t9899_lbachiller

8/7/2019 T9899_LBachiller

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Técnicas de planificación de proyectos: CPM 1

INDICE

1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................................ 2

2. ¿QUÉ SON PERT Y CPM? ........................................................................................................................................... 3

3. ¿QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA «DIRECCIÓN»?............................................................................................4

4. APLICACIONES DE PERT Y CPM..........................................................................................................................5

5. VENTAJAS DE ESTAS TÉCNICAS ..........................................................................................................................6

6. DIFERENCIAS CON EL MÉTODO GANTT.........................................................................................................7

7. FUNDAMENTOS DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PROYEC TO.....................................8

8. TIEMPO DE PREPARACIÓN Y RESTRICCIONES EX TERNAS DEL PROYECTO ..........................13

9. FLECHAS FICTICIAS.................................................................................................................................................14

10. PROCEDIMIENTOS PARA DIBUJAR LA RED DE FLECHAS.................................................................16

11. EJEMPLOS....................................................................................................................................................................17

12. CÓMPUTO DE TIEMPO «LO MÁS PRONTO POSIBLE» Y «LO MÁS TARDE PERMISIBLE»DE COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD ..............................................................................................21

13. CONCEPTO DE CAMINO CRITICO Y HOLGURAS DE TIEMPO .........................................................24

14. UN CRITERIO PARA ACORTAMIENTO DE LA DURACIÓN DE PROYECTO ...............................29

15. RELACIÓN ENTRE LA DURACIÓN Y EL COSTE DIRECTO DE UNA ACTIVIDAD ....................32

16. CRITERIO DE ELECCIÓN DE ACTIVIDADES PARA SU ACORTAMIENTO ..................................36

17. ALGUNOS CASOS ESPECIALES DE DURACIÓN-COS TE .......................................................................38

18. PROGRAMACIÓN POR EL MÉTODO CPM ...................................................................................................39

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................................................................................50




1. Introducción

Cuando la Marina de los Estados Unidos comenzó el proyecto del «submarino atómicoPolaris», se dieron cuenta que no sólo debían vencer las dificultades técnicas y científicas,sino también el problema de coordinación y control de estos enormes esfuerzos. En esteproyecto había 250 contratistas directos y más de 9.000 subcontratistas, que suponían grancantidad de recursos y factores humanos y, por tanto, era preciso encontrar una nuevatécnica para desarrollar el proyecto con eficacia bajo un nivel razonable de coste y tiempo.

En colaboración con la casa Booz, Allen y hamilton se iniciaron los conceptos básicosdel sistema PERT (Project Evaluation and Review Technique), como instrumento deplanificación, comunicación, control e información. El resultado de la aplicación de estanueva técnica fue el ahorro de dos años en un proyecto de cinco de duración total.

Este éxito no sólo impresionó en el campo militar, sino también en otros sectores; su

utilización se extendió rápidamente en el campo industrial y comercial. Hoy prácticamenteen los Estados Unidos todas las empresas utilizan PERT para controlar sus proyectos,especialmente las que están vinculadas con el Departamento de Defensa.

En 1957, la casa E. I. Du Pont desarrolló un sistema que pudiera mejorar el método deplanificación y programación para los programas de construcción. Bajo la dirección de losseñores J.E. Kelly y M.R. Walker, se creó la técnica CPM (Critical Path Method).

La técnica de CPM es similar al PERT en muchos aspectos. La diferencia fundamentalde estos dos sistemas consiste en que, el PERT, estima la duración de cada tarea uoperación de los proyectos basándose simplemente en un nivel de coste, mientras que elCPM relaciona duración y coste, de lo cual se deriva una diversidad de duraciones paracada tarea u operación, y la elección de una duración adecuada se hará de modo que elcoste total del proyecto sea mínimo.

Lo más criticado de PERT y CPM es que ambas son determinístas, es decir, sepredetermina que actividades deben hacerse para terminar un proyecto. Es asumido quetodas las actividades del gráfico de red se tiene que hacer antes o después, y que laterminación de todas las actividades marca el final del proyecto. La duración de unaactividad es lo único que se considera incierto.

Para muchos tipos de proyectos, particularmente aquellos en los cuales los procesos noson bien conocidos hay muchas más cosas inciertas que se deberían considerar.

Por ejemplo, una actividad en un proyecto de desarrollo de software puede ser "probar losresultados del programa". No siempre el resultado es el que esperábamos y puede ser que

no sepamos si esto representa un error en de tipo software o hardware o un poco deambos. Aún sería peor si fuese un problema de diseño o de especificación entonces elproyecto necesitaría volver atrás hasta llegar al paso de diseño o de especificación.

Estas contingencias de salto para rediseñar o reespecificar son normales en proyectos dedesarrollo.

Como PERT y CPM requieren que todas las tareas estén terminadas no se considera elcaso de tener que volver atrás. Para compensar estas deficiencias se han desarrolladosistemas de red más generalizados, probablemente el más conocido es el GERT (GraphicalEvaluation and Review Technique).




3. ¿Qué significa la palabra «dirección»?

Primero vamos a aclarar la palabra dirección. Su significado en el lenguaje anglosajónmanagement es muy amplio. No sólo se refiere a la dirección propiamente dicha de laempresa, sino que se extiende a todos los niveles de ésta. La diferencia está en que losdistintos niveles de dirección tienen distintos grados de autoridad y responsabilidad.Diremos que la «dirección» en sentido anglosajón es cualquier órgano «ejecutivo» de laempresa y es necesario que reúna las siguientes condiciones:

1. el responsable debe escoger o conocer el objetivo de su trabajo;

2. debe organizar los recursos disponibles para lograr el objetivo elegido por medio deun proyecto o plan de realización;

3. durante la realización del proyecto, puede ocurrir que cambien sus condicionesiniciales y, entonces, debe controlar y modificar el proyecto original para proseguir suobjetivo.

De aquí también se deduce que la función de la dirección está caracterizada por lasdecisiones que se deben tomar y, a su vez, estas decisiones van acompañadas de laincertidumbre. Sobre todo, cuando el objetivo no tiene precedente y el éxito de la con-secución no está garantizado. Aun cuando los trabajos sean repetitivos, la dirección sueleencontrarse con problemas tanto de tiempo como de coste.

PERT y CPM son sistemas especialmente diseñados para asistir a la dirección en esas

tareas donde la incertidumbre pudiera comprometer su eficacia, ya que estos métodos leofrecen una planificación detallada, con las responsabilidades designadas, y laprogramación mejor estimada y con más probabilidad de cumplimiento.




