

(23) 0 1a =

(24) 1r

ra

a- =

(25) 1 1a

a- =

(26) 1

r ra a=

(27) r

s sra a=

(28) a b a b⋅ = ⋅

(29) a a

b b=

(30) 12a a=

8

Ensvinklede trekanter

(31) 1 1 1a b ck

a b c= = =

(32) 1

1

1

a k a

b k b

c k c

= ⋅

= ⋅

= ⋅

Retvinklet trekant

Pythagoras’ sætning (33) 2 2 2c a b= +

cosinus (34) cos( )b

Ac

=

sinus (35) sin( )a

Ac

=

tangens (36) tan( )a

Ab

=

B

A1

C

B1

A

C1

a1

c1

b1

b

c a

A

B

C

a

b

c

9

Vilkårlig trekant

Trekantens vinkelsum (37) 180A B C + + =

Trekantens areal T (38) 12

T h g= ⋅

cosinusrelation (39) 2 2 2 2 cos( )c a b a b C= + - ⋅ ⋅  

sinusrelation (40) sin( ) sin( ) sin( )

a b c

A B C= =  

Trekantens areal T (41) 12

sin( )T a b C= ⋅ ⋅  

g

h

A C

B

A

B

C

a

b

c

10

Vektorer i planen

(42)

1

1 22

aa a i a j

a

æ ö÷ç ÷= ⋅ + ⋅ =ç ÷ç ÷çè ø

Koordinatsættet for vektor a

hvor | | | | 1i j= =

cos( )

sin( )

ve

v

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø

Enhedsvektor

(43)

Enhedsvektor e

ensrettet med a

(44) a

ea

=

1 2 21 2

2

| |a

a a aa

æ ö÷ç ÷ç= = +÷ç ÷÷çè ø

Længden af vektor a

(45)

k a⋅

1 1

2 2

a k ak

a k a

æ ö æ ö⋅÷ ÷ç ç÷ ÷= ⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ç çè ø è ø Multiplikation af vektor a

med tallet k (46)

(2)

(1)i

j

i

a i1

a j2

a

(2)

(1)cos( )v

sin( )v

ev

a

a1

a2

a

k a∙

11

a b+

1 1 11

2 2 22

b a ba

b a ba

æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= + =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ç ÷ ÷+ç çè ø è ø è ø Summen af to vektorer (47)

a b-

1 1 11

2 2 22

b a ba

b a ba

æ ö æ öæ ö -÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= - =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ç ÷ ÷-ç çè ø è ø è ø Differensen mellem to

vektorer (48)

AB

2 1

2 1

x x

y y

æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷-çè ø Koordinatsættet for vektor AB

(49)

Skalarproduktet (prikproduktet) af a

og b

(50) 1 1 2 2a b a b a b⋅ = +

(51) | | | | cos( )a b a b v⋅ = ⋅ ⋅

(52) cos( )| | | |

a bv

a b

⋅=

⋅

Ortogonale vektorer (53) 0a b a b⋅ = ^

Kvadratet på en vektor (54) 2 2| |a a a a⋅ = =

a

b a b

a

b

a b

(1)

(2)

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

v

1

2

bb

b

æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷çè ø

1

2

aa

a

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷çè ø

12

2| |a

a bb a

a

⋅= ⋅

Projektionen af b

på a

(55)

Længden af projektionen (56) | |

| || |

aa b

ba

⋅=

a = 1 2

2 1

a a

a a

æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø Tværvektoren til a

(57)

1 2 2 1

1 1

2 2

det( , )a b a b a b a b

a b

a b

= ⋅ = -

=

Determinanten for

vektorparret ( , )a b

(58)

(59) det( , ) | | | | sin( )a b a b v= ⋅ ⋅

Parallelle vektorer (60) det( , ) 0a b a b=

| det( , ) |A a b=

Arealet af det parallelogram,

som udspændes af a

og b

(61)

aba

b

(2)

