tÔ ·ÚﬁÓ ¤ÚÁÔ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎ‹˜ È‰ÈÔÎÙËÛ›·˜ ÚÔÛÙ·ÙÂ‡ÂÙ·È...

iv

18Ocirc macrIumlIgrave poundAcircUcircOacutersaquoIcircEuml˜-paraAcircUacutemiddotrsaquomiddot˜

Tpound 4171 ntilde NcurrenOcircEgrave EEgravesbquoiquestUgraveAcirc˜ poundAcircUcircUcircmiddotIumlOcircOacutersaquoIcircEuml˜ ntilde TK 570 19

TEumlIuml 2392072222 (3 AacuteUacutemiddotIgrave) - Fax 2392072229

e-mail infozitigr

para ZHTH amp tradeEgravemiddot OEordmÛgraveOcircUcircUgraveOcircEgravemacrAcircEgraveOcircıAcircUcircrsaquomiddotEIcircUgraveDaggerÛcircEuml

AUacuteIgraveAcircOacuteOcircOcircDaggerIumlOcirc˘ 27 ntilde 546 35 poundAcircUcircUcircmiddotIumlOcircOacutersaquoIcircEuml

TEumlIuml 2310203720 Fax 2310211305

e-mail saleszitigr

EKcentOtradeEItrade ZHTHBEgravesbquoIumlEgraveOcircÎumlAcircrsaquoOcirc

ISBN 960-431-854-3

copy Copyright 2003 2006 EIcircpermilfiUcircAcircEgrave˜ ZHTH I E ordmUacutemiddotAacuteIcircEgravemiddotpermiliquestIcircEuml˜

paraUacuteOgraveUgraveEuml currenIcircpermilOcircUcircEuml 2003

paraUacuteOgraveUgraveEuml middotOacutemiddotUgraveDaggerÛcircEuml IgraveAcirc sbquoAcircIumlUgraveEgraveOgraveUcircAcircEgrave˜ 2006

KiquestıAcirc AacuteOacutelsaquoUcircEgraveOcirc middotOacuteUgraversaquoUgrave˘Ocirc EcirccurrenUacuteAcircEgrave UgraveEumlOacute ˘OcircAacuteUacutemiddotEcirclsaquo UgraveOcirc˘ Ucirc˘AacuteAacuteUacutemiddotEcirccurrenmiddot

w w w z i t i g r

TOcirc middotUacutefiOacute currenUacuteAacuteOcirc OacuteAcirc˘IgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo˜ EgravepermilEgraveOcircIcircUgraveEumlUcircrsaquomiddot˜ UacuteOcircUcircUgravemiddotUgraveAcircDaggerAcircUgravemiddotEgrave IcircmiddotUgraveiquest UgraveEgrave˜ permilEgravemiddotUgraveiquestIacuteAcircEgrave˜ UgraveOcirc˘ EIumlIumlEumlOacuteEgraveIcircOcircDagger OacutefiIgraveOcirc˘ (N21211993 fiˆ˜ currenmacrAcircEgrave UgraveUacuteOcircOcircOcircEgraveEumlıAcircrsaquo IcircmiddotEgrave EgraveUcircmacrDaggerAcircEgrave UcirclsaquoIgraveAcircUacutemiddot) IcircmiddotEgrave UgraveEgrave˜ permilEgraveAcircıOacuteAcircrsaquo˜ Ucirc˘IgravesbquoiquestUcircAcircEgrave˜ AcircUacutersaquo OacuteAcirc˘IgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo˜ EgravepermilEgraveOcircIcircUgraveEumlUcircrsaquomiddot˜ AmiddotAacuteOcircUacuteAcircDaggerAcircUgravemiddotEgrave middotOcircIumlDaggerUgraveˆ˜ Euml iquestOacuteAcirc˘ AacuteUacutemiddotUgravelsaquo˜ iquestpermilAcircEgravemiddot˜ UgraveOcirc˘ AcircIcircpermilfiUgraveEuml IcircmiddotUgraveiquest OcircOcircEgraveOcircpermillsaquoOcircUgraveAcirc UgraveUacutefiOcirc lsaquo IgravecurrenUcircOcirc middotOacuteUgraveEgraveAacuteUacutemiddotEcirclsaquo EcircÛgraveOcircmiddotOacutemiddotUgraveDaggerÛcircEuml IcircmiddotEgrave AcircOacute AacutecurrenOacuteAcircEgrave middotOacutemiddotmiddotUacutemiddotAacuteÂacutelsaquo AcircIcircIgraversaquoUcircıÛcircEuml lsaquo permilmiddotOacuteAcircEgraveUcircIgravefi˜ IgraveAcircUgraveiquestEcircUacutemiddotUcircEuml permilEgravemiddotUcircIcircAcirc˘lsaquo middotOacutemiddotIgraveAcircUgraveiquestpermilOcircUcircEuml UcircUgraveOcirc IcircOcircEgraveOacutefi UcircAcirc OcircOcircEgravemiddotpermillsaquoOcircUgraveAcirc IgraveOcircUacuteEcirclsaquo (EumlIumlAcircIcircUgraveUacuteOcircOacuteEgraveIcirclsaquo IgraveEumlmacrmiddotOacuteEgraveIcirclsaquo lsaquo iquestIumlIumlEuml) IcircmiddotEgrave Euml AcircOacute AacutecurrenOacuteAcircEgrave AcircIcircIgraveAcircUgraveiquestIumlIumlAcirc˘UcircEuml UgraveOcirc˘ Ucirc˘OacutefiIumlOcirc˘ lsaquo IgravecurrenUacuteOcirc˘˜ UgraveOcirc˘ currenUacuteAacuteOcirc˘

v

paraUacutefiIumlOcircAacuteOcirc˜

Σχόλια του συγγραφέα

Ο σκοπός της συγγραφής του βιβλίου αυτού είναι η δημιουργία ενός εκπαιδευτι-κού βοηθήματος στο χώρο της Tριτοβάθμιας εκπαίδευσης που να συνδυάζει σταπλαίσια του εφικτού την παρουσίαση των θεμελιωδών αρχών και νόμων της Φυ-σικής με την εφαρμογή τους σε θέματα τεχνολογικού ενδιαφέροντος Προηγή-θηκε μια μακρά περίοδος διαμόρφωσης της ύλης και του κειμένου με βάση τηναμφίδρομη σχέση που αναπτύσσεται συνήθως μεταξύ διδάσκοντα και διδασκο-μένων Πολύτιμη υπήρξε η βοήθεια ήδη καταξιωμένων εκπαιδευτικών συγγραμ-μάτων τα οποία αναφέρονται αναλυτικά στον πίνακα βιβλιογραφίας του συγ-γράμματος

Η μελέτη των φυσικών νόμων και εννοιών και η ανάπτυξη των επιμέρους θε-μάτων επιλέχθηκε συνειδητά να γίνει μέσα από την εμπεριστατωμένη και κριτικήαντιμετώπισή τους αποφεύγοντας την επιγραμματική τους μόνο παράθεση Η με-θοδολογία της συμπυκνωμένης παρουσίασης εννοιών η οποία αποδεικνύεται πολύεξυπηρετική σε σεμιναριακού τύπου διδασκαλία εμπεριέχει τον κίνδυνο ιδιαίτεραστο στάδιο της θεμελίωσης των εννοιών της Φυσικής να οδηγήσει στην αδρανοποί-ηση της πνευματικής ανησυχίας των νέων και μάλιστα εκείνων που αναζητούν τηγνώση και δεν ικανοποιούνται με την υποβάθμισή της σε απλή πληροφορία Η ανα-φορά στις έννοιες της Φυσικής με τη μορφή συνθηματικών προτάσεων και μόνο εμ-φανίζεται πολλές φορές δελεαστική για τα δύο μέλη της εκπαιδευτικής διαδικασίαςδιδάσκοντες και διδασκόμενους Στους μεν παρέχει την ευχέρεια άνετης και θελκτι-κής παρουσίασης ενός θέματος στους δε δίδει την ψευδαίσθηση ενός άμεσα αντι-ληπτού θετικού αποτελέσματος το οποίο όμως αποδεικνύεται πρόσκαιρο και εξα-νεμίζεται μόλις η αναφορά στη γνώση γίνει ουσιαστική Αντίθετα η ισορροπημένηδιδακτική παρουσίαση και η μεθοδική αναζήτηση της ουσίας των πραγμάτων με αλ-ληλεπίδραση με το ακροατήριο ενισχύει την πνευματική ικανότητα του εκπαιδευό-μενου στρέφοντάς την στη δημιουργική και παραγωγική αξιοποίηση της γνώσης

v

vi

Η ύλη του βιβλίου και η οργάνωσή της

Σε γενικές γραμμές το βιβλίο αυτό καλύπτει ύλη Φυσικής σε ευρύ φάσμα εννοι-ών και θεμάτων που άπτονται των ενδιαφερόντων Μηχανικού Μηχανολόγου ήΗλεκτρολόγου Συγκεκριμένα τα θέματα και οι εφαρμογές που παρουσιάζονταικαι αναλύονται σταχυολογούνται από τη Mηχανική τον Hλεκτρισμό τη Θερμό-τητα και τις Aνανεώσιμες Πηγές Eνέργειας (AΠE)

Αναλυτικότερα στην εισαγωγή γίνεται θεμελίωση του διεθνούς συστήματοςμονάδων (SI) και παρέχεται μια αναλυτική παρουσίαση των πρότυπων μονάδωνμε βάση τις αποφάσεις των σχετικών συνεδρίων Ο σκοπός αυτής της ανάλυσης εί-ναι η ανάδειξη της σημασίας της μέτρησης καθώς και της αναγκαιότητας καθορι-σμού των πρότυπων μονάδων των Φυσικών ποσοτήτων μέσα από συγκεκριμένεςπειραματικές διαδικασίες

Στο πρώτο κεφάλαιο δίδεται μια σύντομη κυρίως εννοιολογική εισαγωγή στομαθηματικό λογισμό Ο σκοπός αυτής της αναφοράς είναι να δοθεί η φυσική διά-σταση της μαθηματικής σκέψης προκειμένου να περιοριστούν στο ελάχιστο δυ-νατόν οι επιπτώσεις μιας πιθανής μηχανιστικής χρήσης των μαθηματικών κατάτην παρουσίαση και επεξεργασία των θεμάτων στα κεφάλαια που ακολουθούν

Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφέρονται περιληπτικά έννοιες της κινηματικής μεσκοπό να εξυπηρετήσουν διδακτικές ανάγκες των επομένων κεφαλαίων

Στο τρίτο κεφάλαιο δίδεται ιδιαίτερη βαρύτητα στην ανάλυση των βασικώνεννοιών της Φυσικής όπως πχ όσα αφορούν σε δυνάμεις και πεδία ενέργεια καιδιατήρησή της μηχανικές και κύρια ηλεκτρικές ταλαντώσεις φαινόμενα συντο-νισμού σε ηλεκτρικά κυκλώματα Κρίθηκε σκόπιμο να δοθεί μέσα από μια συ-νοπτική παρουσίαση ως ειδικό θέμα συμπληρωματικής μελέτης η αναφορά στααποτελέσματα της δράσης του ηλεκτρικού πεδίου στατικού ή εναλλασσομένουμε την ύλη Εξετάζεται επίσης η δράση του μαγνητικού πεδίου σε κινούμεναφορτία σε συνδυασμό με χρήσιμες εφαρμογές Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται μεπαρουσίαση θεμάτων σχετικών με τη βαρύτητα

Το τέταρτο κεφάλαιο αφορά στο έργο και την ενέργεια Αποτελεί ένα απότα σημαντικότερα κεφάλαια αυτού του βιβλίου Θεμελιώνονται προσεκτικά οιέννοιες του έργου της ενέργειας της ισχύος στιγμιαίας και μέσης Παρουσιά-ζονται τα θεωρήματα που συσχετίζουν αφrsquo ενός τη μεταβολή της κινητικήςενέργειας ενός σώματος με το σύνολο των έργων που παράγονται ή καταναλί-σκονται κατά τη μεταβολή αυτή αφrsquo ετέρου το έργο των μη συντηρητικών δυ-νάμεων (τριβών) με τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας Η ενεργειακή από-δοση μηχανών παρουσιάζεται γενικά και μέσω της έννοιας της θερμικής μηχα-

paraUacutefiIumlOcircAacuteOcirc˜vi


νής και αντιδιαστέλλεται από το συντελεστή επίδοσης των ψυγείων και κλιμα-τιστικών μηχανημάτων Σε καθένα απrsquo τα λυμένα παραδείγματα παρατίθεται ησκέψη επίλυσης πολλά δε απrsquo αυτά επελέγησαν με κύριο κριτήριο την τεχνο-λογική τους σημασία

Στο πέμπτο κεφάλαιο εξετάζεται ο απλός αρμονικός ταλαντωτής καθώς και ηφθίνουσα και εξαναγκασμένη ταλάντωση και τα χαρακτηριστικά της Αναλύεταιη μεθοδολογία των περιστρεφομένων ανυσμάτων η οποία αξιοποιείται στη με-λέτη της σύνθεσης των ταλαντωτικών κινήσεων ιδιαίτερα στα ηλεκτρικά κυ-κλώματα και γίνεται σύντομη αναφορά στην αντίστοιχη μεθοδολογία με τους μι-γαδικούς αριθμούς

Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται σύντομα αλλά με την δέουσα προσοχή στηνακρίβεια και τη σαφήνεια θέματα που αφορούν στη στατική και στη δυναμική συ-μπεριφορά του στερεού σώματος με αναφορά στην τεχνολογική εφαρμογής τουςΗ εμπέδωση τους ολοκληρώνεται μέσα από χαρακτηριστικά παραδείγματα

Στο κεφάλαιο της θερμότητας (Κεφάλαιο 7) δίδεται ιδιαίτερη προσοχή στησαφή εισαγωγή και θεμελίωση των σχετικών εννοιών και στην παρουσίαση τουουσιαστικού νοήματος των θερμοδυναμικών νόμων Συνάμα και πέραν των τυπι-κών παραδειγμάτων εμπέδωσής τους δίδεται έμφαση σε θέματα γενικότερου αλ-λά και ειδικότερου ενδιαφέροντος που σχετίζονται με τη διάδοση της ενέργειας μετη μορφή θερμότητας όπως θέματα θερμομόνωσης ή ψύξης χώρων και μηχανη-μάτων Καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσοχή στην παρουσίαση του θέματος αλληλε-πίδρασης ύλης και ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας μέσα στα πλαίσια ενός ει-σαγωγικού βοηθήματος

