szilárdságtan - nyme.hu¡rdságtan_példatár.pdf · 4 el őszó, bevezetés a mechanika a...

A tananyagfejlesztés a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. sz. projekt keretében valósult meg

Nyugat-magyarországi Egyetem

Simonyi Károly Műszaki, Faanyagtudományi és Művészeti Kar

Műszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet

Szilárdságtan

Dr. Karácsonyi Zsolt

Digitális jegyzet/tananyag

Sopron, 2015

A tananyagfejlesztés a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. sz. projekt keretében valósult meg

Szerző:

Dr. Karácsonyi Zsolt

egyetemi adjunktus

Lektorálta:

Dr. Andor Krisztián

egyetemi docens

ISBN 978-963-334-267-1

Kiadja:

Nyugat-magyarországi Egyetem Kiadó

9400 Sopron, Bajcsy-Zs. u. 4.

Felelős kiadó:

Prof. Dr. Németh Róbert tudományos és külügyi rektorhelyettes

A digitális tananyag a TÁMOP-4.1.1.C-12/1/2012-0010. számú projekt keretében, az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával

valósult meg. ©Karácsonyi Zsolt, 2015.

3

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék ......................................................................................................................... 3

Előszó, bevezetés ....................................................................................................................... 4

1. Keresztmetszeti jellemzők (terület, súlypont, súlyponti tengelyre számított inercia,

keresztmetszeti tényező, inerciasugár) meghatározása .............................................................. 5

2. Síkbeli erőrendszerek kiegyensúlyozásának ismétlése ........................................................ 18

3. Kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése ..................................... 46

3.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai ................................................................... 46

4. Merev befogású, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése .............................. 63

5. Tört tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése ................................................................ 69

6. Gerber tartók igénybevételeinek ismétlése .......................................................................... 93

7. Háromcsuklós keretek igénybevételeinek ismétlése .......................................................... 104

8. Húzó igénybevétel, húzófeszültség .................................................................................... 120

9. Nyomó igénybevétel, nyomófeszültség ............................................................................. 129

10. Hajlító igénybevétel, hajlításból származó normál (húzó-nyomó) és nyírófeszültség ..... 133

11. Csavaró igénybevétel, csavarásból származó nyírófeszültség ......................................... 140

11.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nyomatéka és poláris

keresztmetszeti tényezője ................................................................................................... 140

11.2. Kör és körgyűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nyírófeszültség ................. 141

12. Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyírófeszültség ...................................................... 146

13. Kihajlás ............................................................................................................................. 149

Felhasznált és ajánlott irodalom ............................................................................................. 154

4

Előszó, bevezetés

A mechanika a fizikának egy területe, általánosan úgy lehet megfogalmazni, hogy a testek moz-

gásával, a testekre ható erőkkel és a kettő közötti összefüggésekkel foglalkozó tudomány. E

szerint a mechanika felosztható (1. ábra) kinematikára és dinamikára.

1. ábra: A mechanika felosztása

A kinematika csak a testek mozgását vizsgálja térben és időben, de a mozgást kiváltó okokat

(az erőket) nem tárgyalja. A dinamika a testek egymásra hatásával foglalkozik, figyelembe ve-

szi a testekre ható erőket, a mozgások kiváltó okait. Eszerint a dinamika további két csoportra

bontható: statikára és kinetikára. A statika azokat a testeket vizsgálja, melyek nyugalomba van-

nak a rá ható erők következtében, míg a kinetika az erők hatására mozgásban lévő testeket

tárgyalja.

A merev testek statikájában (röviden statika) vizsgált tartószerkezetek anyagát teljesen merev-

nek tekintjük. Ez azt jelenti, úgy tekintjük a terhelt testet (tartót), hogy az alakját, méreteit nem

változtatja a rá ható erők következtében.

A szilárd testek statikájában (röviden szilárdságtan) vizsgált tartószerkezetek anyagát szilárd-

nak tekintjük. Ez azt jelenti, nem csak a tartóra működő külső erők egyensúlyával, azok elosz-

lásával (igénybevételek) foglalkozunk, hanem a test (tartó) alakváltozásait és a keletkező/éb-

redő feszültségeket is vizsgáljuk.

A mechanika a mérnökképzések műszaki alapozó tárgya, amelynek az ismeretek elsajátításán

túl nagy jelentősége van a mérnöki problémafelismerő és megoldó készség fejlesztésben.

A jegyzet döntően a szilárd testek statikájával (szilárdságtan) foglalkozik gyakorlati példák be-

mutatásán keresztül. Ehhez azonban nagyon fontos ismerni a tartók egyensúlyi helyzetének

feltételeit, körülményeit. Emiatt a példatár első felében a lehető legrészletesebben foglalkozunk

a merev testek statikájának (statika) átismétlésével és elmélyítésével, míg a második részben

háttérbe szorítjuk ezeket, és a szilárdságtani ismeretekre fektetjük a hangsúlyt. Az egyes fejezet

címeknek megfelelően fordítjuk a figyelmet a különböző témakörökre.

5

1. Keresztmetszeti jellemzők (terület, súlypont, súlyponti tengelyre számított inercia, ke-

resztmetszeti tényező, inerciasugár) meghatározása

1.1.1. példa

Adott a 2. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszeti jellemzőket, a sík-

idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS) a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-

metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat. Adott: a = 2,5 cm.

2. ábra: Súlypontszámítás, viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése

A megoldáshoz a keresztmetszetek elsőrendű statikai nyomatékának a definícióját használjuk

fel. Először egy viszonyítási koordinátarendszert veszünk fel – lehetőség szerint a megadott

keresztmetszet valamelyik szélső, sarokpontjában (2. ábra). Ezután felosztjuk a síkidomunkat

olyan szabályos keresztmetszetrészekre, melyek súlypontjának a helye egyértelmű (3. ábra). Ez

négyszög, háromszög, kör vagy félkör is lehet.

A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek területeinek összegzésével kapjuk.

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅= 221 5,225,3a25,3)a1,5a0,75(aaA 20,31 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅⋅= 222 5,2125,1a125,1a,750a5,1A 7,03 cm2.

== 13 AA 20,31 cm2.

=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 31,2003,731,20a625,7a25,3a125,1a25,3AAAA 2222321

=47,65 cm2.

6

A súlypont meghatározásához az elsőrendű statikai nyomatékot írjuk fel a felvett viszonyítási

koordinátarendszer tengelyeire külön - külön.

3. ábra: Az összetett keresztmetszet felosztása súlypontszámításhoz

4. ábra: A súlyponti tengelyek helyzete a viszonyítási koordinátarendszerhez képest

A keresztmetszet x’ tengelyre vett statikai nyomatéka:

a5,0)a25,3(a75,1)a125,1(a3)a25,3(a625,7

yAyAyAA2222

332211'

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→

→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S

Sx

y

yS→

7

→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a63,1a97,1a75,9a625,7 Sy

amiből: cm38,45,275,1a75,1a625,7

a35,132

3

=⋅=⋅=⋅

⋅=Sy

Látható, hogy az x súlyponti tengely éppen a keresztmetszet y irányú hosszának a felébe esik.

Ha alaposan szemügyre vesszük 4. ábra elrendezését, látható, hogy az x súlyponti tengely szim-

metria tengely is egyben.

A későbbiekre nézve azt a megállapítást tehetjük, hogy amennyiben egy keresztmetszet rendel-

kezik szimmetriatengellyel, akkor az egyben súlyponti tengely is.

A keresztmetszet y’ tengelyre vett statikai nyomatéka:

a625,1)a25,3(a375,1)a125,1(a625,1)a25,3(a625,7

xAxAxAA2222

332211'

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→

→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S

Sy

x

xS→

→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a28,5a55,1a28,5a625,7 Sx

amiből: cm98,35,259,1a59,1a625,7

a11,122

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Sx .

5. ábra: A súlyponti tengelyekre számított inerciához a teljes keresztmetszet és az egyes keresztmetszet részek

súlyponti tengelyeinek elhelyezkedése

A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner

tételeket alkalmazzuk (5. ábra).

A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciája:

8

=

⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅=

12

a)5,1(a75,02)a(1,25a)a(3,25

12

aa3,25 32

3

xI

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅= 44444 5,291,10a91,10a21,0a16,10a54,0 426,17 cm4.

A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciája:

=

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅= 2

32

3

)a(0,215a)75,0a5,1(12

a)75,0(a5,12)a(0,035a)3,25(a

12

)a3,25(ayI

=⋅=⋅=⋅+⋅++⋅= 44444 5,282,5a82,5a05,0a05,00a72,5 227,34 cm4.

A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:

=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

y

5,223,64,38

17,426a23,6

a1,75

a91,10

tx

x

IW 97,34 cm3.

A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett keresztmetszeti tényezője:

=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

x

5,251,34,15

34,227a51,3

a1,66

a82,5

ty

y

IW 54,84 cm3.

A keresztmetszetek jellemzésére gyakran használatos mennyiség az inerciasugár: A

Ii = .

A keresztmetszet x súlyponti tengelyére vett inerciasugara:

=⋅=⋅=⋅⋅

== 5,2196,1a196,1a625,7

a91,102

4

A

Ii xx 2,99 cm.

A keresztmetszet y súlyponti tengelyére vett inerciasugara:

=⋅=⋅=⋅

⋅== 5,2874,0a874,0

a625,7

a82,52

4

A

Ii

y

y 2,19 cm.

1.1.2. példa


idom területét, súlyponti koordinátáit (xS; yS), a súlyponti tengelyeire vett inerciákat és kereszt-

metszeti tényezőket, illetve az inerciasugarakat.

Adott: a = 1,6 cm.

A 6. ábra szerint az összetett keresztmetszetet vastag vonallal jelöltük és három téglalapra osz-

tottuk fel.


=⋅=⋅=⋅⋅= 221 6,15,1a5,1a5,1aA 3,84 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅⋅= 222 6,19a9a5,4a2A 23,04 cm2.

9

==⋅=⋅=⋅⋅⋅= 223 6,14a4a2a2A 10,24 cm2.

=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 24,1004,2384,3a5,14a4a9a5,1AAAA 2222321 37,12 cm2.

6. ábra: Összetett keresztmetszet felbontása téglalapokra


koordinátarendszer tengelyeire külön - külön.


a5,3)a4(a25,2)a9(a75,3)a5,1(a5,14

yAyAyAA2222

332211'

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→

→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S

Sx

y

yS→

→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a14a25,20a63,5a5,14 Sy

amiből: cm4,46,175,2a75,2a5,14

a88,392

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Sy

7. ábra: A súlyponti tengelyek helyzete a viszonyítási koordinátarendszerhez képest

10

A keresztmetszet y’ tengelyre vett statikai nyomatéka:

a4)a4(a2)a9(a5,0)a5,1(a5,14

xAxAxAA2222

332211'

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→

→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S

Sy

x

xS→

→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a16a18a75,0a5,14 Sx

amiből: cm84,36,14,2a4,2a5,14

a75,352

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Sx .




=

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

+

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅=

23

23

23

)a(0,75a)2a(212

a)2(a2

)a(0,5a)4,5a2(12

)a(4,5a2aa)1,5(a

12

)a(1,5axI

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 6,18,22a8,22a25,2a33,1a25,2a19,15a5,1a28,0

=149,42 cm4.


=

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

+

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅=

23

23

23

)a(1,6a)2a2(12

a)2(a2

)a(0,4a)2a5,4(12

a)2(a5,4)a(1,9a)a(1,5

12

aa5,1yI

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 6,155,21a55,21a24,10a33,1a44,1a3a415,5a125,0

=141,23 cm4.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

y

6,129,84,4

42,149a29,8

a2,75

a8,22

tx

x

IW 33,96 cm3.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

x

6,129,84,16

23,141a29,8

a6,2

a55,21

ty

y

IW 33,95 cm3.


=⋅=⋅=⋅⋅

== 6,1254,1a254,1a5,14

a8,222

4

A

Ii xx 2,0 cm.


11

=⋅=⋅=⋅⋅

== 6,122,1a22,1a5,14

a55,212

4

A

Ii

y

y 1,95 cm.



1.1.3. példa




Adott: a = 8 cm.

9. ábra: T alakú keresztmetszet

A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek (az ábrán nem tüntettük külön fel,

egyértelmű kell legyen) területeinek összegzésével kapjuk.

=⋅=⋅=⋅⋅= 221 84a4a4aA 256 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅= 222 84a4aa4A 256 cm2.

=+=⋅=⋅+⋅=+=∑ 256256a8a4a4AAA 22221 512 cm2.

12


koordinátarendszer tengelyeire. Mivel az y tengely szimmetria tengely, ezért súlyponti tengely

is egyben, ezért csak x’ tengelyre írjuk fel a statikai nyomatékot.


a2)a4(a5,4)a4(a8yAyAA 2222211' ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→⋅+⋅=⋅=∑∑ SSx yyS →

→⋅+⋅=⋅⋅→ 332 a8a18a8 Sy amiből: cm26825,3a25,3a8

a262

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Sy .




=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅= 2

32

3

)a(1,25a)4(a12

)a(4aa)25,1(a)a(4

12

aa4xI

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 444444 816,18a16,18a25,6a33,5a25,6a33,0 74383 cm4.


=⋅=⋅=⋅+⋅=⋅⋅

+⋅⋅

= 444433

866,5a66,5a33,0a33,512

aa4

12

a)4(ayI 23183 cm4.




=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

y

859,526

74383a59,5

a25,3

a16,18

tx

x

IW 2861 cm3.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

x

883,216

23183a83,2

a2

a66,5

ty

y

IW 1449 cm3.


13

=⋅=⋅=⋅

⋅== 851,1a51,1

a8

a16,182

4

A

Ii x

x 12,08 cm.


=⋅=⋅=⋅

⋅== 884,0a84,0

a8

a66,52

4

A

Ii

y

y 6,72 cm.

1.1.4. példa




Adott: a = 2 cm.

11. ábra: Aszimmetrikus I alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve) és felosztása téglalapokra

A keresztmetszet területét az egyes keresztmetszet részek (11. ábra) területeinek összegzésével

kapjuk.

=⋅=⋅=⋅⋅= 221 23a3a3aA 12 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅= 222 28a8aa8A 32 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅= 223 25a5a5aA 20 cm2.

=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 203212a16a5a8a3AAAA 2222321 64 cm2.


koordinátarendszer tengelyeire. Mivel az y tengely szimmetria tengely, ezért súlyponti tengely

is egyben, ezért csak x’ tengelyre írjuk fel a statikai nyomatékot.


a5,0)a5(a5)a8(a5,9)a3(a16

yAyAyAA2222

222211'

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅→

→⋅+⋅+⋅=⋅=∑∑S

Sx

y

yS→

→⋅+⋅+⋅=⋅⋅→ 3332 a5,2a40a5,28a16 Sy

14

amiből: cm88,824375,4a4375,4a16

a712

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Sy .






=

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+

+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅=

23

23

23

a)94,3(a)a(512

aa5

)a(0,56a)8(a12

)a(8aa)06,5(a)a(3

12

aa3xI

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 44444444 228,200a28,200a62,77a42,0a51,2a67,42a81,76a25,0

3204 cm4.


=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

= 44444333

234,13a34,13a42,10a67,0a25,212

a)5(a

12

aa8

12

a)3(ayI

213 cm4.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

y

23611,12

3204a36

a5625,5

a28,200

tx

x

IW 288 cm3.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

x

234,55

213a34,5

a2,5

a34,13

ty

y

IW 42,6 cm3.


=⋅=⋅=⋅

⋅== 254,3a54,3

a16

a28,2002

4

A

Ii x

x 7,08 cm.

15


=⋅=⋅=⋅

⋅== 291,0a91,0

a16

a34,132

4

A

Ii

y

y 1,82 cm.

1.1.5. példa




Adott: a = 3 cm.

13. ábra: Szimmetrikus I alakú keresztmetszet (vastaggal kiemelve)


=⋅=⋅=⋅⋅== 2231 35a5a5aAA 45 cm2.

=⋅=⋅=⋅⋅= 222 38a8aa8A 72 cm2.

=++=⋅=⋅+⋅+⋅=++=∑ 457245a18a5a8a5AAAA 2222321 162 cm2.

A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is. A súlyponti

tengelyekre vonatkozó inercia számításához az összegzési, kiegészítési és a Steiner tételeket

alkalmazzuk.

=⋅+⋅+⋅=⋅⋅

+

⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅= 444

32

3

a67,42a52,202a83,012

)a(8aa)5,4(a)a(5

12

aa52xI

=⋅=⋅= 44 3246a246 19926 cm4.


=⋅=⋅=⋅+⋅=⋅⋅

+

⋅⋅⋅= 4444

33

35,21a5,21a67,0a83,2012

aa8

12

a)5(a2yI 1741,5 cm4.


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

y

32,4915

19926a2,49

a5

a246

tx

x

IW 1328,4 cm3.

16


=⋅==⋅=⋅⋅

== 334

x

36,87,5

5,1741a6,8

a2,5

a5,21

ty

y

IW 232,2 cm3.


=⋅=⋅=⋅⋅

== 37,3a7,3a18

a2462

4

A

Ii x

x 11,1 cm.


=⋅=⋅=⋅⋅

== 309,1a09,1a18

a5,212

4

A

Ii

y

y 3,27 cm.

1.1.6. példa




Adott: Ød = 20 cm.

14. ábra: Kör keresztmetszet (vastaggal kiemelve)

A keresztmetszet területe:

==⋅

=⋅

=∑ 4

π02

4

πdA

22

314,16 cm2.

A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is.

A súlyponti tengelyekre vonatkozó inercia számítása:

=⋅

=⋅

==64

π02

64

πd 44

yx II 7854 cm4.

A súlyponti tengelyekre vonatkozó keresztmetszeti tényező számítása:

=⋅

=

⋅

=⋅

=

⋅

===32

π02

2

2064

π02

432

πd

2

d64

πd

2

d

3

4

3

4

IWW yx

785,4 cm3.

A súlyponti tengelyekre vonatkozó inerciasugár számítása:

17

====⋅

⋅⋅

=⋅

⋅

====4

20

4

d

16

d

πd

4

64

πd

4

πd64

πd2

2

4

2

4

A

I

A

Iii

yxyx 5 cm.

1.1.7. példa




Adott: ØD = 15 cm, Ød = 11 cm.

A keresztmetszet területe: ( ) ( )

=⋅

=⋅

=∑ 4

π11-15

4

πd-DA

2222

81,68 cm2.

15. ábra: Gyűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve)

A keresztmetszet x és y tengelye is szimmetriatengely, így súlyponti tengelyek is.


=⋅−

=⋅−

==64

π)11(15

64

π)d(D 4444

yx II 1766 cm4.

A súlyponti tengelyekre vonatkozó keresztmetszeti tényező számítása:

=⋅

⋅−=

⋅−

=⋅

⋅−=

⋅−

===5132

π)11(15

2

1564

π)11(15

D32

π)d(D

2

D64

π)d(D

2

d

44

44

44

44

IWW yx

235,5 cm3.

A súlyponti tengelyekre vonatkozó inerciasugár számítása:

( )

( )( )

( )( )

( ) =⋅

=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅

==== 22

44

22

44

22

44

d-D61

d-D

πd-D

4

64

πd-D

4

πd-D64

πd-D

A

I

A

Iii

yxyx

( )( )

( )( ) =

⋅=

⋅= 22

44

22

44

11-5161

11-51

d-D61

d-D4,65 cm.

18

2. Síkbeli erőrendszerek kiegyensúlyozásának ismétlése

2.1.1. példa:

Adott a 16. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok

helye és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Határozzuk meg a támaszoknál fellépő reakcióerő-

ket számítással és a zárt szelvény keresztmetszetű AC tartóelemet ellenőrizzük tiszta húzásra.

Adott: a=3 m, b=2 m, c=4 m, F=34 kN. A keresztmetszet: 80X60X2 zárt szelvény, A = 5,39

cm2. A rúd szilárdsága: f h.=100 N/mm2.

A számító eljárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagyságukat és irányukat (ér-

telmüket), meg kell becsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példában: az A és B csuklóknál

fellépő reakciók nagyságát FA–nak és FB–nek feltételezzük. Az irányuk: mivel az AC és BC

tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerke-

zeti elemen nincs erő (önsúlytól eltekintünk) – ez azt jelenti, hogy ebben a két tartószerkezeti

elemben rúdirányú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakban csak rúdirányú

erő ébred. Amiből következik, hogy ezek a tartószerkezeti elemek rúdirányban akarnak elmoz-

dulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarják megakadályozni.

16. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása – daruszerkezet

Azaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek hosszten-

gelyével, a kérdés csak az irányításuk. Ha azt nem tudjuk kikövetkeztetni a külső ható erőkből

és a tartószerkezet elrendezéséből, akkor feltételeznünk kell (17. ábra). A következő lépésben

a vetületi egyenleteket használjuk fel, amit egyensúlyozási feladatok megoldása során vetületi

egyensúlyi egyenleteknek nevezünk. Az egyenlőség egyik oldalán az erőrendszer valamennyi,

ismert és ismeretlen elemének összegezzük előjelhelyesen a viszonyítási koordinátarendszerrel

párhuzamos komponenseit, és ezeket egyenlővé tesszük nullával. Ugyanis ha az erőrendszer

19

eredője nulla, akkor 022 =+= RyRxR FFF egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha az eredő erő

viszonyítási tengelyre vett komponensei külön – külön egyenlők nullával.

17. ábra: Támaszerők nagyságának és értelmének a feltételezése

( ) ( )βFαF BA coscos0Fx ⋅+⋅==∑ és

( ) ( ) Fsinsin0Fy −⋅+⋅==∑ βFαF BA.

Előbbi két egyenletben két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hogy a két egyenletből álló két–

ismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk. Az α és β szögek meghatározása:

°=

+=

+= 38,66

23

4arctan

ba

carctanα és

°=

=

= 63,432

4arctan

b

carctanβ .