(1)

+

1

2

aa

a=æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

2

1

ˆ aa

a

-=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

v1

2

aa

a=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

1

2

bb

b=æ ö÷ç ÷ç ÷è ø

a

b

13

Linjer, cirkler og parabler

Ligning for linjen l gennem (0, )Q b med hældningskoefficient

a

(62) y a x b= ⋅ +

Hældningskoefficient (stigningstal) a for linjen l gennem 1 1( , )A x y og

2 2( , )B x y

(63) 2 1

2 1

y ya

x x-

=-

Skæring med y-aksen

(64) 1 1b y a x= - ⋅

Ligning for linjen l gennem1 1( , )A x y med hældningskoefficient

a

(65) 1 1( )y a x x y= ⋅ - +

Hældningsvinklen v er vinklen fra førsteaksen til l regnet med fortegn

(66) tan( )a v=

Ligning for lodret linje (67) x k=

(1)

(2)

A x y( , )1 1

B x y( , )2 2

l

Q b(0, )

v

(1)

(2) x k =

k

14

Ortogonale linjer l og m (68) 1l m a c^ ⋅ =-

2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y= - + - Afstand AB mellem to punkter

1 1( , )A x y og 2 2( , )B x y (69)

Midtpunkt M for linjestykke AB (70)

1 2 1 2,2 2

x x y yM

æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷çè ø

(1)

(2) m

l

y a x b= ⋅ +

y c x d= ⋅ +

A y( , )x1 1

B x y( , )2 2

(1)

(2)

(2)

(1)

M

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y

15

Ligning for linjen l gennem

0P med normalvektor

an

b

(71) 0 0( ) ( ) 0a x x b y y⋅ - + ⋅ - =

Parameterfremstilling for linjen l gennem 0P med

retningsvektor 1

2

rr

r

(72)

0 1

0 2

x rxt

y ry

æ ö æ öæ ö ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= +ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ç ççè ø è øè ø

Afstand dist(P,l) fra punktet

1 1( , )P x y til linjen l med ligningen y a x b= ⋅ +

(73)

1 1

2

| |dist( , )

1

a x b yP l

a

⋅ + -=

+

Afstand dist(P,l) fra punktet

1 1( , )P x y til linjen l med ligningen 0a x b y c⋅ + ⋅ + =

(74) 1 1

2 2

| |dist( , )

a x b y cP l

a b

⋅ + ⋅ +=

+

Ligning for cirkel med centrum i ( , )C a b og radius r

(75)

2 2 2( ) ( )x a y b r- + - =

(1)

(2)

l1 1( , )P x y

(2)

(1)

rC a b( , )

(1)

(2)

P x y0 0 0( , )

l

n r

16

Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen

(76)

2 2( )y a x b x c a x h k= ⋅ + ⋅ + = ⋅ - +

Toppunkt T (77)

2( , ) , , 42 4

b dT h k T d b ac

a a

æ ö- - ÷ç= = -÷ç ÷çè ø

Skæringspunkter 1S og 2S med førsteaksen

(78)

1 2,0 , ,02 2

b d b dS S

a a

æ ö æ ö- - - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

(1)

(2)

S1 S2

T h k( , )

x=h

17

Lineære funktioner

Førstegradspolynomium, lineær funktion f

(79) ( )f x a x b= ⋅ +

2 1

2 1

y ya

x x-

=-

Hældningskoefficienten a (stigningstallet) ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(80)

Skæring med y-aksen (81) 1 1b y a x= - ⋅

Andengradspolynomier

Andengradspolynomium p med nulpunkterne (rødder) 1x og 2x

(82)

2

1 2

( )

( ) ( )

p x a x b x c

a x x x x

= ⋅ + ⋅ += ⋅ - ⋅ -

Nulpunkter (rødder) i p (83)