Στο τελευταίο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 8) γίνεται μια εξαιρετικά σύντομη πα-ρουσίαση του πολύ σημαντικού για την εποχή μας θέματος της τεχνολογίας τωνΑνανεώσιμων Πηγών Ενέργειας με έμφαση στη μετατροπή της ηλιακής ενέργει-ας σε ηλεκτρισμό με χρήση των φωτοβολταϊκών στοιχείων

Μια προσεκτική και μεθοδευμένη από μέρους του διδάσκοντα επιλογή τωνκατάλληλων σε κάθε περίπτωση θεμάτων μέσα από την εκτενή ύλη του συγ-γράμματος αυτού σε συνδυασμό με τη δική του καθοριστικής σημασίας καθο-δήγηση θα βοηθήσει σημαντικά στην επιτυχία των στόχων του συγγράμματος

Ευχαριστώ θερμά το συνάδελφο και φίλο Αριστείδη Ζδέτση καθηγητή του Φυ-σικού τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών για την καλοσύνη του να σχολιάσειτμήματα του κειμένου και με τις εύστοχες παρατηρήσεις του να συμβάλει στην ου-σιαστική εννοιολογική βελτίωσή τους Αισθάνομαι επίσης υπόχρεος προς τον συ-νάδελφο Μαθηματικό Δημήτρη Καραγιαννάκη καθηγητή του ΤΕΙ Κρήτης για τηνεποικοδομητική κριτική του επί του κειμένου

vii

vii


Παρά την επίπονη προσπάθεια που καταβλήθηκε για μια επιμελημένη και κατάτο δυνατόν άρτια παρουσίαση του συγγράμματος αυτού είναι πιθανόν να έχουν πα-ραμείνει αβλεψίες και ασαφώς διατυπωμένα νοήματα Η επισήμανσή τους θα συμ-βάλει ουσιαστικά στη βελτίωση του κειμένου και γιrsquo αυτό ευχαριστώ εκ των προτέ-ρων όσους θα έχουν την καλοσύνη να μου γνωστοποιήσουν τις παρατηρήσεις τους

Ιωάννης Φραγκιαδάκης

Ηράκλειο 2003

Σχόλια του συγγραφέα για την ανατύπωση του βιβλίου

Κατά την προετοιμασία της πρώτης ανατύπωσης του συγγράμματος έγιναν αρκε-τές και σημαντικές επεμβάσεις στο κείμενο όχι μόνο στην εξάλειψη των ατελει-ών της πρώτης έκδοσης αλλά και σε προσθήκες τροποποιήσεις και αναδιατυπώ-σεις τμημάτων του κειμένου με σκοπό την ολοκληρωμένη βελτίωσή του Οι πά-ντα ευπρόσδεκτες παρατηρήσεις των συναδέλφων εκπαιδευτικών που είχαν τηνευγενή καλοσύνη να το διαβάσουν και να διατυπώσουν τις επισημάνσεις τους κα-θώς και εκείνες των φοιτητών-σπουδαστών που το χρησιμοποίησαν ως διδακτικόβοήθημα αποτέλεσαν αφετηρία και κατευθυντήρια γραμμή των διορθωτικώνεπεμβάσεών που έγιναν για την ανατύπωσή του Στα πλαίσια αυτά αισθάνομαιτην υποχρέωση να τους ευχαριστήσω εγκαρδίως για τη σημαντική βοήθεια πουμου προσέφεραν Ιδιαιτέρως θέλω να ευχαριστήσω το συνάδελφο και φίλο κ ΝΚαπετανάκη για τις πολύ εύστοχες παρατηρήσεις του

Έχω την ελπίδα η προσπάθεια αυτή να βρει το στόχο της που δεν είναι άλλοςβεβαίως από την ορθολογική προσέγγιση της γνώσης στα πλαίσια της εκπαι-δευτικής διαδικασίας


Φεβρουάριος 2006

viii

viii

ix

paraAcircUacuteEgraveAcircmacrfiIgraveAcircOacutemiddot

EισαγωγήH Φυσική επιστήμη 1

Eπιστήμη και Tεχνολογία 2

Oι Φυσικές ποσότητες Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI 3Πρότυπα μέτρα θεμελιώδών μεγεθών στο SI 4Mονάδες μεγεθών άλλων συστημάτων 9

1o Κεφάλαιο

Στοιχεία Μαθηματικής Ανάλυσης

11 Διανύσματα 13111 Oρισμοί 13

1112 Eφαρμοστό διάνυσμα 131113 Oλισθαίνον διάνυσμα 131114 Eλεύθερο διάνυσμα 141115 Mοναδιαίο διάνυσμα 141116 Συγγραμμικά διανύσματα 141117 Oρθοκανονικό σύστημα αξόνων 14

112 Πράξεις διανυσμάτων 14

12 Παράγωγος συνάρτησης 21121 Oρισμός (μια διάσταση) 21122 Φυσική σημασία παραγώγου 22123 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων μιας μεταβλητής 23124 Παραδείγματα εφαρμογής του ορισμού της παραγώγου 24

13 Oλοκλήρωση συνάρτησης 25131 Aόριστο ολοκλήρωμα 25132 Oρισμένο ολοκλήρωμα 26133 Φυσική σημασία του ολοκληρώματος 27

14 Tοπικά ακρότατα 28

Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο

Κίνηση (Στοιχεία από την κινηματική του υλικού σημείου)

21 Oρισμοί 37211 Yλικό σημείο 37212 Περιγραφή της κίνησης υλικού σημείου 37213 Eξίσωση τροχιάς 38

22 Γραμμικά μεγέθη κινηματικής 38221 Tαχύτητα 38222 Eπιτάχυνση 41

23 Γωνιακά μεγέθη 43231 Γωνιακή ταχύτητα 43232 Γωνιακή επιτάχυνση 44233 Mονάδες γραμμικών και γωνιακών μεγεθών στο SI 44

24 Παραδείγματα απλών κινήσεων 4525 Γενική επίπεδη κίνηση υλικού σημείου 4926 Kίνηση υλικού σημείου σε ομογενές πεδίο βαρύτητας 50Περίληψη ορισμών και σχέσεων του 2ου κεφαλαίου 53Ασκήσεις 56

3o Κεφάλαιο

Δυνάμεις και Πεδία

31 Γενικά περί δυνάμεων 61311 Oρισμός της δύναμης 61312 Γενική κατάταξη των δυνάμεων 62313 H βαθύτερη αιτία των δυνάμεων 64314 Aποτελέσματα δράσης των Bαρυτικών και των Hλμαγνητικών δυνάμεων 65315 Tρόποι διάκρισης των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων 66

32 Θεμελίωση της Μηχανικής από τον Νεύτωνα 68321 Aξιώματα Δυναμικής (ή αξιώματα του Nεύτωνα) 69322 Γενικότερη σχέση δύναμης και μεταβολής κινητικής

κατάστασης ενός σώματος 78323 H διατήρηση της ορμής 79

3231 Ελαχιστοποίηση των δυνάμεων κρούσης 81

33 Ισορροπία υλικού σημείου 84331 Στατική ισορροπία υλικού σημείου 84332 Hρεμία υλικού σημείου 84

34 Κεντρομόλος δύναμη Μια ειδική συνθήκη 84

35 Αναλυτική παρουσίαση μερικών νόμων δυνάμεων 86

x


351 Tριβή 86

3511 Tριβή μεταξύ στερεών σωμάτων 86

3512 Tριβή στα ρευστά 90

3513 Kίνηση σώματος μέσα σε ρευστό 92

352 Παραμόρφωση σώματος - Δύναμη Hooke 93

353 Δυνάμεις βαρύτητας 97

3531 O Nόμος της παγκόσμιας έλξης 97

3532 O νόμος της βαρύτητας σε πραγματικά σώματα -

O ρόλος του σχήματός τους 98

3533 O νόμος του Nεύτωνα σε σφαιρικά ομογενή κατά

φλοιούς σώματα 100

36 Πεδία 101361 Bασικοί ορισμοί 101

3611 H έννοια του πεδίου - Tο χαρακτηριστικό πεδιακό μέγεθος 101

3612 Tο δυναμικό ένας άλλος τρόπος περιγραφής του πεδίου 103

3613 Γραφικοί τρόποι περιγραφής του πεδίου 104

362 Tο πεδίο βαρύτητας 107

3621 Ένταση του πεδίου βαρύτητας 107

3622 Ένταση πεδίου βαρύτητας - επιτάχυνση βαρύτητας 107

3623 Ένταση του πεδίου βαρύτητας στο εσωτερικό σφαιρικού

ομογενούς σώματος 119

3624 Παλιρροϊικά φαινόμενα - Πλημμυρίδα και άμπωτη 109

363 Tο ηλεκτρικό πεδίο 111

3631 O νόμος του Coulomb 112

3632 Ένταση ηλεκτρικού πεδίου 113

3633 Σύνθετο ηλεκτρικό πεδίο - επίπεδος πυκνωτής 113

3634 Σύγκριση ηλεκτρικών και βαρυτικών δυνάμεων 116

3635 H συμπεριφορά της ύλης μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο 118

364 Tο μαγνητικό πεδίο 126

3641 Γενικά 126

3642 Kίνηση ηλεκτρικών φορτίων σε ομογενές μαγνητικό

πεδίο Φασματογράφος μαζών 127

3643 Tο φαινόμενο Hall 129

3644 Ένταση μαγνητικού πεδίου σε ειδικές απλές περιπτώσεις 131

37 Παραδείγματα λύσης προβλημάτων δυναμικής υλικού σημείου 134371 Tρόπος εργασίας για τη λύση προβλημάτων δυναμικής υλικού σημείου 134

372 Λυμένα προβλήματα 135

Περίληψη ορισμών και σχέσεων του 3ου κεφαλαίου 146

Ασκήσεις 150

xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο

Έργο - Ενέργεια

41 Έργο 153

42 Ειδικές περιπτώσεις υπολογισμού έργου 156421 Έργο σταθερής δύναμης 156

4211 Xαρακτηριστικές περιπτώσεις υπολογισμού έργουσταθερής δύναμης 157

422 Έργο τριβής 159423 Έργο δύναμης μαγνητοστατικού πεδίου 160424 Έργο δύναμης ελατηρίου 163

43 Ισχύς 16344 Ενέργεια 16945 Θεώρημα Μεταβολής Κινητικής Ενέργειας-Έργου (ΘΜΚΕ) 18346 Διατήρηση της ενέργειας 18647 Συντηρητικές και μη συντηρητικές δυνάμεις 18648 Συντελεστές απόδοσης - επίδοσης 18849 Λυμένα προβλήματα 191



5o Κεφάλαιο

Ταλαντώσεις

51 Γενικά 22352 Περιοδικό Φαινόμενο - Ορισμοί 22453 Απλή αρμονική ταλάντωση 225

531 Oρισμός 225532 Tαχύτητα του κινητού στην απλή αρμονική ταλάντωση 226533 Eπιτάχυνση κινητού στην απλή αρμονική ταλάντωση 227534 Δύναμη στο κινητό στην απλή αρμονική ταλάντωση 227535 Δυναμική ενέργεια απλού αρμονικού ταλαντωτή 227536 Oλική ενέργεια α α ταλαντωτή (Mηχανική ενέργεια) 228

54 Διαφορική εξίσωση της αατ 229

55 Aναλυτική μελέτη χαρακτηριστικών αρμονικών ταλαντώσεων 230

56 Ταλαντώσεις με απόσβεση 242561 Φθίνουσες ταλαντώσεις 242562 Tαλαντώσεις σε περιβάλλον τριβής 243563 Eξαναγκασμένες ταλαντώσεις 245

5631 H ύλη σε εναλλασσόμενο ηλεκτρικό πεδίο 248

xii


57 Αναλυτική μελέτη των ταλαντώσεων παρουσία τριβής 250571 Φθίνουσες ταλαντώσεις 250

5711 Δυναμική εξέταση 2505712 Eνεργειακές απώλειες ανά περίοδο ταλάντωσης 2535713 Συντελεστής ποιότητας ταλαντωτικού συστήματος Qπ 255

572 Eξαναγκασμένες ταλαντώσεις 2575721 Mελέτη δυναμικής κατάστασης 2575722 Mέση ισχύς που απορροφά ο ταλαντωτής στην εξαναγκασμένη

ταλάντωση 2625723 Eύρος συντονισμού ισχύος και πειραματικός προσδιορισμός

του συντελεστή ποιότητας 263

58 Εφαρμογές 265581 Eξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις 265

582 Bελτίωση του συντελεστή ισχύος (συνφ) 267

583 Πειραματικός προσδιορισμός του Qπ κυκλώματος RLC 268

59 Σύνθεση ταλαντώσεων 270591 Σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης 270

592 Σύνθεση δυό αρμονικών ταλαντώσεων καθέτων μεταξύ τους 279

510 Ανάλυση Fourier 282



6o Κεφάλαιο

Στερεό σώμα

61 Γενικά 299

62 Κινηματική στερεού σώματος 299

63 Δυναμική στερεού σώματος 302631 Στροφορμή στερεού σώματος ως προς το σημείο 302

632 Pοπή αδράνειας στερεού σώματος ως προς άξονα 303

633 Θεώρημα Steiner ή θεώρημα των παραλλήλων αξόνων 306

634 Σχέση μεταξύ της στροφορμής L του στερεού σώματος και της γωνιακής ταχύτητάς του ω 3076341 H σημασία των κυρίων αξόνων αδράνειας 309

635 Kινητική ενέργεια 310

636 Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας-έργου για το στερεό σώμα 311

637 Pοπή δύναμης 311

638 Σχέση ροπής δυνάμεων και στροφορμής 3146381 Διατήρηση στροφορμής 3176382 Iσορροπία στερεού σώματος 318

xiii

xiii

xiv


64 Κέντρο μάζας - Κέντρο βάρους 319Περίληψη ορισμών και σχέσεων του 6ου κεφαλαίου 32165 Λυμένα προβλήματα 324Ασκήσεις 334

7o Κεφάλαιο

Θερμικά φαινόμενα

71 Θερμική κίνηση 34172 Εσωτερική ενέργεια σώματος 34373 Θερμική αλληλεπίδραση - θερμική ισορροπία 34574 Θερμοδυναμική - Θερμοδυναμική ισορροπία 34675 Μηδενικό θερμοδυναμικό αξίωμα ή μηδενικός νόμος της θερμοδυναμικής 34776 Θερμοκρασία 348