Behelyettesítés a vetületi egyenletekbe:

( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 63,43cos38,66coscoscos0Fx BABA FFβFαF és

( ) ( ) ( ) ( ) 4363,43sin38,66sinFsinsin0Fy −°⋅+°⋅=−⋅+⋅==∑ BABA FFβFαF

Az első egyenletből:

( )( )°

°⋅−=

38,66cos

63,43cosB

A

FF ,

majd behelyettesítve második egyenletbe:

20

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) 4363,43sin38,66sin38,66cos

63,43cos

4363,43sin38,66sin38,66cos

63,43cos0

−

°+°⋅

°

°−⋅=

=−°⋅+°⋅°

°⋅−=

B

B

B

F

FF

, ahonnan

( )( )

( ) ( )kN3,376

63,43sin38,66sin38,66cos

63,43cos

43=

°+°⋅

°°

−

=BF ( ).

Visszahelyettesítés után FA–ra a következőt kapjuk:

( )( )

( )( )

→−=°

°⋅−=

°°⋅

−= 36,338,66cos

63,43cos37,36

38,66cos

63,43cosBA

FF kN36,3=AF ( ).

Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagysága kN36,3A =F és kN63,37=BF . Az FB kény-

szererőnek feltételezett irányítás helyes volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonban az A tá-

masznál feltételezett támaszerőnek az előjele negatív, ami annyit jelent, hogy az ismeretlen

értelmű erőnek a feltételezett irány nem volt jó. A valós irányítása az erőnek éppen ellentétes

(18. ábra).

Másik megoldási lehetőség, ha két darab nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel. Előbb az

A pontra:

)ba(Fasinβb)a(Fa0MA +⋅−⋅⋅=+⋅−⋅==∑ BBy FF , majd a B pontra:

18. ábra: Az ismeretlen támaszerők nagysága és irányítása helyesen ábrázolva

bFasinαbFa0MB ⋅−⋅⋅=⋅−⋅−==∑ AAy FF

Az első egyenletből:

21

=⋅°

+⋅=

⋅

+⋅=

3)sin(63,43

)23(43

asinβ

)ba(FBF kN36,63 ( ).

A második egyenletből:

→−=⋅°

⋅=

⋅⋅

= 28,363)sin(38,66

243

asinα

bFAF kN28,36=AF ( ).

Az AC tartószerkezeti elem igénybevétele tiszta húzás, nyíró és hajlító igénybevétel nem lép

fel, a maximális normál igénybevétel megegyezik az FA reakcióerővel.

Az AC tartószerkezeti elemben fellépő húzófeszültség:

=⋅

⋅==

2

3maxhúzó

1039,5

1028,36

A

Nσ 67,31 N/mm2.

Összehasonlítás a szilárdsággal:

f h.=100 N/mm2 > 67,31 N/mm2 = σhúzó →MEGFELEL

2.1.2. példa:

Adott a 19. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok

helye és a C csuklót terhelő koncentrált erő. Feladat, hogy meghatározzuk az A és B csuklóknál

fellépő támaszerőket számítással és az AC, BC kör keresztmetszetű tartószerkezeti elemek

szükséges átmérőjét.

Adott: a=4 m, b=2,5 m, c=4,5 m, F=27 kN. A rudak/kötelek szilárdsága: f h.=100 N/mm2.

19. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer

Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagyságát és értelmét (20. ábra). A hatásvonaluk

ismert, mivel az AC és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül

éri terhelés. Így ezek az elemek hossztengelyükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni.

22

20. ábra: Reakció erők nagyságának és értelmének a feltételezése

Ezt az elmozdulást akadályozzák meg a támaszoknál fellépő kényszererők, amik hatásvonala

így az AC és BC tartószerkezeti elemek hossztengelyével párhuzamos.

Következő lépésként célszerű felvenni a viszonyítási koordinátarendszert, és elhelyezni abba a

pontba, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egymást – jelen esetben ez a C

pont. Ugyanekkor feltüntetjük a két tartószerkezeti elem hossztengelyének (azaz a feltételezett

reakcióerők hatásvonalának is egyben) a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt

szögeit (21. ábra). Ezután kezdhetjük meg a számolást. Először az α és β szögeket számítjuk

ki: °=

=

= 582,5

4arctan

b

aarctanα és °=

=

= 41,634,5

4arctan

c

aarctanβ .

Következő lépésben írhatjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket:

( ) ( )βcosαcos0Fx ⋅+⋅−==∑ BA FF és

( ) ( ) Fβsinαsin0Fy −⋅+⋅==∑ BA FF

A két egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következő-

ket kapjuk eredményül a reakcióerőkre: kN74,20=AF ( ) és kN51,14=BF ( ). Ezek a re-

akció erők nagyságai. Mivel az egyenletrendszer megoldásából pozitív értékeket kaptunk meg-

oldásul, ez annyit jelent, hogy a támaszerőknek feltételezett irányítás helyes volt, azok megfe-

lelnek a 21. ábra szerint feltüntetettnek.

Másik megoldási lehetőség, hogy felírunk az A és B pontokra nyomatéki egyensúlyi egyenle-

teket:

( ) c)(bβsinbF0MA +⋅⋅+⋅−==∑ BF és

23

21. ábra: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeinek a bezárt szöge

( ) c)(bαsincF0M +⋅⋅−⋅==∑ AFB .

Ezekből ugyanazokat az eredményeket kapjuk a támaszerőkre.

Az AC és BC tartószerkezeti elemek igénybevétele tiszta húzás, nyíró, hajlító igénybevétel nem

lép fel. A maximális húzóerők megegyeznek a támaszoknál ébredő reakcióerőkkel.

A szükséges dAC átmérő meghatározása:

=⋅

===→=100

1047,20

ffA

Af

3

h.h.AC

ACh.

ASS ACAC 204,7 mm2 →

=⋅

=→⋅

=π

47,204d

4

πdA AC

2AC

AC 16,14 mm → =≈ ACd 2 cm.

A szükséges dBC átmérő meghatározása:

=⋅

===→=100

1051,14

ffA

Af

3

h.h.BC

BCh.

BSS BCBC 145,1 mm2 →

=⋅

=→⋅

=π

41,145d

4

πdA BC

2BC

BC 13,59 mm → =≈ BCd 1,5 cm.

2.1.3. példa:

Adott a 22. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, ami egyik végén egy csuklóval (A

pont), másik végén egy görgővel (B pont) van megtámasztva. Határozzuk meg a támaszerőket

számítással, számítsuk ki a hajlításból származó maximális normál és nyírófeszültség és ellen-

őrizzünk.

Adott: F = 17 kN, a = 1 m, α1=50 ° és α2=30 °. Szelvény: I-200→ Iz = 2140 cm4, Sz = 125 cm3,

v = 7,5 mm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

24

22. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása

Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. Ennek

a három erőnek kell egyensúlyban lennie. Három erő egyensúlyának a feltétele, hogy hatásvo-

nalaiknak egy pontban kell metszeniük egymást és a vektorsokszögnek folytonos nyílértelem-

mel kell záródnia. A vetületi egyenleteknek egyenként zérussal kell egyenlőnek lennie.

23. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és

irányának feltételezése

Sinus tételből: ( )

( )( )( )

( )m1,63

70sin

50sin2

α90α180sin

αsin2

21

1 =°

°⋅=

−°−−°

⋅=b

Cosinus tételből:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m48,30390cos63,114263,114α90cos4a24a 221

22 =°−⋅⋅⋅⋅−+⋅=−⋅⋅⋅−+= bbc

Cosinus tételből: ( )

( )( )

( )°=

⋅⋅⋅−⋅+

=

⋅⋅−+

= 9,231448,32

63,11448,3arccos

4ac2

4aarccos

222222bc

β

x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°°⋅−°⋅+°⋅−=

=°⋅−⋅+⋅−==∑30-90cos23,9cos50cos17

α-90coscosαcosF0F 21x

BA

BβA

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )°−°⋅+°⋅+°⋅−=

=−°⋅+⋅+⋅−==∑3090sin23,9sin50sin17

α90sinsinαsinF0F 21y

BA

BβA

A két egyenletből álló két–ismeretlenes egyenletrendszer megoldása A–ra és B–re:

25

A = 16,07 kN( ) és B=7,53 kN( ).

Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek felté-

telezett irányítások helyesek.

A másik megoldási lehetőség szerint a kényszerek azonosítása alapján vesszük/tételezzük fel

az egyensúlyozó erők nagyságát és irányát. A B pontban a görgő támasztja meg a tartót, ezért

ott a támaszra merőleges irányban vesszük fel az ismeretlen támaszerőt. Az A pontban csukló

biztosítja, hogy ne mozduljon el a tartó. Ez a kényszer csak a forgást engedi meg a tartónak, az

elmozdulást nem. Emiatt tételezhetjük fel a viszonyítási koordinátarendszer x és y irányával

párhuzamosan fellépő támaszerőket az A pontban (24. ábra).

24. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának feltételezése

Ebben az esetben három egyensúlyi egyenlet felírásával és az egyenletrendszer megoldásával

megkapjuk az eredményeket.

Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az A pontra:

( ) ( ) →⋅°⋅+⋅⋅−==∑ a4α-90sina2αsinF0M 21A B B=7,52 kN( ).

Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a B pontra:

( ) →⋅−⋅⋅==∑ a4a2αsinF0M 1B yA Ay=6,51 kN(↑).

x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

( ) ( )→°⋅−+⋅−==∑ 21x α-90cosαcosF0F BAx Ax=14,69 kN (→).

Az A pontban ébredő támaszerő eredője:

=+=+= 2222 69,1451,6yx AAA 16,07 kN( ).

Az ébredő belső erőket és az igénybevételek eloszlását a tartó hossztengelye mentén a 25. ábra

mutatja be:

26

25. ábra: A fellépő reakcióerők és igénybevételek ábrázolása

A hajlításból származó maximális normálfeszültség:

=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)001

)mm(1014,2

)mmN(1002,31t

I

M47

6

(y)z

max.maxhajlσ 60,84 N/mm2→

→ =.maxhajlσ 60,84 N/mm2 < 95 N/mm2 = f hajl. →MEGFELEL

A hajlításból származó maximális nyírófeszültség:

=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

7,5(mm)

)mm(1025,1

)mm(1014,2

N)(1051,6

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z

(max)x,.maxhajlτ 5,07 N/mm2→

→ =.maxhajlτ 5,07 N/mm2 < 74 N/mm2 = f nyírás →MEGFELEL

2.1.4. példa:

Adott a 26. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pontban) van megtámasztva.

Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Határozzuk meg a kör keresztmetszetű BC tartó-

szerkezeti elem szükséges átmérőjét. Ellenőrizzük a felfüggesztett, I szelvényű, vízszintes tar-

tóelemet hajlításra (normál– és nyírófeszültség).

Adott: F = 23 kN, a = 2 m és α=40 °. Vízszintes tartóelem keresztmetszete: I 200 szelvény, Iz

= 2140 cm4, Sz = 125 cm3, v = 7,5 mm, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szi-

lárdság: f nyírás = 74 N/mm2. A BC kötél szilárdsága: f h.=80 N/mm2.

27


27. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és

irányának feltételezése

28. ábra: Rosszul feltételezett A támaszerő irányának javítása

28


( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 40sin40sin32αsinαsinF0Fx AA →

A = –23 → A = 23 kN ( ).

Ez azt jelenti, hogy az A támaszerő nagysága 23 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit fel-

tételeztünk (28. ábra).

Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

( ) ( ) ( ) ( ) BBA −°⋅−°⋅−=−⋅−⋅−==∑ 40cos3240cos32αcosαcosF0Fy →

→ B = –35,24 → B = 35,24 kN (↑).

29. ábra: Rosszul feltételezett B reakcióerő irányának javítása

30. ábra: Feltételezett reakcióerők

29

Ez azt jelenti, hogy az B támaszerő nagysága 35,24 kN, iránya azonban ellentétes azzal, amit

feltételeztünk (29. ábra).

A másik megoldási lehetőség, hogy a B pontban ébredő támaszerő nagyságát felvesszük, irá-

nyát pedig a BC rúdelem hossztengelyével párhuzamos.

Ebben nincs változás. Mivel az A pontban nem ismerjük az elmozdulás irányát, ezért felvesszük

külön – külön az Ay és Ax támaszerőket (30. ábra).


( ) →⋅⋅−⋅−==∑ a2αcosFa0MA B B = –35,24→B = 35,24 kN(↑).

Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a C pontra:

( ) →⋅⋅−⋅−==∑ aαcosFa0MC yA Ay = –17,62→ Ay = 17,62 kN(↓).


( ) →⋅+==∑ αsinF0Fx xA Ax = –14,78→ Ax = 14,78 kN(←).


0,2362,1778,14 2222 =+=+= yx AAA kN( ).

A függőleges, BC tartóelem igénybevétele tiszta húzás, a fellépő maximális belső erő meg-

egyezik a B kényszernél ébredő reakcióerővel.


30


=⋅

===→=80

1024,35

ffA

Af

3

h.h.BC

BCh.

BSS BCBC 440,5 mm2 →

=⋅

=→⋅

=π

45,440d

4

πdA BC

2BC

BC 23,68 mm → =≈ BCd 2,5 cm.

A felfüggesztett, I szelvényű tartón ébredő igénybevételeket és eloszlásukat a 31. ábra mutatja

be.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)50

)mm(102140

)mmN(1024,35t

I

M44

6

(y)z




=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

7,5(mm)

)mm(1025,1

)mm(1014,2

N)(1062,17

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



2.1.5. példa

Adott a 32. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva.

Határozzuk meg a támaszerőket számítással. Ellenőrizzük a zárt szelvény (60 x 60 x 3) kereszt-

metszetű BC tartóelemet kihajlásra!

Adott: F = 40 kN, a = 3 m, b = 1 m és α=60 °. A BC tartóelem keresztmetszetére, anyagára és

a megtámasztására vonatkozó adatok táblázatból: ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás), A =

6,61 cm2, I = 35,1 cm4, E = 210000 N/mm2, λh = 105.


31

Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakció-

erők alkotják – három erő összesen.

Az egyensúly feltétele, hogy ennek a három erőnek a hatásvonala egy pontban metssze egy-

mást. A B pontban a támaszerő hatásvonalának az iránya ismert, mivel a BC tartószerkezeti

elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagyságát és értelmét vesszük

fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszabbítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával

(33. ábra). Ez lesz a D pont. Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az

egyensúly feltételének a teljesítéséhez. Ebben az esetben a tartó geometriájából ki tudjuk szá-

molni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egyensúlyi egyenletek felírásához kellenek.

Az AB távolság (d+c) meghatározása:

( )m46,3

5,0tan60

3

5,0

atanα =

⋅°=+→

⋅+= cd

cd

Az α’ meghatározása:

33. ábra: Támaszerők irányításának feltételezése, majd hatásvonalaik meghosszabbítása az F erő hatásvonaláig

( )°=→

−

+=

−+

+=→=

°

+=→

+= 9,73

31,246,3

13batanm31,2

tan60

13batanα α'

ccdα'c

c.


( ) ( ) ( ) ( )°⋅−°⋅+=⋅−⋅+==∑ 60cos9,73cos04αcoscosF0Fx BABα'A .

32

34. ábra: Rosszul feltételezett A reakcióerő irányának javítása

y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

( ) ( ) ( ) ( )°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ 60sin9,73sinαsinsin0Fy BABα'A .

A két egyenletből álló, két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása:

A = –48,08→ A= 48,08 kN( ), iránya a feltételezettel ellentétes (34. ábra),

B = 53,34 kN( ), iránya megegyezik a feltételezett iránnyal (34. ábra).

A másik megoldás, hogy nyomatéki egyensúlyi egyenleteket írunk fel. Ebben az esetben a ki-

indulási támaszerők nagyságának és irányának a feltételezései a 35. ábra szerintiek.

35. ábra: Reakcióerők feltételezése


→+⋅−⋅⋅==∑ b)a(Fαsin

aαsin0MA B B = 53,33 kN( ).

33

Nyomatéki egyensúlyi egyenlet a B pontra:

→+⋅−⋅−==∑ b)a(Fαsin

a0MB yA Ay = –46,19→ Ay = 46,19 kN(↓).


( ) →⋅−+==∑ αcosF0Fx BAx Ax = –13,34→ Ax = 13,34 kN(←).


07,4819,4634,13 2222 =+=+= yx AAA kN( ).

A BC tartóelem keresztmetszeti jellemzőjének, a kisebbik inerciasugár meghatározása:

===61,6

1,35minmin

A

Ii 2,3 cm.

A tartó redukált hosszának a meghatározása:

=⋅=⋅+= 146,3ν)( cdlred 3,46 m = 346 cm.

A karcsúsági tényező számítása:

===3,2

346

mini

lλ red 150,43.

λh = 105 < 150,43 = λ → a kritikus feszültséget a rugalmas kihajlás, az Euler-féle képlet szerint

kell meghatározni:

=⋅

=⋅

=2

2

2

2

43,150

210000ππ

λσ

Ekrit

91,59 N/mm2.

A BC rúdban ébredő normál igénybevétel megegyezik a B támasztási pontban fellépő reakció-

erővel.

A BC rúdban fellépő normálfeszültség meghatározása:

=⋅

==661

1033,53

A

3BC

fel

Nσ 80,68 N/mm2 < =kritσ 91,59 N/mm2 → MEGFELEL!

2.1.6. példa

Adott az 36. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, baloldali végén egy csuklóval (A

pont), jobboldali végén egy görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztenge-

lyére merőlegesen terheli F1, F2 és F3 koncentrált erők. Határozzuk meg a kényszereknél ébredő

támaszerőket számítással és ellenőrizzük a tartót hajlításra.

Adott: F1=19 kN, F2=26 kN és F3= 15 kN, a = 1 m. Keresztmetszet: 200 x 100 x 5 zárt szelvény,

Iz = 1459 cm4, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.

34

36. ábra: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegyensúlyozása – reakció erő meghatározás

A számító eljárás során az első lépés, hogy a támaszoknál fellépő támasz erők nagyságát és

irányát feltételezzük. Az A csukló megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását úgy x, mint

y irányban. Ezért ott Ax és Ay erőket is feltételeznünk kell. A B támasz csak a támaszra merőle-

ges elmozdulását akadályozza meg a tartószerkezetnek, így ott csak egy y tengellyel párhuza-

mos hatásvonalú erő nagyságát és értelmét feltételezzük (37. ábra). A tartószerkezetet terhelő

erőrendszernek így öt eleme van jelen példában, F1, F2 és F3 ható erők és FA, FB ismeretlen erők.

37. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – támaszerők nagyságának és irányának feltételezése

Az egyensúly feltétele, hogy az eredő nagysága nulla legyen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószer-

kezet sem x, sem y irányban nem mozdul el. Azonban ha az eredő erő zérus, az nem jelenti

automatikusan, hogy nem mozdul el a szerkezet. Ugyanis az eredő erő lehet erőpár is. Azaz az

erőrendszer eredőjének erőértéke zérus, de nyomatéka van. Ebben az esetben a tartószerkezet

egy adott pont körül forgómozgást végez. Természetesen az egyensúly feltétele, hogy a tartó-

szerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végezhet. Ehhez nem elegendő a már ismert két

vetületi egyensúlyi egyenletet felírni:

xA−==∑ 0Fx és 321y FFF0F −+−+==∑ yy BA .

Matematikai szempontból sem megoldható a két egyenletből álló három–ismeretlenes egyen-

letrendszer. Az erőrendszerre ugyanúgy érvényes a nyomatéki tétel is. Ha azonban az erőrend-

szer eredője nulla, annak nyomatéka bármely tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Így

írhatjuk fel tetszőlegesen választott pontra a nyomatéki egyensúlyi egyenletet. A pontot, amire

vesszük az erőrendszer valamennyi elemének a nyomatékösszegét, úgy célszerű felvenni, hogy

35

az egyenletben az ismeretlenek száma minimális legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a nyomaté-

kot olyan pontra írjuk fel, amelyen minél több ismeretlen erő hatásvonala átmegy. Jelen példá-

ban először az A pontra írunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(1,5aF1,75a)(1,5aF(1,5a)F

0M

123

A

+++⋅+++⋅−+⋅+⋅−=

==∑B

.

Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel Ax és Ay

hatásvonala is átmegy az A ponton, így nyomatékuk az A pontra zérus. Behelyettesítés után:

0,80,50,9125,30,625,1,0510M A ⋅+⋅−⋅+⋅−==∑ B . Az egyenletből B–re a következőt

kapjuk: B = 4,125 kN(↑). Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy helyes

volt a B erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen: B = 4,125 kN (↑).


A következő lépésben a B pontra is felírunk egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

3a)1,75a1,75a(1,5a1,75a)1,75a(3aF1,75a)(3aFa)3(F

0M

321

B

+++⋅−++⋅++⋅−⋅=

==∑yA

.

Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen az A támasznál fellépő Ay reakcióerő, mivel Ax és By

hatásvonala is átmegy a B ponton, így nyomatékuk a B pontra zérus. Behelyettesítés után:

36

0,85,60,5175,40,620,30,190MB ⋅−⋅+⋅−⋅==∑ yA . Az egyenletből Ay–ra a következőt

kapjuk: Ay = 3,875 kN (↑). Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy helyes

volt az Ay erőnek feltételezett iránya. Az eredmény felírása helyesen: Ay = 3,875 kN (↑).

Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletből egyértelműen kiderül, hogy az A pontban feltéte-

lezett Ax komponens zérus.

Az y irányú vetületi egyenletbe, ha behelyettesítünk, ellenőrizhetjük a nyomatéki egyensúlyi

egyenletek eredményeit: 516291125,4875,30ΣFy −+−+== . Az egyenlőség fennáll. Az A

reakcióerő nagysága megegyezik az Ay–nal ( )kN(3,8753,8750 2 ↑=+=+= 2

y

2

x AAA ), ha-

tásvonala párhuzamos az y tengellyel, míg irányítása pozitív a viszonyítási koordinátatengely-

hez képest.

A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket a 38. ábra mutatja be.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)100

)mm(101459

)mmN(1063,13t

I

M44

6

(y)z



2.1.7. példa

Adott a 39. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet és a viszonyítási koordinátarendszer.

Határozzuk meg a támaszoknál ébredő kényszererőket számítással és adjuk meg az alkalma-

zandó I szelvényt a hajlítás szilárdsága alapján, ellenőrízzünk nyírásra.