4. Aplicaciones de PERT y CPM

El factor tiempo adquiere cada vez más importancia en las industrias españolas. Nosólo por la penalidad impuesta por el cliente respecto al plazo de entrega sino también porel concepto de costes. Una empresa mueve millones de pesetas al mes; y si la direcciónpuede conseguir una reducción del tiempo de realización del proyecto con los mismosmedios existentes y no causa por ello aumento de costes, significará un beneficio. Estaeconomía indirecta puede ser conseguida mediante la mejora del método para laplanificación, programación y control de proyectos.

La fabricación se puede clasificar en dos tipos; producción continua o en serie, y laproducción por unidades, que ha de ser compleja para poder utilizar estas técnicas, porejemplo, toda clase de construcción, como: alternadores, locomotoras, barcos, edificios,carreteras, puentes, instalaciones de plantas, etc. Las técnicas de PERT y CPM son

productos del progreso científico para controlar esta clase de producción por unidades.La aplicación de PERT se concentra en aquellas tareas en que hay incertidumbre en

cuanto a los tiempos de terminación. Sin embargo, con CPM se supone que lasexperiencias pasadas nos libran de esta incertidumbre de tiempos, pero sí existe la decostes, ya que lo importante es el coste total mínimo y sobre éste se fijan los tiempos de lostrabajos.

El caso PERT, por ejemplo, es más indicado para los proyectos de investigación, en loscuales existe el problema de la estimación de los tiempos de trabajo y, por otro lado,tampoco hay antecedente para calcular los costes por unidad de tiempo.

En cambio el CPM es aplicable a las construcciones en general en las cuales sea fácilestimar los tiempos y costes, y lo que interesa es saber cuál es la combinación coste-duración de cada tarea para que se pueda lograr el coste total mínimo del proyecto.




5. Ventajas de estas técnicas

Las principales ventajas de estas técnicas son el poder proporcionar a la dirección lassiguientes informaciones:

a) ¿Qué trabajos serán necesarios primero y cuándo se deben realizar los acopios demateriales y problemas de financiación?

b) ¿Qué trabajos hay y cuántos serán requeridos en cada momento?

c) ¿Cuál es la situación del proyecto que está en marcha en relación con la fechaprogramada para su terminación?

d) ¿Cuáles son las actividades críticas que al retrasarse cualquiera de ellas, retrasan laduración del proyecto)?

e) ¿Cuáles son las actividades no críticas y cuánto tiempo de holgura se les permite sise demoran?

f) Si el proyecto está atrasado, ¿dónde se puede reforzar la marcha para contrarrestarla demora y qué coste produce?

g) ¿Cuál es la planificación y programación de un proyecto con coste total mínimo yduración óptima?




6. Diferencias con el método GANTT

El método de PERT o CPM separa el proceso de planificación del proceso deprogramación. Este es el punto de diferencia con el método de GANTT. En el gráfico deGANTT se realiza la planificación y la programación al mismo tiempo, o sea que la longitudde la barra que representa cada tarea indica las unidades de tiempo.

Vamos a poner un ejemplo de construcción de maquinaria:

Necesitamos las siguientes operaciones:

A) Acopios de material.

B) Fabricación de maquinaria.

C) Construcción de equipo de embalaje.

D) Verificación y control.E) Envíos e instalación.

Con este ejemplo vamos a planificar con el método GANTT.

Este método de GANTT podría conducir a una programación en la cual el tiempo de

cualquier tarea sea diferente del que realmente hubiera necesitado, y entonces, el gráficono refleja la realidad del proyecto. Además, muchas veces el proyecto se retrasa y ladirección no permite ver claramente en qué tareas tiene que acelerar y en qué medida paraque la duración total del proyecto sea la estimada, ni mucho menos saber cuánto le va acostar esta aceleración.

Para los sistemas de PERT y CPM, la planificación consiste en un análisis de lasactividades que deben intervenir en el proyecto y el orden en que han de tener lugar. Laprogramación en el PERT es estimar las duraciones de las tareas tanto en el sentido deter-minístico como en el probabilístico. En el CPM, la programación consiste en estimar lasduraciones de las tareas con el mínimo de recursos, es decir, que el tiempo y el coste estánrelacionados directamente en un proyecto.




7. Fundamentos de la representación gráfica de un proyecto

¿Qué es un proyecto? No es fácil definir la palabra proyecto. Sin embargo, algunosautores indican que el proyecto es un conjunto de tareas u operaciones elementales biendiferenciables que se ejecutan según un orden determinado.

Los fundamentos de los sistemas PERT y CPM son las representaciones gráficas delproyecto mediante diagramas de flechas, o también lo podemos llamar red de flechas. Lared se crea según el orden de realización de las tareas u operaciones, paso a paso, hasta elfinal del proyecto. Originalmente estas tareas u operaciones se llaman actividades. Untrabajo encargado a una persona responsable, bien lo realice personalmente o bien lohagan operarios a sus órdenes, es lo que podemos definir como actividades.

Una actividad puede comprender una sola tarea o bien una serie de ellas. Todo dependede la designación del responsable de los trabajos que se realizan bajo sus órdenes según la

conveniencia de la realización del proyecto. Por tanto habrá tantas actividades comoresponsables.

Gráficamente una actividad está compuesta de dos partes: la primera que es laejecución del trabajo y está representada por una flecha con orientación de izquierda aderecha → y la segunda se llama suceso que generalmente se dibuja con dos círculos odos rectángulos poniéndolos en los dos extremos de la flecha O→O.

El suceso que está al final de la flecha se llama «suceso inicial» y el suceso que conectaal comienzo de la flecha se le denomina «suceso final».

El suceso es un instante de la actividad que sirve como el punto de control, describiendoel momento de comienzo o terminación de una actividad.

La actividad es un símbolo de trabajo en proceso. Por tanto, todas las actividadesrequieren tiempo y recursos.

La longitud de la flecha no representa la cantidad de tiempo como en los gráficos deGANTT. Por ejemplo, en nuestra figura 7-1, la actividad A no es más corta de duración quela B, aunque las longitudes de las flechas lo sean:

La dirección de las flechas no tiene sentido vectorial. Es simplemente una progresión detiempo. Como el tiempo no retrocede, la orientación de la flecha siempre es de izquierda aderecha.

por ejemplo, podemos dibujar una red como sigue:




o también

Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, sino que pueden dibujarse encurva:

Esto depende de la facilidad que haya para representar las actividades en una red deflechas que refleje el orden y secuencia de las relaciones del proyecto.