761 Πρώτη προσέγγιση μέσω του μηδενικού νόμου 348

762 H θερμοκρασία και το μοντέλο των ενεργειακών σταθμώνTο απόλυτο μηδέν 349

763 Tυπικά χαρακτηριστικά του σώματος αναφοράς για τη δημιουργίαμιας θερμοκρασιακής κλίμακας 351

764 Θερμοκρασιακές κλίμακες 352

77 Έργο 353771 Γενικά 353772 Yπολογισμός μακροσκοπικού έργου 355

78 Έργο και θερμότητα 356

79 Πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα 358791 Yπολογισμός Θερμοδυναμικών μεγεθών κατά την ισοβαρή μεταβολή 360

710 Δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα 361

711 Θερμότητα και εντροπία 364

712 Θερμικές μηχανές και 2ος νόμος θερμοδυναμικής 368

713 Θεώρημα Carnot 369

714 Κυκλικές μεταβολές στις θερμικές μηχανές 370

715 Στατιστική και εντροπία 3767151 Xρονική εξέλιξη της εντροπίας αποκλεισμένου συστήματος

Στατιστικός ορισμός θερμοκρασίας 3797152 Tρίτος νόμος της θερμοδυναμικής 3807153 H ενεργειακή υποβάθμιση του σύμπαντος 381

716 Θερμική διαστολή 3827161 Διαστολή στα πλαστικά 3867162 Mια απλουστευμένη ερμηνεία της διαστολής 386

xiv


717 Ειδική θερμότητα - θερμοχωρητικότητα 3887171 Θερμοχωρητικότητα 390

718 Αλλαγές φάσης 3927181 Tήξη - Πήξη 393

7182 Eξαέρωση - Yγροποίηση 39571821 Eξαέρωση παρουσία άλλου αερίου 396

7183 Bρασμός 39771831 Επίδραση της πίεσης στο σημείο βρασμού ενός υγρού 398

7184 Λανθάνουσα θερμότητα εξαέρωσης31 4017185 Eξάχνωση - Στερεοποίηση 401

719 Το τριπλό σημείο 402

720 Τρόποι διάδοσης της ενέργειας με τη μορφή θερμότητας 4047201 Διάδοση με αγωγή 405

72011 Tο φωνόνιο 40772012 Θερμομόνωση 408

7202 Διάδοση με μεταφορά ύλης ή διάδοση με ρεύματα 40972021 Aντιμετώπιση θερμικού φόρτου με κυκλοφορία ψυκτικού υγρού 412

7203 Διάδοση με μεταβίβαση 41372031 Pοή ενέργειας μέσα από ομογενές τοίχωμα 41572032 Pοή ενέργειας μέσα από σύνθετο τοίχωμα 417

7204 Διάδοση ενέργειας με ακτινοβολία 41972041 Γενικά 41972042 H ακτινοβολία των δομικών λίθων της ύλης 42272043 Nόμος μετατοπίσεων των μεγίστων ή νόμος του Wien 42872044 Nόμος των Stefan και Boltzmann 42972045 Oλικά εκπεμπόμενη ισχύς σε περιβάλλον θερμοκρασίας Tπ 43072046 Tο πραγματικό σώμα 431

7205 Oλικά εκπεμπόμενη ισχύς από πραγματικό σώμα- Φαιό σώμα 43372051 Eκπομπή ακτινοβολίας από φαιό σώμα

σε περιβάλλον θερμοκρασίας Tπ 43472052 Όργανα μέτρησης της θερμοκρασίας των σωμάτων

με βάση την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία τους 435

721 Νόμος του Νεύτωνα για το ρυθμό μετάβασης των σωμάτων στη θερμική ισορροπία με το περιβάλλον τους 438

722 Το φαινόμενο του θερμοκηπίου 440



xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο

Ανανεώσιμες πηγές ενέργειας

81 Οι πηγές ενέργειας 459811 Οι συμβατικές πηγές ενέργειας 459812 Οι ανανεώσιμες πηγές ενέργειας 461

82 Η φωτοβολταϊκή ηλεκτρική ενέργεια 463821 O Hλιος ως πηγή ενέργειας 463822 Eκμετάλλευση της ηλιακής ακτινοβολίας 465

Παράρτημα A 473Παράρτημα B 481Παράρτημα Γ 484

Bιβλιογραφία 487

Eυρετήριο 489

xvi

1

EIΣAΓΩΓH

H ordm˘UcircEgraveIcirclsaquo AcircEgraveUcircUgravelsaquoIgraveEuml

HΦυσική αποτελεί τη βάση και το θεμέλιο της νοητικής προσπάθειας του αν-θρώπου για την κατανόηση του φυσικού του χώρου και της παρουσίας του σrsquo

αυτόν Περιλαμβάνει το σύνολο των μέχρι σήμερα γνώσεών μας για το περιβάλλονμας το χώρο και το χρόνο την ύλη και την ενέργεια Kάθε τι που συμβαίνει στη φύ-ση στο σύμπαν αποτελεί ερέθισμα για τον ανθρώπινο νου Διεγείρει την έμφυτηνοημοσύνη του ανθρώπου και ενεργοποιεί την συσσωρευμένη εμπειρία του μεστόχο την ικανοποίηση της πνευματικής του δίψας η οποία ευτυχώς μένει συνεχώςακόρεστη Tα φυσικά φαινόμενα είναι η πρόκληση για την ακατάπαυστη αναζήτη-ση της ερμηνείας της δημιουργίας του σύμπαντος

H Φυσική επιστήμη αποτελεί καρπό συλλογικής πνευματικής προσπάθειας χι-λιάδων σκαπανέων της O κάθε ένας απrsquo αυτούς πρόσθεσε με μεγάλο κόπο καιπολλές θυσίες το δικό του πνευματικό λιθαράκι δημιουργώντας κίνητρα και προ-ϋποθέσεις για τους επόμενους Συνέβαλλαν ο καθένας χωριστά και διαχρονικάόλοι μαζί στη γιγάντια προσπάθεια της διεύρυνσης του νοητού ορίζοντα τηςγνώσης Kάθε σημαντικό βήμα προς τα εμπρός έγινε γιατί κάποιοι άλλοι προη-γουμένως εδραίωσαν με την προσφορά τους το μέχρι τότε οικοδόμημα την νόη-σης O Nεύτωνας εκφράζοντας αυτή την αλήθεια για τη σωρευτική αξιοποίησητης γνώσης δήλωνε με μετριοφροσύνη ldquoπροχώρησα πατώντας στους ώμους αυ-τών των γιγάντωνrdquo αναφερόμενος στους προγενέστερούς του επιστήμονες

H επιστημονική προσέγγιση των φαινομένων έχει στόχο αφενός τον χωρο-χρονικό προσδιορισμό τους αφετέρου τη διερεύνηση και κατανόηση της αιτιοκρα-τικής προέλευσής τους Συνίσταται στην καθιέρωση μεθοδικών βημάτων για τηναδιαμφισβήτητη επίτευξη του στόχου αυτού H παρατήρηση ενός φαινομένου γεν-νά νοητικές εργασίες ερμηνείας του Mε αφετηρία τις πιο απλές και προσιτές στονάνθρωπο έννοιες τις θεμελιώδεις ποσότητες γίνεται η ποσοτική περιγραφή τουφαινομένου H διεργασία ερμηνείας του ξεκινά με την αποδοχή λιτών και ολιγά-

2

E EgraveUcircmiddotAacuteÂacutelsaquo

ριθμων αξιωματικών προτάσεων (αξιωμάτων) οι οποίες δημιουργούν τη βάσηδιατύπωσης σειράς προϋποθέσεων (υπόθεση) που καθορίζουν τα πλαίσια μέσαστα οποία επιχειρείται η ερμεινεία του Tο σύνολο των υποθετικών προτάσεωνσυνθέτουν την εικόνα ενός προτύπου (μοντέλου) Για την εμπέδωση του φαινομέ-νου θα απαιτηθεί πιθανότατα η επανάληψή του με έλεγχο των συνθηκών που κα-θορίζουν το τελικό αποτέλεσμα (πείραμα) σε ειδικά διαμορφωμένο και εξοπλι-σμένο χώρο (εργαστήριο) Eφόσον το αποτέλεσμα αυτό διακριβωμένα περιγράφειτο φυσικό φαινόμενο η υπόθεση αποκτά ιδιαίτερη ισχύ και αναγορεύεται πλέον σεθεωρία Mια ισχυρή θεωρία ερμηνεύει το σύνολο των παρατηρουμένων φαινομέ-νων και φυσικά υπερκαλύπτει τα φαινόμενα που ερμήνευε η παλαιότερη Μερικέςφορές όμως επικαλούμαστε θεωρίες που έχουν ήδη υπερκεραστεί από νεότερεςεπειδή αποτελούν απλούστερη εφαρμογή της νεότερης χωρίς το αποτέλεσμά της νααποκλίνει καθοριστικά από το πραγματικό Παραδείγματος χάριν για την πλειο-νότητα των επίγειων εφαρμογών χρησιμοποιείται ακόμα η Θεωρία του Nεύτωνα ανκαι έχει ξεπεραστεί από τις θεωρίες της Σχετικότητας Ειδικής και Γενικής που δια-τυπώθηκαν από τον Einstein στις αρχές του προηγούμενου αιώνα

H ολοκλήρωση της περιγραφής των φυσικών φαινομένων και των νόμωνστους οποίους υπακούουν έρχεται μέσα από την αυστηρή λιτή και κομψή γλώσ-σα των Mαθηματικών H Φυσική περιγράφει τη φύση μέσα από τα MαθηματικάH Mαθηματική επιστήμη είναι κατά βάση η γλώσσα επικοινωνίας μεταξύ του αν-θρώπου και της φύσης του πνεύματος και της ύλης Δίδει τη δυνατότητα όχι μό-νο να περιγράφουμε τα φαινόμενα εκείνα που άμεσα εμπίπτουν στις αισθήσειςμας αλλά και να προβλέπουμε άλλα που θα προκύψουν μελλοντικά με την εξε-λικτική βελτίωση των δυνατοτήτων των πειραματικών οργάνων Παρέχει την ευ-χέρεια επικοινωνίας με χώρους τόσο των φυσικών διαστάσεων (Tριών χωρικώνκαι μίας χρονικής) όσο και των αφηρημένων ν διαστάσεων Συμπερασματικά οιδυο αυτές επιστήμες όσο κι αν τις διαχωρίζουμε για πρακτικούς και μόνο λόγουςείναι στην ουσία μια η επιστήμη που περιγράφει τη Φύση

EEgraveUcircUgravelsaquoIgraveEuml IcircmiddotEgrave TAcircmacrOacuteOcircIumlOcircAacutersaquomiddot

Διαχωρίζουμε εννοιολογικά τις δύο αυτές περιοχές πνευματικής δραστηριότηταςτην επιστημονική από την τεχνολογική H πρώτη έχει στόχο να δίδει απαντήσεις αι-τιοκρατικής μορφής στα ερωτήματα που προκύπτουν κατά την εξέταση των φαινο-μένων καταλήγοντας σε αναλυτικούς νόμους που με τη σειρά τους περιγράφουν τοφαινόμενο δηλαδή τη συμπεριφορά της φύσης H προσπάθεια αυτή περιλαμβάνειεπίσης γενικότερου ενδιαφέροντος ερωτήματα που αφορούν πχ στη δημιουργία

2


του σύμπαντος ή την παρουσία του ανθρώπου σrsquo αυτό H Tεχνολογία απrsquo την άλλημεριά υλοποιώντας τα γενικά και ειδικά συμπεράσματα της επιστήμης συμβάλειστη λύση των πρακτικών προβλημάτων της καθημερινής διαβίωσης με στόχο τηνβελτίωση της ποιότητας της ζωής του ανθρώπου Πχ μέσα από την τεχνολογικήβελτίωση των Iατρικών οργάνων και συσκευών ή τη χρήση νέων σύγχρονης τε-χνολογίας δόθηκε η δυνατότητα να νικηθούν ανίατες μέχρι τότε ασθένειες και πε-ριορίστηκαν δραστικά οι επιπτώσεις άλλων έτσι ώστε σήμερα ο μέσος όρος ζωήςτου ανθρώπου να ξεπερνά τα 70 χρόνια H εκρηκτική ανάπτυξη της τεχνολογίας τωνημιαγωγών άλλαξε ριζικά και καθοριστικά όλο το φάσμα των δραστηριοτήτων μαςσrsquo ότι αφορά την επικοινωνία την εκπαίδευση τα επιστημονικά εργαλεία και τόσαάλλα που διευκολύνουν και βελτιώνουν την καθημερινή ζωή μας Παρά ταύτα πρέ-πει να αναγνωρίσουμε ότι η τεχνολογική εξέλιξη εγκυμονεί συχνά τον κίνδυνο τηςαρνητικής χρησιμοποίησης των αποτελεσμάτων της πολλάκις για ικανοποίησηιδιοτελών σκοπών Aυτό υποσκάπτει και ναρκοθετεί κάθε αρχική καλή πρόθεση καιεπιδίωξη H αύξηση πχ του μέσου όρου ζωής του ανθρώπου σε συνδυασμό με τηναύξηση του πληθυσμού στον πλανήτη μας απαιτεί αντίστοιχη αύξηση των προϊό-ντων διατροφής H χρησιμοποίηση χημικών λιπασμάτων και φυτοφαρμάκων (τε-χνολογικά προϊόντα) έλυσε προσωρινά το πρόβλημα προκαλώντας όμως ισχυρά αρ-νητικές επιπτώσεις στο οικολογικό μας σύστημα Tα τεχνολογικά αυτά προϊόντααπό βοηθήματα του ανθρώπου μετατρέπονται σε απειλή για την υγεία και κατrsquo επέ-κταση την διαβίωσή του καθώς και των υπολοίπων έμβιων οργανισμών Oμοίως οιτελευταίες εξελίξεις στον τομέα της Bιολογίας που αφορούν στην επέμβαση στηδομή του DNA και στη δυνατότητα κλωνοποίησης ζώων και ανθρώπων φαίνεται ναανοίγουν νέους δρόμους για την αντιμετώπιση των ασθενειών που μαστίζουν τηνανθρωπότητα γεννώντας όμως ταυτόχρονα υπόνοιες για πιθανή εκμετάλλευση τουανθρώπου απrsquo τον άνθρωπο Aπαιτείται λοιπόν μεγάλη προσοχή στην υλοποίησητων επιτευγμάτων της επιστήμης καθώς και συνεχής έλεγχος των παραμέτρων εκεί-νων που καθορίζουν τη λεπτή και εύθραυστη ισορροπία των ιδανικών συνθηκώνδιαβίωσης όλων των κατοίκων του φυσικού μας περιβάλλοντος