Adott: F=11 kN koncentrált erő, q1=5 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló

erők, a = 2 m. Keresztmetszet: I-szelvény. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási

szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

39. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása – koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egye-

nes tengelyű tartószerkezet

37

Első lépésben a megoszló erőket helyettesítjük koncentrált erőkkel – erre azért van szükség,

mert a megoszló erőknek a nyomatékát egy tetszőlegesen választott pontra a helyettesítő erők-

nek a hatásvonala fogja meghatározni, ezek alapján olvassuk le az erőkarokat. A q1=5 kN/m

egyenletesen megoszló terhelés 1,5a = 3 m hosszon hat, míg a q2=3 kN/m egyenletesen meg-

oszló terhelés 3a = 6 m hosszon hat. A helyettesítő erők nagysága:

kN152)(1,55(1,5a)q1 =⋅⋅=⋅=1Q és kN182)(33(3a)q2 =⋅⋅=⋅=2Q .

Látható, a helyettesítő erő nagysága az azt szimbolizáló téglalap területével egyezik meg, a

hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlypontjába helyezzük el (40. ábra).

40. ábra: Egyenletesen megoszló erők helyettesítése koncentrált erőkkel

41. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának, értelmének feltételezése

Ezután a tartót megtámasztó kényszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagyságát

és irányát. Az A pontban egy csukló a támasz, ami megakadályozza a tartószerkezet elmozdu-

lását x és y irányokban. Így az A pontban Ax és Ay kényszererőket feltételezünk. A B pontban

egy görgő a kényszer, így ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk (41.

ábra). Ezután már felírhatjuk az egyensúlyi egyenleteket.

Először az A pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

( ) ( ) =++⋅++⋅−

+++⋅−⋅−==∑ aa1,5aa1,5aF

2

aaa1,5a

2

1,5a0MA BQQ 21

38

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3,5a2,5aF2

3a1,5a3aq

2

1,5aq

aa1,5aa1,5aF2

aaa1,5aaaaq

2

1,5a1,5aq

2

21

21

⋅+⋅−

+⋅⋅−⋅

−=

=++⋅++⋅−

+++⋅++⋅−⋅⋅−=

B

B

Behelyettesítés után:

( ) ( ) ( ) ( )23,522,5112

2321,5233

2

21,550M

2

A ⋅⋅+⋅⋅−

⋅+⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−==∑ B .

Az egyenlőségből a B ismeretlent kifejezve: B = 26,5 kN(↑).

A B pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet:

( )

( ) ( )( ) ( )

( ),5a3aF2

3aq

2

25,8aq

1,5aaaaFa2

aaaaaaq

2

1,5aaa1,5aq

1,5aaaaFa2

aaa

2

1,5aaa0M

22

21

21

B

⋅−⋅+⋅⋅

+⋅⋅

=

=++⋅−⋅+

−

++⋅++⋅+

++⋅⋅=

=++⋅−⋅+

−++

⋅+

++⋅==∑

y

y

y21

A

A

AQQ


72112

323

2

25,8250M

22

B ⋅−⋅+⋅⋅

+⋅⋅

==∑ yA

Az egyenlőségből az Ay ismeretlent kifejezve: Ay = 17,5 kN(↑).

Ellenőrzésként az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet írjuk fel:

( )( ) 026,517,511222321,55

Faaaq1,5aq0F 21y

=++−++⋅−⋅⋅−=

=++−++⋅−⋅−==∑ BAy

Az x irányú vetületi egyenletben csak az Ax ismeretlen szerepel, ami így nullával egyenlő.

A keresett reakcióerők eredményei helyesen feltüntetve:

Ay = 17,5 kN (↑) és B = 26,5 kN (↑).

A reakcióerőket és az ébredő igénybevételeket az 42. ábra mutatja be.


=⋅

==→=⋅==95

1004,31

f

MW

W

Mt

I

Mf

6

hajl.

maxz

z

max(y)

z

maxhajl.

.maxhajlσ 326736 mm3 = 326,7 cm3→

→ táblázatból: I 240 szelvény hajlítás tengelyére keresztmetszeti tényezője: Wz = 354 cm3, Sz

= 206 cm3, v = 8,7 mm.

39


Ellenőrzés nyírásra, a hajlításból származó maximális nyírófeszültség:

=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

8,7(mm)

)mm(1006,2

)mm(1025,4

N)(105,20

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



2.1.8. példa

Adott az 43. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet és a viszonyítási koordinátarendszer.

Határozzuk meg a támaszoknál ébredő kényszererőket, és ellenőrizzük a tartót hajlításra.

Adott: F=17 kN, α=30 °, q1=2 kN/m és q2=3 kN vonal mentén egyenletesen megoszló erők,

a=2 m. Keresztmetszet: U-szelvényből és lapos acélból (b x v) összeforgatott négyszög kereszt-

metszet: U 180, b = 20 cm, v = 5 mm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.

Előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és feltételezett irányú erőket (44.

ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra.

40

43. ábra: Egyenes tengelyű tartó általános terhelése

44. ábra: Ismeretlen nagyságú és irányú reakcióerők felvétele

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )221,52sin30221,5712

25,1221,525,123

2

21,52

a1,5a2sinαa1,5aF2

a5,1a1,5aa5,1aq

2

1,5aq0M

2

2

21

A

+⋅⋅⋅+°⋅+⋅⋅−

⋅++⋅⋅⋅+⋅−

⋅⋅−=

=+⋅⋅+⋅+⋅−

++⋅+⋅−

⋅−==∑

B

B

B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=16,75 kN(↑).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )221,522

25,125,1221,52

2

25,123sin3021,571

a1,5a22

a5,1a5,1a1,5aq

2

a5,1aqsinα1,5aF0M

2

1

22

B

+⋅⋅⋅−

⋅+⋅+⋅⋅⋅+

⋅+⋅+°⋅⋅⋅=

=+⋅⋅−

++⋅⋅++⋅

+⋅⋅==∑

y

y

A

A

Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =12,75 kN(↑).

Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is:

→−⋅==∑ xAcosαF0Fx Ax =14,72 kN(←).

Az reakcióerő nagysága: kN47,1975,1272,14 2222 =+=+= yx AAA ( ).

Az ismeretlen erőknek feltételezett irányok és irányítások minden esetben jók voltak.

A másik megoldási lehetőség, hogy visszavezetjük a példát három erő egyensúlyára. Ehhez

meg kell határozni az aktív erők eredőjét. Ebben az esetben a viszonyítási koordinátarendszert

célszerű a tartó valamelyik végén elhelyezni (45. ábra), amit most az A pontban veszünk fel.

41

45. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer felvétele az aktív erők eredőjének a meghatározásához

).kN(72,14cosαF →=⋅=∑ xF

)kN(5,295,292,5aq1,5aqsinαF 21 ↓=→−=⋅−⋅−⋅−= ∑∑ yy FF .

=+=+= ∑∑ 22225,2972,14yxR FFF 32,97 kN( ).

46. ábra: Aktív erők eredőjének helye és helyzete a tartón

°=→=∑∑

48,63tg R

x

y

RF

Fαα

( ) ( ) ( ) →+⋅⋅−

++⋅+⋅−

⋅−=⋅−== ∑∑ a1,5asinαF

2

a5,1a1,5aa5,1aq

2

1,5aq2

21

RRyAO xFMM

→ m45,4≅Rx (46. ábra)

Az aktív erők eredőjének (FR) a hatásvonala az M pontban metszi a B támaszerő hatásvonalát,

ebből adódóan az A pontban ébredő egyensúlyozó erő hatásvonalának is ezen az M ponton kell

áthaladnia, irányítása pedig adódik a vektorháromszögből.

42

Meghatározható az A támaszerő hatásvonalának a viszonyítási koordinátatengelyekkel bezárt

αA szöge:

m93,6)4a(4a

tg =−⋅=→−

= RR

R

R xtgMBx

MBαα és

=→= AA

MBαα

ABtg 40,92°


Ez alapján az x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek:

→⋅−⋅==∑ ARRx αAαFF coscos0 A = 19,48 kN( ) és

)kN(74,16sinsin ↑=→⋅++⋅−=∑ BABαFF ARRy α .


A keresztmetszet z súlyponti, hajlítás tengelyére vett inerciája:

=

+⋅⋅+

⋅+⋅=

+⋅⋅+

⋅+⋅= −

2321803180

zIIz 2

5,0180,502

12

5,00213502

2

vhvb

12

vbU2I

= 4412 cm4.

43


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)95

)mm(1041,4

)mmN(1075,36t

I

M47

6

(y)z



2.1.9. példa

Adott az 48. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket és

a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød átmérőjét és ellenőrízzünk nyírásra.

Adott: F=20 kN koncentrált erő, q=5 kN/m vonal mentén egyenletesen megoszló erő, M=8

kNm koncentrált nyomaték, a = 1 m. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szi-

lárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

48. ábra: Kéttámaszú tartó kiegyensúlyozása

Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (49. ábra),

majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra. Az A pontban csak függő-

leges, y irányú erőt veszünk fel, mivel az Ax kivételével x irányú erő nem működik az erőrend-

szerben. Így a vízszintes vetületi egyensúly csak úgy teljesül, ha Ax=0.

( )

( ) 141022

10,751211,25110,751258

4aaF2

0,75a2a1,25aa0,75a2aqM0MA

⋅⋅+⋅−

⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅+⋅−

+++⋅+⋅−==∑

B

B

A B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,46 kN (↑).

537,075,2583024

5a37,0a75,2qM3aF4a0MB

⋅⋅++⋅+⋅=

=⋅⋅++⋅+⋅==∑A

A

Az A ismeretlenre a következőt kapjuk: A = –18,29 → A=18,29 kN (↑).


44

49. ábra: Ismeretlen támaszerők felvétele / feltételezése



=⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=→⋅

⋅=⋅== 3

6

3

hajl.

max4

max(y)

z

maxhajl.

.max

π101

231029,81

πf

23Md

2

d

64

πd

Mt

I

Mfhajlσ 119,22 mm→

→ d ≈ 120 mm.

A félszelvény statikai nyomatéka a hajlítás tengelyére:

45

=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅==

2

1204244,0

4

201π

2

1

2

d4244,0

4

dπ

2

10)(yS

22

z

= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.


=⋅

=⋅

=64

π012

64

πd 44

zI 1018 cm4.


=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

120(mm)

)mm(1044,1

)mm(1002,1

N)(1029,18

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



46

3. Kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése

A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására a tartó bel-

sejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven igény-

bevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly módon

határozzuk meg, hogy a K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható külső erők (aktív és reakció

erőket együttesen értjük) eredőjét számítjuk ki. Megkülönböztetjük a normál igénybevételt (tar-

tószerkezet hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú külső erők eredője), nyíró igénybevételt

(tartószerkezet hossztengelyére merőleges hatásvonalú külső erők eredője) és a hajlító igény-

bevételt.

Az egyes igénybevételekről, belsőerő típusokról már ejtettünk szót. Ebben a fejezetben olyan

egyenes tengelyű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelyekre nemcsak tengelyirányú, hanem

hossztengelyre merőleges külső erők is hatnak. Így nemcsak normál, hanem nyíró és hajlító

igénybevételek is fellépnek. A feladat, hogy a belső erők változását a tartó hossztengelye men-

tén megszerkesszük, illetve megrajzoljuk. Ehhez a tartó valamennyi keresztmetszetében ismer-

nünk kell a fellépő igénybevételeket.

Az igénybevétel (belső erő) definícióját megismételjük: a tartószerkezet egy tetszőleges K ke-

resztmetszetének igénybevételén az adott K–keresztmetszettől jobbra vagy balra ható külső

erők (aktív és reakció erők) eredőjét értjük.

3.1. Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai

Jelölések: N – normálerő ábra

T – nyíróerő ábra

M – hajlító nyomatéki ábra

1. A tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ábra vonala a tartótengellyel

párhuzamosan halad.

2. Koncentrált erő helyén az N és T ábrán az erő megfelelő irányú összetevőjének megfe-

lelő ugrás van.

3. A nyomatéki ábra vonala lineárisan halad azon a szakaszon, ahol nincs erőhatás. A kon-

centrált erő helyén az M ábrában törés van.

4. Az M és T ábra között differenciális kapcsolat van. A nyíróerő ábra függvényét integ-

rálva kapjuk a nyomatéki ábra függvényét, illetve a nyomatéki ábra függvényét deri-

válva kapjuk a nyíróerő ábra függvényét.

5. Előző pontból következik, hogy a nyomaték helyi/lokális szélsőértékei ott lépnek fel,

ahol a nyíróerő nulla.

47

6. A tartó végein, ha nincs koncentrált nyomaték, akkor a nyomaték nulla.

7. Koncentrált erő helyén a nyomatéki ábrában törés van.

8. Megoszló terhelés alatt a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes, meredeksége a teherin-

tenzitás.

9. Megoszló terhelés alatt az M ábra parabola, adott pontjához húzott érintő iránytangense

az adott hely nyíróereje.

10. Az N és T ábrán a koncentrált nyomaték nem okoz változást.

11. A koncentrált nyomaték helyén, az M ábrán a nyomatéknak megfelelő ugrás van.

3.1.1. példa

Adott az 51. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket,

rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartó hajlításra és nyírásra.

Adott: F=7 kN, q1=2 kN/m és q2= 3 kN/m, a = 2 m és α=60 °. A keresztmetszet: I 280 szelvény.

A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

51. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – terhelések és támaszerők

Először mindig a normál igénybevételi ábrát rajzoljuk meg. Azokat az erőket összegezzük az

egyes keresztmetszetekben, amelyek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelyével. Ebben

az esetben az Ax–ből és az F erő x irányú komponenséből származik normál igénybevétel. A

52. ábra mutatja a normál igénybevételnek az eloszlását a tartó hossztengelye mentén. A szer-

kesztési szabályoknak megfelelően láthatjuk, hogy a tartóra két helyen koncentrált normál erő

(Ax és F) hat. Ezeken a helyeken azonos nagyságú, de ellentétes irányú ugrás található, mivel a

két erő irányítása ellentétes. A terheletlen szakaszon a tartó hossztengelyével párhuzamosan

haladunk. Nagyon egyszerűen ellenőrizhetjük, hogy jól dolgoztunk–e. Ugyanazon keresztmet-

szetben két oldalról nézve a belső erőknek ki kell egyensúlyozniuk egymást. Azaz azonos ke-

resztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagyságú, de ellentétes irányítású erőket kell kap-

nunk eredményül.

48

52. ábra: Normálerő ábra

Előbb az A ponttól tetszőleges x < 5 m távolságban található K keresztmetszetet vizsgáljuk. A

53. ábra felső részén láthatjuk, hogy a K keresztmetszettől jobbra eső tartószerkezeti részt meg-

tartottuk. A balra található összes (jelen esetben egy) normálerőnek a hatását vettük figyelembe

a vizsgált K keresztmetszetre. A 53. ábra alsó részén a tartó bal oldali részét tartottuk meg, és

a K keresztmetszettől jobbra lévő normálerők hatását összegeztük a vizsgált keresztmetszetre.

Látható, hogy két oldalról nézve ugyanazon K keresztmetszetben a belső erő nagysága azonos,

irányítása ellentétes.

53. ábra: Normál igénybevétel értelmezése ugyanazon K keresztmetszetben, két oldalról nézve

A normálerő ábra alá közvetlenül rajzoljuk a nyíróerő ábrát. Azoknak az erőknek a hatását

vizsgáljuk, melyeknek a tartó hossztengelyére merőleges komponense van. Ezek az Ay, q1, q2,

Fy és B erők. A tartó bal oldalán az A pontban az Ay koncentrált erőhatás miatt az erő nagysá-

gának megfelelően ugrunk (54. ábra), a nyíró igénybevétel értéke az A keresztmetszetben 11,84

kN – első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helyzetű egyenessel indulunk el az ugrással el-

lentétesen, mivel q1 és Ay egymással ellentétes irányba mutatnak – második lépés. A C kereszt-

metszet nyíró igénybevételének meghatározás a keresztmetszettől jobbra és balra eső nyíróerők

eredőjének külön – külön meghatározásával (55. ábra).

49

54. ábra: Nyíróerő ábra – első, második lépés

55. ábra: C keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve

Ha a C keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük:

84,53284,113q1 =⋅−=⋅−=∑ y

b

C AT → ( )↑=∑ kN84,5b

CT .

Ha C keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:

83,55306,615,235qF 2y −=⋅−−=⋅−−=∑ BTj

C → ( )↓=∑ kN83,5j

CT .

Láthatjuk, hogy ugyanazon keresztmetszetben két oldalról vizsgálva a két nyíró igénybevétel

éppen kiegyenlíti egymást. Azaz a C keresztmetszetben fennáll az egyensúly, mivel a nagyság

megegyezik (a minimális eltérés a kerekítésekből adódik), míg az irányok ellentétesek egymás-

sal.

Innen a q2 megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egyenessel haladunk to-

vább egészen az F koncentrált erő támadáspontjáig – harmadik lépés, ahol az F erő y kompo-

nensének megfelelően ugrunk lefele (56. ábra) – negyedik lépés.

50

56. ábra: Nyíróerő ábra – harmadik, negyedik lépés

16,0233284,112q3q 21 −=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ y

b

D AT → ( )↓=∑ kN0,16b

DT .

Az ábrán az erők nagysága és a geometria miatt nehezen látható, de a nyíró erő értéke a tengely

alá esik a vizsgált keresztmetszetben. Ezután jön az F erő y komponensének a figyelembevétele:

6,226,060,16F0,16233284,112q3q y21 −=−−=−→−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=∑ y

b

D AT →

( )↓=∑ kN6,22b

DT .

Ha D keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük:

57. ábra: D keresztmetszet nyíró igénybevételének értelmezése két oldalról nézve

23,63315,233q2 =⋅−=⋅−=∑ BTj

D → ( )↑=∑ kN23,6j

DT .

Az F erő y komponensének a figyelembevétele:

→ 17,006,623,6F23,63315,233q y2 =−=−→=⋅−=⋅−=∑ BTj

D → ( )↑=∑ kN17,0j

DT .

51

Innen továbblépve a q2 megoszló terhelésnek megfelelően ferde helyzetű egyenessel haladok

tovább a következő koncentrált erőhatásig, ami a B erő – ötödik lépés. Végül pedig a B kon-

centrált erő nagyságának megfelelően felfelé ugrunk – hatodik lépés (58. ábra).

58. ábra: Nyíróerő ábra – ötödik, hatodik lépés

A B keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D ke-

resztmetszeteké.

59. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – első lépés

52

Az utolsó igénybevétel fajta a hajlító nyomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztenge-

lye mentén. Ezt az ábrát közvetlenül a nyíróerő ábra alá rajzoljuk. Fontos tudnivaló (ahogy a

szerkesztési szabályoknál már említettük), hogy a nyomatéki és nyíróerő ábra között differen-

ciális kapcsolat áll fenn.

Ennek figyelembevételével legelőször megnézzük, melyik keresztmetszetben áll fenn a T = 0

egyenlőség – ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek kell lenni. Ezután, meg-

nézzük, hogy a tartó végein működik–e koncentrált nyomaték – ha nem, ott a nyomaték értéke

zérus. Végül pedig megtekintjük, hogy a tartón működik–e valahol koncentrált nyomaték – ha

igen, ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezek figyelembevételével tesszük meg az első lépést a

nyomatéki ábra rajzolásakor. A 59. ábra mutatja, hogy T = 0 a D keresztmetszet közvetlen

közelében lesz – mivel nagyon kis távolságról van szó, ezért úgy tekintjük, hogy a D kereszt-

metszetben van a zérus. Azt is láthatjuk, hogy a tartón sehol, se a végeken, se a tartószerkezeten

nem működik koncentrált nyomaték, így a tartó két végén zérus a nyomaték, és nem lesz ugrás

sem a nyomatéki ábrában.

Következő lépésben a D keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról

nézve, megkeressük a lokális szélsőértéket (60. ábra).

60. ábra: D keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve

2,32584,115,3322

2355,33q

2

2q 2

1

22 −=⋅−⋅⋅+

⋅=⋅−⋅⋅+

⋅=∑ y

b

D AM →

2,32=∑ b

DM kNm ( ) és

19,32323,515,13335,13q 2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ BMj

D → 19,32=∑ j

DM kNm ( ).

Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 32,2 kNm, és mindkét esetben

az alsó a húzott oldal. Ugyanazon D keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevételek

kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.

53

Következő lépésben a C keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oldalról

nézve (61. ábra).

52,62311,842

323

2

3q 221 −=⋅−

⋅=⋅−

⋅=∑ y

b

C AM → 52,62=∑ b

CM kNm ( ) és

61. ábra: C keresztmetszet hajlító igénybevételének értelmezése két oldalról nézve

62. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – második lépés

54

53,26523,51206,62

5352F

2

5q 2

y

22 =⋅+⋅−

⋅−=⋅+⋅−

⋅−=∑ BM j

C →

53,62=∑ j

CM kNm ( ).

Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 26,52 kNm, és mindkét eset-

ben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon C keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevéte-

lek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fennáll.

Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (62. ábra). Négy „nevezetes”

pontunk van. Mivel a tartó hossztengelye mentén végig megoszló terhelés működik, ezért a

nyomatéki ábra végig másodfokú függvény (parabola) szerint változik.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)140

)mm(1059,7

)mmN(102,32t

I

M47

6

(y)z




=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

10,1(mm)

)mm(1016,3

)mm(1059,7

N)(1022,15

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



3.1.2. példa

Adott a 63. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, raj-

zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra.

Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a = 1 m és α = 30 °, Ød = 12 cm. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 150

N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

63. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria

ismeretében

55

A feladat megoldását, a felírt egyenleteket most már kevesebb magyarázó szöveggel egészítjük

ki.

Először a támaszerőket kell meghatározni. x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása:

°⋅−−=⋅−−==∑ 03cos51αcosF0Fx xx AA → 13−=xA →

13=xA kN (→).

Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

161503sin5112

17174

a6a5αsinFa2

a7a7q0M A

⋅⋅+⋅⋅°⋅−

+⋅

⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅−

+⋅

⋅⋅⋅−==∑

B

B

→

25,27=B kN (↑).

A B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

16103sin5111,5174a6aαsinFa1,5a7q0M B ⋅⋅−⋅°⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑ yy AA →

25,8=yA kN (↑) (64. ábra).

A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénybevétel szempontjából (65.