1 2

2

, ,2 2

hvor 4

b d b dx x

a a

d b ac

- - - += =

= -

Toppunkt T (84) ,2 4

b dT

a a

æ ö- - ÷ç ÷ç ÷çè ø

(1)

(2)

b 1

a

(1)

(2)

x1

y1

y2

x2

f

(1)

(2)

x1

p

x2

T

18

Logaritmefunktioner

Grafen for den naturlige logaritmefunktion

(85) ln( ) for 0x x-¥

(86) ln( ) forx x¥ ¥

(87) ln( ) eyy x x= =

(88) ln(e) 1=

(89) ln( ) ln( ) ln( )a b a b⋅ = +

(90) ln ln( ) ln( )a

a bb

æ ö÷ç = -÷ç ÷çè ø

(91) ln( ) ln( )ra r a= ⋅

Grafen for logaritme- funktionen med grundtal 10

(92) log( ) for 0x x-¥

(93) log( ) forx x¥ ¥

(94) log( ) 10yy x x= =

(95) log(10) 1=

(96) log( ) log( ) log( )a b a b⋅ = +

(97) log log( ) log( )a

a bb

æ ö÷ç = -÷ç ÷çè ø

(98) log( ) log( )ra r a= ⋅

(1)

(2)

ln ( )x

1 e

1

(1)

(2)

log( )x

1 101

19

Eksponentielt voksende funktioner

Grafen for en eksponentielt voksende funktion f

1a> vækstraten 0r >

0k >

(99) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a⋅

= ⋅

= ⋅ +

= ⋅ =

(100) ( ) forf x x¥ ¥

(101) ( ) 0 forf x x -¥

Fremskrivningsfaktoren a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(102)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

-- æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø

Skæring med y-aksen (103) 1

1x

yb

a=

Fordoblingskonstanten 2T (104) 2 2 1T x x= -

(105) 2

log(2) ln(2) ln(2)

log( ) ln( )T

a a k= = =

(2)

(1)b

f

(2)

(1)

y1

x1 x2

2y1

T2

y b a= x

20

Eksponentielt aftagende funktioner

Grafen for en eksponentielt aftagende funktion f 0 1a< < vækstraten 0r <

0k <

(106) ( )

(1 )

e , hvor ln( )

x

x

k x

f x b a

b r

b k a⋅

= ⋅

= ⋅ +

= ⋅ =

(107) ( ) 0 forf x x ¥

(108) ( ) forf x x¥ -¥

Fremskrivningsfaktoren a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(109)

2 12 1 2 2

1 1

1x xx x y y

ay y

-- æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø

Skæring med y-aksen (110) 1

1x

yb

a=

Halveringskonstanten 12

T (111) 12

2 1T x x= -

(112) ( )

12

1 1 12 2 2

log ln( ) ln( )

log( ) ln( )T

a a k= = =

(2)

(1)

b

(2)

(1)

y1

x1 x2

y1

12

T12

y b a= x

21

Potensfunktioner

Potensfunktion (113) ( ) af x b x= ⋅

Grafer for ( ) af x x

Bestemmelse af tallet a ud fra to punkter på grafen

1 1( , )x y og 2 2( , )x y

(114) 2 1 2 1

2 1 2 1

log( ) log( ) ln( ) ln( )

log( ) log( ) ln( ) ln( )

y y y ya

x x x x

- -= =

- -

Skæring med y-aksen (115)

1

1a

yb

x=

Når x ganges med tallet 1 xr , så ganges ( )f x med tallet 1 yr

(116) 1 (1 )ay xr r+ = +

Når x ganges med tallet k, så ganges ( )f x med tallet ak

(117) ( ) ( )af k x k f x⋅ = ⋅

(2)

(1)

1

1

a < 0

a = 1

0 < < 1a

a > 1

22

Trigonometriske funktioner

Harmonisk svingning f (118) ( )f t = sin( )A t

2 1

2πT t t

Graf for harmonisk svingning f

med amplitude A og periode (svingningstid) T

(119)