OEgrave ordm˘UcircEgraveIcirccurren˜ OcircUcircfiUgraveEumlUgraveAcirc˜ centEgraveAcircıOacutecurren˜ tradeDaggerUcircUgraveEumlIgravemiddot ordfOcircOacuteiquestpermilÔacute SI

ordm˘UcircEgraveIcirccurren˜ OcircUcircfiUgraveEumlUgraveAcirc˜

Eίναι ποσότητες που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή των φυσικών φαι-νομένων Διακρίνονται με σχετικά αυθαίρετο τρόπο σε θεμελιώδεις και πα-ράγωγες Θεμελιώδεις ποσότητες για ένα συγκεκριμένο σύστημα μονάδωνείναι ο ελάχιστος αριθμός ποσοτήτων που είναι απαραίτητες για να οριστούν

3

3

4


όλες οι άλλες φυσικές ποσότητες που γιrsquo αυτό το λόγο λέγονται παράγωγεςTο 1960 κατά τη διάρκεια του Διεθνούς Συνεδρίου Mέτρων και Σταθμών πουέγινε στο Παρίσι καθιερώθηκε το Διεθνές Σύστημα μονάδων με αρκτικόλεξοSI από τη Γαλλική έκφραση Systegraveme International το οποίο χρησιμοποιείταιπλέον κατά κανόνα Tο σύστημα αυτό έχει ως θεμελιώδη μεγέθη τα επόμεναεπτά των οποίων οι αντίστοιχες μονάδες τίθενται δίλα τους μέσα σε παρενθέ-σεις Mήκος (1 m meter) μάζα (1 kg kilograme) ποσότητα ύλης (1 mol) χρό-νος (1 s second) ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος (1 A Ampere) θερμοκρα-σία (1 K Kelvin) και φωτοβολία (1 cd Candela) Παράγωγες μονάδες στο σύ-στημα αυτό είναι η δύναμη (1 N Newton) η ροπή δύναμης (1 NOslashm) η ενέρ-γεια και το έργο (1 J Joule) η ισχύς δύναμης (1 W Watt) το φορτίο (1 CCoulomb) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (1 NC) η ένταση του μαγνητικούπεδίου (1 T Tesla) κα

Oι μονάδες των θεμελιωδών μεγεθών ενός συστήματος αποτελού τα πρότυπαμέτρα και ορίζονται έτσι ώστε να πληρούν τις βασικές προϋποθέσεις μιας προσι-τής και αμετάβλητης κατασκευής

Προσιτό μέτρο σημαίνει απλό στην κατασκευή και εύκολο στη χρήση του

Aμετάβλητο σημαίνει ότι το μέτρο αυτό προσδιορίζεται με βάση πειραματικάαξιοποιήσιμες ιδιότητες που δίδουν τη δυνατότητα εύκολα να επανακατα-σκευαστεί με την ίδια αρχική ακρίβεια ακόμα και στην περίπτωση που κατα-στραφεί

paraUacutefiUgrave˘middot IgravecurrenUgraveUacutemiddot ıAcircIgraveAcircIumlEgraveOgravepermilOgraveOacute IgraveAcircAacuteAcircıOgraveOacute UcircUgraveOcirc SI

α Πρότυπο μέτρο μήκους 1 μέτρο (1 m) Φυλάσσεται στο Διεθνές ΓραφείοMέτρων και Σταθμών (ΔΓMΣ) στις Segravevres κοντά στο Παρίσι H επιλογήτου συγκεκριμένου μήκους έγινε με βάση τις διαστάσεις του χώρου κίνησηςκαι διαβίωσης του ανθρώπου καθώς και τις ανάγκες που προκύπτουν από τιςκαθημερινές ενασχολήσεις του

Για να καταστεί αμετάβλητο το μέτρο έγινε αντιστοιχία του μήκους του μεαριθμό μηκών κύματος ορισμένης ακτινοβολίας Συγκεκριμένα αναφέρεται ηακτινοβολία που εκπέμπεται από τα διεγερμένα άτομα του αερίου 36

86Kr όταναυτά αποδιεγείρονται μεταξύ συγκεκριμένων ενεργειακών σταθμών δηλαδήκατά την πτώση του ηλεκτρονίου από την 5d στην 2p υποστοιβάδα H αντι-στοιχία εκφράζεται από τη σχέση

1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4


trademacrlsaquoIgravemiddot 1 TOcirc UacutefiUgrave˘Ocirc IgravecurrenUgraveUacuteOcirc IgravelsaquoIcircOcirc˘˜ OcircUacutersaquoUcircUgraveEumlIcircAcirc middotUacutemacrEgraveIcirciquest ˆ˜ Euml middotfiUcircUgravemiddotUcircEuml IgraveAcircUgravemiddotIacuteDagger permilDaggerOcirc macrmiddotUacutemiddotAacuteOgraveOacute iquestOacuteˆ UcircAcirc IgraveEgravemiddot Uacuteiquest-

sbquopermilOcirc middotfi IcircUacuteiquestIgravemiddot Pt-Ir UcircAcirc OcircUacuteEgraveUcircIgravecurrenOacuteAcirc˜ Ucirc˘OacuteılsaquoIcircAcirc˜

Σύγχρονος ορισμός του προτύπου μέτρου μήκους Tο 1983 αναθεωρήθηκεο ορισμός του μέτρου μήκους με βάση την παγκόσμια σταθερά της EιδικήςΘεωρίας της Σχετικότητας του Einstein δηλαδή την ταχύτητα του φωτόςστο κενό στην οποία δίδεται η ακριβής τιμή c=299792458 ms Σύμφωνα μετην νέα διατύπωση

1 m είναι η απόσταση που διανύει το φως στο κενό μέσα σε 1299792458του προτύπου δευτερολέπτου όπως αυτό ορίζεται με βάση το ατομικό ρολόϊ

β Πρότυπο μέτρο χρόνου 1 δευτερόλεπτο (1s) Kάθε περιοδικό φαινόμενομπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του σχετικού χρόνου δηλαδή χρο-νικών διαστημάτων Πχ η περιστροφή της γης γύρω από τον άξονα της ή ηπεριφορά της γύρω από τον ήλιο ή η περιοδική μεταβολή της ενέργειας ενόςμορίου μεταξύ δύο ενεργειακών καταστάσεών του όπως συμβαίνει πχ στομόριο της αμμωνίας Bασική μονάδα χρόνου αποτελεί το ένα δευτερόλεπτο(1 s) Xρησιμοποιήθηκαν μέχρι σήμερα οι επόμενοι ορισμοί του

i) Mε βάση την περιστροφή της γης

1 s = 86

1

400 MHH (2)

MHH = Mέση Hλιακή Hμέρα = ο μέσος χρόνος μεταξύ δυό διαδοχικώνμεσουρανήσεων του ήλιου στον ίδο τόπο

ii) Mε βάση την περιφορά της γης περί τον ήλιο (Xρόνος των αστρονομι-κών εφημερίδων)

1 s = 315569

1

259747 του τροπικού1 έτους 1900 (3)

1m

Pt-Ir

5

5

1 Tροπικό έτος O χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του ηλίου από το σημείο της εαρινής ιση-μερίας (γ)

6


trademacrlsaquoIgravemiddot 2 H AcircUgravelsaquoUcircEgravemiddot IcircmiddotEgrave EumlIgraveAcircUacutelsaquoUcircEgravemiddot UgraveUacuteOcircmacrEgraveiquest UgraveOcirc˘ lsaquoIumlEgraveOcirc˘ iquestOacuteˆ UcircUgraveEumlOacute Ocirc˘UacuteiquestOacuteEgravemiddot UcircEcircmiddotrsaquoUacutemiddot H AcircIcircIumlAcircEgraveUgraveEgraveIcirclsaquo AcircrsaquoOacutemiddotEgrave Euml UacutemiddotAacuteIgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo

UgraveUacuteOcircmacrEgraveiquest UgraveEuml˜ AacuteEuml˜ AacuteDaggerUacuteˆ middotrsquo UgraveOcircOacute lsaquoIumlEgraveOcirc degEgravemiddot UgraveEumlOacute Ocirc˘UacuteiquestOacuteEgravemiddot UcircEcircmiddotrsaquoUacutemiddot middotOcircUgraveAcircIumlAcircrsaquo UgraveEumlOacute EcircmiddotEgraveOacuteOcircIgravecurrenOacuteEuml AcircUgravelsaquoUcircEgravemiddot UgraveUacuteOcircmacrEgraveiquest UgraveOcirc˘ lsaquoIumlEgraveOcirc˘ ˆ˜

UacuteOcirc˜ UgraveEumlOacute AacuteEuml

H αναφορά στο συγκεκριμένο έτος 1900 καθιστά το 1 s αμετάβλητο Ένατυπικό έτος περιλαμβάνει κατά μέσο όρο 36525 ημέρες λαμβανομένωνυπόψη των δίσεκτων ετών δηλαδή αποτελείται από

36525yen86400 s = 31557600 s

iii) Σύγχρονος ορισμός του 1 s Tο ατομικό ρολόι του Kαισίου 13355Cs Aπό

το 1967 το δευτερόλεπτο καθορίζεται με βάση τις ηλεκτρονικές μεταβά-σεις του ατόμου του Kαισίου μεταξύ των δύο πολύ κοντινών ενεργειακάκαταστάσεων spin (ομοπαράλληλα και αντιπαράλληλα spins) με μήκοςκύματος στην ζώνη των μικροκυμάτων και μάλιστα με συχνότηταν=9192631770 Hz Σύμφωνα λοιπόν με τις σημερινές απαιτήσεις ακρι-βείας ως προς το χρόνο

1 s ορίζεται ως ο χρόνος 9192631770 περιόδων της μικροκυματικής ακτι-νοβολίας spin του ατόμου του Kαισίου 133

55Cs συχνότητας 9192631770 Hz

H ακρίβεια καθορισμού του είναι καλύτερη από 1 προς 1011 δηλαδή τοατομικό ρολόι Kαισίου χάνει 1 s σε περισσότερο από 3000 χρόνια(asymp101131557600) Eπιπλέον ένα πολύ σημαντικό πλεονέκτημα αυτής

γ(Eαρινή ισημερία)

Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος

Θερινό ηλιοστάσιο

Φαινομένη ημερήσια τροχιά του Ήλιου

Γη235deg

Xειμερινό ηλιοστάσιο

(Φθινοπωρινή ισημερία)γ

6


της επιλογής έγκειται στην εξαιρετική αξιοπιστία του συγκεκριμένου ρο-λογιού του οποίου η λειτουργία μένει ανεπηρέαστη από μεταβολές τωνεξωτερικών παραγόντων όπως πχ της θερμοκρασίας των καιρικών συν-θηκών των θέσεων του ήλιου κλπ ικανοποιουμένης της απαίτησης τουαμετάβλητου μέτρου

γ Πρότυπο μέτρο μάζας 1 χιλιόγραμμο (1 kg)Eίναι ένας κύλινδρος από κράμα PtndashIr (90 Ptκαι 10 Ir) με διάμετρο 39 mm και ύψος 39mm Φυλάσσεται στο ΔΓMΣ στο ΠαρίσιΣτην ατομική Φυσική χρησιμοποιείται η ατομι-κή μονάδα μάζας (1amu) που ισούται με το112 της μάζας του ατόμου του ισοτόπου του άν-θρακα 12C H σχέση ισοδυναμίας με το kg είναι

(4)

δ Πρότυπη μονάδα ποσότητας ύλης Το γραμμομόριο (mole) μιας καθαρήςουσίας ορίζεται ως η ποσότητά της που περιέχει τόσες στοιχειώδεις οντότητες(άτομα μόρια ιόντα ηλεκτρόνια ή άλλες οντότητες ύλης) όσα άτομα άνθρα-κα περιέχονται σε 0012 kg άνθρακος 12 12C Η μονάδα γραμμομορίου συμ-βολίζεται με 1 mol Το πλήθος των στοιχειωδών οντοτήτων στο mole καθαρήςουσίας ονομάζεται αριθμός του Avogadro NΑ= 6022045yen1023 σωματίδιαmole1 mole αλουμινίου (Al) 1 mole καθαρού νερού (Η2Ο) ή 1 mole αερίου αργού(Ar) περιέχουν όλα τον ίδιο αριθμό ατόμων ή μορίων ίσο με NA

ε Πρότυπη μονάδα θερμοκρασίας 1 Kelvin (1 K) Eίναι η μονάδα μέτρη-σης της θερμοκρασίας στην επιστημονική ή θερμοδυναμική κλίμακα ή κλί-μακα Kelvin Η θερμοκρασία Τ στην κλίμακα αυτή καθορίζεται από τησχέση

Τ = 27316 Oslash Χ

Χ

τρ (5)

όπου X Xτρ οι θερμομετρικές παράμετροι της ουσίας του θερμομέτρου (πχη ένδειξη ενός θερμοηλεκτρικού ζεύγους ή η πίεση ενός αερικού θερμομέ-τρου) στις θερμοκρασίες Τ και Ττρ όπου Ττρ η θερμοκρασία του τριπλούσημείου του νερού (sect719) Το μηδέν της κλίμακας Kelvin αντιστοιχεί στοαπόλυτο μηδέν η ένδειξη 27315 Κ στην κατάσταση συνύπαρξης υγρού νερούκαι πάγου (0 degC) σε πίεση 1 Atm και η ένδειξη 37315 Κ στην κατάσταση συ-

1 amu = 166yen10ndash27 kg

7

7

39 mm

39 mmPtndashIr

trademacrlsaquoIgravemiddot 3 TOcirc UacutefiUgrave˘Ocirc macrEgraveIumlEgravefiAacuteUacutemiddotIgraveIgraveOcirc (kg)

8


νύπαρξης υγρού νερού και ατμών του σε πίεση 1 Atm Στο τριπλό σημείο τουνερού Ττρ το οποίο αφορά στην κατάσταση συνύπαρξης ατμών υγρού καιπάγου του καθαρού νερού σε πίεση 1 Atm αποδίδεται η ένδειξη θερμοκρα-σίας 27316 Κ Σύμφωνα μrsquo αυτή την αντιστοιχία η μονάδα της κλίμακαςKelvin στο σύστημα SI ορίζεται ως εξής

1 Kelvin 1 Κ είναι το 127316 της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τρι-πλού σημείου του νερούraquo

στ Πρότυπη μονάδα έντασης ηλε-κτρικού ρεύματος 1 Ampere(1 A) 1 A είναι η ένταση ηλε-κτρικού ρεύματος το οποίο διαρ-ρέοντας δυο παράλληλους με-ταλλικούς αγωγούς αμελητέαςδιατομής που απέχουν 1 m δη-μιουργεί ελκτική ή απωστική δύ-ναμη (ανάλογα με τις φορές τωνπαραλλήλων ρευμάτων) ίση με2yen10ndash7 N ανά μέτρο αγωγού

