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C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

I n t h e G I S l i t e r a t u r e , p a p e r s a b o u n d o n t e r r a i n i s s u e s . O b v i o u s l y , s u r v e y p a p e r s o n t e r r a i n s

h a v e b e e n w r i t t e n ( m o s t n o t a b l y , b y W e i b e l a n d H e l l e r 1 1 7 ] ) , a n d G I S t e x t b o o k s a l s o d e a l

w i t h t e r r a i n s 4 , 1 2 , 6 9 , 7 9 , 1 0 5 ] . B u t n o s u r v e y h a s b e e n w r i t t e n w i t h t h e e m p h a s i s o n

a l g o r i t h m s o n t e r r a i n s . T h i s i s a n a t t e m p t t o d o s o . I t i s a l m o s t i m p o s s i b l e t o p r o d u c e a

c o m p l e t e s u r v e y , o r e v e n a n e a r l y c o m p l e t e b i b l i o g r a p h y . I n s t e a d , t h i s s u r v e y h i g h l i g h t s

t h e m o s t i m p o r t a n t c o n c e p t s a n d p r o b l e m s o n t e r r a i n d a t a , a n d d i s c u s s e s a f e w a l g o r i t h m s

m o r e t h o r o u g h l y . T h e e m p h a s i s i s o n t h e e c i e n c y o f t h e a l g o r i t h m s , b u t i t a p p e a r s t h a t

` m o d e l ' a n d ` a l g o r i t h m ' c a n n o t b e s e e n a s s e p a r a t e i s s u e s . T w o a l g o r i t h m s t h a t c o m p u t e

t h e d r a i n a g e n e t w o r k o n a t e r r a i n g e n e r a l l y u s e a d i e r e n t m o d e l f o r t h e d r a i n a g e n e t w o r k ,

s o t h e a l g o r i t h m s t h a t p e r f o r m t h e c o m p u t a t i o n c a n n o t r e a l l y b e c o m p a r e d o n e c i e n c y :

t h e a l g o r i t h m s d o n ' t c o m p u t e t h e s a m e t h i n g . E v e n w o r s e , t h e a l g o r i t h m s m a y b e b a s e d

o n d i e r e n t t e r r a i n m o d e l s .

S i n c e t h e c h o i c e o f a m o d e l a n d a n a l g o r i t h m g o h a n d i n h a n d , t h i s s u r v e y w i l l d e a l

w i t h b o t h . W e c o n c e n t r a t e o n t h e T r i a n g u l a t e d I r r e g u l a r N e t w o r k m o d e l f o r r e p r e s e n t i n g

t e r r a i n s , b u t s o m e t i m e s w e a l s o d e a l w i t h t h e o t h e r c o m m o n m o d e l , t h e g r i d . T h e t e c h -

n i q u e s u n d e r l y i n g t h e a l g o r i t h m s h a v e b e e n d e v e l o p e d b o t h b y c o m p u t a t i o n a l g e o m e t e r s

a n d b y G I S r e s e a r c h e r s .

A n o t h e r i s s u e o f i m p o r t a n c e i s h o w t h e e c i e n c y o f a l g o r i t h m s s h o u l d b e a n a l y z e d .

C o m p u t a t i o n a l g e o m e t e r s u s u a l l y c o n s i d e r t h e w o r s t p o s s i b l e i n p u t s a n d m a k e s u r e t h a t

t h e a l g o r i t h m w o r k s w e l l e v e n i n t h e s e c a s e s . G I S r e s e a r c h e r s o f t e n d o n ' t a n a l y z e t h e i r

a l g o r i t h m s , o r g i v e t i m i n g s o f a n i m p l e m e n t a t i o n . W e ' l l a d o p t a n i n t e r m e d i a t e v i e w : i f t h e

w o r s t c a s e e c i e n c y i s o f t h e s a m e o r d e r a s t h e e x p e c t e d e c i e n c y f o r r e a l - w o r l d i n p u t s ,

t h e n w e ' l l u s e w o r s t c a s e a n a l y s i s . I f t h e r e s e e m s t o b e a n i m p o r t a n t d i e r e n c e , w e ' l l t r y t o

t r a c k d o w n w h y t h e w o r s t c a s e a n a l y s i s i s t o o p e s s i m i s t i c i n p r a c t i c e , a n d t r y t o m o t i v a t e

a m o r e r e a l i s t i c e c i e n c y s t a t e m e n t .

T h i s s u r v e y c e r t a i n l y d o e s n ' t i n c l u d e a l l a s p e c t s o f t e r r a i n m o d e l l i n g a n d a l g o r i t h m s .