ábra):

0,13==∑ x

b

C AN kN (→) és

13,030cosFx =°⋅−=∑ j

CN kN (←).

64. ábra: Támaszerők és normál igénybevételi ábra

A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

25,8==∑ y

b

C AT kN (↑) és

56

25,8-25,7230sin5117430sinFa7q x =+°⋅−⋅⋅−=+°⋅−⋅⋅−=∑ BTj

C→

25,8=∑ j

CT kN (↓).

A D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

65. ábra: A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

75,714425,8a4q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

D AT →

75,7=∑ b

DT (↓) és =↓+↓=∑ )(F)(7,75 yb

DT 15,25 kN (↓).

25,1525,72134a3q =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BTj

DkN (↑)

A B keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából:

25,197,5-15425,8F-a5q y −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

B AT →

25,19=∑ b

BT (↓) és 825,2725,1925,91 =+−=+−=∑ BTb

BkN (↑).

0,8124a2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ j

BT →

0,8=∑ j

BT kN (↓) (66. ábra).

Az F keresztmetszet pontos helyének a meghatározása fontos, mert ott a nyíróerő értéke nulla

lesz. Ez azt jelenti, hogy az F (és B) keresztmetszet(ek)ben lokális nyomatéki szélsőérték lesz.

Az F keresztmetszet helye a C–től számítva:

[ ][ ]

m306,24

25,8

kN/mq

kN=== C

F

Tx ,

Az F keresztmetszet helye a D–től számítva:

[ ][ ]

m793,14

75,7

kN/mq

kN=== D

F

Tx (66. ábra).

Az F keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából (67. ábra):

0~063,2425,8063,2q =⋅−=⋅−=∑ y

b

F AT

0~25,275,7937,44F4,937q y =+−⋅−=+−⋅−=∑ BTj

F

57

66. ábra: Nyíró–igénybevételi ábra

67. ábra: Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

A hajlító igénybevétel meghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve:

75,162

063,24063,325,8

2

063,2q063,3

22

−=⋅+⋅−=⋅+⋅−=∑ y

b

F AM →

75,16=∑ b

FM kNm ( ),

75,16937,2,2572937,15,72

4,9374937,2937,1F

2

4,937q

2

y

2

=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅−⋅−=∑ BM j

F

→ 75,16=∑ j

FM kNm ( ) (69. ábra).

A hajlító igénybevétel meghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve:

0,817,52

54625,81F

2

5q6

2

y

2

=⋅+⋅

+⋅−=⋅+⋅

+⋅−=∑ y

b

B AM → 0,8=∑ b

BM kNm ( ),

58

0,82

24

2

2q 22

−=⋅

−=⋅

−=∑ j

BM → 0,8=∑ j

BM kNm ( ) (70. ábra).

A hajlító igénybevételi ábra (68. ábra) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges ke-

resztmetszet igénybevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. Ami érdekes

lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a hajlító igénybevétel értéke

zérus. Láthatjuk, hogy ez a keresztmetszet valahol közelítően a D és B keresztmetszetek közé

esik. Pontos meghatározása:

( ) ( )2

42-25,72

2

q2-B0M

22j...

xx

xx

⋅−⋅=

⋅−⋅==∑ →

A másodfokú egyenletből: x1 = 11,2 m és x2 = 2,44 m. Mivel a tartó hossza összesen nincs 11m,

ezért csak az x2 = 2,44 m a jó megoldás. Azaz a nyomaték a tartó jobb oldali végétől (E kereszt-

metszet) 2,44 m–re lesz zérus.

68. ábra: Nyomatéki ábra

59

69. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve

70. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása a B keresztmetszetben két oldalról nézve


=⋅

=⋅

=64

π21

64

πd 44

zI 1018 cm4.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)60

)mm(1002,1

)mmN(1075,16t

I

M47

6

(y)z




=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅==

2

1204244,0

4

201π

2

1

2

d4244,0

4

dπ

2

10)(yS

22

z

= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.


=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

120(mm)

)mm(1044,1

)mm(1002,1

N)(1025,19

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



3.1.3. példa


zoljuk meg az igénybevételi ábrákat, számítsuk ki a kör keresztmetszetű tartó szükséges Ød

átmérőjét.

Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a=1 m és α = 30 °. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2.

60

71. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnyúló tartó

14,51)(2,5154-12,512-10,5133

a4,5a)a(2,5a5q-a2,5F-a0,5a3q0M 21A

⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==∑B

B →

B=21,22 kN (↑),

14,5-12211)3,51(1,51331154

a4,5-a2Fa)3,5a(1,5a3qaa5q0M 12B

⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==∑y

y

A

A →

Ay=19,78 kN (↑),

Ax=0.

Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

6123a2q1 −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ b

AT → ∑ b

AT = 6 kN (↓), majd ugrás az ábrán

13,786 =+−=∑ y

b

A AT kN (↑).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

78,1078,91133a3q1 =+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ y

b

C AT kN (↑).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

78,478,9111,54-133a5,1q-a3q 21 =+⋅⋅⋅⋅−=+⋅⋅⋅⋅−=∑ y

b

D AT kN (↑), majd ugrás az áb-

rán 7,22124,78F4,78 −=−=−=∑ b

DT → 7,22=∑ b

DT kN (↓).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása:

22,15-1219,7813,54-133Fa3,5q-a3q 21 =−+⋅⋅⋅⋅−=−+⋅⋅⋅⋅−=∑ y

b

B AT →

22,15=∑ b

BT kN (↓), majd ugrás az ábrán 622,2122,15- =+=∑ b

BT kN (↑).

61

72. ábra: Nyíró igénybevételi ábra

Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )6

2

123

2

a2q 221 =

⋅⋅=

⋅⋅=∑ b

AM kNm ( ).

-614,522,1212,5211)1(2,51542

13

a4,5a2,5Fa)a(2,5a5q2

aq

2

2

21

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅

−=

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅−⋅

−=∑ BMj

A

→

6=∑ j

AM kNm ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )94,171222,12

2

13,54a2

2

a3,5q 222 =⋅⋅+

⋅⋅−=⋅⋅+

⋅⋅−=∑ BM j

D kNm ( ),

( )

( )95,1712,578,91

2

11,541)1,51(1,5133

a2,52

a1,5qa)1,5a(1,5a3q

2

22

1

−=⋅⋅−⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ y

b

D AM

→

95,71=∑ b

DM kNm ( ).

62

73. ábra: Hajlító igénybevételi ábra

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása:

( ) ( )5,4

2

11,54

2

a1,5q 222 =

⋅⋅−=

⋅⋅−=∑ j

BM kNm ( ).,

( ) ( )

( ) ( ) 49,414,578,91122113,511,51332

13,54

a4,5a2Fa3,5a1,5a3q2

a3,5q

2

1

22

=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

=∑ y

b

B AM

→

=∑ b

BM 4,49 kNm ( ).


=⋅

⋅⋅=

⋅

⋅=→⋅

⋅=⋅== 3

6

3

hajl.

max4

max(y)

z

maxhajl.

.max

π201

231095,17

πf

23Md

2

d

64

πd

Mt

I

Mfhajlσ 115,07 mm→

→ d ≈ 120 mm.

63

4. Merev befogású, egyenes tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése

A mereven befogott tartók reakcióerőinek a számítására korábban nem tértünk ki, ezért ezzel

most részletesen foglalkozunk.

4.1.1. példa



Adott: F=8 kN, q=2 kN/m, M= 25 kNm és a=1 m. Keresztmetszet: 250 x 150 x 8 zárt szelvény,

Iz = 4972 cm4, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 150 N/mm2.

Első lépésben a kényszernél fellépő ismeretlen nagyságú és irányú reakciókat kell meghatá-

rozni. A merev befogás megakadályozza a tartó x és y irányú elmozdulását, illetve az elfordu-

lást a sík normálisa, a z irány körül. Ennek megfelelően az A pontban x és y irányú támaszerők

(Ax és Ay) és forgatónyomaték (MA) ébred. Ezek nagyságát és irányát vesszük fel a 75. ábra

szerint.

74. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó

75. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó –ismeretlen reakciók felvétele

Az ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használjuk

fel:


xA==∑ 0Fx ,

y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet:

8162Fa6q0Fy −⋅⋅−=−⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=20 kN (↑),

az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

64

( ) ( )168

2

16252a6F

2

a6qM0M

22

A ⋅⋅−⋅⋅

−+=⋅⋅−⋅⋅

−+==∑ AA MM → MA=59 kNm ( ).

Normál igénybevétel nem lesz a tartón, a nyíró igénybevételi ábra szerkesztését az eddig tanul-

tak szerint végezzük el. Az A pontban az Ay, tengelyre merőleges erő hat, mint nyíró erő. Ennek

megfelelően ugrás lesz ebben a pontban, és a C pontban is az F koncentrált erő miatt, ami a

tartó másik végén helyezkedik el (76. ábra).

A nyomatéki ábra szerkesztése során annyi újdonság lesz az eddigi példákhoz képest, hogy a

szerkesztési szabályok (3.1) 12. pontja értelmében a tartón működő koncentrált nyomatéknak

megfelelő ugrás lesz a hajlító igénybevételi ábrán. A tartó bal oldali végén (az A pontban) az

MA koncentrált nyomaték működik. Mivel a nyomaték értékét kivétel nélkül a tartó húzott ol-

dalára mérjük fel, abba az irányba ugrunk, amelyik oldalt a koncentrált nyomaték húzza.


Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve:

59==∑ A

b

A MM kNm ( ), és

( ) ( )5925168

2

162Ma6F

2

a6q 22

−=+⋅⋅−⋅⋅

−=+⋅⋅−⋅⋅

−=∑ j

AM → 59=∑ j

AM kNm ( ).

Láthatjuk, mindkét esetben azonos eredményt kapunk, a nyomaték nagysága 59 kNm és a felső

a húzott oldal.

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve (77. ábra):

( ) ( )81302

2

13295a3

2

a3q 22

=⋅⋅−⋅⋅

+=⋅⋅−⋅⋅

+=∑ yA

b

B AMM kNm ( ) és az M koncentrált

nyomaték figyelembevétele:

8=∑ b

BM ( ) + 25 ( ) =33 kNm ( ).

65

77. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

( ) ( )33-138

2

132a3F

2

a3q 22

=⋅⋅−⋅⋅

−=⋅⋅−⋅⋅

−=∑ j

BM → 33=∑ j

BM kNm ( ) és az M kon-

centrált nyomaték figyelembevétele:

33=∑ j

BM kNm ( ) – 25 kNm ( ) = 8 kNm ( ).

A hajlító igénybevételi ábrát a 78. ábra mutatja.



=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)125

)mm(1097,4

)mmN(1059t

I

M47

6

(y)z



66

4.1.2. példa



Adott: F1=10 kN, F2=15 kN, q=3 kN/m, M= 40 kNm, a=2 m, b=2,5 m, c=d=1 m, e=1,5 m és

α=68 °, ØD = 20 cm, Ød = 16 cm, a hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2.

79. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó

Egyensúlyi egyenletek:

°⋅+=⋅+==∑ cos6810cosαF0F 1x xx AA → Ax=3,75 kN (←),

51sin68011,5)(13FsinαFe)(dq0F 21y +°⋅−+⋅−=+⋅−+⋅−==∑ yy AA →

Ay=1,77 kN (↑),

( )

( ) )5,2(2sin68012

5,1115,225,11q1)15,2(25104

b)(asinαF2

edcbaedqd)cb(aFM0M 12A

+⋅°⋅−

++++⋅+⋅−+++⋅++

=+⋅⋅−

++++⋅+⋅−+++⋅++==∑

A

A

M

M

→ MA=45,15 kNm ( ).

80. ábra: Normál és nyíró erő ábra

67

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (80. ábra):

1,77==∑ y

b

C AT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfelelő ugrás: 1,77=∑ b

CT (↑)

+ F1y (↓) = 1,77 – 9,27=–7,5 → 7,5 kN (↓).

5,7)5,1(1351e)(dqF2 =+⋅−=+⋅−=∑ j

CT kN (↑), majd az F1 erő y komponensének megfe-

lelő ugrás:

5,7=∑ j

CT (↑) + F1y (↓) = 7,5 – 9,27=–1,77 → 1,77 kN (↓).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (80. ábra):

5,10-1327,977,1dqF1y =⋅−−=⋅−−=∑ y

b

D AT →10,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő

ugrás:

5,01=∑ b

DT (↓) + F2 (↑) = –10,5 +15=4,5 kN (↑).

81. ábra: Nyomatéki ábra

68

5,41,53eq −=⋅−=⋅−=∑ j

DT → 4,5 kN (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás:

5,4=∑ j

DT (↓) + F2 (↑) = –4,5 +15=10,5 kN (↑).

A nyomatéki ábrán (81. ábra), a tartó bal oldali végén az MA nyomatéknak megfelelően ugrunk.

Az alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk.

A B keresztmetszet nyomatékának számítása:

69,48277,115,54a −=⋅−−=⋅−−=∑ yA

b

B AMM → 69,48=∑ b

BM kNm ( ), majd az M ug-

rásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:

69,48=∑ b

BM ( ) + 40 ( )=–48,69+40=–8,69→8,69 kNm ( ).

=

+++

⋅+⋅−⋅−++⋅=

=

+++

⋅+⋅−⋅−++⋅=∑

15,22

5,111,5)1(35,227,91)1(2,551

cb2

ede)(dqbFd)c(bF 1y2

j

BM

=8,7 kNm ( ), majd az M ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán:

7,8=∑ j

BM ( ) + 40 ( ) = 8,7+40 = 48,7 kNm ( ).

A C keresztmetszet nyomatékának számítása:

12,31)5,2(277,10415,54b)(aM −=+⋅−+−=+⋅−+−=∑ yA

b

C AMM →

→ 12,31=∑ b

CM kNm ( ),

=+⋅+

++

⋅+⋅−=+⋅+

++

⋅+⋅−=∑ 1)(15112

1,51)5,1(13d)(cFc

2

ede)(dq 2

j

CM

= 13,13 kNm ( ).


=⋅−

=⋅−

==64

π)16(20

64

π)d(D 4444

yz II 4637 cm4.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)100

)mm(1064,4

)mmN(1069,48t

I

M47

6

(y)z



69

5. Tört tengelyű tartók igénybevételeinek ismétlése

Ebben a fejezetben a törttengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztését és az egyes

keresztmetszetek egyes igénybevételeinek kiszámítását tanulmányozzuk. Az belső erőkre vo-

natkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző

két fejezetben.

A nehézséget a következő szokta okozni. Egyenes tengelyű tartók esetében hozzászoktunk,

egyértelmű volt, hogy a tartó hossztengelye egybe esik az x viszonyítási tengellyel. Ebből adó-

dóan magától értetődőnek tűnik, hogy egy x iránnyal párhuzamos hatásvonalú erő normál

igénybevételt okoz. Előbbi, tulajdonképpen hibás megállapítás a tört tengelyű tartókra nem ér-

vényes.

Mindig az adott külső erő (terhelés vagy reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hossz-

tengelyének egymáshoz viszonyított elhelyezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk.

Azokra kell alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szabályokat.

5.1.1. példa

Adott a 82. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk

meg az igénybevételi ábrákat, adjuk meg az alkalmazandó I szelvényt a hajlítás szilárdsága

alapján, ellenőrízzünk nyírásra.

Adott: F=10 kN, q=3 kN/m, a=0,5 m. Keresztmetszet: I-szelvény. A hajlítási szilárdság: f hajl. =

95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

82. ábra: Tört tengelyű tartó

Először a kényszernél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (82. ábra),

majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.

10F0Fx −=−==∑ xx AA → Ax=10 kN (→),

0,533a3q0Fy ⋅⋅−=⋅⋅−==∑ yy AA → Ay=4,5 kN (↑),

( ) ( )AA MM −

⋅⋅+⋅=−

⋅⋅+⋅==∑ 2

5,0335,001

2

a3qaF0M

22

A → MA=8,38 kNm ( ).

70

A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) normál igénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax és F) a tartórész

hossztengelyével.

Az A keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:

0=∑ b

AN , majd az Ax–nek megfelelően ugrás 100 =+=∑ x

b

A AN kN (→).

83. ábra: Normál igénybevételi ábra – vízszintes (AB) tartó elem

A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:

10==∑ x

b

B AN kN (→), illetve

10-F −==∑ j

BN → 01=∑ j

BN kN (←).

A függőleges tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azok-

nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyével.

A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:

05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

B AN , illetve ha a B keresztmetszettől jobbra lévő normál

(y iránnyal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatjuk, hogy nincs ilyen

erő. A függőleges tartószerkezeti elem normál igénybevétele zérus (84. ábra).

84. ábra: Normál igénybevételi ábra – függőleges (BC) tartó elem

A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyére.

71

Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:

0=∑ b

AT , majd az Ay–nak megfelelően ugrás

5,40 =+=∑ y

b

A AT kN (↑).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen:

05,0335,4a3q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

B AT .


A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen:

10==∑ x

b

B AT kN (→).

A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és

C pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel az A pontban van (MA), ezért ott ugrás lesz a

nyomatéki ábrán. Ezután megnézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén

koncentrált nyomaték. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki

lokális szélsőértékhelyet nem kell keresnünk, mivel a nyíró igénybevételi ábra sehol sem metszi

a nulla vonalat.

Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0=∑ b

AM , majd az MA–nak megfelelően ugrás

38,80 =+=∑ A

b

A MM kNm ( ).

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

55,035,4,501,55,03338,8a3a1,5a3q =⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=∑ yA

b

B AMM kNm ( ),

55,010aF −=⋅−=⋅−=∑ j

BM → 5=∑ j

BM kNm ( ) (86. ábra).

86. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve

72

87. ábra: A vízszintes (AB) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata során arra kell figyelni, hogy a sarok-

kapcsolat a nyomatékot továbbadja egyik tartószerkezeti elemről a másikra (88. ábra). A nyo-

matéki ábrán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni.

88. ábra: A függőleges (BC) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája


=⋅

==→=⋅==95

1038,8

f

MW

W

Mt

I

Mf

6

hajl.

maxz

z

max(y)

z

maxhajl.

.maxhajlσ 88211 mm3 = 88,21 cm3→

→ táblázatból: I 160 szelvény hajlítás tengelyére keresztmetszeti tényezője: Wz = 117 cm3, Sz

= 68 cm3, v = 6,3 mm.


=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

6,3(mm)

)mm(108,6

)mm(1035,9

N)(100,10

v(y)

(y)S

I

T 34

46

3z

z



5.1.2. példa

Adott a 89. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk

meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normál és nyí-

rófeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.

Adott: F=15 kN, q=3 kN/m, M=4,0 kNm, a=1,0 m. A keresztmetszetek: kör, Ød = 12 cm. A

hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

73

89. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése

Először a kényszereknél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (89. ábra),

majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket.

14,5112313154a4,5aa2qa3FM0MA ⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−=⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+−==∑ BB →

B = –7,78 → B=7,78 kN (→),

90. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével

74

112311,55144,5aa2qa1,5FM4,50MC ⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅==∑ xx AA →

Ax = 7,22 kN (→),

13A14,522,74-11,515-12123

a3a4,5M-a1,5F-a2a2q0M

y

B

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅==•

∑ yx AA→Ay = 6,0 kN (↑) (90. ábra).

A függőleges tartószerkezeti elem (AC) normál igénybevételének meghatározása során azok-

nak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyével.


0=∑ b

AN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:

60 =+=∑ y

b

A AN kN (↑).

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (91.

ábra):

6==∑ y

b

C AN kN (↑), illetve

612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ j

CN → 6=∑ j

CN kN (↓).

91. ábra: Az AC tartószerkezeti elem normál igénybevétele

A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) normál igénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax, F és B) a tartórész

hossztengelyével.

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:

7,78157,22F −=−=−=∑ x

b

C AN → 7,78=∑ b

CN kN (←), illetve

7,78==∑ BNj

CkN (→).

A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:

0=∑ j

BN , majd a B–nek megfelelően ugrás

75

92. ábra: A BC tartószerkezeti elem normál igénybevétele

7,780 =+=∑ BNj

BkN (→), illetve

7,78157,22F −=−=−=∑ x

b

B AN → 7,78=∑ b

BN kN (←) (92. ábra).

A függőleges tartószerkezeti elem (AC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ax, F és B) a tartórész

hossztengelyére.


0=∑ b

AT , majd az Ax–nek megfelelően ugrás:

22,70 =+=∑ x

b

A AT kN (→).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (93. ábra):

7,78157,22F −=−=−=∑ x

b

C AT → 7,78=∑ b

CT kN (←), illetve

78,7==∑ BTj

CkN (→).

93. ábra: Az AC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele

A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) nyíró igénybevételének meghatározása során azoknak

az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész

hossztengelyére.

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen:

6==∑ y

b

C AT kN (↑), illetve

612-3a2-q −=⋅⋅=⋅⋅=∑ j

CT → 6=∑ j

CT kN (↓).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata: 0=∑ j

BT .

76

94. ábra: A BC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele

A hajlító igénybevételi ábra megrajzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és

B pontok) van–e koncentrált nyomaték. Mivel nincs, ott a nyomaték értékek zérus. Ezután meg-

nézzük, hogy működik–e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentrált nyomaték. A füg-

gőleges tartószerkezeti elemen működő M koncentrált nyomaték miatt a hajlító igénybevételi

ábrán ugrás lesz abban a pontban. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy

nyomatéki lokális szélsőértékhelyet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk.

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (95. ábra):

95. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

10,8311,57,22a1,5 =⋅⋅=⋅⋅=∑ x

b

D AM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás

83,6483,10483,01 =−=−=∑ b

DM kNm ( ),

84,61378,71112315,151a3a1a2q5,1F −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ BaMj

D→

84,6=∑ j

DM kNm ( ), majd az M–nek megfelelően ugrás

84,10484,6 −=−−=∑ j

DM → 84,10=∑ j

DM kNm ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (96. ábra):

6,011,515-4-14,57,22a1,5F-M-a4,5 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∑ x

b

C AM kNm ( ),

6,011123a1a2q −=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅−=∑ j

CM → 0,6=∑ j

CM kNm ( ).

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (97. ábra):

0,01212311,515-4-14,57,22136

a2a2qa1,5F-M-a4,5a3

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ xy

b

E AAM

0,0=∑ j

EM .