ζ Πρότυπη μονάδα Φωτοβολίας(1 cd) Η φωτοβολία αποτελείχαρακτηριστικό μιας φωτεινήςπηγής και αφορά στην φωτεινήροή ή ισχύ (lm) που εκπέμπεταιαπό την επιφάνειά της προς ορι-σμένη κατεύθυνση μέσα στη μο-νάδα της στερεάς γωνία (1 sr)Μέχρι το 1979 η μονάδα της φω-τοβολίας 1 candela οριζόταν ωςτο 160 της ισχύος του ορατούφάσματος της ακτινοβολίας (1lm) που εκπέμπεται μέσα σε στερεά γωνία 1 sr κάθετα από επιφάνεια 1 cm2

λευκοχρύσου (Pt) που βρίσκεται στη θερμοκρασία τήξης του (1770 degC) και σεπίεση 101325 Pa (Κανονική ατμοσφαιρική πίεση) Ένας λαμπτήρας πυρά-κτωσης βολφραμίου (W) ηλεκτρικής ισχύος 100 W χαρακτηρίζεται από ολι-κή σφαιρικά κατανεμημένη φωτοβολία 130 cd

8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A

trademacrlsaquoIgravemiddot 4 OUacuteEgraveUcircIgravefi˜ UgraveEuml˜ IgraveOcircOacuteiquestpermilmiddot˜ Ampere UgraveEuml˜ currenOacuteUgravemiddotUcircEuml˜

UgraveOcirc˘ EumlIumlAcircIcircUgraveUacuteEgraveIcircOcircDagger UacuteAcircDaggerIgravemiddotUgraveOcirc˜

Π

dE

dΩdS

dSr

trademacrlsaquoIgravemiddot 5 H UcircUgraveAcircUacuteAcirciquest AacuteÔacutersaquomiddot OcircUacutersaquo˙AcircUgravemiddotEgrave ˆ˜ doslash=dSr2 H Ecircˆ-

UgraveAcircEgraveOacutelsaquo AcircOacutecurrenUacuteAacuteAcircEgravemiddot Ocirc˘ AcircIcirccurrenIgraveAcircUgravemiddotEgrave middotfi UgraveEumlOacute EcircÛgraveAcircEgraveOacutelsaquo EumlAacutelsaquo para

permilEgravemiddotpermilrsaquopermilAcircUgravemiddotEgrave IgraveAcirc Uacute˘ıIgravefi dEdt IgravecurrenUcircmiddot UcircUgraveEuml UcircUgraveOcircEgravemacrAcircEgraveOgravepermilEuml UcircUgraveAcirc-

UacuteAcirciquest AacuteÔacutersaquomiddot doslash


Σύγχρονος ορισμός της πρότυπης μονάδας φωτοβολίας Tο 1979 στηναντίστοιχη συνάντηση της Διεθνούς Eπιτροπής Mέτρων και Σταθμών ηcandela ορίστηκε ως η φωτοβολία μονοχρωματικής πηγής που εκπέμπει σεσυχνότητα ν=540 yen 1012 Hz (ορατό φάσμα λ=555 nm) με γωνιακή ισχύ ακτι-νοβολίας 1683 Wsr (sr=steradian) 1 sr είναι η στερεά γωνία που καθορί-ζεται από κώνο με κορυφή το κέντρο σφαίρας ακτίνας 1m ο οποίος αποκό-πτει από την σφαιρική επιφάνεια τμήμα εμβαδού 1 m2

Προθέματα στο SI (πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια)

MOcircOacuteiquestpermilAcirc˜ IgraveAcircAacuteAcircıOgraveOacute iquestIumlIumlÔacute Ucirc˘UcircUgraveEumlIgraveiquestUgraveÔacute

Eκτός από το SI χρησιμοποιούνται επίσης μονάδες από άλλα δύο συστήματα τοTεχνικό Σύστημα και το σύστημα CGS

ntilde TAcircmacrOacuteEgraveIcircfi UcircDaggerUcircUgraveEumlIgravemiddot (Ttrade)

Tα θεμελιώδη μεγέθη στο TΣ είναι Tο μήκος η δύναμη και ο χρόνος με αντί-στοιχες θεμελιώδεις μονάδες το 1 m το 1 kp και το 1 s

Πρότυπο μέτρο δύναμης 1 Xιλιόγραμμο δύναμης ή κιλοπόντ (1 kgf ή 1 kp)

1 kgf ή kp ορίζεται ως η δύναμη που δέχεται από τη Γη σώμα μάζας 1 kg πουβρίσκεται σε τόπο όπου g=98066 ms2 Kατά προσέγγιση αγνοώντας την επί-δραση της διαφορετικής σύστασης του υπεδάφους από τόπο σε τόπο η τιμή αυ-τή αντιστοιχεί στην επιφάνεια της θάλασσας σε γεωγραφικό πλάτος (γπ) 45o Σημειώστε ότι στο σύστημα SI η δύναμη αποτελεί παράγωγο μέγεθος με μο-

Πρόθεμα Σύμβολο Παράγων

deca (δεκα-) da 10

hecto (εκατο-) h 102

kilo (χιλιό-) k 103

mega (μεγα-) M 106

giga (γιγα-) G 109

tera (τερα-) T 1012

(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024


deci (δεκατό-) d 10ndash1

centi (εκατοστό-) c 10ndash2

milli (χιλιοστό-) m 10ndash3

micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10


νάδα το Newton (N) 1 N ορίζεται ως η δύναμη η οποία ασκουμένη σε σώμαμάζας 1 kg του προσδίδει επιτάχυνση ίση με 1 ms2 Mεταξύ kp (κιλοπόντή kgf) που είναι θεμελιώδης μονάδα στο TΣ και του N που είναι παράγω-γος μονάδα στο SI ισχύει η απλή σχέση ισοδυναμίας 1 kp=980665 N ή προ-σεγγιστικά 1 kp=981 N

ntilde tradeDaggerUcircUgraveEumlIgravemiddot CGSTο σύστημα CGS έχει ως θεμελιώδη μεγέθη και αντίστοιχες θεμελιώδεις μο-νάδες Mήκος (1 cm εκατοστόμετρο) Mάζα (1 g γραμμάριο) Xρόνος (1 s)Mεταξύ των μονάδων αυτών και των αντιστοίχων του διεθνούς συστήματοςισχύουν οι επόμενες απλές σχέσεις μετατροπής

1 cm = 10ndash2 m curren 1 m = 102 cm 1 g = 10ndash3 kg curren 1 kg = 103 g

H δύναμη είναι παράγωγο μέγεθος στο CGS και η αντίστοιχη μονάδα είναι η1 dyn=1 gOslashcms2 Mεταξύ 1 dyn και 1 N ισχύει η σχέση 1 N=105 dyn

Άλλα μεγέθη και μονάδες Αγγλοσαξονικές μονάδες και ισοδυναμίες τους

Μέγεθος Σύμβολο μονάδας Ονομασία Ισοδυναμία με

άλλες μονάδες

in Ίντσα (inch) 254 cm

ft Πόδι (foot) 3048 cm

yd γυάρδα (yard) 9144 cm

mi (mile) Μίλι στεριάς 1609344 m

Ναυτικό Μίλι 1852 m

a are 100 m2

- στρέμμα 1000 m2

acre 40468564 m2

ha Εκτάριο (hectare) 10000 m2

l ή L (συνιστώμενο) Λίτρο (Litre) 10ndash3 m3

gal Γαλόνι (UK gallon) 454609 L

Γαλόνι (USA gallon) 378541 L

1 Pa = 1Nm2 Pascal -

1 Atm Φυσική ατμόσφαιρα ~1013 kPa

1 at Τεχνική ατμόσφαιρα ~981 kPa

Bar Μπαρ 102 at = 100 kPa

1 psi = 1 lbin2 Λίμπρα τετραγ ίντσα ~689 kPa (pound per square inch) 1Bar = 145 psi

Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11

tradeUgraveOcircEgravemacrAcircrsaquomiddot

MmiddotıEumlIgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo˜

AOacuteiquestIuml˘UcircEuml˜

1OcircKEordmAsectAIO

12

tradeUgraveOcircEgravemacrAcircrsaquomiddotMmiddotıEumlIgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquoÃOacuteiquestIuml˘UcircEuml˜

H Περιγραφή και στη συνέχεια κατανόηση των φυσικών φαινο-μένων αλλά και η αποδοτική χρησιμοποίηση των συμπερασμάτων ή φυσικών νόμων απαιτεί τη χρήση με σχετική ευχέρεια απλών εννοιών από την μαθηματική ανάλυση Tο μεγαλύτερο μέρος των γνώσεων αυτών αποτελούν προϋπόθεση εισαγωγής των υποψηφίων φοιτητών-σπουδαστών στο χώρο της Aνωτάτης Eκπαίδευσης Συνεπώς ο σκοπός αυτού του κεφαλαίου είναι να δοθεί στον σπουδαστή η δυνατότητα ενός άμεσου βοηθήματος που να κα-λύπτει τις βασικές του απαιτήσεις στο χώρο της μαθηματικής ανάλυσης σε εισαγωγικό επίπεδο Γι αυτό το λόγο καταβλήθηκε προσπάθεια να περιοριστεί η ανάπτυξη σε μια σύντομη παρου-σίαση των θεμελιωδών μαθηματικών εννοιών που αποτελούν προϋπόθεση για την αποδοτικότερη μελέτη κατανόηση και ευχερή επεξεργασία των θεμάτων των επομένων κεφαλαίων

13

centEgravemiddotOacuteDaggerUcircIgravemiddotUgravemiddot

111 OUacuteEgraveUcircIgraveOcircrsaquo

1112 EEcircmiddotUacuteIgraveOcircUcircUgravefi permilEgraveiquestOacute˘UcircIgravemiddot

Ένα διατεταγμένο ζεύγος σημείων (A B) ορίζει το εφαρμοστό διάνυσμα AB

Iσοδύναμα μπορούμε να το συμβο-λίσουμε με ένα μόνο γράμμα2 πχ α

Φυσικά μεγέθη που παριστάνονταιμε εφαρμοστά διανύσματα είναι η τα-χύτητα η επιτάχυνση η ένταση τουηλεκτρικού ή μαγνητικού πεδίου η δύ-ναμη σε υλικό σημείο κα

Iσοδύναμα εφαρμοστά διανύσματα

H ισότητα στα εφαρμοστά ανύσματαέχει νόημα μόνο εκ ταυτότητας Mετα-ξύ δύο εφαρμοστών διανυσμάτων πουασκούνται σε διαφορετικούς φορείςχρησιμοποιείται η έννοια της ισοδυνα-μίας Tα AB ΓΔ είναι ισοδύναμα αντα τμήματα AΔ ΓB έχουν το αυτό μέ-σον O

1113 OIumlEgraveUcircımiddotrsaquoOacuteOcircOacute permilEgraveiquestOacute˘UcircIgravemiddot

Ένα διανυσματικό μέγεθος ονομάζεται ολισθαίνον αν η δράση του δεν μεταβάλ-λεται όταν μετατοπιστεί πάνω στον φορέα του Παραδείγματος χάριν η δύναμηπου δρα σrsquo ένα στερεό σώμα θεωρούμενο ως απαραμόρφωτο

Iσα ολισθαίνοντα διανύσματα

Έχουν το ίδιο μέτρο κείνται στον ίδιο φορέα και έχουν την ίδια φορά

11

13

A B

trademacrlsaquoIgravemiddot 11 TOcirc AcircEcircmiddotUacuteIgraveOcircUcircUgravefi permilEgraveiquestOacute˘UcircIgravemiddot AB

B

A

Δ

Γ

O

trademacrlsaquoIgravemiddot 12 IUcircOcircpermilDaggerOacutemiddotIgravemiddot AcircEcircmiddotUacuteIgraveOcircUcircUgraveiquest permilEgravemiddotOacuteDaggerUcircIgravemiddotUgravemiddot

2 Για λόγους ευκολίας και καλύτερης εμφάνισης του κεμένου στο σύγγραμμα αυτό θα χρησιμοποιειθείγια τον συμβολισμό των ανυσμάτων η έντονη (Bold) γραφή πχ γράφουμε AB ή F ή α αντί των ΑsbquoΒ BFκαι bα αντίστοιχα

KAcircEcirciquestIumlmiddotEgraveOcirc 1

1114 EIumlAcircDaggerıAcircUacuteOcirc permilEgraveiquestOacute˘UcircIgravemiddot

Kαλείται το σύνολο των εφαρμοστών διανυσμάτων που είναι ισοδύναμα με δο-σμένο εφαρμοστό διάνυσμα Ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος που συμπεριφέ-ρεται ως ελεύθερο και συνεπώς δεν απαιτεί τον προσδιορισμό συγκεκριμένουφορέα ανάμεσα στο σύνολο των ευθειών με την ίδια διεύθυνση είναι η ροπή ζεύ-γους δυνάμεων Tο άνυσμά της μπορεί να σχεδιαστεί σrsquo οποιδήποτε σημείο τουχώρου παράλληλα προς την ευθεία που είναι κάθετη στο επίπεδο των δύο αντιρ-ρόπων δυνάμεων F ndashF που ασκούνται στο ίδιο σώμα αντίστοιχα (sect634III)

Ίσα ελεύθερα διανύσματα

Δύο ελεύθερα διανύσματα α και β θα λέγονται ίσα αν είναι ισοδύναμα προς τοίδιο εφαρμοστό διάνυσμα

1115 MOcircOacutemiddotpermilEgravemiddotrsaquoOcirc permilEgraveiquestOacute˘UcircIgravemiddot

Ένα αδιάστατο άνυσμα με μέτρο μονάδα (πχ |α0|=1) H χρήση του δηλώνει μιασυγκεκριμένη κατεύθυνση (διεύθυνση + φορά) Aν το άνυσμα A έχει μέτρο Aκαι φορά ίδια με το μοναδιαίο α0 τότε είναι φανερό ότι ισχύει η σχέση A=AOslashα0 Aπrsquo τη σχέση αυτή μπορεί να υπολογιστεί το μοναδιαίο αν είναι γνωστά τα Aκαι A

1116 trade˘AacuteAacuteUacutemiddotIgraveIgraveEgraveIcirciquest permilEgravemiddotOacuteDaggerUcircIgravemiddotUgravemiddot

Σύνολο διανυσμάτων με την ίδια διεύθυνση

1117 OUacuteıOcircIcircmiddotOacuteOcircOacuteEgraveIcircfi UcircDaggerUcircUgraveEumlIgravemiddot middotIacutefiOacuteÔacute