( )2

(1)

T

23

Differentialregning

Differentialkvotienten 0( )f x¢ for funktionen f i tallet 0x

(120) 0

00

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

( ) ( )lim

x x

h

f x f xf x

x x

f x h f x

h

-¢ =-

+ -=

Ligning for tangenten t til grafen for f i 0 0( , ( ))P x f x

(121) 0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x¢= ⋅ - +

eller y a x b= ⋅ +

hvor 0( )a f x¢= og 0 0b y a x= - ⋅

Regneregler for differentiation (122) ( ( )) ( )k f x k f x¢ ¢⋅ = ⋅

(123) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x¢ ¢ ¢+ = +

(124) ( ( ) ( )) ) ( )f x g x f x g x¢ ¢ ¢- = -

(125) ( ( ) ( ))

) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x f x g x

¢⋅ =¢ ¢⋅ + ⋅

(126) ( )( ) ( )f a x b a f a x b¢ ¢⋅ + = ⋅ ⋅ +

(2)

(1)

f

tP

x0

f x( )0

24

Afledede funktioner

Funktion

Afledet funktion

( )y f x

( )dy

y f xdx

¢ ¢= =

Lineær funktion (127) a x b⋅ + a

(128) k 0

Logaritmefunktion (129) ln( )x

11x

x-=

Eksponentialfunktioner (130) ex

ex

(131) ek x

ek xk

(132) xa

ln( )xa a

Potensfunktioner (133) ax

1aa x

(134) 11x

x-=

22

1x

x-- =-

(135) 1

2x x=

121

21

2x

x

-=

Trigonometriske funktioner (136) cos( )x

sin( )x

(137) sin( )x

cos( )x

25

Grupperede observationer

Histogram

(138) Arealet af en blok svarer til intervallets frekvens

Histogram med ens intervallængder

(139) Højden af en blok svarer til intervallets frekvens

Sumkurve (140) 1Q : nedre kvartil, 25% -fraktilen

m : median, 50% -fraktilen

3Q : øvre kvartil, 75% -fraktilen

px

: p% -fraktilen

10%

10

2030

%

100%

Kumuleretfrekvens

Q1 m Q3

75

50

25

20

40

60

80

100%

Kumuleretfrekvens

xp

p

26

Ugrupperede observationer

(141) Observationerne afsat på en tallinje

Prikdiagram

(142) min: mindste observation

(143) max: største observation

Variationsbredde (144) max min-

(145) m: median (midterste observation, når antallet af observationer er ulige, ellers tallet midt mellem de to midterste observationer)

(146) 1Q : nedre kvartil

(medianen for den nederste halvdel af observationerne)

(147) 3Q : øvre kvartil (medianen for den øverste halvdel af observationerne)

Kvartilbredde (148) 3 1Q Q-

(149) Boksplot, kassediagram

(boksens højde er uden betydning)

Kvartilsæt (150) 1 3( , , )Q m Q

Udvidet kvartilsæt (151) 1 3( , , , , )min Q m Q max

min

max

m

Q1

Q3 _

min Q1 m Q3 max

27

Outlier

(152) Observation, der ligger mere end halvanden kvartilbredde under nedre kvartil eller mere end halvanden kvartilbredde over øvre kvartil

Middeltal x for observations- sættet 1 2, , ... , nx x x

(153) 1 2 ... nx x xx

n

+ + +=

Spredning af en stikprøve

1 2, , ... , nx x x fra en population

(154)

2

1

( )

1

n

ii

x x

ns =

-=

-

å

2 2

1( ) ( )