77

96. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

97. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

98. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása

78

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (98. ábra):

67,1715,178,711123a5,1a1a2q −=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ BMj

F→

→ 67,17=∑ j

FM kNm ( ).

66,714137,22Ma3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x

b

F AM kNm ( ),

Ezek alapján már megrajzolhatjuk (megszerkeszthetjük) a hajlító igénybevételi ábrát (99. ábra).

99. ábra: A hajlító igénybevételi ábra


=⋅

=⋅

=64

π21

64

πd 44

zI 1018 cm4.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)60

)mm(1002,1

)mmN(1067,17t

I

M47

6

(y)z




=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅==

2

1204244,0

4

201π

2

1

2

d4244,0

4

dπ

2

10)(yS

22

z

= =⋅ 46,2587,5654 143,97 cm3.


=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

120(mm)

)mm(1044,1

)mm(1002,1

N)(1078,7

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



79

5.1.3. példa

Adott a 100. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzol-

juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normálfe-

szültséget, végezzük el az ellenőrzést.

Adott: F1=15 kN, F2=10 kN, q=4 kN/m, M=15 kNm, α=40 °, a=1,0 m. A keresztmetszetek:

függőleges (AD, BC elemek), U260, Iz = 4820 cm4, vízszintes (DC elem), I240, Iz = 4250 cm4,

A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.

100. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők irányainak feltételezése

1510112cos405113,5sin4051511124

a5aFa2cosαFa3,5sinαFMaa2q0M 211B

⋅⋅−⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅

=⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅++⋅⋅⋅==∑A

A→

A=4,75 kN (↑),

1575,410113,5sin4051511124-12

a5aFa3,5sinαFMaa2q-a20M 21C

⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅++⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅==∑x

x

B

AB→

Bx=–13,49 → Bx=13,49 kN (←) és

151249,311124-5111,5sin4015-101

a5a2aa2q-Ma1,5sinαF-aF0M 12D

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅°⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y

yx

B

BB→

By=4,89 kN (↑).

Az igénybevételi ábrák megrajzolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet

(AD, DC és BC) külön – külön vizsgáljuk. Az egyes részek különböző igénybevételének a

meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelyének és a tartó egészén mű-

ködő egyes erők hatásvonalának a viszonyát kell szem előtt tartanunk.

80

101. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével

A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) normál igénybevételi ábráit a tartórészek

hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg. A vízszintes tar-

tószerkezeti elem (DC) normál igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyével párhuzamos ha-

tásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg (102. ábra).


0=∑ b

AN , majd az A–nak megfelelően ugrás

75,40 =+=∑ ANb

AkN (↑).

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:

75,4==∑ ANb

DkN (↑), illetve

75,489,440sin15F1y −=+°⋅−=+−=∑ y

j

D BN → 75,4=∑ j

DN kN (↓).

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:

10F2 ==∑ b

DN kN (→), illetve

10,013,49124cos4015a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ x

j

D BN → 0,10=∑ j

DN kN (←).

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata:

21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x

j

E BN → 49,21=∑ j

EN kN (←), majd az F1x –nek

megfelelő ugrás:

0,01cos401521,49cosαF21,49 1 −=°⋅+−=⋅+−=∑ j

EN → 10=∑ j

EN kN (←), illetve

10F2 ==∑ b

EN kN (→), majd az F1x–nek megfelelő ugrás:

81

21,49cos401510cosαF10 1 =°⋅+=⋅+=∑ b

EN kN (→).

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:

21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ b

CN kN (→), illetve

21,4913,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x

j

C BN → 49,21=∑ j

CN kN (←).

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:

4,89sin40154,75sinαF1 −=°⋅−=⋅−=∑ ANb

C→ 89,4=∑ b

CN kN (↓), illetve

89,4==∑ y

j

C BN kN (↑).


0=∑ b

BN , majd a By–nak megfelelően ugrás

89,40 =+=∑ y

b

B BN kN (↑).

102. ábra: Normál igénybevételi ábra

A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) nyíró igénybevételi ábráit a tartórészek hossz-

tengelyére merőleges hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg. A vízszintes tartószer-

kezeti elem (DC) nyíró igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyére merőleges hatásvonalú

erők (A, F1y és By) határozzák meg (103. ábra).

Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:

0=∑ b

FT , majd az F2–nek megfelelően ugrás:

0,10F0 2 =+=∑ b

FT kN (→).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen:

0,10F2 ==∑ b

DT kN (→), illetve

0,0149,3112440cos51a2qF1x −=−⋅⋅−°⋅=−⋅⋅−=∑ x

j

D BT → 0,10=∑ j

DT kN (←).

82

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen:

75,4==∑ ATb

DkN (↑), illetve

75,44,89sin4015F1y −=+°⋅−=+−=∑ y

j

D BT → 75,4=∑ j

DT kN (↓).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:

89,4==∑ y

j

E BT kN (↑), majd az F1y –nak megfelelő ugrás:

75,4sin40154,89sinαF4,89 1 −=°⋅−=⋅−=∑ j

ET → 75,4=∑ j

ET kN (↓), illetve

75,4==∑ ATb

EkN (↑), majd az F1y–nak megfelelő ugrás:

-4,89sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ ATb

E→ 4,89=∑ b

ET kN (↓).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen:

89,4-sin40154,75sinαF1 =°⋅−=⋅−=∑ ATb

C→ 89,4=∑ b

CT kN (↓), illetve

89,4==∑ y

j

C BT kN (↑).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen:

21,49cos401510cosαFF 12 =°⋅+=⋅+=∑ b

CT kN (→), illetve

49,1213,49124a2q −=−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ x

j

C BT → 49,12=∑ j

CT kN (←).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:

0=∑ b

BT , majd a Bx–nek megfelelően ugrás:

49,1349,3100 −=−=−=∑ y

b

B BT → 49,13=∑ b

BT kN (←).

A hajlító igénybevételi ábra megszerkesztését, megrajzolását a következők határozzák meg: a

tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhe-

lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei.

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (104. ábra):

0=∑ b

FM , illetve

0~1,05,04,891,01,013,49151,01,0cos40151,01,5sin4015

a5,0a1,0Ma1,0cosαFa1,5sinαF 11

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅°⋅−⋅⋅°⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx

j

F BBM

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (105. ábra):

10,01,010aF2 =⋅=⋅=∑ b

DM kNm ( ), illetve

100,15,089,40,12,049,310,10,124511,01,5sin4051

a5,0a2,0aa2qMa1,5sinαF1

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅°⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅−=∑ yx

j

D BBM→

0,10=∑ j

DM kNm ( ).

83


104. ábra: A F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

105. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

84

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (106. ábra):

106. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

2,881,0101,01,54,75aFa1,5A 2 =⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−=∑ b

EM kNm ( ), illetve

87,20,15,389,40,12,049,310,10,12451

a5,3a2,0aa2qM

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx

j

E BBM→ 87,2=∑ j

EM kNm ( ).

A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (107. ábra):

107. ábra: A G keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

66,121,02,0sin40151,0101,03,54,75a2sinαFaFa3,5 12 =⋅⋅°⋅+⋅+⋅⋅−=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑ AMb

G

kNm ( ), majd az M–nek megfelelő ugrás:

66,271566,21M66,21 =+=+=∑ b

GM kNm ( ), illetve

65,270,15,189,40,12,049,310,10,124

a5,1a2,0aa2q

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ yx

j

G BBM→ 65,27=∑ j

GM kNm ( ), majd az

M–nek megfelelő ugrás:

65,121565,27M65,27 −=+−=+−=∑ j

GM → 65,12=∑ j

GM kNm ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata (108. ábra):

85

108. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

=⋅⋅−⋅+⋅⋅°⋅+=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅+=∑1,05,04,751,0101,03,5sin401515

a5,0aFa3,5sinαFM 21 AMb

C

=35,0 kNm ( ), illetve

0,35~0,12,049,310,10,124a2,0aa2q −=⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅⋅−=∑ x

j

C BM → 0,35~=∑ j

CM

kNm ( ).

A tartó hajlító nyomatéki igénybevételi ábrája (109. ábra):

109. ábra: Hajlító nyomatéki igénybevételi ábra

A hajlításból származó maximális normálfeszültség a függőleges tartóelemen:

=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)130

)mm(1082,4

)mmN(1035t

I

M47

6

(y)z



86

A hajlításból származó maximális normálfeszültség a vízszintes tartóelemen:

=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)120

)mm(1025,4

)mmN(1035t

I

M47

6

(y)z



5.1.4. példa


juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a ferde tartószerkezeti elemen (EB elem) a

hajlításból származó maximális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.

Adott: F=16 kN, q=3 kN/m, M=20 kNm, a=1,25 m. A keresztmetszetek: I240, Iz = 4250 cm4,

A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.

110. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerő irányainak feltételezése

111. ábra: A tartóra ható erőrendszer – külső erők és a kiszámolt támaszerők

87

A reakció erők kiszámítása (111. ábra):

25,17,625,12,46125,15,625,14302

a7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑A

A→

A=18,21 kN (↑),

xB==∑ 0Fx = 0 és

25,17,625,15,216-25,1225,14302

a7,6a5,2F-a2a4qM0M A

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−==∑y

y

B

B→By=12,79 kN (↑).

A normál igénybevételi ábra (113. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-

rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével

párhuzamos hatásvonalú elemei.


0=∑ b

AN , majd az A–nak megfelelően ugrás:

21,180 =+=∑ ANb

AkN (↑), illetve

18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

A BN → 21,18=∑ j

AN kN (↓), majd az

A–nak megfelelően ugrás:

018,2118,2118,21 =+−=+−=∑ ANj

A.


21,18==∑ ANb

DkN (↑), illetve

21,1879,216125,143Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

D BN → 21,18=∑ j

DN kN (↓).

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

0=∑ b

DN , illetve

0=∑ j

DN .

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (112.

ábra):

05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb

EkN ( ), illetve

05,2sin39,812,79sin39,816sinαsinαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ y

j

E BN → 05,2=∑ j

EN kN ( ).

88

112. ábra: Az EB tartószerkezeti elemre ható normál és nyíró erők

Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (112. ábra):

05,2sin39,825,143sin39,821,81sinαa4qsinα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb

FkN ( ), majd IIF –

nak megfelelően ugrás:

19,8sin39,81605,2sinαF05,2 −=°⋅−=⋅−=∑ b

FN → 19,8=∑ b

FN kN ( ), illetve

19,8sin39,812,79sinα =°⋅=⋅=∑ y

j

F BN kN ( ), majd IIF –nak megfelelően ugrás:

2,05sin39,8168,19sinαF8,19 −=°⋅−=⋅−=∑ j

FN → 05,2=∑ j

FN kN ( ).

A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (112. ábra):

19,8sin39,861sin39,825,143sin39,821,81

sinαFsinαa4qsinα

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ ANb

B →

→ 19,8=∑ b

BN kN ( ), majd yIIB –nak megfelelően ugrás:

0sin39,812,798,19sinα8,19 =°⋅+−=⋅+−=∑ y

b

B BN , illetve

0=∑ j

BN , majd yIIB –nak megfelelően ugrás:

8,19sin39,812,790sinα0 =°⋅+=⋅+=∑ y

j

B BN kN ( ).


89

A nyíró igénybevételi ábra (114. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-

zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-

leges hatásvonalú elemei.


0=∑ b

AT , illetve 0=∑ j

AT .


0=∑ b

DT , illetve 0=∑ j

DT .

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

18,21==∑ ATb

DkN (↑), illetve

18,2112,79161,2543Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

D BT → 18,21=∑ j

DT kN (↓).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

21,325,14318,21a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ ATb

EkN (↑), illetve

21,312,7916F −=+−=+−=∑ y

j

E BT → 21,3=∑ j

ET kN (↓).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (112. ábra):

2,47cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb

EkN ( ), illetve

2,47cos39,812,79cos39,816cosαcosαF −=°⋅+°⋅−=⋅+⋅−=∑ y

j

E BT → 47,2=∑ j

ET kN ( ).

Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (112. ábra):

47,2cos39,81,2543cos39,818,21cosαa4qcosα =°⋅⋅⋅−°⋅=⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb

FkN ( ), majd ⊥F –

nek megfelelően ugrás:

9,82cos39,8162,47cosαF2,47 −=°⋅−=⋅−=∑ b

FT → 82,9=∑ b

FT kN ( ), illetve

82,9cos39,812,79cosα =°⋅=⋅=∑ y

j

F BT kN ( ), majd ⊥F –nek megfelelően ugrás:

2,47cos39,8169,82cosαF9,82 −=°⋅−=⋅−=∑ j

FT → 47,2=∑ j

FT kN ( ).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (112. ábra):

82,9cos39,816cos39,81,2543cos39,818,21

cosαFcosαa4qcosα

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅=∑ ATb

B →

→ 82,9=∑ b

BT kN ( ), majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:

0cos39,812,799,82cosα9,82 =°⋅+−=⋅+−=∑ y

b

B BT , illetve

0=∑ j

BT , majd ⊥yB –nek megfelelően ugrás:

82,9cos39,812,790cosα0 =°⋅+=⋅+=∑ y

j

B BT kN ( ).

90



tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-

helyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (119. ábra).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (115. ábra):


0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543

a7,6a5,2Fa2a4q

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ y

j

C BM→ 0,20=∑ j

CM kNm ( ), majd az

M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

020,020,0M20,0 =+−=+−=∑ j

CM .

91


0=∑ b

CM , majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

20,020,00M0 =+=+=∑ b

CM kNm ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (116. ábra):

0,201,257,612,791,255,2161,2521,2543

a7,6a5,2Fa2a4q

−=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ y

j

D BM→ 0,20=∑ j

DM kNm ( ), illetve

20,020,0M ===∑ b

DM kNm ( ).

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (117. ábra):


56,331,253,612,791,251,216a6,3a1,2F =⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅+⋅⋅−=∑ y

j

E BM kNm ( ), illetve

55,3325,1421,810225,1225,143a4Ma2a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AMb

E→ →

55,33=∑ b

EM kNm ( ).

92

118. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (118. ábra):

37,381,254,212,79a4,2 =⋅⋅=⋅⋅=∑ y

j

F BM kNm ( ), illetve

37,3825,12,521,810225,12,325,143a2,5Ma2,3a4q −=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ AMb

F→

37,38=∑ b

FM kNm ( ).


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)120

)mm(1025,4

)mmN(1037,38t

I

M47

6

(y)z




93

6. Gerber tartók igénybevételeinek ismétlése

Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztésé-

vel foglalkozunk, amelyekbe egy (vagy több) plusz csuklót építünk be. A többletcsuklók szá-

mának megfelelően a kényszerek szabadságfokának a számát is ugyanúgy növeljük a szerkezet

stabilitásának megőrzése miatt. A belső erőkre (igénybevételekre) vonatkozó szabályok válto-

zatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző fejezetekben. Amit tudni kell, hogy

a szerkezetbe épített csukló(k) az erőket (N, T) átadják, de a nyomatékot nem. A nyomatéki

ábra a csukló pontjában zérus értéket vesz fel. Ezt használjuk ki a többlet kényszer(ek)nél éb-

redő ismeretlen támaszerő(k) meghatározására.

6.1.1. példa

Adott a 120. ábra szerinti Gerber tartószerkezet. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg

az igénybevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra. Ellenőrizzük a D csuklópont kapcso-

latát (125. ábra) a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.

Adott: F1=35 kN, F2=20 kN, q=4 kN/m, a=2,0 m. A keresztmetszet: 350 x 250 x 10 zárt szel-

vény, Iz = 19672 cm4. A zárt szelvény szilárdsága: f hajl. = 95 N/mm2. Ød=8 mm, e=15 mm. A

kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150

N/mm2.

120. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányainak feltételezése

Reakcióerők meghatározása (121. ábra):

Tudjuk, hogy a D pontban beépített csukló nyomatékot nem ad át, ami annyit jelent, a D ke-

resztmetszet hajlító igénybevétele zérus: 0MM jD

bD ∑∑ == .

2

)0,2(1,3540,21,35

2

a)(1,35qa1,350M

22jD

⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅==∑ CC →C=5,4 kN (↑).

94

0,254,50,22,250,2022

)0,25(4

2

0,240,253

a5a2,25aF2

a)5(q

2

aqaF0M

22

2

22

1A

⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅

−⋅

+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅

−⋅

+⋅==∑

B

CB

→ B=24,0 kN (↑).

0,250,22,750,240,26530,24022

)0,2(64

a5a2,75a6Fa4F2

a)(6q0M

2

12

2

C

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

==∑

A

AB

→ A=73,6 kN (↑).

xA==∑ 0Fx .


A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel

nem ébred.

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

0=∑ b

ET , majd ugrás az F1 erőnek megfelelően:

35350F0 1 −=−=−=∑ b

ET → 35=∑ b

ET kN (↓), illetve

352,06420245,473,6a6qF2 =⋅⋅−−++=⋅⋅−−++=∑ BCAT y

j

EkN (↑), majd ugrás az F1

erőnek megfelelően:

035-35F-35 1 ===∑ j

ET .

Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

432,0435aqF1 −=⋅−−=⋅−−=∑ b

AT → 34=∑ b

AT kN (↓), majd ugrás az Ay erőnek megfe-

lelően:

30,673,64343 =+−=+−=∑ y

b

A AT kN (↑), illetve

6,302,05420245,4a5qF2 −=⋅⋅−−+=⋅⋅−−+=∑ BCTj

A→ 6,30=∑ j

AT kN (↓), majd

ugrás az Ay erőnek megfelelően:

4373,630,630,6 =+−=+−=∑ y

j

A AT kN (↑).

95

Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

6,226,370,22435a2qF1 =+⋅⋅−−=+⋅⋅−−=∑ y

b

F AT kN (↑), majd ugrás az F2 erőnek

megfelelően:

2,62022,6F22,6 2 =−=−=∑ b

FT kN (↑), illetve

6,22,044245,4a4q −=⋅⋅−+=⋅⋅−+=∑ BCTj

F→ 6,2=∑ j

FT kN (↓), majd ugrás az F2

erőnek megfelelően:

22,6202,6F2,6 2 −=−−=−−=∑ j

FT → 22,6=∑ j

FT kN (↓).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

4,76,37200,225,3435Fa25,3qF 21 −=+−⋅⋅−−=+−⋅⋅−−=∑ y

b

B AT → → 4,7=∑ b

BT kN

(↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően:

16,6247,47,4 =+−=+−=∑ BTb

B kN (↑), illetve

6,160,275,244,5a75,2q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CTj

B→ 6,16=∑ j

BT kN (↓), majd ugrás a B erő-

nek megfelelően:

4,724,661,661 =+−=+−=∑ BTj

BkN (↑).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

4,5426,370,265,440253a65,4qFF 21 =++⋅⋅−−−=++⋅⋅−−−=∑ BAT y

b

DkN (↑), illetve

4,50,235,144,5a35,1q −=⋅⋅−=⋅⋅−=∑ CTj

D→ 4,5=∑ j

DT kN (↓).


A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

96

4,52,06420532473,6a6qFF 21 −=⋅⋅−−−+=⋅⋅−−−+=∑ BAT y

b

C→ 4,5=∑ b

CT kN

(↓), majd ugrás a C erőnek megfelelően:

04,55,4C5,4 =−=−=∑ b

CT , illetve

0=∑ j

CT , majd ugrás a C erőnek megfelelően:

4,55,40C0 =+=+=∑ j

CT kN (↑).



lyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (124. ábra). A nyíró erő az

A, G, B és H pontokban lesz zérus. A G és H pontok helyének a megadása (123. ábra):

65,04

2,6

q=== F

FG

Tx m vagy 85,1

4

7,4

q=== B

BG

Tx m és

15,44

16,6

q=== B

BH

Tx m vagy 35,1

4

5,4

q=== C

CH

Tx m.

123. ábra: A nyíróerő zérus értékei – a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei


0,782

0,240,235

2

aqaF

22

1 =⋅

+⋅=⋅

+⋅=∑ b

AM kNm ( ), illetve

0,782

)0,25(40,2020,225,2420,254,5

2

a)5(qaFa25,2a5

2

2

2

−=⋅⋅

−⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCMj

A

→ 0,78=∑ j

AM kNm ( ).

A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

97

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,21,3256,372

)0,2(2,32540,2325,0020,2325,253

a1,3252

a)(2,325qa325,0Fa325,2F

2

2

21 AMb

G

= 23,96 kNm ( ), illetve

96,232

)0,2675,3(40,2925,0420,2675,34,5

2

a)675,3(qa925,0a675,3

2

2

−=⋅⋅

−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅+⋅⋅=∑ BCMj

G

→ 96,23=∑ j

GM kNm ( ).

A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,225,26,372

)0,2(3,2540,225,1020,225,353

a25,22

a)(3,25qa25,1Fa25,3F

2

2

21 AMb

B

= 30,8 kNm ( ), illetve


8,302

)0,275,2(40,275,24,5

2

a)75,2(qa75,2

2

2

−=⋅⋅

−⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅=∑ CMj

B

→ 8,30=∑ j

BM kNm ( ).

A H keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

98

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=∑

0,2075,2420,2325,46,372

)0,2(5,32540,2325,3020,2325,553

a075,2a325,42

a)(5,325qa325,3Fa325,5F

2

2

21 BAMb

H

= –3,65→ 65,3=∑ b

HM kNm ( ), illetve

65,32

)0,2675,0(40,2675,04,5

2

a)675,0(qa675,0

22

=⋅⋅

−⋅⋅=⋅⋅

−⋅⋅=∑ CM j

H kNm ( ).


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)175

)mm(1067,19

)mmN(1078t

I

M47

6

(y)z



125. ábra: A D csuklópont csomóponti kialakítása

A kötőelemekben (csavar) fellépő nyírási feszültség:

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

= ∑∑

42""4

π8

5400

n2""4

πdnszáma"tszetekkeresztemenyírt"A 22

b

D

b

D TTτ 13,43 N/mm2

=τ 13,43 N/mm2 < 77 N/mm2 = fny →MEGFELEL.

A fellépő palástnyomási feszültség a kötőelem és a zárt szelvény érintkezési felületén:

( ) ( )=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅== ∑

42018

5400

n201dA

F

0

b

DpnyT

σ 8,44 N/mm2 < 95 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.