Σύστημα δύο ή τριών ορθογωνίων αξόνων (ή γενικότερα ν-διάστατο σύστημα) μεμοναδιαία ανύσματα ίδιου μήκους και κατά τους τρεις άξονες (ν άξονες αντί-στοιχα) Συνήθης συμβολισμός των μοναδιαίων ανυσμάτων για σύστημα δύο ήτριών αξόνων

i j k (|i|= |j|= |k|=1)

112 paraUacuteiquestIacuteAcircEgrave˜ permilEgravemiddotOacute˘UcircIgraveiquestUgraveÔacute

middot paraUacutefiUcircıAcircUcircEuml

Kαλούμε άθροισμα των ελεύθερων διανυσμάτων α β με αντιπροσώπους τα ABκαι BΓ το διάνυσμα γ με αντιπρόσωπο το διάνυσμα AΓ Συμβολικά

γ = α + β (1)

tradeUgraveOcircEgravemacrAcircrsaquomiddot IgravemiddotıEumlIgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo˜ middotOacuteiquestIuml˘UcircEuml˜14

14

1 1 tradeUgraveOcircEgravemacrAcircrsaquomiddot IgravemiddotıEumlIgravemiddotUgraveEgraveIcirclsaquo˜ middotOacuteiquestIuml˘UcircEuml˜

Καθιστούμε τα ανύσματα α και β διαδοχικά (Σχήμα 13) Το άνυσμα πουαποτελεί τη συνισταμένη τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου ανύσματος εδώτου β και πέρας το πέρας του δεύτερου α

trademacrlsaquoIgravemiddot 13 OUacuteEgraveUcircIgravefi˜ UgraveOcirc˘ middotıUacuteOcircrsaquoUcircIgravemiddotUgraveOcirc˜ permilDaggerOcirc permilEgravemiddotOacute˘UcircIgraveiquestUgraveÔacute

H διαφορά προσδιορίζεται μέσω της πρόσθεσης Δ=αndashβ=α+(ndashβ) όπου το άνυ-σμα ndashβ είναι το αντίθετο του β Eύκολα γενικεύεται η άθροιση σε ν ανύσματαΓια να προσθέσουμε ν διανύσματα τα καθιστούμε διαδοχικά έτσι ώστε το πέραςτου ενός να είναι αρχή του επόμενου Tο αποτέλεσμα της άθροισης (η συνιστα-μένη τους) είναι το άνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέ-ρας του τελευταίου (Σχήμα 14) Συμβολικά

A = α1 + α2 +hellip + αν (2)

trademacrlsaquoIgravemiddot 14 OUacuteEgraveUcircIgravefi˜ UgraveOcirc˘ middotıUacuteOcircrsaquoUcircIgravemiddotUgraveOcirc˜ Oacute middotOacute˘UcircIgraveiquestUgraveÔacute

Kανόνας παραλληλογράμμου

Ο κανόνας αυτός αφορά καταρχήν στη σύνθεση δύο ανυσμάτων έστω τωνα και β Τίθενται με κοινή αρχή και από το πέρας εκάστου φέρεται ευθεία πα-ράλληλη προς το άλλο έτσι ώστε να προκύψει το αντίστοιχο παραλληλόγραμμο

α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15


(Σχήμα 15) Το άνυσμα που έχει αρχή την κοινή αρχή των ανυσμάτων α και βκαι συμπίπτει με την αντίστοιχη διαγώνιο του παραλληλογράμμου αποτελεί τησυνισταμένη τους γ Αν η σύνθεση αφορά περισσότερα από δύο ανυσμάτων ηπροηγούμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται μεταξύ της συνισταμένης των δύοπρώτων με το τρίτο της νέας συνισταμένης με το τέταρτο κοκ Όπως εύκολαμπορείτε να ελέγξετε ο κανόνας του παραλληλογράμμου είναι απόρροια του γε-νικότερου ορισμού των ανυσμάτων Παρέχει επιπλέον τη δυνατότητα άμεσηςπειραματικής επαλήθευσης της ισχύος του ιδιαίτερα στην περίπτωση τριών δυ-νάμεων Εφαρμόζοντας στο ένα εκ των δύο τριγώνων του παραλληλογράμμου τονόμο του συνημιτόνου προκύπτει το μέτρο γ της συνισταμένης

γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)

όπου τα γράμματα α β γ αντιπροσωπεύουν τα μέτρα των ανυσμάτων α β γ αντί-στοιχα και φ είναι η γωνία (leπ) μεταξύ των δύο ανυσμάτων α β (Σχήμα 15)

trademacrlsaquoIgravemiddot 15 O IcircmiddotOacutefiOacutemiddot˜ UgraveOcirc˘ middotUacutemiddotIumlIumlEumlIumlOcircAacuteUacuteiquestIgraveIgraveOcirc˘

Xρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων για το ίδιο τρίγωνο έπεται

η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)

Aν προβάλλουμε την συνισταμένη πάνω στην διεύθυνση του β (Σχήμα 15) τό-τε όπως εύκολα ελέγχεται μπορούμε να γράψουμε

εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16


sbquo degEgraveOacutefiIgraveAcircOacuteOcirc middotOacute˘UcircIgraveiquestUgraveÔacute (middotIumliquest AacuteEgraveOacutefiIgraveAcircOacutemiddot)

i) Eσωτερικό (ή αριθμητικό) γινόμενο

Oρισμός

(6)

όπου α β τα μέτρα των ανυσμάτων αυτών και φ η γωνία μεταξύ τους Αφο-ρά στις περιπτώσεις στις οποίες ένα μονόμετρο φυσικό μέγεθος προκύπτει ωςγινόμενο δύο άλλων ανυσματικών μεγεθών Παραδείγματος χάριν το έργοστο οποίο θα αναφερθούμε αναλυτικότερα στο κεφάλαιο 4 Ορίζεται3 ως τογινόμενο της δύναμης F (άνυσμα) επί την μετατόπιση dr (άνυσμα) του ση-μείου εφαρμογής της

6W = FOslashdr

ii) Eξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο

Oρισμός

(7)

όπου γ0 το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των α β (Σχήμα 16)Σημειώστε ότι α yen β = ndashβyen α

trademacrlsaquoIgravemiddot 16 TOcirc iquestOacute˘UcircIgravemiddot Aacute AcircrsaquoOacutemiddotEgrave AcircIacuteÛgraveAcircUacuteEgraveIcircfi AacuteEgraveOacutefiIgraveAcircOacuteOcirc UgraveÔacute middot sbquo

φ

β

α

Oγ0

γ

ε

γ = α yen β = αOslashβOslashημφOslashγ0

αOslashβ = αOslashβOslashσυνφ

17

17

3 Για το στοιχειώδες έργο χρησιμοποιέιται το σύμβολο 6W προκειμένου να τονιστεί το γεγονός ότι το μέ-γεθος έργο δεν έχει νόημα ως διαφορικό (διαφορά τιμών του) επειδή το έργο δεν αποτελεί προϋπάρχουσαποσότητα για το σύστημα Tο ίδιο ισχύει για την θερμότητα όπου αντίστοιχα χρησιμοποιούμε το σύμβο-λο 6Q Aντίθετα η εσωτερική ενέργεια ενός σώματος έχει την έννοια της περιεχόμενης ποσότητας και άραέχει φυσικό νόημα η διαφορά της


Eύκολα μπορείτε να δείξετε ότι το μέτρο του γ ισούται με το εμβαδόν του πα-ραλληλογράμμου των α β Tο εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται πχ στονορισμό της ροπής δύναμης

M(0) = ryenF με μέτρο M(0)= FOslashrOslashημφ=FOslashd (Σχήμα 17)

trademacrlsaquoIgravemiddot 17 OUacuteEgraveUcircIgravefi˜ UgraveEuml˜ UacuteOcirclsaquo˜ permilDaggerOacutemiddotIgraveEuml˜ ˆ˜ UacuteOcirc˜ UcircEumlIgraveAcircrsaquoOcirc

Xρησιμοποιείται επίσης στον καθορισμό της μαγνητικής δύναμης σε κινού-μενο φορτίο F=qυyenB όπου q το φορτίο υ η ταχύτητα του και B η ένταση τουμαγνητικού πεδίου στη θέση του κινούμενου φορτίου q Aπό τον ορισμό τουεξωτερικού γινομένου είναι προφανές ότι η δύναμη F είναι κάθετη και στα δύοανύσματα υ και B

Aacute) infinOacutemiddotIuml˘UgraveEgraveIcircfi˜ ˘OcircIumlOcircAacuteEgraveUcircIgravefi˜ AacuteEgraveOacuteOcircIgravecurrenOacuteOcirc˘ middotOacute˘UcircIgraveiquestUgraveÔacute

Έστω τα ανύσματαα = αxi +αyj+αzk και β = βxi+βyj+βzk

i) Eσωτερικό γινόμενο

Συμβολικά γράφουμε

αOslashβ = (αxi + αyj + αzk)Oslash(βxi + βyj + βzk)

Eκτελώντας τις τυπικές πράξεις και λαμβάνοντας υπόψη ότι

iOslashi = jOslashj = kOslashk = 1 και iOslashj = jOslashk = kOslashi = 0

καταλήγουμε στο συμπέρασμα

αOslashβ = αxOslashβx + αyOslashβy + αzOslashβz

O

M

Frd

φ


18


ii) Eξωτερικό γινόμενο

Tο εξωτερικό γινόμενο μεταξύ των μοναδιαίων διανυσμάτων δίδει

iyenj = k jyenk = i και kyen i = j

H αντιστροφή στη σειρά πολλαπλασιασμού προκαλεί όπως έχει ήδη επιση-μανθεί αλλαγή στο πρόσημο του αποτελέσματος Συμβολικά γράφουμε

α yen β = (αxi + αyj + αzk) yen (βxi + βyj + βzk)

Aντί της αναλυτικής παράστασης του πολσμού ακολουθούμε ένα περισσότε-ρο κομψό τρόπο χρησιμοποιώντας ορίζουσες O τρόπος που εκτελείται τοεξωτερικό γινόμενο περιγράφεται με συμπυκνωμένη μορφή από την ορίζουσα

α yen β = Oι αναλυτικές πράξεις στην ορίζουσα μπορούν να γίνουν με διάφορους τρό-πους Δύο τρόποι που χρησιμοποιούνται στην πράξη είναι

1ος Eπαναλαμβάνουμε τις δύο πρώτες στήλες σε συνέχεια με τις τρεις αρχικέςκαι σχηματίζουμε τα γινόμενα κατά τις διαγωνίους Tα τρία πρώτα θετικά(από πάνω αριστερά προς τα κάτω δεξιά) και τα επόμενα τρία αρνητικά(από πάνω δεξιά προς τα κάτω αριστερά)

= (αyβzndashαzβy)i + (αzβxndashαxβz)j + (αxβyndashαyβx)k

2ος Aναλύουμε την ορίζουσα σε υποορίζουσες

= i ndash j + k =

= (αyβz ndash αzβy)i ndash (αxβz ndash αzβx)j + (αxβy ndash αyβx)k

To αποτέλεσμα είναι φυσικά ίδιο με το αποτέλεσμα του τρόπου 1

αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy

i j kαx αy αzβx βy βz

i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19


1 Yπολογίστε τα μέτρα του αθροίσματος και της διαφοράς των ανυσμάτων

α = 2i ndash j + k και β = ndashi + 2j ndash ksectDaggerUcircEumlα) Άθροισμα A = α + β

A = i + j fi A = 12+ 12 = 2β) Διαφορά Δ = α ndash β

Δ = [2ndash(ndash1)] i + [ndash1ndash(+2)] j + [1ndash(ndash1)]k = 3i ndash 3j + 2k

Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22

2 Tο άνυσμα θέσης του σημείου εφαρμογής της δύναμης F= i+ jndash3k (N) είναι

r= i+3jndashk (m) Yπολογίστε το άνυσμα της ροπής M

sectDaggerUcircEumlEξ ορισμού

M = r yen F = = i ndash j + k = ndash8i + 2j ndash 2k

Tο μέτρο της θα ισούται με M = 82+ 22+ 22 = 72 otilde 8 5 NOslashm

3 Yπολογίστε τη γωνία μεταξύ των ανυσμάτων α = i ndash 2j και β = 2i ndash j

Λύση

Eίναι φανερό ότι η λύση θα προκύψει από σχέση που να συνδέει τα δοθέντα ανύ-σματα με τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας μεταξύ τους Πχ η σχέση του εσωτε-ρικού γινομένου των δύο ανυσμάτων επειδή σrsquo αυτήν περιέχεται η ζητούμενη γωνίαμεταξύ τους

αOslashβ = αOslashβOslashσυνφ fi συνφ = α

αOslashOslashβ

β

Συνεπώς απομένει να υπολογίσουμε τα αOslashβ και τα μέτρα α β Για τον υπολογισμότου αOslashβ αρκεί να παρατηρήσετε ότι από τα γινόμενα των συνιστωσών των είναι μημηδενικά μόνο αυτά που αντιστοιχούν στον ίδιο άξονα δηλαδή αOslashβ=αxβx+αyβy=4

Eπίσης α = 12+ (ndash2)2 = 5 και β = 22+ (ndash1)2 = 5

Tελικά συν = 5

4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg

Παρατήρηση Για τη λύση των προηγούμενων παραδειγμάτων μπορείτε να εργαστείτε και μετο εξωτερικό γινόμενο των ανυσμάτων

3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1

i j k1 3 ndash11 1 ndash3

paramiddotUacutemiddotpermilAcircrsaquoAacuteIgravemiddotUgravemiddot


20

1 2 paramiddotUacuteiquestAacuteÂacuteOcirc˜ Ucirc˘OacuteiquestUacuteUgraveEumlUcircEuml˜

paramiddotUacuteiquestAacuteÂacuteOcirc˜ Ucirc˘OacuteiquestUacuteUgraveEumlUcircEuml˜

121 OUacuteEgraveUcircIgravefi˜ (IgraveEgraveiquest permilEgraveiquestUcircUgravemiddotUcircEuml)

Έστω η συνάρτηση f(x) με πεδίο ορισμού το Δ

Oρίζουμε ως παράγωγο της f(x) στη θέση x0 το όριο (εφόσον υπάρχει) του

κλάσματος f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0) όταν το xAEligx0

Για την παράγωγο χρησιμοποιούνται τα σύμβολα f cent(x) ή d

d

f(

x

x) (Σύμβολο του

Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)

Aν αντί των ζευγαριών x0 f(x0) x f(x) χρησιμοποιήσουμε τα ισοδύ-

ναμα ζευγάρια x f(x) και x+Δx f(x+Δx) τότε η προηγούμενη σχέση παίρ-

νει τη μορφή

d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)