1nx x x x

n

- + + -=

-

Venstreskæv fordeling (155) Middeltal mindre end medianen x m<

Ikke-skæv fordeling (156) Middeltal lig med medianen x m=

Højreskæv fordeling (157) Middeltal større end medianen x m>

x

x

x

28

Lineær regression

Tabel med observerede data

(158)

x 1x 2x 3x …

nx

y 1y 2y 3y … ny

Regressionslinje

(159) Bedste rette linje, graf for ( )f x a x b= ⋅ +

Punktplot og bedste rette linje

(160)

Residual (161) Forskel mellem observeret y-værdi og tilsvarende y-værdi i model

Residualtabel (162)

x 1x 2x … nx

Residual 1 1 1( )r y f x= - 2 2 2( )r y f x= - … ( )n n nr y f x= -

Residualplot (163)

Residualspredning (164) 2 2 2

1 2 ...

2nr r r

sn

+ + +=

-

(1)

(2)

modelpunkter observerede datapunkter

f

(2)

(1)x1

x2

x3

xn

r2

rn

r3

r1

29

Kombinatorik

Multiplikationsprincip Antal mulige måder at vælge både ét element fra N og et element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(165) n m⋅

Additionsprincip Antal mulige måder at vælge enten ét element fra N eller ét element fra M, hvor N består af n elementer og M består af m elementer

(166) n m+

Fakultet (167) ! ( 1) ( 2) 2 1n n n n= ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅

Permutationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen har betydning

(168) !

( , )( )!

nP n r

n r=

-

Kombinationer Antal muligheder for udvælgelse af r elementer blandt n elementer, når rækkefølgen ikke har betydning

(169) !

( , )!( )!

nK n r

r n r=

-

30

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsfelt med udfaldsrum U og sandsynligheder p

(170) ( , )U p

Udfaldsrum U med n udfald (171) Mængden af alle udfald

1 2{ , , , }nu u u⋅⋅⋅

Summen af alle sandsynligheder

(172) 1 2 3 ... 1np p p p+ + + + =

Sandsynlighedstabel

(173)

Udfald 1u 2u 3u … nu Sandsynlighed 1p 2p 3p … np

Hændelse A med k udfald fra U

(174) Mængde af k udfald fra U

Sandsynlighed for hændelse A (175) Summen af de k udfalds sandsynligheder

Symmetrisk sandsynlighedsfelt

Alle sandsynligheder er lige store

(176) 1 2 3

1... np p p p

n= = = = =

Sandsynlighed for udvælgelse af et element fra A

(177) ( )k antal gunstige

P An antal mulige

= =

Sandsynlighed ved kombination af uafhængige hændelser A og B

(178) (både og ) ( ) ( )P A B P A P B= ⋅

Sandsynlighed ved kombination af hændelser A og B, som ikke har noget fælles udfald

(179) ( eller ) ( ) ( )P A B P A P B= +

31

Sandsynlighedsfordelings-tabel for en stokastisk variabel X

(180) ix 1x 2x 3x … nx

( )iP X x= 1p 2p 3p … np

Søjlediagram. Højde af søjle svarer til sandsynlighed af udfald

(181)

Middelværdi af en stokastisk variabel X

(182)

1

1 1 2 2 3 3

( ) ( )n

i ii

n n

E X x P X x

x p x p x p x p

m=

= = ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅

å

Varians af en stokastisk variabel X

(183) 2

1

Var( ) ( ) ( )n

i ii

X x P X xm=

= - ⋅ =å2 2

1 1( ) ( )n nx p x pm m= - ⋅ + + - ⋅

Spredning af en stokastisk variabel X

(184) ( ) Var( )X Xs s= =

Binomialfordeling

Binomialfordelt stokastisk variabel X med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p

(185) ( , )X b n p

Binomialkoefficient ( , )K n r (186) ( )

!( , )

! !

n nK n r

r r n r

æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç -è ø

(187) ( , ) ( , )K n r K n n r= -

Sandsynlighedsfunktion for binomialfordelt stokastisk variabel X

(188) ( ) ( , ) (1 )r n rP X r K n r p p -= = ⋅ ⋅ -

Middelværdi m (189) n pm= ⋅

Spredning s (190) (1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(1)

(2)

x1 x2 x3 xn.. .