Una actividad debe estar terminada para que la subsiguiente pueda comenzar. Comotodas las actividades tienen sus sucesos iniciales y finales, el suceso final de la actividadprecedente es el mismo suceso inicial de la subsiguiente:

Sin embargo, hay una excepción en los sucesos iniciales y finales. El primer sucesoinicial del proyecto no tiene una actividad que la preceda y el último suceso final tampocotiene una actividad que la subsiga.

Volvamos a nuestro ejemplo anterior (fig. 6-1) y lo representaremos con una red deflechas. Primero, en la fase de planificación es necesario estudiar las actividades que debenintervenir y sus relaciones de precedencia.

En el ejemplo citado las relaciones de precedencia son las siguientes:

Actividad A debe preceder a B y C.

Actividad B debe preceder a D.

Actividades C y D deben preceder a E.

Corrientemente, el diagrama se puede dibujar de la siguiente forma:

En los sistemas PERT y CPM se separa la actividad en dos sucesos, comoanteriormente hemos hablado, uniéndolos con una flecha. Así, podemos representar eldiagrama anterior:




Como el suceso final de la actividad precedente es igual que el suceso inicial de laactividad subsiguiente, excepto el primero y el último suceso, podemos dibujar la red deflechas de la siguiente forma:

La enumeración de los sucesos es otro sistema para la identificación de la actividad.Hemos visto el diagrama de flechas y que en cada flecha se ponía la denominación de laactividad. Pero para facilitar el cálculo en el ordenador es conveniente asignar númerosnaturales a los sucesos iniciales y finales. Por ejemplo, la figura 7-8 será numerada comosigue:

Así podemos llamar a las actividades de la siguiente manera:

Actividad A (1, 2).

Actividad B (2, 3).

Actividad C (2, 4).

Actividad D (3, 4).

Actividad E (4, 5).

En nuestro ejemplo vemos que cada actividad tiene dos números. A todos los sucesosiniciales los llamamos i y a los sucesos finales j.

Excepto el primer suceso inicial y el último suceso final, en todos los demás, la letra j dela actividad precedente es igual a la letra i de la subsiguiente.




Normalmente los i y j siguen la sucesión de números naturales con la i menor que la 1.Si se denomina 1 al primer suceso, y se sigue sucesivamente según el orden natural de losnúmeros enteros, entonces tenemos:

i = 1,2,3 .......................... (n - 1)

j= 2,3,4 ........................... ( n )

donde i es siempre menor que j.

De esta forma lo hemos enumerado en nuestro ejemplo. Para esta desigualdad i < j noes preciso que se cumpla si no se utiliza el ordenador para los cálculos. Porque para elcálculo a mano, podemos asignar cualquier número a un suceso determinado, sin tener encuenta la secuencia de los números naturales.

Normalmente, y para facilitar el orden de realización, es preferible la enumeraciónsecuencial, aunque se efectúen los cómputos a mano.




8. Tiempo de preparación y restricciones externas del proyecto

Generalmente en los modelos de red para proyectos hay un tiempo de preparaciónantes de ejecutarlos. En este tiempo, se realiza una serie de actividades restrictivas, porejemplo: petición de autorización, espera de la última decisión para el lanzamiento delproyecto, preparación de financiación, condiciones estacionales, etc.

El tiempo de preparación se representa con una línea sinuosa ~~→con tiempo 0 deduración. Aplicándolo a nuestro ejemplo anterior será:

Si añadimos una actividad restrictiva (la actividad F), que por ejemplo puede serautorización gubernamental. En este diagrama de flechas la actividad F no es una actividadinterna de la ejecución del proyecto. Vemos que en la figura 9-1 la flecha de la actividad Fapunta al suceso 2; esto quiere decir que para empezar la construcción de las actividades By C es preciso tener la autorización en regla.

También podemos interpretar el suceso 0 como el comienzo del proyecto, Y el suceso 1como el comienzo de la ejecución del mismo.




9. Flechas ficticias

En un diagrama de flechas, muchas veces existe una relación de precedencia entre dosactividades, pero no porque se requiera previamente ningún trabajo, ni recurso, ni tiempo,sino por circunstancias especiales, como veremos en los siguientes ejemplos. En estoscasos para expresar la conexión de estas actividades se crea una flecha ficticia,representada con una línea punteada (- - - ->)

Por ejemplo, supongamos que construimos un gran alternador eléctrico, en el taller decalderería, y no se puede realizar el estator y el rotor al mismo tiempo por su tamaño,siendo estas dos actividades independientes, y para expresar el orden de ejecución unimoscon una flecha ficticia, indicando que primero se hace el estator y luego el rotor.

En muchos diagramas, suele ocurrir que entre el mismo suceso inicial y el final,aparecen paralelamente varias actividades, como en el siguiente ejemplo:

En tal caso, para el cálculo de la duración del proyecto a mano no importa mucho quelas tres actividades se numeren de la misma forma (2, 3), ya que podemos llamar a lasmencionadas actividades por sus nombres A, B y C; pero para el uso del ordenador, no sepueden describir tres actividades con la misma enumeración (2, 3). Para evitar estaconfusión se pueden crear las actividades ficticias, aumentando los números de sucesos.




La enumeración nueva de nuestro ejemplo podrá hacerse de la siguiente forma:

Otra aplicación de las actividades ficticias es la designación específica de relaciones deprecedencia de ciertas actividades, a pesar de que existen otras actividades que parten delmismo suceso inicial. Con nuestro ejemplo anterior (fig. 9-1), las actividades F y A estánapuntando al suceso 2. Esto quiere decir que las actividades B y C pueden ‘comenzar unavez terminadas las A y F.

En caso de que la actividad F, sea sólo necesaria para la B, y no para la C, tenemos quetrazar una flecha ficticia para marcar la relación de precedencia entre la A y B, separando larelación de precedencia de las F y C.




10. Procedimientos para dibujar la red de flechas

Antes de confeccionar cualquier red de flechas, se debe concretar el objetivo delproyecto, es decir, el último suceso del diagrama. Una vez conocido el objetivo,normalmente se suele hacer una lista de las actividades que posiblemente intervendrán enel proyecto. Esta lista se puede hacer en una reunión, o bien consultando el planificador alos responsables del proyecto para ver cuál será el mejor modo de terminar el suceso finaly, por tanto el proyecto, anotando las actividades necesarias. Tanto en la reunión de todoslos responsables como en la consulta particular de cada uno, el planificador tiene siemprepresentes las siguientes preguntas a fin de relacionar las actividades en un orden lógico derealización en forma de red de flechas.

1. ¿Qué actividad debe preceder a ésta?