για την παράγωγο στο τυχαίο σημείο x

H δεύτερη τρίτη κλπ παράγωγος προκύπτει με ισάριθμη επανάληψη της πα-ραγώγισης και για την συμβολική παράστασή τους χρησιμοποιούνται οι μορφές4

για τη 2η παράγωγο fcentcent(x) ή d

d

2f

x

(2

x) και γενικότερα

για την νη παράγωγο f(ν)(x) ή d(

d

ν)

x

f(

(ν

x)) όπου ν=1 2 hellip ν η τάξη παραγώγισης

122 ordm˘UcircEgraveIcirclsaquo UcircEumlIgravemiddotUcircrsaquomiddot middotUacutemiddotAacuteOgraveAacuteOcirc˘

12

21

21

4 Στην περίπτωση χρονικών συναρτήσεων η παράγωγός τους ως προς το χρόνο συμβολίζεται πολλάκιςμε κουκίδες πάνω απrsquo το σύμβολο της συνάρτησης fUcirc (t) f permil(r) fUcirc permil(t) κλπ για την πρώτη τη δεύτερη την τρί-τη κλπ παράγωγό της Παραδείγματος χάριν αν η απομάκρυνση του κινητού είναι x (x=x(t)) η ταχύ-τητα και η επιτάχυνσή του μπορούν να συμβολιστούν με Ucircx permilx και permil Ucircx αντίστοιχα


Aπό καθαρά μαθηματικής πλευράς η παραγώγιση είναι μια διαδικασία δημιουρ-γίας μιας νέας συνάρτησης ακολουθώντας συγκεκριμένα βήματα ή κανόνες όπωςαυτά καθορίζονται από τον ορισμό της παραγώγου H φυσική της σημασία προ-κύπτει από τον ορισμό της H παράγωγος είναι η κλίση της καμπύλης που αποτε-λεί γραφική παράσταση της συνάρτησης στο αντίστοιχο σημείο της Έστω μια συ-νάρτηση f(x) της οποίας η γραφική παράσταση δίδεται στο σχήμα 18α Θεω-ρούμε την ευθεία AB που τέμνει την δεδομένη καμπύλη f(x) στα σημεία A Bπου αντιστοιχούν στις τετμημένες xA και xB H κλίση της ευθείας AB είναι

K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)

Όταν το xBAEligxA δηλαδή το B πλησιάζει το A που διατηρείται σταθερό η ευ-θεία AB αλλάζει συνεχώς κλίση και όταν το B πλησιάσει σε απειροστή απόστα-ση το A τότε γίνεται εφαπτομένη της καμπύλης στο xA (ευθεία (ε) Σχήμα 18β)

trademacrlsaquoIgravemiddot 18 (middot) prod IcircIumlrsaquoUcircEuml UgraveEuml˜ AcircEcircmiddotUgraveOcircIgravecurrenOacuteEuml˜ (Acirc) UcircUgraveOcirc UcircEumlIgraveAcircrsaquoOcirc infin UgraveEuml˜ IcircmiddotIgraveDaggerIumlEuml˜ EgraveUcircOcircDaggerUgravemiddotEgrave IgraveAcirc UgraveEumlOacute UgraveEgraveIgravelsaquo UgraveEuml˜ middotUacutemiddotAacuteOgraveAacuteOcirc˘ UgraveEuml˜

Ucirc˘OacuteiquestUacuteUgraveEumlUcircEuml˜ f(x) Ocirc˘ AcircUacuteEgraveAacuteUacuteiquestEcircAcircEgrave UgraveEumlOacute IcircmiddotIgraveDaggerIumlEuml UcircUgraveOcirc rsaquopermilEgraveOcirc UcircEumlIgraveAcircrsaquoOcirc (sbquo) ŒOacutemiddot˜ AcircOacutemiddotIumlIumlmiddotIcircUgraveEgraveIcircfi˜ UgraveUacutefiOcirc˜ AacuteEgravemiddot Oacutemiddot middotOacutemiddotpermilAcircEgravemacrıAcircrsaquo Euml

Ecirc˘UcircEgraveIcirclsaquo UcircEumlIgravemiddotUcircrsaquomiddot UgraveEuml˜ middotUacutemiddotAacuteOgraveAacuteOcirc˘ prod permilAcircpermilOcircIgravecurrenOacuteEuml IcircmiddotIgraveDaggerIumlEuml IgraveOcircUacuteAcircrsaquo Oacutemiddot ıAcircÛacuteEumlıAcircrsaquo ˆ˜ OcircIuml˘AacuteÔacuteEgraveIcirclsaquo AacuteUacutemiddotIgraveIgravelsaquo IgraveAcirc iquestAcircEgraveUacuteOcirc Iumllsaquo-

ıOcirc˜ middotAcircEgraveUacuteOcircUcircUgraveOgraveOacute Acirc˘ı˘AacuteUacuteiquestIgraveIgraveÔacute UgraveIgraveEumlIgraveiquestUgraveÔacute tradeUgraveOcirc UcircEumlIgraveAcircrsaquoOcirc infin UgraveOcirc Acirc˘ıDaggerAacuteUacutemiddotIgraveIgraveOcirc middotAcircEgraveUacuteOcircUcircUgravefi UgraveIgravelsaquoIgravemiddot AcircrsaquoOacutemiddotEgrave UgraveOcirc infinμcent paramiddotUacutersquo fiUgraveEgrave middotAcircEgrave-

UacuteOcircUcircUgravefi AacuteEgravemiddot UgraveEgrave˜ middotOacuteiquestAacuteIcircAcirc˜ UgraveEuml˜ middotUacuteOcirc˘UcircrsaquomiddotUcircEuml˜ middot˜ EcircmiddotOacuteUgravemiddotUcircUgraveOcircDaggerIgraveAcirc fiUgraveEgrave UgraveOcirc middotUacutemiddotUgraveEumlUacuteOcircDaggerIgraveAcirc IgravecurrenUcircmiddot middotfi currenOacutemiddot IgraveAcircAacuteAcircı˘OacuteUgraveEgraveIcircfi EcircmiddotIcircfi radic˘-

UcircEgravemiddotUcircUgraveEgraveIcirciquest UgraveOcirc infinμcent middotOcircUgraveAcircIumlAcircrsaquo UgraveOcirc IcircOcircEgraveOacutefi UgraveIgravelsaquoIgravemiddot UgraveEuml˜ IcircmiddotIgraveDaggerIumlEuml˜ IcircmiddotEgrave UgraveEuml˜ AcircEcircmiddotUgraveOcircIgravecurrenOacuteEuml˜ UgraveEuml˜ UcircUgraveOcirc infin radicEgrave UacuteOcircsbquoOcircIumlcurren˜ UgraveOcirc˘ UcircUgraveOcirc˘˜ iquestIacuteOcirc-

OacuteAcirc˜ x IcircmiddotEgrave f(x) middotOacuteUgraversaquoUcircUgraveOcircEgravemacrmiddot AcircrsaquoOacutemiddotEgrave dx IcircmiddotEgrave df(x) prod IcircIumlrsaquoUcircEuml UgraveOcirc˘ df(x)dx AcircIcircEcircUacuteiquest˙AcircEgrave UgraveEumlOacute middotUacuteiquestAacuteÂacuteOcirc UgraveEuml˜ f(x) UcircUgraveOcirc infin Ÿˆ˜ Aacutersaquo-

OacuteAcircUgravemiddotEgrave EcircmiddotOacuteAcircUacutefi Euml IcircIumlrsaquoUcircEuml centf(x)centx UgraveEuml˜ Acirc˘ıAcircrsaquomiddot˜ (Acirc) Ocirc˘ ˘OcircIumlOcircAacutersaquo˙AcircUgravemiddotEgrave IgraveAcirc IgravecurrenUgraveUacuteEumlUcircEuml UgraveÔacute AcircAcircUacutemiddotUcircIgravecurrenOacuteÔacute IumlAcirc˘UacuteOgraveOacute UgraveOcirc˘ UgraveUacuteEgrave-

AacuteOgraveOacuteOcirc˘ degcentpart EgraveUcircOcircDaggerUgravemiddotEgrave IgraveAcirc UgraveEumlOacute IcircIumlrsaquoUcircEuml UgraveOcirc˘ UgraveIgravelsaquoIgravemiddotUgraveOcirc˜ infinμcent trade˘OacuteAcircOgrave˜ Euml middotUacuteiquestAacuteÂacuteOcirc˜ UgraveEuml˜ f(x) UcircUgraveOcirc infin middotOacuteiquestAacuteAcircUgravemiddotEgrave UcircUgraveOcircOacute ˘OcircIumlOcircAacuteEgrave-

UcircIgravefi UgraveEuml˜ IcircIumlrsaquoUcircEuml˜ UgraveEuml˜ AcircEcircmiddotUgraveOcircIgravecurrenOacuteEuml˜ Acirc˘ıAcircrsaquomiddot˜ (Acirc) UcircUgraveOcirc rsaquopermilEgraveOcirc UcircEumlIgraveAcircrsaquoOcirc

Άρα στο όριο αναφερόμαστε στην κλίση της εφαπτομένης ευθείας στη δεδομένη

xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22


καμπύλη στο συγκεκριμένο σημείο x0 του ορισμού το οποίο στην προηγηθείσαπεριγραφή είναι το σημείο xA H παράγωγος λοιπόν μιας συνάρτησης σrsquo ένα ση-μείο x είναι μια νέα συνάρτηση η οποία προσδιορίζει την κλίση της ευθείας πουεφάπτεται στην καμπύλη στο ίδιο σημείο x και άρα το μέγεθος της αύξησης ήελάτωσης της συνάρτησης με δεδομένο βήμα πάνω στον άξονα x στο σημείουπολογισμού της κλίσης

Πολλά φυσικά μεγέθη ορίζονται με βάση την έννοια της παραγώγου Tο ορι-ζόμενο μέγεθος προκύπτει ως ρυθμός ή βαθμίδα με την οποία μεταβάλλονταιάλλα μεγέθη Έτσι προσδιορίζεται πχ ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενόςοχήματος α=dυdt που αποτελεί την επιτάχυνσή του ο ρυθμός παραγωγής ήκατανάλωσης έργου δηλαδή η ισχύς P=6Wdt ο ρυθμός μεταβολής μαγνη-τικής ροής ο οποίος προσδιορίζει την εμφανιζόμενη εξ επαγωγής τάση (Nόμοςτης επαγωγής E=ndashdΦBdt) η βαθμίδα ελάττωσης της θερμοκρασίας ανά μονά-δα πάχους μέσα σrsquo ένα σώμα dTdx κα

123 paramiddotUacutemiddotAacuteOgraveAacuteEgraveUcircEuml UcircDaggerOacuteıAcircUgraveÔacute Ucirc˘OacutemiddotUacuteUgravelsaquoUcircAcircÔacute IgraveEgravemiddot˜ IgraveAcircUgravemiddotsbquoIumlEumlUgravelsaquo˜

α) Παραγώγιση γινομένου Έστω το γινόμενο των συναρτήσεων

Γ(x) = f(x)Oslashg(x)

H παραγώγιση γίνεται ως εξής

Γcent(x) = fcent(x)Oslashg(x) + f(x)Oslashgcent(x)

β) Παραγώγιση κλάσματος Έστω το κλάσμα

K(x) = g

f(

(

x

x

)

)

με g(x)ne0 για κάθε x του πεδίου ορισμού Tότε

Kcent(x) =

γ) Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης της μορφής F(x) = f(g(x)) H παραγώ-γιση της F(x) ως προς x διευκολύνεται αν χρησιμοποιήσουμε ενδιάμεση με-ταβλητή z = g(x) Oι διαδοχικές πράξεις περιγράφονται από τη σχέση

dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z

fcent(x)Oslashg(x) ndash f(x)Oslashgcent(x)

g2(x)

23

23


124 paramiddotUacutemiddotpermilAcircrsaquoAacuteIgravemiddotUgravemiddot AcircEcircmiddotUacuteIgraveOcircAacutelsaquo˜ UgraveOcirc˘ OcircUacuteEgraveUcircIgraveOcircDagger UgraveEuml˜ middotUacutemiddotAacuteOgraveAacuteOcirc˘

Δίδονται μερικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα υπολογισμού της παραγώγουμιας δεδομένης συνάρτησης με βάση τον ορισμό της

1 Έστω f(x)=x2 Aντίστοιχα f cent(x+Δx) = (x+Δx)2 fi

f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x

2 f(x) = ημx f(x+Δx) = ημ(x+Δx) fi

fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0

Όταν όμως ΔxAElig0 τότε συνΔx1 και ημΔx Δx Συνεπώς

d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ

ΔxAElig0συνx = συνx

3 f(x) = ex f(x+Δx) = ex+Δx fi

f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0

ex(eΔxndash1)Δx = exOslash ορΔxAElig0

(eΔ

Δ

x

x

ndash1)

Όταν όμως ΔxAElig0 τότε eΔx1+Δx Έτσι τελικά d

d

e

x

x

= ex

ημxOslash1 + (συνx)Δx ndash ημx

Δx

(ημxσυν(Δx)+συνxημ(Δx)) ndash ημx

Δx


24

1 3 OIumlOcircIcircIumllsaquoUacuteÛcircEuml Ucirc˘OacuteiquestUacuteUgraveEumlUcircEuml˜

4 Παραγώγιση της eφ(x) Σύμφωνα με τη γενική αντιμετώπιση θέτουμε z=φ(x)και άρα

de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x

z = ezOslashφcent(x) = φcent(x)Oslasheφ(x)

OIumlOcircIcircIumllsaquoUacuteÛcircEuml Ucirc˘OacuteiquestUacuteUgraveEumlUcircEuml˜

131 AfiUacuteEgraveUcircUgraveOcirc OcircIumlOcircIcircIumllsaquoUacuteÎgravemiddot

Το ολοκλήρωμα αποτελεί εξέλιξη της άθροισης ποσοτήτων στην περίπτωση πουοι αθροιζόμενες ποσότητες γίνονται απειροστές απείρου πλήθους Για διδακτι-κούς λόγους αρχικά θα παρουσιάσουμε τη μαθηματική διαδικασία υπολογισμούτου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης και θα αναφερθούμε αναλυτικότερα στηφυσική του σημασία σε επόμενη παράγραφο

Έστω η συνάρτηση f(x) η οποία είναι συνεχής στο διάστημα ορισμού της Δ

Oρίζουμε ως αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f(x) μια νέα συνάρτησηI1(x) έτσι ώστε

Eπειδή και η συνάρτηση I1(x)+c όπου c μια αυθαίρετη σταθερά ικανοποιεί τηνσχέση ορισμού είναι κι αυτή παράγουσα H σταθερά εκφράζει την αοριστίαπροσδιορισμού της παράγουσας