32

Statistisk usikkerhed i stikprøver

Antal elementer i stikprøven n 95% konfidensinterval for populationens sandsynlighedsparameter p estimeret ud fra stikprøveandelen p

(191)

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ2 ; 2

p p p pp p

n n

é ù⋅ - ⋅ -ê ú- ⋅ + ⋅ê úê úë û

Normalfordelingsapproksimation til binomialfordelt stokastisk variabel X med middelværdi

n pm= ⋅

og spredning

(1 )n p ps= ⋅ ⋅ -

(192)

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

normale udfald

Exceptionelleudfald

Exceptionelleudfald

(1)

� � ��� ��2� ��3� �� 2� �� 3� ��

68,27%

95,45%

99,73%

33

Pascals trekant (193)

K(0,0)

K(1,0) K(1,1)

K(2,0) K(2,1) K(2,2)

K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)

K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)

K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)

K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6)

K(7,0) K(7,1) K(7,2) K(7,3) K(7,4) K(7,5) K(7,6) K(7,7)

K(8,0) K(8,1) K(8,2) K(8,3) K(8,4) K(8,5) K(8,6) K(8,7) K(8,8)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

34

Multiplikationstabel (194)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240

13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260

14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280

15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300

16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320

17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340

18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360

19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380

20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Røde tal: Kvadrattal

35

Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer

Trekant

h højde g grundlinje

A areal 12A h g

Parallelogram

h højde g grundlinje

A areal A h g

Trapez

h højde a, b parallelle sider

A areal 12 ( )A h a b

Cirkel

r radius

A areal 2πA r

O omkreds 2πO r

Kugle

r radius

O overflade 24πO r

V rumfang 34

3πV r

Cylinder

h højde r grundfladeradius

O krum overflade 2πO r h

V rumfang 2πV r h

Kegle

h højde s sidelinje r grundfladeradius O krum overflade πO r s

V rumfang 213

πV r h

g

h

A C

B

g

h

b

h

a

r

r

r

r

h

r

h s

36

Matematiske standardsymboler

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

.,.,.,. mængde på listeform 5,0,3,10 , 2,4,6,... ,{ }..., 1,0,1,...-

mængden af naturlige tal 1,2,3,...

mængden af hele tal ..., 2, 1,0,1,2,...

mængden af rationale tal tal, der kan skrives pq , ,p q

mængden af reelle tal

tilhører / er element i 2

[ ];a b lukket interval [ ] { }1;3 |1 3x x= Î £ £

] ];a b halvåbent interval ] ] { }1;3 |1 3x x= Î < £

[ [;a b halvåbent interval [ [ { }1;3 |1 3x x= Î £ <

] [;a b åbent interval ] [ { }1;3 |1 3x x= Î < <

er en ægte delmængde af 1,2,3 N

fællesmængde A B

Foreningsmængde A B

\ mængdedifferens \A B

A komplementærmængde \U A

Ø den tomme mængde

disjunkte mængder ØA B

mængdeprodukt 10;10 10;10

”og” i betydningen ”både og” (konjunktion)

2 5x y< =

”eller” i betydningen ”og/eller” (disjunktion)

2 5x x< >

A B

A B

A B

U A

A B

37

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

”medfører”, ”hvis … så” (implikation)

22 4x x= =

”ensbetydende”, ”hvis og kun hvis” (biimplikation)

2 4 2 2x x x= =- =

1

n

ii

a

1 2 ... na a a+ + + 4

2 2 2 2 2

1

1 2 3 4i

i=

= + + +å

!n n fakultet, n udråbstegn ! 1 2 ... for 1n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ³

0! 1=

( )f x funktionsværdi af x ved funktionen f

( ) 2 1f x x= + , så er (4) 3f = .