2. ¿Qué actividad puede seguir a ésta?

3. ¿Qué se puede realizar paralelamente al suceso inicial de ésta?

Volvamos al ejemplo anterior, en la figura 10-5. Seleccionamos cualquier actividad; porejemplo, la actividad C y hacemos las siguientes preguntas:

1. ¿Qué debe preceder a esta actividad C?

Siguiendo las exigencias del proyecto, la respuesta es: la actividad A.

2. ¿Qué puede seguir a ésta?

La actividad E.

3. ¿Qué se puede realizar al mismo tiempo que esta actividad? La actividad B.

Al realizar la B debe estar anteriormente terminada la F, pero exclusivamente para ésa,por eso se crea una actividad ficticia.




11. Ejemplos

Primer ejemploAntes de representar el proyecto en forma de red de flechas, es preciso terminar el

análisis de actividades que van a intervenir. Supongamos que tenemos seis actividadesbien definidas A, B, C, D, E y F, siendo las relaciones de precedencia entre ellas lassiguientes:

1. A y B pueden comenzar simultáneamente después de la actividad de T.P. (tiempo depreparación).

2. Actividades C, D y E pueden empezar solamente cuando termine la A.

3. Al terminar la actividad B, se comienza sólo la E.

4. Antes de empezar la F, deben estar terminadas las C, D y E.

Ahora podemos dibujar la red paso a paso.

Para el primer paso podemos trazar las siguientes flechas:

Tanto la longitud como la dirección de la flecha no tienen ningún significado vectorial.Por eso, la forma de dibujar la red es completamente a gusto del planificador.

El segundo paso es el siguiente:




El tercer paso es añadir una actividad E después del suceso 3, pero uniéndose con laactividad A con una flecha ficticia.

El cuarto paso es dibujar la actividad F detrás de las C, D y E.

Para facilitar la denominación de las actividades con los números naturales, esconveniente crear otra actividad ficticia para la C o la D, aumentando un suceso entre (2) y

(5) que es, en nuestra figura 12-4, el suceso 4.El suceso 6 es el último del proyecto; también podemos llamarle suceso objetivo.




La red también puede dibujarse al revés, o sea, empezando por el final.

Así el cuarto paso puede ser dibujado como primero.

El tercer paso como segundo:

El segundo paso (como tercero) es unir lasC, D y E con la A.

El primer paso (como cuarto) es terminar el suceso origen o sea el suceso inicial de laprimera actividad:

A pesar de que la numeración de la actividad ficticia entre (2) y (5) en el primer métodoes (4) y (5), y en el segundo es (2) y (4), la representación gráfica del proyecto es idéntica.

Segundo ejemplo




Anteriormente hemos supuesto que las actividades subsiguientes no puedenempezarse si no terminan completamente las actividades precedentes. Sin embargo,existen casos de realización de una obra en que no es preciso terminar éstas paracomenzar otras siguientes. En estos casos podemos dividir en partes la actividadmencionada. Con objeto de aclarar este punto ponemos el siguiente ejemplo: Una obraconsiste en poner una tubería subterránea de 10 km. La descripción de las actividades es:

1. Cavar 10 Km. de tierra.

2. Poner secciones de tubos.

3. Soldar todas las secciones de tubos.

4. Rellenar el terreno.

A simple vista podríamos trazar un diagrama de flechas como el siguiente:

Es evidente que la obra no se realiza de esa forma, sino que antes de terminar de cavarlos 10 Km. de terreno, ya se inicia el trabajo de poner las secciones de tubos. Así comoantes de poner a lo largo de 10 Km. las secciones de tubos, ya se empiezan las soldaduras.Entonces podemos modificar nuestro diagrama en la siguiente forma:

En este diagrama, la actividad de cavar sólo se termina en su primera parte, porejemplo: 2 km, y ya se comienza a poner secciones de tubos en esos terrenos cavados.

Por otro lado, antes de terminar de poner todas las secciones de tubos ya se inician lostrabajos de soldadura. Sin terminar la soldadura de todas las secciones se emprende eltrabajo de recubrir el terreno.




12. Cómputo de tiempo «lo más pronto posible» y «lo más tardepermisible» de comenzar y terminar una actividad

Hasta ahora podemos decir que hemos terminado la fase de planificación y entramos enla fase de programación. La programación consiste en estimar la duración de cadaactividad. Esta estimación puede ser deterministica o probabilistica.

Vamos a ver primero la determinística. Esto quiere decir que la duración será única yexacta.

Primero se construye el diagrama de flechas y se discute, entre los responsables queintervienen en el proyecto, sobre qué actividades son necesarias y qué relación deprecedencia hay entre ellas.

Luego se estima la duración t (i, j) de cada actividad.

Ahora se calculan los tiempos de lo más pronto posible en que puede empezar yterminar una actividad, y lo señalaremos con t(i) y t (j) respectivamente.

Por ejemplo, en la actividad (1, 2), el tiempo lo más pronto posible (t) de comenzar -t(1)-es cero y el tiempo lo más pronto posible de terminar -t (2)- es tres unidades de tiempo;ya que

t(2) = t(1) + t(1,2) = 0 + 3 = 3

En la actividad (1, 3) el tiempo t (1) es cero también y el tiempo t(3) = 4, ya que:

t(3) = t (1) + t (1, 3) = 0 + 4 = 4

Al empezar con los sucesos 2 y 3, los t = (i) son 3 y 4 unidades de tiempo

respectivamente. Por tanto el tiempo lo más pronto posible de comenzar para la actividad(2, 4) es t(2) = 3 y el de terminar es t(4) = t (2) + t(2, 4) = 3 + 8 = 11.




Por otro lado, la actividad (3, 4), los tiempos lo más pronto posibles de comenzar y

terminar son t (3) = 4 y t(4) = 9.

Como no se pueden comenzar las actividades (4, 5) y (4, 6) sin terminar los (2, 4) y (3,4) por completo y el tiempo que se tarda en cumplir estas tareas es 11, o sea el del suceso

4 cuyo tiempo es t(4)=11. Con el mismo razonamiento, para llegar al suceso t(5),elegiremos el camino más largo entre (2,5) = 3 + 15 =18 y (4, 5) = 11 + 5 = 16. Así que será18.

El suceso 6 tiene tres llegadas, o sea las actividades (3, 6), (4, 6) y (5, 6) cuyos tiemposson 7, 21 y 19 respectivamente; entonces el t (6) = 21.