A fellépő palástnyomási feszültség a kötőelem és lapos acél (e) érintkezési felületén:

99

( ) ( )=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅== ∑

42518

5400

n2edA

F

0

b

DpnyT


6.1.2. példa

Adott a 126. ábra szerinti Gerber tartó. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igény-

bevételi ábrákat, ellenőrizzük a tartót hajlításra. Ellenőrizzük a C csuklópont kapcsolatát (131.

ábra) a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.

Adott: F = 16 kN, q = 3 kN/m, a = 2,0 m. ØD = 24 cm, Ød = 20 cm, Ød’ = 8 cm, v = 5,0 mm,

a hajlítási szilárdság: f hajl. = 120 N/mm2. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A

kötőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.

126. ábra: Gerber tartó; támaszerők irányának feltételezése

Reakcióerők meghatározása (127. ábra):

0MM jC

bC ∑∑ == .

2

0,230,2

2

aqa0M

22jC

⋅−⋅=

⋅−⋅==∑ BB → B=3,0 kN (↑).

2,03,2532

2,0)(3,2532,01,2516

a3,252

a)(3,25qa1,25F0M

2

2

A

⋅⋅+⋅⋅

−⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅

−⋅⋅−==∑

A

A

M

BM

→ MA=83,875 kNm ( ).

0,225,3875,830,22612

)0,2(3,253

a25,3a2F2

a)(3,25q0M

2

2

B

⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅

==∑

y

yA

A

AM

→ Ay=32,5 kN (↑).

xA==∑ 0Fx .

A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel

nem ébred.

Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

100

0=∑ b

AT , majd ugrás az Ay erőnek megfelelően:

5,3232,500 =+=+=∑ y

b

A AT kN (↑), illetve

32,53162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ BTj

A→ 32,5=∑ j

AT kN (↓), majd ugrás

az Ay erőnek megfelelően:

05,325,3232,5 =+−=+−=∑ y

j

A AT .


A D keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

252,01,25332,5a1,25q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

D AT kN (↑), majd ugrás az F erőnek megfelelően:

9,01625F25 =−=−=∑ b

DT kN (↑), illetve

0,932,023a2q −=+⋅⋅−=+⋅⋅−=∑ BTj

D→ 0,9=∑ j

DT kN (↓), majd ugrás az F erőnek

megfelelően:

25169,0F9,0 −=−−=−−=∑ j

DT → 0,25=∑ j

DT kN (↓).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

3612,02,25332,5Fa2,25q =−⋅⋅−=−⋅⋅−=∑ y

b

C AT kN (↑), illetve

330,23aq −=+⋅−=+⋅−=∑ BTj

C→ 0,3=∑ j

CT kN (↓).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének a vizsgálata:

0=∑ j

BT , majd ugrás a B erőnek megfelelően:

0,3300 =+=+=∑ BTj

BkN (↑), illetve

0,35,23162,03,253Fa3,25q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

b

B AT → 0,3=∑ b

BT kN (↓), majd ug-

rás a B erőnek megfelelően:

00,30,30,3 =+−=+−=∑ BTb

B.

101




lyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei (130. ábra). A nyíró erő

az E pontban lesz zérus. A E pont helyének a megadása (129. ábra):

33

9,0

q=== D

DE

Tx m vagy 0,1

3

3,0

q=== B

BG

Tx m.



0=∑ b

AM , majd az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

83,87583,87500 =+=+=∑ A

b

A MM kNm ( ), illetve

875,832

)0,225,3(30,225,1610,225,33

2

a)25,3(qa25,1Fa25,3

2

2

−=⋅⋅

−⋅⋅−⋅⋅=

=⋅⋅

−⋅⋅−⋅⋅=∑ BMj

A

→ 875,83=∑ j

AM kNm ( ), majd az

MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

083,87583,87583,875 =+−=+−=∑ A

j

A MM .

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

102

0,210,21,255,232

)0,2(1,253875,38a1,25

2

a)(1,25q 22

=⋅⋅−⋅⋅

+=⋅⋅−⋅⋅

+=∑ yA

b

D AMM

kNm ( ), illetve

122

)0,22(30,223

2

a)2(qa2

22

−=⋅⋅

−⋅⋅=⋅⋅

−⋅⋅=∑ BM j

D→ 0,12=∑ j

DM kNm ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

02,02,2532,52,0162

2,0)(2,25383,875

a2,25aF2

a)(2,25q

2

2

=⋅⋅−⋅+⋅⋅

+=

=⋅⋅−⋅+⋅⋅

+=∑ yA

b

C AMM

, illetve

02

0,230,23

2

aqa

22

=⋅

−⋅=⋅

−⋅=∑ BM j

C.


Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

5,12,02,7532,525,1162

2,0)(2,75383,875

a2,75a5,1F2

a)(2,75q

2

2

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

+=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

+=∑ yA

b

E AMM

→ 5,1=∑ b

EM kNm ( ), illetve

5,12

)0,25,0(30,25,03

2

a)5,0(qa5,0

22

=⋅⋅

−⋅⋅=⋅⋅

−⋅⋅=∑ BM j

EkNm ( ).

103

131. ábra: A C csuklópont csomóponti kialakítása


=⋅−

=⋅−

==64

π)02(24

64

π)d(D 4444

yz II 8432 cm4.


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)120

)mm(1043,8

)mmN(1088,83t

I

M47

6

(y)z



A kötőelemekben (csavar) fellépő nyírási feszültség:

=

⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

= ∑∑

12""4

π80

3000

n2""4

πd'nszáma"tszetekkeresztemenyírt"A 22

b

C

b

C TTτ 0,3 N/mm2


A fellépő palástnyomási feszültség:

( ) ( )=

⋅⋅≈=

⋅⋅≈== ∑

2580

3000

2v'dA

F

0

b

CpnyT


104

7. Háromcsuklós keretek igénybevételeinek ismétlése

A háromcsuklós keretek támaszainál ébredő reakcióerők meghatározásánál ugyanazt az elvet

használjuk fel, mint a Gerber–tartók esetében. Az eltérés annyi lehet, hogy itt legfeljebb egy

csuklót építünk be a szerkezetbe. Az igénybevételi ábrák meghatározása során ugyanazon sza-

bályok érvényesek, mint a tört tengelyű tartók esetében.

7.1.1. példa


juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a vízszintes tartószerkezeti elemen (DE

elem) a hajlításból származó maximális normálfeszültséget, végezzük el az ellenőrzést.

Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, M=25 kNm, a=1,0 m. A keresztmetszetek: I260, Iz = 5740 cm4. A

hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2.

132. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése


0,11,07,61,02,4151,05,61,04425

aa7,6a2,4Fa5,6a4qM0M B

⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+=

=⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+==∑xy

xy

AA

AA→

xy AA +⋅−= 6,76,1500 → 6,1506,7 −⋅= yx AA

0,120,140,120,14452

a2a4a2a4qM0M bE

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+==∑xy

xy

AA

AA→

02)6,1506,7(45724570 =⋅−⋅−⋅−=⋅−⋅−= yyxy AAAA →

Ay=18,66 kN (↑) →

Ax= −8,78→ Ax= 8,78 kN (→).

105

aa7,60,12,5510,120,14452

aa7,6a2,5Fa2a4qM0M A

⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑xy

xy

BB

BB→

xy BB +⋅+−= 6,7850 → 6,785 ⋅−= yx BB

0,11,2510,130,13,6

a1,2Fa3a3,60M jE

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑xy

xy

BB

BB→

0183)6,7(856,31836,30 =−⋅⋅−+⋅=−⋅+⋅= yyxy BBBB →

By=12,34 kN (↑) →

Bx= −8,78 → Bx= 8,78 kN (←).


A normál igénybevételi ábra (135. ábra) a következők határozzák meg: az erőrendszer egyes

elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei.


0=∑ b

AN , majd az Ay–nak megfelelően ugrás:

66,180 =+=∑ y

b

A AN kN (↑), illetve

18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

A BN → 66,18=∑ j

AN kN (↓), majd az

Ay–nak megfelelően ugrás:

018,6618,6618,66 =+−=+−=∑ y

j

A AN .


66,18==∑ y

b

D AN kN (↑), illetve

66,1834,21510,144Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

D BN → 66,18=∑ j

DN kN (↓).

106

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:

8,78==∑ x

b

D AN kN (→), illetve

8,78−=−=∑ x

j

D BN → 8,78=∑ j

DN kN (←).

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:

78,8==∑ x

b

E AN kN (→), illetve

8,78−=−=∑ x

j

E BN → 8,78=∑ j

EN kN (←).

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (134.

ábra):

134. ábra: Az EB ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

04,5sin39,81,044cos39,8 ˙8,78sin39,818,66

sinα0,14qcosαsinα

−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy

b

E AAN→

→ 04,5=∑ b

EN kN ( ), illetve

04,5cos39,88,78sin39,812,34sin39,815cosαsinαsinαF =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xy

j

E BBN

kN ( ).

Az F keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (134. ábra):

04,5sin39,80,144cos39,878,8sin39,866,81

sinαa4qcosαsinα

−=°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy

b

F AAN→ 04,5=∑ b

FN kN ( ), majd

IIF –nak megfelelően ugrás:

64,14sin39,81504,5sinαF04,5 −=°⋅−−=⋅−−=∑ b

FN → 64,14=∑ b

FN kN ( ), illetve

64,41cos39,88,78sin39,812,34cosαsinα =°⋅+°⋅=⋅+⋅=∑ xy

j

F BBN kN ( ), majd IIF –nak

megfelelően ugrás:

04,5sin39,81564,41sinαF64,41 =°⋅−=⋅−=∑ j

FN kN ( ).

107

A B keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata (134. ábra):

64,14sin39,815sin39,81,044cos39,88,78sin39,818,66

sin αFsin αa4qcos αsin α

−=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅−°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅=∑ xy

b

B AAN →

→ 64,14=∑ b

BN kN ( ), majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:

0cos39,878,8sin39,812,3414,64cosαsinα14,64 =°⋅+°⋅+−=⋅+⋅+−=∑ xy

b

B BBN , illetve

0=∑ j

BN , majd yIIB és xIIB –nak megfelelően ugrás:

64,41cos39,88,78sin39,812,340cosαsinα0 =°⋅+°⋅+=⋅+⋅+=∑ xy

j

B BBN kN ( ).


A nyíró igénybevételi ábra (136. ábra) egyes értékeit az erőrendszer egyes elemeinek az adott

tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg.


0=∑ b

AT , majd az Ax erőnek megfelelő ugrás:

78,80 =+=∑ x

b

A AT kN (→), illetve

8,78−=−=∑ x

j

A BT → 8,78=∑ j

AT kN (←).


8,78==∑ x

b

D AT kN (→), illetve

8,78−=−=∑ x

j

D BT → 8,78=∑ j

DT kN (←).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen:

18,66==∑ y

b

D AT kN (↑), illetve

18,6612,34151,044Fa4q −=+−⋅⋅−=+−⋅⋅−=∑ y

j

D BT → 18,66=∑ j

DT kN (↓).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen:

66,20,14418,66a4q =⋅⋅−=⋅⋅−=∑ y

b

E AT kN (↑), illetve

108

66,212,3415F −=+−=+−=∑ y

j

E BT → 66,2=∑ j

ET kN (↓).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (134. ábra):

66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cosαa4qsinαcosα

=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy

b

E AAT→ 66,7=∑ b

ET kN ( ), illetve

66,7sin39,88,78cos39,812,34cos39,815

sin αcos αcos αF y

−=°⋅−°⋅+°⋅−=

=⋅−⋅+⋅−=∑ x

j

E BBT → 66,7=∑ j

ET kN ( ).

Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (134. ábra):

66,7cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cosαa4qsinαcosα

=°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy

b

F AAT→ 66,7=∑ b

FT kN ( ), majd

⊥F –nek megfelelően ugrás:

86,3cos39,81566,7cosαF66,7 −=°⋅−=⋅−=∑ b

FT → 86,3=∑ b

FT kN ( ), illetve

86,3sin39,88,78cos39,812,34sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xy

j

F BBT kN ( ), majd ⊥F –nek

megfelelően ugrás:

66,7cos39,8153,86cosαF3,86 −=°⋅−=⋅−=∑ j

FT → 66,7=∑ j

FT kN ( ).

A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata (134. ábra):

86,3-cos39,851cos39,81,044sin39,88,78cos39,818,66

cos αFcos αa4qsin αcos α

=°⋅−°⋅⋅⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅=∑ xy

b

B AAT →

→ 86,3=∑ b

BT kN ( ), majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:

0 sin39,878,8cos39,812,3486,3sinαcosα3,86 =°⋅−°⋅+−=⋅−⋅+−=∑ xy

b

B BBT , illetve

0=∑ j

BT , majd ⊥yB és BxII–nak megfelelően ugrás:

86,3 sin39,878,8cos39,812,340sinαcosα0 =°⋅−°⋅+=⋅−⋅+=∑ xy

j

B BBT kN ( ).


109


tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőérték-

helyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és az E pontban található

csukló (141. ábra).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (137. ábra):


78,330,1278,81,07,612,341,05,2151,021,044

a2a7,6a5,2Fa2a4q

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy

j

C BBM→ 78,33=∑ j

CM kNm

( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk:

78,825,078,33M78,33 −=+−=+−=∑ j

CM → 78,8=∑ j

CM kNm ( ), illetve

8,781,08,78a =⋅=⋅=∑ x

b

C AM kNm ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ug-

runk:

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (138. ábra):


110

78,3325,078,8M78,8 =+=+=∑ b

CM kNm( ).

57,420,1378,81,07,612,341,05,2151,021,044

a3a7,6a5,2Fa2a4q

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy

j

D BBM→ 57,42=∑ j

DM

kNm ( ), illetve

56,241,028,7825,0a2M =⋅⋅+=⋅⋅+=∑ x

b

D AM kNm ( ).

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (139. ábra):


008,0

0,10,378,81,03,612,341,01,215a0,3a6,3a1,2F

≅=

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=∑ xy

j

E BBM,

illetve

.008,00,1278,80,1466,81520,120,144

a2a4Ma2a4q

≅−=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xy

b

E AAM

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (140. ábra):

140. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása

111

06,120,10,278,81,04,212,34a0,2a4,2 =⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=∑ xy

j

F BBM kNm ( ), illetve

05,120,178,80,12,566,81520,12,30,144

aa2,5Ma2,3a4q

−=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=

=⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅=∑ xy

b

F AAM→ 05,12=∑ b

FM kNm ( ).



=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)130

)mm(1074,5

)mmN(1056,42t

I

M47

6

(y)z



7.1.2. példa


juk meg az igénybevételi ábrákat, határozzuk meg a hajlításból származó maximális normál és

nyíró feszültséget.

Adott: q1=4 kN/m, q2=3 kN/m, q3=3 kN/m, a=1,0 m. A keresztmetszetek: I240, Iz = 4250 cm4,

Sz = 206 cm3. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 110 N/mm2, a nyírási szilárdság: f hajl. = 74 N/mm2.


0,180,120,1430,120,1430,160,144

a8a2a4qa2a4qa6a4q0M 321B

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==∑y

y

A

A→ 0,12=yA kN (↑).

a80,120,1430,160,1430,120,144

a8a2a4qa6a4qa2a4q0M 321A

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==∑y

y

B

B→ 0,16=yB kN (↑).

112

142. ábra: Tört tengelyű tartó – három csuklós keret; támaszerők feltételezése

0,120,143a50,1461

a2a4qa5a40M 2jD

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑x

xy

B

BB→ Bx= −8 → Bx= 8,0 kN (←).

0,130,1430,150,14210,120,144

a3a4qa5a4a2a4q0M 31bD

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅==∑x

xy

A

AA→ Ax= 4,0 kN (←).


113

A normál igénybevételi ábra (146. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők hatá-

rozzák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével

párhuzamos hatásvonalú elemei.


0=∑ b

AN , majd az Ay–nak megfelelő ugrás:

0=∑ b

AN +Ay=0+12=12,0 kN (↑), illetve

12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ y

j

A BN → 12,0=∑ j

AN kN (↓),

majd az Ay–nak megfelelő ugrás:

0.121212 =+−=+−=∑ y

j

A AN

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-

men:

=∑ b

CN Ay=12,0 kN (↑), illetve

12161,0431,044a4qa4q 21 −=+⋅⋅−⋅⋅−=+⋅⋅−⋅⋅−=∑ y

j

C BN → 12,0=∑ j

CN kN (↓).

A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

144. ábra: A CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

67,10cos1421cos144sin1421cosαQcosαsinα 3 =°⋅+°⋅−°⋅=⋅+⋅−⋅=∑ xy

b

C AAN kN ( ),

illetve

10,67cos148sin1416 sin1412sin1416

cosαsinα sinαQsinαQ 21

−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅−⋅+⋅−⋅−=∑ xy

j

C BBN→ 10,67=∑ j

CN kN ( ).

114

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

79,6sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQcosαQcosαsinα 13

=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy

b

D AAN→ 79,6=∑ b

DN kN ( ), illetve

79,6cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xy

j

D BBN →

79,6=∑ j

DN kN ( ).

A D keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

73,8sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQcosαQcosαsinα 13

=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy

b

D AAN→ 73,8=∑ b

DN kN ( ), illetve

73,8cos148sin1416 sin1412cosαsinα sinαQ2 −=°⋅−°⋅−°⋅=⋅−⋅−⋅=∑ xy

j

D BBN →

73,8=∑ j

DN kN ( ).

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti

elemen:

63,11sin1421sin1416cos1412cos144sin1412

sinαQsinαQcosαQcosαsinα 213

=°⋅+°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy

b

E AAN→ 63,11=∑ b

EN kN (

), illetve

63,11cos148sin1416 cosαsinα −=°⋅−°⋅−=⋅−⋅−=∑ xy

j

E BBN → 63,11=∑ j

EN kN ( ).

145. ábra: A DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre

115

Az E keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószer-

kezeti elemen:

160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ y

b

E AN → 16,0 =∑ b

EN kN (↓), illetve

16,0 ==∑ y

j

E BN kN (↑).


160,1430,14421a4qa4q 21 −=⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=∑ y

b

B AN → 0,16=∑ b

BN kN (↓), majd

ugrás a By–nak megfelelően:

0161616 =+−=+−=∑ y

b

B BN , illetve

0=∑ j

BN , majd ugrás a By–nak megfelelően:

16,0160 0 =+=+=∑ y

j

B BN kN (↑).

A nyíró igénybevételi ábra (147. ábra) megszerkesztését, megrajzolását a következők határoz-

zák meg: az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merő-

leges hatásvonalú elemei.



0=∑ b

AT , majd az Ax–nek megfelelő ugrás:

440=0 −=−−=∑ x

b

A AT −4,0 → 4=∑ b

AT kN (←), illetve

0,481,043a4q3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x

j

A BT kN (→), majd az Ax–nek megfelelő ugrás:

0444 =−=−=∑ x

j

A AT .

116

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti ele-

men:

0,840,143a4q 3 =−⋅⋅=−⋅⋅=∑ x

b

C AT kN (→), illetve

8−=−=∑ x

j

C BT → 0,8=∑ j

CT kN (←).

A C keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-

men:

9,71sin1412sin144cos1412sinαQsinαcosα 3 =°⋅−°⋅+°⋅=⋅−⋅+⋅=∑ xy

b

C AAT kN ( ), il-

letve

71,9sin148cos1461 cos1421cos1461

sinαcosα cosαQcosαQ 21

−=°⋅+°⋅+°⋅−°⋅−=

=⋅+⋅+⋅−⋅−=∑ xy

j

C BBT→ 71,9=∑ j

CT kN ( ).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti ele-

men:

81,5cos1461sin1412sin144cos1412

cosαQsinαQsinαcosα 13

−=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅=∑ xy

b

D AAT→ 81,5=∑ b

DT kN ( ), illetve

81,5sin148cos1461 cos1421sinαcosα cosαQ2 =°⋅+°⋅+°⋅−=⋅+⋅+⋅−=∑ xy

j

D BBT kN( ).

A D keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-

men:

95,1cos1416sin1412sin144cos1412

cosαQsinαQsinαcosα 13

−=°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy

b

D AAT→ 95,1=∑ b

DT kN ( ), illetve

95,1sin148cos1416 cos1412sinαcosα cosαQ2 =°⋅−°⋅+°⋅−=⋅−⋅+⋅−=∑ xy

j

D BBT kN( ).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti ele-

men:

59,13-cos1412cos1416sin1412sin144cos1412

cosαQcosαQsinαQsinαcosα 213

=°⋅−°⋅−°⋅+°⋅−°⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=∑ xy

b

E AAT → 59,13=∑ b

ET

kN( ), illetve

58,13sin148cos1416 sinαcosα =°⋅−°⋅=⋅−⋅=∑ xy

j

E BBT kN ( ).

Az E keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata az EB függőleges helyzetű tartószerke-

zeti elemen:

0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ x

b

E AT kN (→), illetve

80 −=−=∑ x

j

E BT → 8,0=∑ j

ET kN (←).

117


A B keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata:

0,80,1434a4q3 =⋅⋅+−=⋅⋅+−=∑ x

b

B AT kN (→), majd ugrás a Bx–nek megfelelően:

0888 =−=−=∑ x

b

B BT , illetve

0=∑ j

BT , majd ugrás a Bx–nek megfelelően:

880 0 −=−=−=∑ x

j

B BT → 0,8=∑ j

BT kN (←).A hajlító igénybevételi ábra megszerkesz-

tését, megrajzolását a következők határozzák meg: a tartó végein, illetve a magán a tartón mű-

ködő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (148. ábra) (T=0 helyek), az egyes

keresztmetszetek hajlító igénybevételei és a D pontban található csukló (149. ábra).


118

A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

67,22

1,3333,1333,14=

2q 3 −=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=∑ AG

AGAGx

b

G

xxxAM →

→ 67,2=∑ b

GM kNm ( ), illetve

( )

( ) 67,233,180,18610,140,120,1430,120,1442

2,6767,23

=a8a4a2a4qa2a4q2

q 213

=⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=

⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−=∑ AGxy

GC

GC

j

G xBBx

xM

→

→ 67,2=∑ j

GM kNm ( ).

