Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es una fórmulaque proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima den (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdocon el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n enuna suma que implica términos de la forma axbyc, dondelos exponentes b y c son números naturales con b + c =n, y el coeficiente a de cada término es un número enteropositivo que depende de n y b. Cuando un exponente escero, la correspondiente potencia es usualmente omitidadel término. Por ejemplo,

(x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4.

El coeficiente a en los términos de xbyc - xcyb es conocidocomo el coeficiente binomial

(nb

)o(nc

)(los dos tienen el

mismo valor).

1 Formulación del teorema

Este teorema establece: Usando la fórmula para calcularel valor de

(nk

)(que también es representado ocasional-

mente como C(n, k) o Cnk ) se obtiene la siguiente re-

presentación:donde

(nk

)recibe el nombre de coeficiente binomial y re-

presenta el número de formas de escoger k elementos apartir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teo-rema del binomio se expresa en la siguiente variante:

1.1 Ejemplo

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coefi-cientes del triángulo de Pascal:

(2)

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

Para obtener la expansión de las potencias de una res-ta, basta con tomar -y en lugar de y en los términos conpotencias impares de y. La expresión (2) queda de la si-guiente forma:

(x− y)2 = x2 − 2xy + y2

2 Teorema generalizado del bino-mio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros ex-ponentes, considerando una serie infinita:

(3) (x+ y)r =∑∞

k=0

(rk

)xr−kyk

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, rpuede ser cualquier número real, no necesariamente po-sitivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(r

k

)=

1

k!

k−1∏n=0

(r−n) =r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1)

k!

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; enel caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r −1), etc., no aparecen en ese caso).Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

1

(1− x)r=

∞∑k=0

(r + k − 1

r − 1

)xk

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siem-pre que los números reales o complejos x e y sean sufi-cientemente cercanos, en el sentido de que el valor abso-luto | x/y | sea menor que uno.

3 Coeficiente binomial

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente bino-mial se presenta como

(αk

)de forma sencilla:

(α

k

):=

α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)

k!.

4 Historia

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descu-bierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibnal-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicandolos métodos de John Wallis de interpolación y extrapo-lación a nuevos problemas, Newton utilizó los concep-tos de exponentes generalizados mediante los cuales una

1

2 7 ENLACES EXTERNOS

expresión polinómica se transformaba en una serie infi-nita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un grannúmero de series ya existentes eran casos particulares,bien diferenciación, bien por integración.El descubrimiento de la serie binómica es un resultadoimportante de por sí; sin embargo, a partir de este descu-brimiento Newton tuvo la intuición de que se podía ope-rar con series infinitas del mismo modo que con expre-siones polinómicas finitas.Newton nunca publicó este teorema . Lo hizo Wallis porprimera vez en 1685 en suÁlgebra, atribuyendo aNewtoneste descubrimiento.El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Ele-mentos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término«coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stiferen el siglo XVI.Los binomios se resuelven también con expresiones alge-braicas.

5 Véase también

• Binomio

• Triángulo de Pascal

6 Referencias

• Bag, Amulya Kumar (1966). «Binomial theorem inancient India». Indian J. History Sci 1 (1): 68–74.

• Barth, Nils R. (noviembre de 2004). «Compu-ting Cavalieri’s Quadrature Formula by a Sym-metry of the n-Cube». The American Mathemati-cal Monthly (Mathematical Association of America)111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR4145193, author’s copy, further remarksand resources

• Graham, Ronald; Donald Knuth, Oren Patashnik(1994). «(5) Binomial Coefficients». Concrete Mat-hematics (2 edición). Addison Wesley. p. 153–256.ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.

• Solomentsev, E.D. (2001), "Newton binomial", inHazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathema-tics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• «Isaac Newton - Teorema del binomio».

7 Enlaces externos

• Stephen Wolfram. «Teorema del binomio (paso apaso)». The Wolfram Demonstrations Project (en in-glés). Wolfram Research.

• Bruce Colletti. «Teorema del binomio». The Wol-fram Demonstrations Project (en inglés). WolframResearch.

3

8 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias

8.1 Texto• Teorema del binomio Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_binomio?oldid=85334599 Colaboradores: AstroNomo, Zuirdj,Pino, Joseaperez, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Robbot, Sms, Cookie, EricRoss, RGLago, Dianai, Cinabrium, Gizmo2040, Rutrus, Rembiapopohyiete (bot), Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Yrbot, Oscar ., Vitamine, BOTijo, YurikBot, C-3POrao, Eskimbot, Götz, Tuncket,Laura Fiorucci, Moonkey, Retama, Davius, Jjafjjaf, Dorieo, RebelRobot, Escarbot, JAnDbot, Aliciadb, Gsrdzl, TXiKiBoT, Netito777,Claudio Elias, Rei-bot, Pólux, Rovnet, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, C'est moi, Matdrodes, Muro Bot, YonaBot, Meldor, SieBot,Cobalttempest, Tirithel, XalD, Antón Francho, Farisori, Eduardosalg, Gcapitan, Leonpolanco, Clauswifi, Alexbot, Lluvia, Raulshc, Açipni-Lovrij, Camilo, UA31, Ucevista, AVBOT, SpBot, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot, Luckas-bot, Yonidebot, ArthurBot, Bolors,SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Rubinbot, Cally Berry, FrescoBot, MAfotBOT, Hprmedina, RedBot, Marsal20, Binomio Newton, Patru-BOT, KamikazeBot, Javiermorenoventas, Fran89, Corrector1, EmausBot, Savh, Kmhkmh, Andrestamine, ChuispastonBot, Yvanehtnioj,MerlIwBot, Julio grillo, Vagobot, Invadibot, -seb-, Acratta, Helmy oved, Mrxandyo, Juankynobi, Gustavo Parker, Danixd53845, Legobot,JacobRodrigues, Señor pitudo667 y Anónimos: 120

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