El suceso final t(7) = 25 es la duración del proyecto. También es el camino más largodel proyecto, ya que como tiempo de cada suceso se elige el máximo de las duraciones delas actividades precedentes:

t(j) = máx. [t(i) + t(i,j)] j = 2,3,4...n

o también se puede poner:

t(j) = máx. [Σ t (i,j)] j = 2,3,4... n

Ahora vamos a calcular el tiempo lo más tarde permisible (t*) en que podemosterminar y comenzar. El tiempo lo más tarde permisible es muy importante, porque unretraso en cualquier suceso podrá arrastrar el retraso al último suceso.

El cómputo se hace desde el final del proyecto hacia el comienzo restando el tiempo decada actividad.

Para la actividad (6, 7), el tiempo lo más tarde permisible para terminar es 25 unidadesde tiempo y, lo más tarde permisible para comenzar es t*(7) - t(6, 7) = t*(6); o sea 25 - 4 =21.

Para la actividad (5. 6), el t*(5) es 20 (21 - 1).

Para el suceso (4), el t*(4) es 11, ya que entre los dos caminos que tenemos: t*(5) -t(4,5)=20 - 5 = 15 y t*(6) - t(4,6) = 21 - 10 = 11, se elegirá el menor de ellos y por eso es 11.

Para el suceso 2 también se tienen dos caminos: el menor de ellos es el t*(2) = 3.

Para el suceso 3, siguiendo el mismo razonamiento será t*(3) = 6.

Para el suceso 1, t (1) = 0.

Una interesante observación es que en el primero y en el último suceso, el tiempo lomás pronto posible es igual que lo más tarde permisible. En caso de que no sea así, elcómputo es erróneo.

Como resumen: el cómputo del tiempo lo más tarde permisible de un suceso se obtieneeligiendo el mínimo resultado de las diferencias entre los sucesos posteriores y lasduraciones correspondientes a las actividades que llevan a estos.

La fórmula es:

t*(i) = mín. [t* (j) - t(i,j)] j=1,2 ... (n-1)

puede expresarse en la siguiente fórmula:

t*(i) = min [Σt (i,j)]




donde

t(n) = t*(n) y t(1) = t*(1) = 0

Como t(n) es la duración total del proyecto, lo llamaremos t(n) = λ




13. Concepto de camino critico y holguras de tiempo

En cualquier proyecto, algunas actividades son flexibles, respecto a cuándo se puedencomenzar o terminar; otras no son flexibles, de forma que si se demora cualquiera de ellas,se retrasará todo el proyecto.

Estas actividades inflexibles se llaman criticas y la cadena de ellas forma un caminocrítico. El camino critico es la duración más larga através del proyecto. Hay siempre por lomenos un camino crítico en cada proyecto, y muchas veces varios.

Las actividades incluidas en el camino critico suelen ser del 10% al 20% de los totales.

Podemos definir el camino crítico como: "aquello en el cual las actividades no tienenholgura de tiempo para comenzar ni para terminar".

Desde el punto de vista de la dirección es muy importante estrechar la vigilancia sobrelas críticas, ya que al retrasarse cualquiera de ellas se retrasa todo el proyecto.

Asimismo, no se deben dejar de controlar las actividades no criticas, porque a pesar deque tengan holguras de tiempo o margen libre para la realización de la tarea, tanto paracomenzar como para terminar tienen su limite. Si se pasa este límite, se convierten encríticas. Por esta razón es conveniente calcular la magnitud de estas holguras de tiempo.

En CPM llaman a las holguras de tiempo tiempos flotantes.

Existen cuatro clases de tiempos flotantes:

a) Flotante total.

b) Flotante libre.

c) Flotante independiente.

d) Flotante programado.

a) Flotante total

Se calcula la diferencia entre el tiempo lo más tarde permisible en que se puedeterminar y el tiempo lo más pronto posible en que se puede comenzar una actividad, menosla duración de la misma. Por ejemplo, en la actividad (4, 5) tenemos que el tiempo lo mástarde permisible para terminar es 20, y el tiempo lo más pronto posible para comenzar es de11. La diferencia de éstos menos la duración de la propia actividad, es 5. El flotante total es

FT = t*(5) - t(4) - t(4, 5) = 20 - 11 - 5 = 4

El flotante total es la holgura que permite el que una actividad se pueda demorar sinafectar al tiempo programado en el proyecto.

Todas las actividades que tienen tiempos flotantes totales ceros, son actividadescríticas. Por tanto, las actividades (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6) y (6, 7) son críticas, en la figura14-2.

b) Flotante libre

El tiempo flotante libre es la cantidad de holgura disponible después de realizar laactividad si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos lo más pronto

posible del comienzo. O sea, la diferencia de los tiempos lo más pronto posible de




comenzar y terminar menos la duración de la actividad, por ejemplo, la actividad (5, 6) tieneel flotante libre:

FL= t(6) - t(5) -t(5,6) = 21 - 18 -1 = 2

Calcularemos los tiempos flotantes de nuestro ejemplo:

Veamos en la subruta (2, 5) y (5, 6). Cada actividad tiene a su disposición 2 unidades deflotante total para la realización del trabajo. Esto indica que estas dos unidades son paratoda la subruta. De forma que si se retrasaran dos unidades en la actividad (2, 5), entoncespara que el proyecto se cumpla en 25 unidades de tiempo, la actividad (5, 6) no debe serdemorada en ningún momento. En cambio, el flotante libre indica que si se quiere queempiece la actividad (5, 6) en su tiempo lo mas pronto posible t(5)=18, la actividadprecedente (2, 5) no deberá disponer de ninguna holgura de tiempo. El tiempo flotante libre,desde el punto de vista de la dirección es más interesante para el control del proyecto.

Ahora vamos a trasladar los resultados de los cálculos a un cuadro de cómputos detiempos.




c) Flotante independiente

El flotante independiente es la holgura disponible de una actividad, cuando la actividadprecedente ha terminado en el tiempo lo más tarde permisible, y la actividad subsiguiente a

la considerada comienza en el tiempo lo más pronto Posible. Esta holgura es escasa, y aveces negativa. Por ejemplo, la actividad (3, 4) tiene tiempo flotante independiente cero.

FI = t(4) - t*(3) - t (3,4) = 11 - 6 - 5 = 0.

d) Flotante programado.

El flotante programado tiene por objeto la distribución del tiempo flotante total de unasubruta no crítica según algún criterio. En nuestro ejemplo anterior, la subruta (2, 5) y (5, 6)tiene el flotante total dos unidades, y del flotante libre sólo goza la actividad (5, 6) con dosunidades. Sin embargo, por razones subjetivas, podemos repartir la holgura total en las dosactividades según los criterios, tales como el grado de incertidumbre de la estimación de

duración esperada, la función de la proximidad de la actividad a la ruta crítica, desconfianzaen el cumplimiento de plazos de entrega de ciertos suministradores o subcontratistas, etc.