A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

0,80,120,1430,144=a2a4qa4 3 =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−=∑ x

b

C AM kNm ( ), illetve

( )( ) 80,1480,18610,140,120,1430,120,144

=a4a8a4a2a4qa2a4q 21

−=⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−=∑ xy

j

C BBM→

0,8=∑ j

CM kNm ( ).

Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

( ) ( )

( ) ( )

51,42

cos1458,2cos1458,24

sin1458,20,120,143cos1458,221sin1458,20,144

=2

cosαcosαq

sinαa2a4qcosαsinαa4

1

3

−=

°⋅⋅°⋅⋅+

+°⋅+⋅⋅⋅⋅+°⋅⋅−°⋅+⋅⋅−=

⋅⋅⋅⋅+

+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−=∑CF

CF

CFCFyCFx

b

F

xx

xxAxAM

→

→ 51,4=∑ b

FM kNm ( ), illetve

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

→=

=

°⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅−⋅−°⋅−⋅⋅⋅⋅−

−°⋅−⋅⋅+°⋅+⋅⋅−=

⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−

−⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅−=∑

51,4

2

cos1458,20,14cos1458,20,1440,12cos1458,20,180,143

cos1458,20,1861sin1458,20,148

=2

cosαa4cosαa4q

a2cosαa8a4qcosαa8sinαa4

1

2

CF

CF

CFCFyCFx

j

F

xx

xxBxBM

51,4=∑ j

FM kNm ( ).

A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

00,120,1440,130,1430,14210,154

=a2a4qa3a4qa4a5 13

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−=∑ yx

b

D AAM , illetve

119


00,1580,14610,120,143

=a5a4a2a4q 2

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−=∑ xy

j

D BBM.

Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata:

( )( ) 320,1440,18210,120,1430,140,120,1440,120,143

=a4a8a2a4qa4a2a4qa2a4q 312

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑ xy

b

E AAM→

→ 0,32=∑ b

EM kNm ( ), illetve

320,148=a4 −=⋅⋅−⋅⋅−=∑ x

j

E BM → 0,32=∑ j

EM kNm ( ).


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)120

)mm(1025,4

)mmN(1032t

I

M47

6

(y)z




=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

8,7(mm)

)mm(1006,2

)mm(1025,4

N)(1058,13

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



120

8. Húzó igénybevétel, húzófeszültség

8.1.1. példa

Adott a 150. ábra szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet. Határozza

meg a reakcióerőket, a rúderőket. A maximilás húzó igénybevételnek kitett rudat ellenőrizze.

150. ábra: Rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők

Adott: F=20 kN , a=1,0 m. Húzott tartóelemek keresztmetszete: kör, ØD=25 mm. A rúd szi-

lárdsága: f h.=90 N/mm2.

A reakcióerők meghatározása:

1201420182011120112

aFa4Fa8Fa11Fa120MA

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑B

B → B = 40 kN (↑).

02404F40Fy ⋅−+=⋅−+==∑ yy AAB → Ay = 40 kN (↑).

A rúderők meghatározása:

Az A csomópont vizsgálata (151. ábra):

°== 45,03a

3aarctanα és °== 75,96

a

4aarctanβ

°⋅+°⋅=⋅+⋅==∑ cos45,0cos75,96coscos0Fx A,71,AA,71,A SSαSβS →

°

°⋅−=

cos75,96

cos45,0A,7

1,A

SS

40sin45,0sin75,96sinsin0Fy +°⋅+°⋅=+⋅+⋅==∑ A,71,AyA,71,A SSAαSβS

121

151. ábra: S1,A és SA,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása


40sin45,0sin75,96cos75,96

cos45,00 +°⋅+°⋅

°

°⋅−= A,7

A,7S

S →

SA,7 = 18,86 kN (húzott, (+)).

Visszahelyettesítés után:

S1,A = –54,98 → S1,A = 54,98 kN (nyomott, (–)).

Az 1–es csomópont vizsgálata (152. ábra).

°== 57,622a

aarctanγ és °== 33,69

3a

2aarctanδ

152. ábra: S1,2 és S1,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása

Az ismeretlenj rúderőket húzottnak tételezzük fel.

°⋅+°⋅+°⋅=

=⋅+⋅+⋅==∑cos33,69cos26,57cos75,9698,45

coscoscos0Fx

1,21,7

1,21,71,A

SS

δSγSβS →

°

°⋅+−=

cos26,57

cos33,6913,34 1,2

1,7

SS

122

20-sin26,57sin33,69sin75,9654,98

F-sinsinsin0Fy

°⋅−°⋅+°⋅=

=⋅−⋅+⋅==∑1,71,2

1,71,21,A

SS

γSδSβS


20-sin26,57cos26,57

cos33,6913,34sin33,69sin75,9654,980 °⋅

°

°⋅++°⋅+°⋅= 1,2

1,2

SS →

S12 = –41,2 → S12 = 41,2 kN (nyomott, (–)).

Visszahelyettesítés után (figyelem, az S1,2 rúdról immár tudjuk, hogy nyomott tartószerkezeti

elem, ezért ezt az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletben figyelembe kell venni.):

°°⋅−

−=°

°⋅−−=

cos26,57

cos33,692,1413,34

cos26,57

cos33,6913,34 1,2

1,7

SS →

S1,7= 23,41 kN (húzott, (+)).

Az S2,6, S2,3 és S6,7 rúderők meghatározása 3–as átmetszés módszerrel (153. ábra):

Az ismeretlen rúderőket húzottnak tételezzük fel.

12160415021202

a2a6a5Fa2F0M ,6

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑2,3

32y

S

SA →

S2,3= – 50,0 →

S2,3= 50,0 kN (nyomott, (–)).

A 7–6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 4318,3a

aarctanϕ .

153. ábra: S2,3, S2,6 és S6,7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása

123

)18,431sin138,431cos(14041302

asina3cosa4a3F0M 2

⋅°−⋅⋅°⋅+⋅⋅−⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅==∑7,6

7,67,6y

S

SSA ϕϕ→S7,6= 39,53 kN(húzott, (+)).

12160415021202

a2a6a5Fa2F0M ,6

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅==∑2,3

32y

S

SA → S2,3= – 50,0 →

S2,3= 50,0 kN (nyomott, (–)).

A 2–6 rúd vízszintessel bezárt szöge: [ ]°== 0,452a

2aarctanϕ .

154sin1354cos135010213401202

asina3cosa3aFa3a2F0M

22

223,27

⋅°⋅−⋅⋅°⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅=

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅==∑,6,6

,6,6y

SS

SSSA ϕϕ

→S2,6= 17,68 kN(húzott, (+)).

Az S2,7 rúd igénybevételének meghatározására nem tértünk ki, igénybevétele S2,7=10,16 kN

(nyomott, (–)).

154. ábra: Rácsos tartószerkezet rúdelemeinek normál igénybevétele

A szimmetrikus tartógeometria és terhelés miatt a jobb oldali rudak igénybevételei megegyez-

nek a szimmetriapárjuk igénybevételével.

A 155. ábra a maximális húzó igénybevételnek kitett kör keresztmetszetű rudat ábrázolja.

Az S6,7 rúdelem ellenőrzése:

124

155. ábra: Kör keresztmetszetű rúd húzó igénybevételének ellenőrzése

A rúdban fellépő húzófeszültség:

=⋅

⋅==

4

π25

1053,39

A

Sσ

2

36,7húzó 80,53 N/mm2.

Összehasonlítás a szilárdsággal:

f h.=90 N/mm2 > 80,53 N/mm2 = σhúzó →MEGFELEL

8.1.2. példa

Adott a 156. ábra szerinti rúd/kötél szerkezet, amit a C csuklópontban koncentrált erővel terhe-

lünk. Az igénybevétel az AC és BC tartóelemekben tiszta húzás. Ellenőrizzük a tartót.

156. ábra: Kör keresztmetszetű rúd/kötél elemek húzó igénybevételének ellenőrzése

Adott: a = 0,9 m, b = 0,3 m, c = 3,6 m, d = 1,2 m, F=30 kN, ØDAC=20 mm, ØDBC=10 mm. A

rudak/kötelek szilárdsága: f h.=100 N/mm2.

Az AC és BC tartóelemekben ébredő húzóerők:

( ) ( )βcosαcos0Fx ⋅+⋅−==∑ BA FF és

( ) ( ) Fβsinαsin0Fy −⋅+⋅==∑ BA FF

125

A két egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következő-

ket kapjuk eredményül a reakcióerőkre, amik egyben a rúderők is: kN46,28== AAC FS ( ) és

kN49,9== BBC FS ( ).

A rudakban fellépő húzófeszültségek:

=⋅

⋅==

4

π20

1046,28

A 2

3

AC

AChúzó

AC

Sσ 90,59 N/mm2 < f h.=100 N/mm2 →MEGFELEL

=⋅

⋅==

4

π10

1049,9

A 2

3

BC

BChúzó

BC

Sσ 120,83 N/mm2 > f h.=100 N/mm2→NEM FELEL MEG

8.1.3. példa

Adott a 157. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pontban) támasztottunk

meg. Ellenőrizzük a BC kötél elemet húzásra, megfelel-e. Ha nem felel meg, akkor határozzuk

meg a szükséges ØdBC méretet.

Adott: F = 35 kN, a = 2 m, α=40 °, ØdBC=2,5 cm. A kötél szilárdsága: f h.=110 N/mm2.

157. ábra: Kötél húzó igénybevételének ellenőrzése

A kötélben ébredő húzóerő meghatározása:

( ) ( ) a5,1βcosa2αcosF0MA ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−==∑ BF

kN45,64== BBC FS ( ).

A kötélben fellépő húzófeszültség meghatározása:

=⋅

⋅==

4

π25

1045,64

A 2

3

BC

BChúzó

BC

Sσ 131,3 N/mm2 > f h.=110 N/mm2→NEM FELEL MEG


126

=⋅

==→=110

1045,64

fA

Af

3

h.BC

BCh.

BCBC SS 585,91 mm2 →

=⋅

=→⋅

=π

491,585d

4

πdA BC

2BC

BC 27,31 mm → =≈ BCd 3 cm.

8.1.4. példa

Adott a 158. ábra szerinti M20-as csavarorsó. Mekkora erővel lehet terhelni?

Adott: ØD=20 mm, Ød=17 mm. A csavarorsó anyagának szilárdsága: f h.=70 N/mm2.

158. ábra: Húzásra igénybevett csavarorsó

A magkeresztmetszet meghatározása:

≅⋅

=⋅

=4

π71

4

πd 22

0A 227 mm2.

A maximális Fmax húzóerő meghatározása:

=⋅=⋅= 07227fF h.0max A 15,89 kN.

8.1.5. példa

Adott a 159. ábra szerinti fékrúd, amit tiszta húzásra kell méretezni.

Adott: l1=100 cm, l2=4 cm, F1=250 N. A fékrúd szilárdsága: f h.=92 N/mm2. Határozzuk meg a

szükséges Ød2 átmérőt.

A fékrúdra ható erőt a nyomatékok egyensúlyából határozhatjuk meg:

=⋅

=⋅

=→⋅=⋅4

001502

l

lFllF

2

1122211 FF 6250 N.

=⋅

⋅=

⋅⋅

=→=⋅

=→=π29

62504

πf

4

f4

π

Af

h.

22

h.

222

22

2h.

Fd

FdA

F9,3 mm.

Kerekítés után a szükséges Ød2=1 cm.

127

159. ábra: Húzott fékrúd

8.1.6. példa

Adott a 160. ábra szerinti, hengerben mozgó dugattyúrúd. Húzó igénybevételre méretezzük

Mekkora a megengedett nyomás (q felületen megoszló terhelés) a hengerben?

Adott: ØD=300 mm, Ød=100 mm. A dugattyúrúd szilárdsága: f h.=100 N/mm2.

160. ábra: Húzott dugattyúrúd

A dugattyúrúd (Ød) terhelhetősége:

=⋅

⋅=⋅

⋅=→=4

π100001

4

πdf

Af

22

h.max

max

h. ddugattyúrú

ddugattyúrúF

F785398 N ≈785 kN.

A hengerben fellépő húzó erő nagysága nem lehet nagyobb a dugattyúrúd terhelhetőségével:

( ) ( ) =⋅−

⋅=

⋅−

⋅==→⋅=

4

π001003

10785

4

πdD

10785

AA

22

3

22

3

22

ddugattyúrú

ddugattyúrú

FqqF 12,49 N/mm2.

128

8.1.7. példa

Adott a 161. ábra szerinti függesztés. Húzó igénybevételre méretezünk. Mekkora a szükséges

kötél átmérője? A kötél n = 40 db egyforma drótszálból áll.

Adott: G (önsúly) = 5 kN, Q (hasznos teher) = 6 kN. A kötelet képező drótszálak szilárdsága

(biztonsági tényező figyelembevételével): fh.=150 N/mm2.

A szükséges teljes keresztmetszet meghatározása:

=+

=+

==→=150

50006000

f

GQ

f

SSf

h.h.kötél

kötél

AA

73,33 mm2

Egy drótszál szükséges keresztmetszete:

===40

33,73

nkötél

drótszál

AA 1,83 mm2 ≈ 2 mm2 →

→ =⋅

=→⋅

=π

42

4

πA

2

drótszál drótszál

drótszál dd

1,6 mm → =≈ d 1,8 vagy 2,0 mm.

161. ábra: Kötélerő meghatározás daru (vagy lift) szerkezeteknél

129

9. Nyomó igénybevétel, nyomófeszültség

9.1.1. példa

Adott a 162. ábra szerinti acélcső, amit F nyomóerő terhel. Mekkora lehet a terhelő erő maxi-

muma?

Adott: ØD=40 mm, Ød=30 mm. Az acél cső szilárdsága: f ny.=125 N/mm2.

162. ábra: Nyomott acélcső

A nyomásban dolgozó keresztmetszet meghatározása:

( ) ( )=

⋅−=

⋅−=

4

π0304

4

πdDA

2222

0 549,78 mm2.

A fellépő nyomófeszültség:

0A

F=nyσ → amiből:

=⋅=⋅=⋅= 78,495251AfA 0ny.0maxnyσF 68,72 kN.

9.1.2. példa

Adott a 163. ábra szerint, d átmérőjű talpcsap, ami a talpcsapágyra nehezedik. Mekkorának kell

az átmérőt választani?

Adott:F = 6 kN. A felületi nyomás maximális értéke: fny. = 3 N/mm2.

===3

6000

f

F

ny.0A 2000 mm2 →

→ =⋅

=⋅

=→⋅

=π

42000

π

4

4

πA 0

2

0

Ad

d50,46 mm → =≈ d 5,1 cm.

130

163. ábra: Talpcsapágy

9.1.3. példa

Adott a 164. ábra szerinti négyzet keresztmetszetű betonoszlop, amit F nyomóerő terhel. Mek-

kora az oszlopban keletkező nyomófeszültség?

164. ábra: Beton oszlop nyomása

131

Adott: a=30 cm, Ød=30 mm, F = 180 kN. Az oszlop hossza: l = 5 m.

A fellépő nyomófeszültség:

=⋅

⋅==

300300

10180

A

F 3

0

nyσ 2 N/mm2.

9.1.4. példa

Csapágyazásnál, csavarkötések kialakításánál a nyomóerő görbe, palást felületen oszlik meg.

Ebben az esetben palástnyomásról beszélünk. A palástnyomási felületet nem a hengerfelület-

ből, hanem a tengelymetszetből (vízszintes- vagy hosszmetszet) számítjuk.

Adott a 165. ábra szerinti vízszintes csapágy, amit a d átmérőjű csap F erővel terhel. Mekkora

a csapágy l hossza?

Adott: Ød=50 mm, F = 6 kN. A palástnyomás maximális értéke: f pny. = 2 N/mm2.

A fellépő palástnyomás: ld

F

A

F

0 ⋅==pnyσ , amiből → =

⋅=

⋅=

205

6000

fd

Fl

pny.

60 mm.

165. ábra: Vízszintes csapágy - nyomó igénybevétel hengeres felületen

9.1.5. példa

Mekkora átmérőjű és hosszúságú csapágyat kell kialakítani, hogy a csapágy hossza 1,5-szerese

legyen az átmérőnek?

Adott: F = 12 kN. A palástnyomás maximális értéke: f pny. = 5 N/mm2, l = 1,5∙d.

A fellépő palástnyomás:

ld

F

A

F

0 ⋅==pnyσ , amiből →

2d5,1

12000

d5,1d

F

ld

Ff

⋅=

⋅⋅=

⋅= →

→ =⋅

=⋅

=5,15

12000

5,1f

Fd 40 mm és l = 1,5∙d= 1,5∙40= 60 mm.

132

9.1.6. példa

Adott 166. ábra szerinti függesztés. Mekkora a teherközvetítő d átmérőjű csap palástnyomási

feszültsége?

Adott: Ød=30 mm, e=15 mm, F = 16 kN, SA = 17,18 kN, SB = 21,05 kN. A palástnyomás

maximális értéke: f pny. = 25 N/mm2.

166. ábra: Függesztés összekötő csapjának palástnyomási feszültsége

Az SA rúderőből származó palástnyomási feszültség:

=⋅⋅

=⋅⋅

==)51(203

17180

e)(2d

S

A

S A

0

Apny

S Aσ 19,09 N/mm2 < 25 N/mm2 = f pny. →MEGFELEL.

Az SB rúderőből származó palástnyomási feszültség:

=⋅⋅

=⋅⋅

==)51(203

21050

e)(2d

S

A

S B

0

Bpny

SBσ 23,39 N/mm2 < 25 N/mm2 = f pny. →MEGFELEL.

Az F rúderőből származó palástnyomási feszültség:

=⋅⋅

=⋅⋅

==)51(203

16000

e)(2d

F

A

F

0

pny

Fσ 17,78 N/mm2 < 25 N/mm2 = fpny. →MEGFELEL.

A csapot nyírásra is ellenőrizni kell. A témáról bővebben a „Közelítően tiszta nyíró igénybevé-

tel, nyírófeszültség” című fejezetben.

További, palástnyomással összefüggő példákat a „Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyíró-

feszültség” című fejezetben veszünk.

133

10. Hajlító igénybevétel, hajlításból származó normál (húzó-nyomó) és nyírófeszültség

10.1.1. példa

Adott 167. ábra szerinti kéttámaszú tartó (3.1.1 példa alapján). Mekkora a hajlításból származó

maximális normál és nyírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!

Adott: MMAX = 32,2 kNm, Szelvény: I-260→ Iz = 5740 cm4, Sz = 257 cm3, v = 9,4 mm. A

hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

167. ábra: I szelvényű, kéttámaszú tartó hajlításból származó normálfeszültsége


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)301

)mm(1074,5

)mmN(1032,2t

I

M47

6

(y)z




=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

9,4(mm)

)mm(1057,2

)mm(1074,5

N)(1015,23

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



10.1.2. példa

Adott 168. ábra szerinti kéttámaszú tartó (3.1.2 példa alapján). Mekkora a hajlításból származó

maximális normálfeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!

Adott: F=15 kN, q=4 kN/m, a = 1 m és α = 30 ° → MMAX-alsó = 16,75 kNm, MMAX-felső = 8,0

kNm, Szelvény: U-120→ Iz = 364 cm4, e = 1,6 cm, . A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2.

A hajlításból származó maximális normálfeszültség az alsó oldalon:

=⋅⋅

⋅⋅=⋅=− mm)(0,16

)mm(10364

)mmN(1075,61t

I

M44

6

(y)z

alsó-max.alsómax

hajlσ 73,63 N/mm2→


134

168. ábra: U szelvényű, kéttámaszú tartó hajlításból származó normálfeszültsége

A hajlításból származó maximális normálfeszültség a felső oldalon:

=−⋅⋅

⋅⋅=⋅=− mm)()1655(

)mm(10364

)mmN(100,8t

I

M44

6

(y)z

felső-max.fmax

hajl

elsőσ 85,71 N/mm2→


10.1.3. példa

Adott a 169. ábra szerinti kéttámaszú tartó (4.1.1 és 1.1.7 példák alapján). Mekkora a hajlításból

származó maximális normál és nyírófeszültség? Végezzük el az ellenőrzést!

Adott: F=8 kN, q=2 kN/m, M= 25 kNm és a=0,5 m → MMAX = 14,25 kNm és TMAX = 20,0 kN.

Szelvény: cső: ØD=15 cm, Ød=11 cm → Iz = 1766 cm4. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 95 N/mm2,

a nyírási szilárdság: f nyírás = 74 N/mm2.

169. ábra: Cső szelvényű, mereven befogott tartó hajlításból származó normálfeszültsége


=⋅⋅

⋅⋅=⋅= (mm)75

)mm(10766,1

)mmN(1014,75t

I

M47

6

(y)z




135

( )

( )=

+⋅⋅+⋅+⋅

−⋅

−⋅⋅=

=

+⋅⋅+⋅+⋅

−⋅

−⋅⋅==

)11(15π3

111151512

2

15

4

)11(15π

2

1

)d(Dπ3

ddDD2

2

D

4

)d(Dπ

2

10)(yS

2222

2222

z

= =⋅ 33,384,40 136 cm3.


=⋅

⋅⋅⋅

=⋅=(mm) 40

)mm(1036,1

)mm(10766,1

N)(1020

v(y)

(y)S

I

T 35

47

3z

z



10.1.4. példa

Adott a 170. ábra szerinti mereven befogott T-szelvényű tartó, amelynek a végén egy csövet

támasztunk meg – falba erősített konzolos csőtámasztás. Mekkora a távolságra helyezhetjük a

csövet a faltól? (A T szelvény önsúlyát elhanyagoljuk)

Adott: F=1 kN, MMAX = F∙a kNm. Szelvény: T 60X60 → Iz = 23,8 cm4. A T idom hajlítási

szilárdság: f hajl. = 114 N/mm2.

170. ábra: Egyik végén befogott T-szelvény


=⋅⋅−

=⋅=⋅=→⋅= 5z

(y)

halj.max(y)

z

max.max 1038,2

6,1660

114I

t

fFMt

I

Maσ hajl 625161 Nmm→

→ ===1000

625161

F

Mmaxa 625,16 mm≈63 cm.

136

10.1.5. példa

Adott a 171. ábra szerinti kéttámaszú I-szelvényű tartó, amelyen két koncentrált erő működik.