Dm( )f definitionsmængden for f

Vm( )f værdimængden for f

f g sammensat funktion ( )( ) ( ( ))f g x f g x=

1f - omvendt (invers funktion) 1( ) ( )s f t t f s-= =

log( )x logaritmefunktionen med grundtal 10

log( ) 10 yy x x= =

ln( )x den naturlige logaritme- funktion

ln( ) e yy x x= =

e x den naturlige eksponential- funktion e x betegnes også exp(x)

xa eksponentialfunktionen med grundtal a, 0a

xb a kaldes undertiden for en eksponentialfunktion eller en eksponentiel udvikling

ax potensfunktion

ab x kaldes undertiden for en potensfunktion eller en potens- udvikling

| |x numerisk (absolut) værdi af x | 3| 3= , | 7 | 7- =

| |x betegnes også abs(x)

sin( )x sinus

cos( )x cosinus

tan( )x tangens sin( )

tan( )cos( )

xx

x=

38

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

1sin ( )y- omvendt funktion til sinus1

1

1

sin ( ) sin( )

sin (0,5) 30

sin betegnes også Arcsin

y x x y-

-

-

= =

=

1cos ( )y- omvendt funktion til cosinus1

1

1

cos ( ) cos( )

cos (0,5) 60

cos betegnes også Arccos

y x x y-

-

-

= =

=

1tan ( )y- omvendt funktion til tangens 1

1

1

tan ( ) tan( )

tan (1) 45

tan betegnes også Arctan

y x x y-

-

-

= =

=

0

lim ( )x x

f x

grænseværdien af ( )f x

for x gående mod 0x 3lim 1 2x

x

+ =

lim ( )x

f x

grænseværdien af ( )f x

for x gående mod 1lim 0

x x¥=

0

( )

for

f x a

x x

( )f x går mod a

for x gående mod 0x 1 2 for 3x x+

( )

for

f x a

x

¥

( )f x går mod a

for x gående mod e 0 forx x- ¥

x x-tilvækst 0x x x = -

,y f funktionstilvækst for ( )y f x= 0( ) ( )y f f x f x = = -

,y f

x x

differenskvotient for

( )y f x= 0

0

( ) ( )f x f xy f

x x x x

-= =

-

0)f x¢ differentialkvotienten for ( )y f x= i 0x 0

00

0

0 0

( ) ( )) lim

lim lim

x x

x x

f x f xf x

x x

f y

x x

-¢ =-

= =

f ¢ afledet funktion af ( )y f x betegnes ( ), , ( ),d

f x y f xdx

¢ ¢

( )2( ( )), , , 3 1d df dy

f x xdx dx dx

¢+

( )nf den n’te afledede funktion af ( )y f x

(2) ( )f x skrives ofte ( )f x¢¢ , y¢¢

eller 2

2

d y

dx

39

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

AB linjestykket AB

| |AB længden af linjestykket AB

AB cirkelbuen AB

| |AB længden af cirkelbuen AB

,a AB

vektor

| |, | |a AB

længden af vektoren

a tværvektor betegnelsen a kan også anvendes

a b skalarprodukt, prikprodukt betegnelsen a b

benyttes også

1 1

2 2

a b

a b determinanten for vektor-

parret ( , )a b

betegnelsen det( , )a b

benyttes

også

”er vinkelret på” l m^ læses også ”l og m er ortogonale”

A vinkel A 110A eller 110A=

ABD vinkel B i trekant ABD

( , )a b vinklen v mellem a

og b

,

hvor 0 180v

vinklen fra a

til b

A

BC

D

a

b

v

a

b

–115°

245°

40

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

retvinklet trekant

midtnormalen n for linjestykket AB

bh højden fra B på siden b eller dens forlængelse

bm medianen fra B på siden b

Bv vinkelhalveringslinjen for vinkel B

hosliggendekatete til v

modståendekatete til v

hypotenuse

v

A B

n

A

B

C

a

b

chb

A

B

C

a

b

cmb

A

B

C

a

b

cvB

41

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.