Vamos a poner un ejemplo: Tenemos el diagrama

Las actividades A, B, C y D son criticas; mientras la E, F y G tienen las mismas holgurastotales. Sin embargo, a éstas no podemos distribuir la holgura total en igualdad decondiciones entre ellas, porque las varianzas de las tres actividades no críticas pueden serdistintas.

Si el criterio de la distribución de holgura total es la magnitud de la varianza de cadaactividad, el flotante programado estará determinado por la ponderación sobre el grado de

la incertidumbre de la duración estimada. Representaremos con IV el que se tiene queponderar a una actividad, y este peso varia de uno a nueve, números enteros. Supongamosque σ2

E = 4, σ2F = 0 y σ2

G = 9; entonces el flotante programado es:

(i,j) ∈ P

T

ij

P F W

W F

ij

⋅=∑




En el cuadro 14-2, se indica que a la actividad G, hay que darle más holgura que a la F,y a su vez, la E debe tener mas que la F.

En el gráfico de Gantt no se tiene en cuenta el reparto de holguras, sino se conviertentodas las actividades en criticas. Véase el gráfico 14-2.

Por otra parte, si se desea tener en cuenta el factor de promixidad al camino crítico,entonces se puede expresar en una función E(u), cuya determinación depende del criteriodel programador.

El cálculo del flotante programado será de la siguiente forma:




Si se retrasa la actividad E, más de lo que está permitido, disminuye la holgura detiempo para la G, que podría sobrepasar el tiempo total de las actividades criticas A, B y C,Para evitar cualquier error que puede retrasar el proyecto, ponderamos con mayor F(u) a la

G, con el fin de graduar la holgura de tiempo según la proximidad de la actividad al caminocritico.

)(),( uF jiF W

W F T

ij

ij

P ⋅=∑




14. Un criterio para acortamiento de la duración de proyecto

Como hemos visto, si queremos reducir la duración de un proyecto, es preciso acortarlas duraciones de las actividades críticas.

Sin embargo, ¿qué actividades críticas acortamos? Prescindiendo del criterio del costetotal mínimo de que hablaremos más tarde, ahora sólo elegiremos las actividades críticasque se han de acelerar desde el punto de vista de su control. Para aclarar este punto vamosa exponer un ejemplo:

Tenemos una red de flecha con las duraciones de sus actividades como se muestra enla siguiente figura:

Supongamos que vamos a acortar 2 unidades de tiempo, es decir, reducir la duracióndel proyecto desde 30 a 28 unidades.

Una reducción de tiempos de una actividad supone un mayor esfuerzo. Por tantoprocuraremos reducir el menor número posible de actividades. En nuestro ejemplo unareducción de 2 unidades sólo es aplicable a la actividad (1, 2) o la (5, 6), porque siacortamos la actividad (6, 8) o la (6, 7) tenemos que reducir las dos últimassimultáneamente. Si no es así, no se logrará el propósito de la duración total con 28unidades de tiempo. Ahora bien, vamos a ver que efectos se producen si acortamos la (1, 2)o la (5, 6).

a) Si acortamos la actividad (5,6)




El resultado es la conversión de dos actividades (2,4) y (4,6), en críticas.

b) Si acortamos la actividad (1,2)

El efecto de este acortamiento es el de no añadir ninguna actividad crítica a lasexistentes en la Figura 15-1.




Es obvio que se elegirá este último acortamiento porque tiene menos actividadescríticas para controlar




15. Relación entre la duración y el coste directo de una actividad

Si queremos acelerar la marcha de alguna actividad para reducir la duración delproyecto, es evidente que ello ocasionará un aumento de coste directo y a su vez unadisminución en el coste indirecto.

Por otra parte, muchos proyectos nos han sido impuestos con la condición de que si nose terminan en la fecha del contrato, nos exigirán indemnizaciones y, en cambio, siadelantamos el proyecto nos concederán una prima. Si queremos tener un juicio de sipreferimos recibir una prima o una penalidad, es imprescindible tener un criterio decomparación. Según este criterio se elige la combinación de duración-coste óptima entre ungran numero de combinaciones alternativas. El método CPM nos proporciona una técnicapara conocer la programación de un proyecto con la combinación coste-tiempo óptima.

Cada una de las actividades en el diagrama de flechas requiere cierta cantidad de

tiempo para su terminación. Esta es la duración de la actividad. Sin embargo, existe no sólouna duración, sino que podemos elegir entre una serie de posibles duraciones. Con laduración más corta, el coste directo para la terminación de esta actividad aumenta, Porejemplo, supongamos que hay una actividad que es el corte de chapas. Normalmente, setrabaja con un operario una máquina y un turno de trabajo. Ahora bien, si queremosacelerar el trabajo, y sólo se aumentan las turnos de trabajo sin aumentar la utilización deotras máquinas, es evidente que al aumentar el turno, aumentará el coste, y además elsalario del segundo turno no es el normal, sino con una prima en concepto de horasextraordinarias. Por eso, el aumento no es proporcional.

Haremos un ejemplo numérico: con un operario, un cortador y un turno hay que realizarel corte de chapa en 50 días, suponiendo el coste directo de la mano de obra es de 8.000ptas. (salario de 20 ptas./hora) y el del cortador de 10.000 ptas. Tenemos que el coste total

directo es de 18.000 ptas. Si aumentamos dos turnos de trabajo, disminuirá la duración,pero aumentarán los salarios y gastos generales adicionales. Vamos a ver todos los datosen el siguiente cuadro:




En nuestro ejemplo, hemos supuesto que sólo disponemos de tres operarios y uncortador; no se pueden aumentar los turnos de trabajo y, por tanto, no podemos disminuir laduración de la actividad más que en las actuales condiciones.

Naturalmente, si disponemos de más cortadores y máquinas, la duración disminuirá.Pero en este caso ya se han modificado las condiciones de nivel de inversión,incrementando el coste indirecto.

A través de este ejemplo numérico, podemos trazar la curva del coste directo de laactividad corte de chapa.




A medida que se aumentan los turnos, se incrementará el coste de la operación, perosiempre hay un tope, en el cual ya no se puede disminuir más la duración de la actividad,aunque se incremente el coste. Es inconcebible que la disminución de duración puedallegar a cero, aun cuando se utilicen todos los recursos de que se disponga.

A esta duración la llamaremos duración-tope con el signo d (i,j), y el coste de estaduración-tope, se denomina el coste tope (CT). El coste tope es el coste directo máselevado de la actividad.