Tο σύνολο των παραγουσών ή αρχικών συναρτήσεων ορίζεται ως αόριστοολοκλήρωμα I(x) και γράφεται συμβολικά ως εξής

Σύμφωνα με την συμβολική αυτή παράσταση μετά τον υπολογισμό της βα-σικής μαθηματικής έκφρασης της συγκεκριμένης παράγουσας πρέπει να προ-σθέσουμε μια σταθερά δηλαδή ποσότητα ανεξάρτητη της μεταβλητής x Aπό ταπροηγούμενα συνάγεται ότι η ολοκλήρωση ως μαθηματική πράξη είναι μεν ηαντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης συνεχών συναρτήσεων εισάγει όμωςαοριστία ως προς τον προσδιορισμό της αρχικής συνάρτησης Πχ αν f(x)=x2

τότε fcent(x)=2x=g(x) Oλοκληρώνοντας την g(x) έχουμε

Ι(x) = f(x)dx + c

I1cent(x) = f(x) Ορισμός παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης

13

25

25


I1(x) = g(x)dx = 2xdx = x2 και άρα I(x) = x2 + c

Προέκυψε δηλαδή η αρχική συνάρτηση με αοριστία η οποία εκφράζεται από τησταθερά c

Στα φυσικά προβλήματα η αοριστία αίρεται με χρήση των αρχικών συνθη-κών ή των οριακών συνθηκών ανάλογα με το εξεταζόμενο πρόβλημα Oι αρχι-κές συνθήκες αποτελούν δεδομένα του προβλήματος που αναφέρονται στις τιμέςτων φυσικών μεγεθών σε κάποια δεδομένη χρονική στιγμή (πχ ταχύτητα ήκαιεπιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=0 s) ενώ οι οριακές συνθήκες αναφέρονται στιςτιμές του μεγέθους σε δεδομένες θέσεις του χώρου εφαρμογής Πχ στην περί-πτωση μιας παλλόμενης χορδής τα δύο της άκρα στα οποία είναι στερεωμένηαποτελούν δεσμούς κίνησης (πλάτος ταλάντωσης y0=0)

Tο επόμενο πρόβλημα είναι παράδειγμα αρχικών συνθηκών

Yλικό σημείο περνά τη χρονική στιγμή t=0 s από τη θέση x(0)=x0 με αρχικήταχύτητα υ(0)=υ0 κινούμενο με ομαλά επιταχυνομένη κίνηση πάνω σε ευθείαγραμμή Ποια η θέση και η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t

Oι αρχικές συνθήκες για το πρόβλημα είναι το x0 για την απομάκρυνση και η υ 0για την ταχύτητα τη χρονκή στιγμή t=0 H λύση του συγκεκριμένου προβλήμα-τος δίδεται στην παράγραφο 26 του 2ου Kεφαλαίου που αναφέρεται στην κίνη-ση Eκεί δείχνεται ο τρόπος χρησιμοποίησης των δεδομένων αυτών προκειμένουνα αρθεί η αοριστία των τελικών αποτελεσμάτων για το x(t) και το υ (t)

132 OUacuteEgraveUcircIgravecurrenOacuteOcirc OcircIumlOcircIcircIumllsaquoUacuteÎgravemiddot

Oρίζουμε ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x) μεταξύ των τιμών x1=α καιx2=β τη διαφορά I(β)ndashI(α) των τιμών του αορίστου ολοκληρώματος στιςθέσεις α και β

Δηλαδή I = [I(x)]αβ

= β

αf(x)dx = I(β) ndash I(α)

Σημειώστε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα είναι συνάρτηση ενώ το ορισμένο είναιμια συγκεκριμένη τιμή

Παράδειγμα

Έστω f(x)=x Τότε I1(x) = x

2

2

και I(x) = x

2

2

+ c (συνάρτηση)


26


Το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτής μεταξύ των θέσεων x1=1 καιx2=2 είναι

[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2

133 ordm˘UcircEgraveIcirclsaquo UcircEumlIgravemiddotUcircrsaquomiddot UgraveOcirc˘ OcircIumlOcircIcircIumlEumlUacuteOgraveIgravemiddotUgraveOcirc˜

Tο σύμβολο της ολοκλήρωσης δεν είναι τίποτε άλλο παρά διαμορφωμένο

το αρχικό γράμμα S της Λατινικής λέξης Summa που σημαίνει άθροισμα ή ολι-κό ποσό Aντικατοπτρίζει το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα είναι εξέλιξη της έννοιαςτης άθροισης στην περίπτωση που οι αθροιζόμενες ποσότητες γίνονται απειρο-στές και το πλήθος τους άπειρο Όλα τα παραπάνω εμπεριέχονται συμπυκνωμέναστη συμβολική γραφή

β

αf(x)dx

trademacrlsaquoIgravemiddot 19 TOcirc AacuteEgraveOacutefiIgraveAcircOacuteOcirc f(x1)dx EgraveUcircOcircDaggerUgravemiddotEgrave IgraveAcirc UgraveOcirc AacuteUacutemiddotIgraveIgraveOcircUcircIcircEgravemiddotUcircIgravecurrenOacuteOcirc AcircIgravesbquomiddotpermilfiOacute

Tο f(x)dx είναι το γραμμοσκιασμένο εμβαδό5 κάτω από την καμπύλη f(x) με-ταξύ x και x+dx και άρα ο συμβολική γραφή του ολοκληρώματος ερμηνεύεταιως το άθροισμα των μικρών εμβαδών μεταξύ της καμπύλης και του άξονα x ανά-μεσα στα σημεία α και β (Σχήμα 19)

f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27

5 Tο πλεονέκτημα που προσφέρει η χρησιμοποίηση των απειροστών ποσοτήτων και μεταβολών είναι τοεξής (μια διάσταση) Μέσα σε ένα απειροστό τμήμα dx μπορούμε με βεβαιότητα μεγαλύτερη κι απrsquo την κα-λύτερη πειραματική ακρίβεια του μεγέθους να θεωρήσουμε την οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) σταθερή Βε-βαίως από το ένα απειροστό τμήμα στο επόμενο η συνάρτηση μεταβάλλεται κατά απειροστό ποσόdf(x)=f(x+dx)ndashf(x) Συνεπώς μέσα στο τμήμα dx το γινόμενο f(x)dx ισούται ακριβώς με το εμβαδόν κά-τω απrsquo την καμπύλη μεταξύ αυτής και του άξονα x

v


Σχόλια του συγγραφέα

Ο σκοπός της συγγραφής του βιβλίου αυτού είναι η δημιουργία ενός εκπαιδευτι-κού βοηθήματος στο χώρο της Tριτοβάθμιας εκπαίδευσης που να συνδυάζει σταπλαίσια του εφικτού την παρουσίαση των θεμελιωδών αρχών και νόμων της Φυ-σικής με την εφαρμογή τους σε θέματα τεχνολογικού ενδιαφέροντος Προηγή-θηκε μια μακρά περίοδος διαμόρφωσης της ύλης και του κειμένου με βάση τηναμφίδρομη σχέση που αναπτύσσεται συνήθως μεταξύ διδάσκοντα και διδασκο-μένων Πολύτιμη υπήρξε η βοήθεια ήδη καταξιωμένων εκπαιδευτικών συγγραμ-μάτων τα οποία αναφέρονται αναλυτικά στον πίνακα βιβλιογραφίας του συγ-γράμματος

Η μελέτη των φυσικών νόμων και εννοιών και η ανάπτυξη των επιμέρους θε-μάτων επιλέχθηκε συνειδητά να γίνει μέσα από την εμπεριστατωμένη και κριτικήαντιμετώπισή τους αποφεύγοντας την επιγραμματική τους μόνο παράθεση Η με-θοδολογία της συμπυκνωμένης παρουσίασης εννοιών η οποία αποδεικνύεται πολύεξυπηρετική σε σεμιναριακού τύπου διδασκαλία εμπεριέχει τον κίνδυνο ιδιαίτεραστο στάδιο της θεμελίωσης των εννοιών της Φυσικής να οδηγήσει στην αδρανοποί-ηση της πνευματικής ανησυχίας των νέων και μάλιστα εκείνων που αναζητούν τηγνώση και δεν ικανοποιούνται με την υποβάθμισή της σε απλή πληροφορία Η ανα-φορά στις έννοιες της Φυσικής με τη μορφή συνθηματικών προτάσεων και μόνο εμ-φανίζεται πολλές φορές δελεαστική για τα δύο μέλη της εκπαιδευτικής διαδικασίαςδιδάσκοντες και διδασκόμενους Στους μεν παρέχει την ευχέρεια άνετης και θελκτι-κής παρουσίασης ενός θέματος στους δε δίδει την ψευδαίσθηση ενός άμεσα αντι-ληπτού θετικού αποτελέσματος το οποίο όμως αποδεικνύεται πρόσκαιρο και εξα-νεμίζεται μόλις η αναφορά στη γνώση γίνει ουσιαστική Αντίθετα η ισορροπημένηδιδακτική παρουσίαση και η μεθοδική αναζήτηση της ουσίας των πραγμάτων με αλ-ληλεπίδραση με το ακροατήριο ενισχύει την πνευματική ικανότητα του εκπαιδευό-μενου στρέφοντάς την στη δημιουργική και παραγωγική αξιοποίηση της γνώσης

v

vi

















vii

vii










viii

viii

ix





1o Κεφάλαιο








Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


vi

















vii

vii










viii

viii

ix





1o Κεφάλαιο








Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27










vii

vii










viii

viii

ix





1o Κεφάλαιο








Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27











viii

viii

ix





1o Κεφάλαιο








Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


ix





1o Κεφάλαιο








Ασκήσεις 31

ix

x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


x


2o Κεφάλαιο






3o Κεφάλαιο









x


351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27



351 Tριβή 86





































xi

xi

xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


xii


4o Κεφάλαιο


41 Έργο 153







5o Κεφάλαιο








xii















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27
















6o Κεφάλαιο


61 Γενικά 299










xiii

xiii

xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


xiv



7o Κεφάλαιο


















xiv




















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27





















xv

xv

xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


xvi


8o Κεφάλαιο







xvi

1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


1

EIΣAΓΩΓH






2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


2






2






3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27







3

3

4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


4










1 m = 165076373λ5dAElig2p του 3686Kr (1)

4








1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27









1 s = 86

1

400 MHH (2)



1 s = 315569

1


1m

Pt-Ir

5

5


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


6






36525yen86400 s = 31557600 s







Eκλειπτική

Iσημερινός

Ήλιος



Γη235deg



6




(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27





(4)




Χ

τρ (5)



7

7

39 mm

39 mmPtndashIr


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


8







8

1 mF=2x10ndash7N

1 m I=1AI=1A



Π

dE

dΩdS

dSr





















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


















(πετα-) P 1015

exa E 1018

zetta Z 1021

yotta Y 1024





micro μ 10ndash6

nano n 10ndash9

pico p 10ndash12

femto f 10ndash15

ato a 10ndash18

zepto z 10ndash21

yocto y 10ndash24

9

9

10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


10














a are 100 m2


acre 40468564 m2










Μήκος

Εμβαδόν

Όγκος

Πίεση

10

11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


11





12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


12



13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


13













11

13

A B


B

A

Δ

Γ

O














i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27













i j k (|i|= |j|= |k|=1)




γ = α + β (1)


14





A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27






A = α1 + α2 +hellip + αν (2)




α2

α2α1

O

α3

αν

A

α1 α3

αν

B

ΓA

ββ

γ

α

α

15

15



γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27




γ = α2+ β2+ 2αβσυνφ (3)




η

α

μθ =

ημ(φ

β

ndashθ) =

ημ

γ

φ (4)


εφθ = β +

α

α

η

σ

μ

υ

φ

νφ (5)

A

α

β

Γ

Γασυνφ

αημφB

φ

φ

θβ

α

γO


16




Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27





Oρισμός

(6)


6W = FOslashdr


Oρισμός

(7)



φ

β

α

Oγ0

γ

ε



17

17
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27
















O

M

Frd

φ


18












= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27













= i ndash j + k =



αy

βy

αx

βx

αz

βz

αx

βx

αz

βz

αy

βy


i j k i j

αx αy αz αx αy

βx βy βz βx βy


19

19






Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27







Άρα Δ = 32+ 32+ 22 = 22







Λύση



αOslashOslashβ

β




4

Oslash5 =

4

5 fi φ = 70deg


3

1

1

1

ndash1

ndash3

1

1

ndash1

ndash3

3

1




20







x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27








x

) ndash

ndash

f

x

(

0



d

f(

x


Newton) Έτσι

fcent(x=x0) = d

d

f(

x

x)

x=x0

= ορxAEligx0

f(x

x

) ndash

ndash

f

x

(

0

x0)




d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x)




d

2f

x

(2



d

ν)

x

f(

(ν



12

21

21




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27




K = f(x

xB

B

) ndash

ndash

f

x

(

A

xA)













xA xB x

f(xA)

f(xA) (ε)

Δ

df(x)

dxA

B

f(xB)

f(x) f(x)

A(ε)

B

A

E(ε)

0

ΓΔx Δ

(α) (β)


22










K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27











K(x) = g

f(

(

x

x

)

)


Kcent(x) =


dF

d

(

x

x) =

dF

d

(

z

x)

d

d

x

z


g2(x)

23

23





f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27






f(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0 (x+Δ

Δ

x)

x

2 ndash x2

=

= ορΔxAElig0

2x(Δx

Δ

) +

x

(Δx)2

= ορΔxAElig0

(2x+Δx) = 2x


fcent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ημ(x+Δ

Δ

x

x

) ndash ημx =

= ορΔxAElig0


d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0= ορ



f cent(x) = d

d

f(

x

x) = ορ

ΔxAElig0f(x+Δ

Δ

x

x

) ndash f(x) = ορ

ΔxAElig0ex+Δ

Δ

x

x

ndash ex

=

= ορΔxAElig0


(eΔ

Δ

x

x

ndash1)


d

e

x

x

= ex


Δx


Δx


24



de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27




de

d

φ

x

(x)

= d

d

e

z

z

Oslash d

d

x











Ι(x) = f(x)dx + c


13

25

25











= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27












= β





2

2

και I(x) = x

2

2



26



[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27




[I(x)]12 = I(2) ndash I(1) =

2

2

2

ndash 1

2

2

= 3

2




β

αf(x)dx



f(x1)

f(x)

αO xβx1 x1+dx

27

27


tÔ ·ÚﬁÓ ¤ÚÁÔ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎ‹˜ È‰ÈÔÎÙËÛ›·˜ ÚÔÛÙ·ÙÂ‡ÂÙ·È...

Documents