Milyen I szelvényt kell választanunk? (Az I szelvény önsúlyát elhanyagoljuk) Ellenőrízzük a

tartót nyírásra!

Adott: F1=6 kN, F2=3 kN. Az I idom hajlítási szilárdság: fhajl. = 95 N/mm2, a nyírási szilárdság:

f nyírás = 74 N/mm2.

171. ábra: Kéttámaszú, koncentrált erővel terhelt I-szelvény


( ) =⋅

===→⋅=95

106

f

MK

t

It

I

M 6

zhalj.

maxz

(y)

z(y)

z

max.maxhajlσ 63158 mm3 →

→ táblázatból: I-140 szelvény a megfelelő.

Az I-140 szelvény keresztmetszeti adatainak a figyelembevételével számított hajlításból szár-

mazó normálfeszültség:

=⋅⋅

⋅=⋅=− 07

105,73

106t

I

M6

6

(y)z

max.140

hajl

Iσ 73,33 N/mm2 < 95 N/mm2 = fhajl. → MEGFELEL

A hajlításból származó maximális nyírófeszültség (Sz = 47,7 cm3):

=⋅

⋅⋅⋅

=⋅=(mm) 5,7

)mm(1077,4

)mm(1073,5

N)(106

v(y)

(y)S

I

T 34

46

3z

z



137

10.1.6. példa

Adott a 172. ábra szerinti kéttámaszú övlemezzel erősített I-tartó. A tartón p megoszló (hasz-

nos) terhelés működik. Mekkora a hajlításból származó maximális normál és nyírófeszültség?

Végezzük el az ellenőrzést!

Adott: p = 50 kN/m, a = 6 m, b = 15 cm, v = 2 cm. Szelvény: I-260→ Iz = 29210 cm4, Sz = 257

cm3, GI (önsúly) = 924 N/m. A hajlítási szilárdság: f hajl. = 130 N/mm2, a nyírási szilárdság:

fnyírás = 74 N/mm2. Az övlemezek önsúlya: Gbxv = (önsúly) 468 N/m.

172. ábra: Kéttámaszú, övlemezzel erősített I-tartó

A tartó önsúlyából származó terhelés:

=+=+= 468924GG bxvIq 1392 N/m=1,392 kN/m.

A reakcióerők meghatározása – a tartó és a terhelés is szimmetrikus, emiatt

=⋅+

=⋅+

==2

6)392,105(

2

6)p(y

qBA 154,18 kN.

A maximális nyomaték értéke a tartó közepén lesz. Meghatározása:

=⋅+

−=⋅⋅+−⋅+

=⋅−⋅⋅+=8

a)p(

2

a

2

a)p(

8

a)p(

2

a

4

a

2

a)p(

22bmax

qq

qAqM y

–231,26→

→ =bmaxM 231,26 kNm ( ).

A keresztmetszet hajlítási tengelyére vett inerciája:

138

=⋅

⋅⋅+

⋅+=⋅

⋅⋅+

⋅+= 212251

12

251921022tvb

12

vbI 2

32(y)

3400-I

zzI 55690 cm4.


=⋅⋅⋅

=⋅= 2021055690

10231,26t

I

M4

6

(y)z

max.maxhajlσ 91,75 N/mm2 < 95 N/mm2 = fhajl. → MEGFELEL


=

+⋅⋅+=

+⋅⋅+==2

2

2

13251572

2

v

2

hvbS0)(yS I260

zz 482 cm3.


=⋅

⋅⋅

⋅=⋅=

(mm) 9,4

)mm(1072,4

)mm(1057,5

N)(1018,541

v(y)

(y)S

I

T 35

48

3z

z



10.1.7. példa

Adott a 173. ábra szerinti esztergakés, miközben acél anyagot munkálunk meg. Határozzuk

meg az esztergakés keresztmetszeti méreteit (a és b)!

Adott: Előtolás: e = 1,2 mm/fordulat. Fogásmélység: f = 6 mm. A fajlagos forgácsolási ellen-

állás: k = 1400 N/mm2. A kés alátámasztás nélküli hossza: c = 6 cm. Az acél hajlítási szilárd-

sága: f hajl. = 100 N/mm2. A kés négyszög keresztmetszetének oldalainak az aránya: 3

2

b

a= .

173. ábra: Esztergakés alátámasztása, terhelése

A forgácsolóerő számítása:

=⋅⋅=⋅⋅= 400162,1kfeforg.F 10,08 kN.

Az esztergakés mértékadó keresztmetszetét terhelő nyomaték:

53forg.max 1005,6601008,10c ⋅=⋅⋅=⋅= FM Nmm.

A késszár szükséges keresztmetszete:

139

=⋅

==→⋅=100

1005,6

f

MMf

5

hajl.

maxmaxhajl.

(y)

z(y)

z t

It

I6050 mm3.

6

2

122

1223

3

ba

b

ba

b

ba

t

I

(y)

z ⋅=⋅

⋅=

⋅

= =6050 mm3.

A keresztmetszet oldalainak az arányából: ba ⋅=3

2.


=⋅

=→=⋅⋅=⋅

= 3

22

2

1860506050

63

2

6b

bb

ba

t

I

(y)

z 37,9 mm és a = 25,27 mm.

140

11. Csavaró igénybevétel, csavarásból származó nyírófeszültség

11.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetek poláris másodrendű nyomatéka és poláris ke-

resztmetszeti tényezője

11.1.1. példa

Adott a 174. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű

nyomatékát és poláris keresztmetszeti tényezőjét.

Adott: Ød=20 cm.

174. ábra: Kör keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka

Poláris inercia számítása:

=⋅

=⋅

=32

π02

32

πd 44

pI 15708 cm4.

Poláris keresztmetszeti tényező számítása:

==⋅

=⋅

=

⋅

==

2

2015708

16

π02

16

πd

2

d32

πd

2

d

33

4

p

p

IW 1570,8 cm3.

11.1.2. példa

Adott a 175. ábra szerinti keresztmetszet. Határozzuk meg a keresztmetszet poláris másodrendű

nyomatékát és poláris keresztmetszeti tényezőjét..

Adott: ØD=15 cm, Ød=11 cm.

175. ábra: Körgyűrű (cső) keresztmetszet (vastaggal kiemelve) poláris másodrendű nyomatéka

Poláris inercia számítása:

141

=⋅−

=⋅−

=32

π)11(15

32

π)d(D 4444

pI 3533 cm4.

Poláris keresztmetszeti tényező számítása:

==⋅

⋅−=

⋅⋅−

=

⋅−

==

2

153533

5116

π)11(15

D16

π)d(D

2

D32

π)d(D

2

D

4444

44

p

p

IW 471 cm3.

11.2. Kör és körgyűrű keresztmetszetek csavarásakor fellépő nyírófeszültség

11.2.1. példa

Adott a 176. ábra szerinti mereven befogott, kör keresztmetszetű tartó. Határozzuk meg az éb-

redő nyírófeszültséget.

Adott: Ød=8 cm, a=2 m, Mcs.=1,5 kNm.

176. ábra: Csavarással terhelt, kör keresztmetszetű, mereven befogott tartó

Poláris inercia és poláris keresztmetszeti tényező számítása:

=⋅

=⋅

=32

π8

32

πd 44

pI 402,12 cm4.

=⋅

=⋅

=⋅⋅

=

⋅

=16

π8

16

πd

d

2

32

πd

2

d32

πd334

4

pW 100,53 cm3.

A csavarásból származó maximális nyírófeszültség:

142

=⋅

⋅=⋅

⋅⋅

==⋅=3

6

6

6csav.max

(y)

csav.max.

max 1053,100

105,140

1002,4

105,1Mt

M

pp

csav

WIτ 14,93 N/mm2.

11.2.2. példa

Adott a 177. ábra szerinti acél cső, amit esztergálással munkálunk meg. Határozzuk meg a mun-

kafolyamat során ébredő maximális nyírófeszültséget.

Adott: Ød=5 cm, ØD=6 cm. Forgácsolóerő: Ff =7 kN.

177. ábra: Cső keresztmetszetű acél esztergálása

A fellépő csavaró nyomaték:

=⋅⋅=⋅=2

60107

2

DF 3

fcsM 210000 Nmm=210 Nm.


( ) ( )=

⋅=

⋅=

32

π50-06

32

πd-D 4444

pI 658753 mm4.

( ) ( )=

⋅⋅

=⋅

⋅=

0661

π50-06

D61

πd-D 4444

pW 21958 mm3.


=⋅⋅

=⋅⋅

⋅==⋅=

4

5

5

5

p

csav.max

(y)p

csav.max.

max 102,2

101,230

1059,6

101,2Mt

M

WI

csavτ 9,56 N/mm2.

11.2.3. példa

Adott a 178. ábra szerinti forgattyús tengely. A csapra F erő hat. Határozzuk meg a tengely

szükséges átmérőjét.

Adott: F=10 kN A két tengely távolsága: r=20 cm. A tengely anyagának nyírószilárdsága: fcsav.

=60 N/mm2.

A fellépő csavaró nyomaték:

=⋅⋅=⋅= 0021001rF 3fcsM 2000000 Nmm=2000 Nm.

143

178. ábra: Forgattyús tengely szükséges átmérőjének a számítása az ébredő nyírófeszültség alapján


→⋅

=⋅

==⋅

=→=⋅=16

π

60

102

f

M

16

πMt

Mf

36

csav.max

csav.max

3

pp

csav.max

(y)p

csav.maxcsav.

max

DDW

WI

=⋅⋅⋅

=⋅

⋅=→ 3

6

3csav.max

csav.max

π60

10216

πf

M16D 55,37 mm.

11.2.4. példa

Adott a 179. ábra szerinti n1 és n2 fordulatú tengely. Határozzuk meg a tengelyek szükséges

legkisebb átmérőjét.

Adott: n1=1440 1/min, n2=240 1/min. Az átvitt teljesítmény: P=20 kW. A tengelyek anyagának

nyírószilárdsága: fcsav. =25 N/mm2.

A hajtótengelyt terhelő csavaró nyomaték:

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=

60

4401π2

102

nπ2

P)nπ2(P

4

111111 cscscs MMM ϖ 132,63 Nm.


→⋅

=⋅

==⋅

=→=⋅=16

π

25

1033,1

f

M

16

πMt

Mf

31

5

csav.max

cs131

pp

cs1(y)

p

cs1csav.max

ddW

WI

144

179. ábra: Forgatónyomaték átszármaztatása fogaskerekekkel

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=→ 3

5

3csav.max

cs11

π25

1033,116

πf

M16d 30,03 mm ≈3 cm.

A hajtott tengelyt terhelő csavaró nyomaték:

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=

60

240π2

102

nπ2

P)nπ2(P

4

222222 cscscs MMM ϖ 795,77 Nm.


→⋅

=⋅

==⋅

=→=⋅=16

π

25

1096,7

f

M

16

πMt

Mf

32

5

csav.max

cs232

pp

cs2(y)

p

cs2csav.max

ddW

WI

=⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=→ 3

5

3csav.max

cs22

π25

1096,716

πf

M16d 54,53 mm ≈6 cm.

11.2.5. példa

Adott a 180. ábra szerinti d átmérőjű, n fordulatszámú tengely, amely P teljesítményt származ-

tat át. Ellenőrizzük a tengelyt csavarásra.

180. ábra: Fogaskerékáttétel

145

Adott: n=50 1/min. Ød=8 cm. Az átvitt teljesítmény: P=44,2 kW. A tengelyek anyagának nyí-

rószilárdsága: fcsav. =95 N/mm2.

A hajtótengelyt terhelő csavaró nyomaték:

=⋅⋅

⋅=

⋅⋅=→⋅⋅⋅=⋅=

60

50π2

10424,

nπ2

P)nπ2(P

4

cscscs MMM ϖ 8442 Nm.


=⋅

=⋅

=32

π8

32

πd 44

pI 402,12 cm4.

=⋅

=⋅

=⋅⋅

=

⋅

=16

π8

16

πd

d

2

32

πd

2

d32

πd334

4

pW 100,53 cm3.


=⋅

⋅=⋅

⋅⋅

==⋅=3

6

6

6csav.max

(y)

csav.max.

max 1053,100

1044,840

1002,4

1044,8Mt

M

pp

csav

WIτ 83,98 N/mm2→

→ =.maxcsavτ 83,98 N/mm2 < 95 N/mm2 = f csav. →MEGFELEL

146

12. Közelítően tiszta nyíró igénybevétel, nyírófeszültség

12.1.1. példa

Adott a 181. ábra szerinti, nyírásra terhelt kötőelem (egynyírású szegecs). Ellenőrizzük a kap-

csolatot a kötőelem nyírása és palástnyomása szerint.

Adott: Ød=1,5 cm, e=10 mm, F = 12 kN. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A


Hogy hány „nyírású” egy kötőelem, az alapján határozzuk meg, hogy a kötőelem elnyíródása-

kor hány felület mentén szakadna el.

181. ábra: Egynyírású kötőelem

A kötőelemben (szegecs) fellépő nyírási feszültség:

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=⋅

=

1""4

π51

12000

1""4

πd

F

száma"tszetekkeresztemenyírt"A

F22

τ 67,91 N/mm2


A fellépő palástnyomási feszültség:

=⋅

=⋅

==0115

12000

ed

F

A

F

0

pnyσ 80 N/mm2 < 150 N/mm2 = fpny →MEGFELEL.

12.1.2. példa

Adott a 182. ábra szerinti, nyírásra terhelt kötőelem (szegecs). Ellenőrizzük a kapcsolatot a

kötőelem nyírása és a fellépő palástnyomás szerint.

Adott: Ød=1 cm, e=5 mm, F = 12 kN. A kötőelem nyírási szilárdsága: fny = 77 N/mm2. A


182. ábra: Kétnyírású kötőelem

A kötőelemekben (szegecs) fellépő nyírási feszültség:

147

=

⋅⋅

=

⋅⋅

=⋅

+=

2""4

π01

12000

2""4

πd

F

száma"tszetekkeresztemenyírt"A

F/2F/222

τ 76,39 N/mm2


A fellépő palástnyomási feszültség a bal oldali kötőelemeken:

( )=

⋅⋅=

⋅⋅+

==2510

12000

2ed

F/2F/2

A

F

0


A fellépő palástnyomási feszültség a jobb oldali kötőelemen:

=⋅⋅

=⋅⋅

+==

5210

12000

e2d

F/2F/2

A

F

0


Jelen példában a geometriai méretek miatt a palástnyomási felületek megegyeznek, ezért a pa-

lástnyomási feszültségek is. Ez azonban nem minden csomóponti kialakítás esetén van így.

Mindig az adott példa, geometriai kialakítás határozza meg a palástnyomási felületet és feszült-

séget is.

12.1.3. példa

Adott a 183. ábra szerinti M12 –es csavar, amit húzásra terhelünk. Ellenőrizzük a csavart nyírás

és nyomás szerint.

Az F terhelő erő az orsót ki akarja húzni a csavarfejből. A nyírt felület így egy hengerfelület

lesz, amit ha kiterítünk, téglalapot kapunk. A téglalap egyik oldala a csavar kerülete, míg másik

oldala a csavarfej magassága lesz.

Adott: Ød=12 mm, F = 6 kN. A kötőelem (csavar) nyírási szilárdsága: fny = 50 N/mm2. A kö-

tőelem palástnyomási szilárdsága: fpny = 150 N/mm2.

183. ábra: Nyíró igénybevétellel terhelt kötőelem

148

12.1.4. példa

Adott a 184. ábra szerinti, v vastagságú lemez. Excenterpréssel d átmérőjű tárcsát vágunk ki.

Mekkora a legnagyobb d átmérő, amit még ki lehet a munkaeszközzel vágni?

Kivágáskor a fellépő nyíróerőnek nagyobbnak kell lennie, mint az anyag szilárdságából adódó

ellenállásnak. A külső F erőnek meg kell haladnia azt a belső erőt, amit az anyag elcsúszás

nélkül el tud viselni.

Adott: v = 2 mm. A préssel kifejthető maximális erő: F = 200 kN. A lemez nyírási szilárdsága:

fny = 400 N/mm2.

184. ábra: Tárcsa kivágása lemezből

Kör alakú lemezdarab kivágásakor a nyírt felület egy hengerfelület, amit ha kiterítünk, téglala-

pot kapunk. Ennek a téglalapnak a hosszabbik oldala a tárcsa kerületével, rövidebbik oldala a

lemez vastagságával egyezik meg.

A fellépő nyírófeszültség:

===→=400

200000

f

F

A

F

ny

Aτ 500 mm2.

A nyírt keresztmetszet:

=⋅

=⋅

=→⋅⋅=2π

500

vπ

AdvπdA 79,57 mm.

149

13. Kihajlás

13.1.1. példa

Adott a 185. ábra szerinti, egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó.

Határozzuk meg a karcsúsági tényezőt!

Adott: Ød = 20 cm, h = 1,5 m, ν = 2 (egyik végén szabad, másik végén befogott tartók esetén).

185. ábra: Egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó kihajlása


=⋅

=⋅

=4

π02

4

πdA

22

314,16 cm2.


=⋅

=⋅

===64

π20

64

πd 44

minIII zx7854 cm4.

A legkisebb inerciasugár meghatározása:

===16,314

7854min

A

Ii miin 5 cm.


=⋅=⋅= 25,1νhredl 3 m = 300 cm.


===5

300

mini

lλ red 60.

150

13.1.2. példa

Adott a 186. ábra szerinti, egyik végén szabad, másik végén befogott kör keresztmetszetű tartó.

Határozzuk meg a karcsúsági tényezőt!

Adott: ØD = 45 mm, Ød = 40 mm, h = 2 m, ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás).

186. ábra: Két végén csuklós megtámasztású cső keresztmetszetű tartó kihajlása


( ) ( )=

⋅=

⋅=

4

π14-45

4

πd-D 2222

A 334 mm2.


=⋅−

=⋅−

===64

π)04(45

64

π)d(D 4444

minIII zx75625 mm4.

A legkisebb inerciasugár meghatározása:

=====334

75625minmin

A

Iiii zx

15,05 mm.


=⋅=⋅= 12νhredl 2 m = 2000 mm.


===05,15

2000

mini

lλ red 132,89.

151

13.1.3. példa

Adott a 187. ábra szerinti vízszintes, csuklós megtámasztású tartó, amit a BC zárt szelvény

keresztmetszetű tartó elem támaszt meg, tart egyensúlyban. Ellenőrizzük a BC tartóelemet ki-

hajlásra!

Adott: q = 1,5 kN/m, F = 6 kN, α = 60°, a = 0,6 m, b = 0,9 m. A tartó keresztmetszetére,

anyagára és a megtámasztására vonatkozó adatok táblázatból: ν = 1 (két végén csuklós megtá-

masztás), A = 2,59 cm2, Ix = 3,6 cm4, Iz = 5,7 cm4, λh = 105.

187. ábra: Zárt szelvény keresztmetszetű tartó elem kihajlása

A kisebbik inerciasugár meghatározása:

===59,2

6,3minmin

A

Ii 1,18 cm.


=⋅+=⋅= 19,06,0νh 22redl 1,08 m = 108 cm.


===18,1

108

mini

lλ red 91,53.

λh = 105 > 91,53 = λ → a kritikus feszültséget a képlékeny kihajlás, a Tetmajer-féle képlet

szerint kell meghatározni:

=⋅−=⋅−= 53,9114,1103ba λσ krit 206 N/mm2 (acél esetén táblázatból: a = 310, b = 1,14).

A BC rúdban ébredő normál igénybevétel számítása:

152

b)(asinαF2

b)(ab)(aqa

a

barctansin0M A +⋅⋅−

+⋅+⋅−⋅

⋅==∑ B →

B = NBC = 18,99 kN.

A BC rúdban fellépő normálfeszültség meghatározása:

=⋅

==259

1099,18

A

3BC

fel

Nσ 73,32 N/mm2 < =kritσ 206 N/mm2 → MEGFELEL!

13.1.4. példa

Adott a 188. ábra szerinti, csavarorsót szimbolizáló tartóelem. Ellenőrizzünk kihajlásra!

Adott: F = 45 kN, h = 1,3 m, Ød = 3,5 cm. A tartó anyagára és a megtámasztására vonatkozó

adatok táblázatból: E = 210000 N/mm2, ν = 1 (két végén csuklós megtámasztás), λh = 105.

188. ábra: Kör keresztmetszetű tartó elem kihajlása


=⋅

=⋅

=4

π5,3

4

πdA

22

9,62 cm2.


=⋅

=⋅

===64

π3,5

64

πd 44

minIII zx7,37 cm4.

A kisebbik inerciasugár meghatározása:

153

===62,9

37,7minmin

A

Ii 0,88 cm.


=⋅=⋅= 13,1νhredl 1,3 m = 130 cm.


===88,0

130

mini

lλ red 147,73.

λh = 105 < 147,73 = λ → a kritikus feszültséget a rugalmas kihajlás, az Euler-féle képlet szerint

kell meghatározni:

=⋅

=⋅

=2

2

2

2

73,147

210000ππ

λσ

Ekrit

94,97 N/mm2.

Az orsóban fellépő normálfeszültség meghatározása:

=⋅

==962

1045

A

3N

felσ 46,78 N/mm2 < =kritσ 94,97 N/mm2 → MEGFELEL!

154

Felhasznált és ajánlott irodalom

Jakab S. (1984): Mechanika példatár I., egyetemi jegyzet,

Józsa B. (1991): Műszaki mechanikai táblázatok, egyetemi jegyzet

Kaliszky S. (1990): Mechanika II. - Szilárdságtan, Tankönyvkiadó,

Király B. (1978): Szilárdságtan I., Tankönyvkiadó,

Márton A. (1964): Szilárdságtan, Műszaki Könyvkiadó,

Muttnyánszy Á. (1964): Statika, Tankönykiadó,

Sárközi Z. (1977): Műszaki táblázatok és képletek, Műszaki Könyvkiadó,

Szalai J. (2003): Műszaki mechanika I., egyetemi jegyzet

Tímár I. (1997): Műszaki mechanika I. – Statika, Veszprémi Egyetemi Kiadó,

szilárdságtan - nyme.hu¡rdságtan_példatár.pdf · 4 el őszó, bevezetés a mechanika a...

Documents