Por otra parte, el coste más bajo de la actividad está relacionado con el punto de la

duración normal. Más allá de esta duración será irreal pues se daría más tiempo, más




coste. Este coste se llama coste normal (CN) y a la duración con el coste normal se le

designa el nombre de la duración normal D (i, i).

El punto de intersección entre el coste normal y la duración normal en el gráfico se llamapunto normal y el otro extremo el punto tope.

Entre la duración tope y la duración normal puede existir una gama continua de posiblesduraciones.

Para el caso general, podemos trazar una curva continua de coste directo de unaactividad que represente la relación entre la duración y el coste de la misma.

En la práctica, para facilitar el cálculo de coste-duración se sustituye la curva por unalínea recta, uniéndose el punto tope con el punto normal; o también, se pueden trazar lineas

poligonales convexas de más de un tramo rectilíneo entre los puntos normal y tope, segúnse muestra en la figura 20-3.




16. Criterio de elección de actividades para su acortamiento

El criterio de aceleración del proyecto es elegir para su reducción de tiempo derealización aquellas actividades cuyos incrementos de coste directo por unidad de tiemposean menores que en otras.

Es fácil de calcular el incremento de coste directo por unidad de tiempo:

(21-1)

Podemos representar la recta de duración-coste con la siguiente ecuación

b (i,j) - c (i,j) t (i,j) (21-2)

En nuestro ejemplo de corte de chapa, el CN = 18.000 y el CT = 22.200.

La duración normal D (i,j) = 50 días y la d (i,j) = 20 días. Con estos valores(prescindiendo de los valores intermedios) sustituimos en la ecuación (21-1)

por unidad de tiempo.

Esto quiere decir que al aumentar un día de trabajo, se disminuye el coste en 140pesetas.

Naturalmente para reducir la duración del proyecto, la primera condición es reducir las

duraciones de las actividades críticas, y la segunda es elegir, entre estas actividades, lasque tienen menor incremento del coste directo por unidad de tiempo.

),(),(),(

jid jiD

C C jic T N

−

−=

pesetasjic 14030

4200

2050

1800022000),( −=−=

−

+−=




17. Algunos casos especiales de duración-coste

Hasta ahora, sólo hemos mencionado la relación de duracion-coste en sentido general.Pero hay cuatro casos especiales que vamos a tratar:

a) Relación de duración-coste horizontal.

b) Casos no continuos.

e) Actividades artificiales.

d) Inclinación opcional del coste.

a) Relación horizontal

Muchas veces, en la práctica, se ve que al reducir la duración no se ocasiona almismo tiempo un aumento de coste. Por ejemplo, si el personal trabajó horasextraordinarias sin mas pagas que el jornal normal, esto significa la disminucion deduración sin incremento del coste directo por unidad de tiempo. Otro caso es quecon el mismo nivel de inversión. el personal responsable del cálculo de duración loha sobrestimado, y tiene que acortarlo ulteriormente para corregirlo. Esta clase dereducción no va acompañada de ningún aumento de coste directo.

b) Casos no continuos

Hay casos en que sólo existen los puntos tope y normal. En otras palabras, queen tal actividad no existe una relación de duración-coste en forma continua. Por

ejemplo, el correo postal con un pais extranjero en que sólo existen dos clases detarifas: aéreo o normal. No se hace la mitad del trayecto por ruta aérea y la otramitad por mar.

c) Actividades artificiales

En el diagrama de flechas, se representan estas actividades con líneaspunteadas y, como no requieren ni recursos ni tiempo, los puntos normales y topesson ceros. Estas actividades artificiales no tienen incremento de coste.

d) Inclinación opcional.

La inclinación indica el coeficiente del incremento del coste directo enrelación con la disminución de la duración. En nuestra figura 22-1, se puede acortar

la duración ventajosamente, pero no lo podemos hacer por razones ajenas, talescomo dificultades para disponer de fondos, o la gran inseguridad de estimación delcoste. Y por ello creamos una recta opcional que tenga mayor inclinación con el finde que al usar el ordenador, éste no nos indique que hay que acortar la duración.




18. Programación por el método CPM

Ya hemos visto la relación de duración-coste de una actividad. Ahora podemosasegurar:

a) Que la duración total del proyecto no puede ser inferior a la suma total de lasduraciones-topes de las actividades.

b) Que el mínimo coste directo total se da si todas las actividades han sidoprogramadas con duraciones normales.

El primer caso, lo llamamos todo tope duración del proyecto. El segundo, todo normalduración del proyecto. Entre estos dos extremos, existe un número infinito decombinaciones de duracion-coste del proyecto. Pero sólo hay unas pocas que pueden llevara cabo el proyecto con un coste total óptimo. El problema está en:

1. Identificar las actividades del proyecto que influyen en la duración de éste.

2. Especificar, para una duración determinada del proyecto aquella combinación de

duraciones de actividades que dé lugar al coste total óptimo.

Para la explicación más clara sobre el proceso de programación con el coste directo

total mínimo, empezaremos con un ejemplo numérico que lo resolveremos con un simplerazonamiento. Tenemos una red de flechas como sigue y con los valores en el cuadro 23-1.




Primera programación

La primera programación es la de todo normal de duraciones de las actividades delproyecto, en la cual, el coste directo total es mínimo, y la duración del proyecto es máslarga. Como el objetivo es buscar una duración del proyecto con coste total mínimo, espreciso encontrar otras duraciones del proyecto con los costes directos mínimos y luego lossumaremos con los costes indirectos para obtener los costes totales.

La duración que coincide con el punto mínimo resultante del coste total es la quedeseamos para nuestro proyecto.

En nuestro proyecto hay seis caminos con las siguientes duraciones del proyecto.

Camino primero

G (22) + H (14) + I(6) = 42 semanas

Camino segundo

T.P. (0) + A (8) + D (18) + H (14) + I(6) = 46 semanas

Camino tercero

T.P.(0) + A(8) + C(12) + E(10) + H(14) + I(6) = 50 semanas

Camino cuarto

T.P. (0) + A (8) + C(12) + F(8) + I(6) = 34 semanas




Camino quinto

T.P. (0) + B(14) + E(10) + H(14) + I(6) = 44 semanas

Camino sextoT.P. (0) + B(16) + F(8) + I(6) = 30 semanas

El camino más largo en duraciones de todo normal es el tercero

Obtenemos del cuadro 23-1 las duraciones y costes directos de todo normalprogramación en el cuadro 23-2.