trekant ABC’s omskrevne cirkel

trekant ABC’s indskrevne cirkel

A

B

C

A

B

C

vC

42

Stikordsregister A additionsprincip 29 G grupperede observationer 25 afledet funktion 24, 38 grænseværdi 38 afstand mellem - punkt og linje 14 H halveringskonstant 20 - to punkter 15 harmonisk svingning 22 areal histogram 25 - cirkel 35 hældningskoefficient 13, 17 - parallelogram 35 hældningsvinklen 13 - trapez 35 hændelse 30 - trekant 35 højde 35, 40 højreskæv 27 B bedste rette linje 28 binomialfordeling 31 I ikke-skæv 27 binomialkoefficient 31 indekstal 5 boksplot 26 indskreven cirkel 41 brøkregler 6 K kapitalformel 5 C cirkel 35 kegle 35 cirklens ligning 15 kombinationer 29 cosinus 8, 37 konfidensinterval 32 cosinusrelation 9 kugle 35 cylinder 35 kvadratsætninger 7 kvartil 25, 26, 27 D determinant 12 kvartilbredde 26 differensen mellem vektorer 11 kvartilsæt 26 differenskvotient 38 differentialkvotient 23, 38 L lineær funktion 17 lineær regression 28 E eksponentiel funktion linjens ligning 13 - aftagende 20 lodret linje, ligning 13 - voksende 19 logaritmefunktioner 18 enhedsvektor 10 længde af vektor 10 ensvinklede trekanter 8 exceptionelle udfald 32 M median (statistik) 25, 26 median (trekant) 40 F fakultet 29, 37 middeltal 27 fordoblingskonstant 19 middelværdi 31 fremskrivningsfaktor 19, 20 midtnormal 40 førstegradspolynomium 17 midtpunkt 14

43

multiplikationsprincip 29 R regression, lineær 28 regressionslinje 28N nedre kvartil 25 residual 28 normale udfald 32 residualplot 28 normalfordeling 32 residualspredning 28 normalvektor 15 retningsvektor 15 nulpunkter 17 retvinklet trekant 8, 40 rod, rødder 17O omkreds, cirkel 35 rumfang af omskreven cirkel 41 - cylinder 35 omvendt proportionalitet 6 - kegle 35 ortogonal, vinkelret 39 - kugle 35 ortogonale linjer 14 ortogonale vektorer 11 S sandsynlighed 30, 31 outlier 27 sinus 8, 37 overflade sinusrelation 9 - cylinder 35 skæringspunkt m. førsteaksen 16 - kegle 35 skalafaktor 8 - kugle 35 skalarprodukt 11, 39 spredning 27, 31P p% -fraktilen 25 statistisk usikkerhed 32 parabel 16 stokastisk variabel 31, 32 parallelle vektorer 12 sum af vektorer 11 parallelogram 35 sumkurve 25 Pascals trekant 33 symboler 36 permutationer 29 symmetrisk sandsynlighedsfelt 30 potensfunktioner 21 søjlediagram 31 potensregneregler 7 prikdiagram 26 T tangens 8, 37 prikprodukt 11, 39 tangent til graf 23 procent-procent tilvækst 21 toppunkt 16, 17 procentregning 5 trapez 35 projektionen 12 trigonometriske funktioner 22 proportionalitet 6 tværvektor 12 U uafhængige hændelser 30 udfaldsrum 30 udvidet kvartilsæt 26 ugrupperede observationer 26

44

V varians 31 variationsbredde 26 vektorer i planen 10 venstreskæv fordeling 27 vilkårlig trekant 9 vinkelhalveringslinje 40 vinkelret, ortogonal 39 vinkelsum i trekant 9 vinkler 39 vækstrate 5, 19, 20 Ø øvre kvartil 26