Segunda programación

Si se desea la reducción del proyecto, las actividades que están en el camino critico de

la primera programación deben ser aceleradas. Cualquier intento en la reducción de otrasactividades no criticas significaría un aumento de coste directo sin afectar en nada a laduración del proyecto.

¿Qué actividades tenemos que reducir? Naturalmente se elegirá la que tenga el costepor unidad de tiempo más bajo. En nuestro cuadro 23-1, la actividad C debe ser acortada, yademás la duración normal de la C es de 12 semanas y la tope es de 6. Se pueden reducirhasta 6 semanas. Ahora bien, sólo vamos a reducir 4 semanas, y así tendremos la duracióndel proyecto con 46 semanas, igual que el camino segundo. Con esta reducción, vemos queel camino segundo se convierte también en crítico.




En caso de que no se redujeran 4 semanas en la actividad C sino en otras actividades,por ejemplo en A, el coste directo total hubiera sido mayor que si se reduce en la C o sea,en cifras concretas 6.380.000 pesetas, frente a 6.300.000 pesetas.

Si queremos reducir las 6 semanas en la actividad C para llegar a la duración de 44

semanas en vez de las 4 semanas que hemos reducido, se requiere una reducciónsimultánea de 2 en el camino segundo, para que queden los dos caminos iguales con unaduración de 44 semanas. En este caso, sólo se puede acelerar la actividad D, con un costedirecto adicional de 30.000 x 2 = 60.000 pesetas. El aumento total de coste directo por lareducción simultánea de las actividades C y D es de 100.000 + 60.000 = 160.000 pesetas.

Este aumento es más elevado que si se comprimiesen 2 semanas de la actividad A quees la ruta común para el camino segundo y tercero; y para la actividad A, el coste directoadicional de 2 semanas es sólo de 140.000 pesetas. Un ahorro de 20.000 pesetas.

También la actividad H es la ruta común de los dos caminos citados, pero el costedirecto adicional es de 300.000 pesetas por 2 semanas, no siendo conveniente reducirla.

Tercera programación

Según lo que hemos calculado en la segunda programación, no existe otra alternativaque la de reducir 2 semanas en la actividad A, ya que cualquier otra posibilidad, no daría elcoste directo total mínimo, con esa duración de 44 semanas y así se convierte el caminoquinto en el crítico.

Cuarta programación

Antes de decidir la cuarta programación, es necesario considerar las posibilidades deaceleración. Como queda sólo una posibilidad de reducción simple (la de la actividad H), yademás no siempre es mínimo el incremento del coste directo causado por esa reducción(como más tarde se verá) ya que en los tres caminos críticos existen otras combinacionesde actividades cuya reducción puede ser más ventajosa.

1ª. Reducción simple:

La actividad H que es camino común de tres caminos supone un coste directo adicionalde 150.000 pesetas, por semana.




2ª. Combinación de reducción:

A y B se comprimen simultáneamente. Esto equivale al aumento de coste directo de150.000 pesetas por semana.


D combina con C y B, esto significa un aumento de coste directo de 160.000 pesetas,por semana.


D y E al mismo tiempo incrementarán 120.000 pesetas por semana.

Aparentemente, lo más económico para reducir la duración del proyecto, es elegir lacuarta combinación de reducción, con el coste directo adicional de 120.000 pesetas porsemana. Por otra parte, la reducción de la E está limitada a 2 semanas, así que la duraciónmás corta para la cuarta programación será de 42 semanas con un incremento del costedirecto de 240.000 pesetas. Pero esta forma de aceleración no conduce a un coste directototal mínimo con la duración del proyecto en 42 semanas, porque hay otra posibilidad deque salga más barata.

Por ejemplo, si reducimos las actividades A y E simultáneamente en 2 semanas, el costedirecto adicional será de 320.000 pesetas, pero al mismo tiempo tenemos que aumentar laduración de C en 2 semanas, quedando todos los caminos en 42 semanas. Y así se ahorraun total de 100.000 pesetas. Entonces el coste directo adicional de la reducción de 2semanas va a ser de 220.000 pesetas (320.000 - 100.000); 20.000 pesetas más barata quela combinación cuarta anteriormente citada.

De lo expuesto se deduce la complejidad de las combinaciones de duración y coste parauna programación con coste directo total mínimo. En nuestro ejemplo hay pocos caminos,pero en la práctica, no es posible programar un proyecto complejo sin acudir a un modelo

matemático y al ordenador.

El diagrama de flechas se presenta en la siguiente forma:




En la cuarta programación, el camino primero se convierte en crítico.

Quinta programación

Las actividades A y E ya han llegado a su duración tope y no se pueden reducir más sustiempos de realización. Sólo quedan las siguientes posibilidades de reducción:

1. Reducción simple de la H con un coste directo adicional de 150.000 pesetas porsemana.

2. Combinación de reducción formada por las actividades B, C, D y G a 210.000pesetas por semana. Es natural que se elija la primera posibilidad, con unareducción de 2 semanas. Observamos que después de reducir la H, la segundacombinación de reducción, se queda como única posibilidad de reducción, porquedespués de ésta, en el camino quinto, todas las actividades llegan a sus duracionestopes. Esto quiere decir, que aunque no todas las actividades están en sus puntostopes, concretamente las C y D en las que todavía pueden reducirse sus duraciones,ya se haya llegado a la duración mínima del proyecto con 38 semanas.




La actividad G es discreta; se reduce de 22 a 2 semanas sin valores intermedios y, portanto, el camino primero se ha vuelto no critico.

Si hubiéramos programado el proyecto con las duraciones-topes de todas las

actividades, la duración del proyecto hubiera sido igual que 38 semanas, pero el coste




directo total hubiera ascendido a 8.690.000 pesetas. La diferencia representa un ahorro del14 % del coste directo total aproximadamente

Existen otras combinaciones de costes directos intermedios entre el mínimo y el todotope. Por ejemplo: si reducimos la duración de la D a tope, el coste directo total asciende a

7.390.000 pesetas; si se hace en la C, el coste directo total llega a 7.430000 pesetas y, porúltimo, si reducimos a tope las dos, el coste directo aumenta hasta 7.490.000 pesetas, etc.En resumen, en un proyecto complejo habrá miles de combinaciones de duraciones-costespara cada λ determinada; por eso no se puede resolver el problema como lo hemosresuelto. Sin embargo, con un modelo matemático se hallarán fácilmente las soluciones delcoste directo total mínimo para cada λ.

En la figura 23-7 la curva lineal gruesa representa los costes directos totales mínimos enrelación con las posibles duraciones del proyecto.



Bibliografía

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