N o t i n c l u d e d a r e d a t a c o m p r e s s i o n f o r t e r r a i n s 4 5 , 4 7 ] , s u r f a c e n e t w o r k s 9 0 , 1 1 4 , 1 1 9 ] ,

a n d d e a l i n g w i t h e r r o r s a n d u n c e r t a i n t y 5 , 6 , 7 2 ] . O t h e r a s p e c t s a r e t r e a t e d o n l y b r i e y ,

l i k e h i e r a r c h i c a l t e r r a i n m o d e l l i n g , v i e w s h e d a n a l y s i s , p a t h p l a n n i n g , a n d s t a t i s t i c s . A l s o

s t a n d a r d a l g o r i t h m s t h a t h a v e b e e n d e s c r i b e d i n a l l t e x t b o o k s o n c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y

1 7 , 8 5 , 9 2 ] a r e o m i t t e d a s w e l l . T h e s e i n c l u d e t h e c o m p u t a t i o n o f s u b d i v i s i o n i n t e r s e c t i o n

( o r : m a p o v e r l a y ) , V o r o n o i d i a g r a m s , a n d D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n s .

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C h a p t e r 2

T e r r a i n m o d e l s a n d r e p r e s e n t a t i o n

2 . 1 T h e r e g u l a r s q u a r e g r i d

1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 5 1 4 1 4 1 4

1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 4 1 4 1 3

1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 1 3 1 2

1 2 1 2 1 2

1 21 2

1 2 1 2

1 2

1 21 2

1 3 1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 1 1

1 11 2

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

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1 2

1 2 1 2

1 3

1 3

1 2 1 2

1 2

1 2

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1 0

1 0

9

1 1

1 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 2

F i g u r e 2 . 1 : A g r i d m o d e l f o r

e l e v a t i o n .

T h e r e g u l a r s q u a r e g r i d | o r s i m p l y g r i d | i s a s t r u c -

t u r e t h a t s p e c i e s v a l u e s a t a r e g u l a r s q u a r e t e s s a l a t i o n

o f t h e d o m a i n . I n t h e c o m p u t e r i t i s s t o r e d a s a t w o -

d i m e n s i o n a l a r r a y . F o r e v e r y s q u a r e i n t h e t e s s a l a t i o n , o r

e n t r y i n t h e a r r a y , e x a c t l y o n e e l e v a t i o n v a l u e i s s p e c i e d .

T h e r e a r e d i e r e n t i n t e r p r e t a t i o n s o f t h e g r i d . F i r s t l y , t h e

e l e v a t i o n c a n r e p r e s e n t t h e e l e v a t i o n f o r e v e r y p o i n t i n s i d e

t h e s q u a r e . I n t h i s c a s e t h e d i g i t a l e l e v a t i o n m o d e l i s a

n o n - c o n t i n u o u s f u n c t i o n . S e c o n d l y , t h e e l e v a t i o n c a n r e p -

r e s e n t o n l y t h e e l e v a t i o n a t t h e c e n t e r p o i n t o f t h e s q u a r e ,

o r t h e a v e r a g e e l e v a t i o n i n s i d e t h e s q u a r e . I n t h e s e c a s e s ,

a n i n t e r p o l a t i o n m e t h o d i s n e c e s s a r y t o g e t a d i g i t a l e l -

e v a t i o n m o d e l t h a t s p e c i e s t h e e l e v a t i o n o f e v e r y p o i n t .

A p o s s i b l e i n t e r p o l a t i o n m e t h o d f o r a n y p o i n t p d i e r e n t

f r o m a s q u a r e c e n t e r i s u s i n g t h e w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e e l e v a t i o n s o f t h e f o u r c e n t e r s

s u r r o u n d i n g t h e p o i n t p , w h e r e t h e w e i g h t d e p e n d s o n t h e d i s t a n c e s t o t h e c e n t e r s . B u t

t h e r e a r e o t h e r p o s s i b i l i t i e s t o o , l i k e i n t e r p o l a t i o n b y s p l i n e s .

2 . 2 T h e c o n t o u r l i n e m o d e l

I n t h e c o n t o u r l i n e m o d e l t o r e p r e s e n t e l e v a t i o n , s o m e s e t o f e l e v a t i o n v a l u e s i s g i v e n , a n d

e v e r y c o n t o u r l i n e w i t h o n e o f t h e s e e l e v a t i o n s i s r e p r e s e n t e d i n t h e m o d e l . S o a c o l l e c t i o n

o f c o n t o u r l i n e s i s s t o r e d a l o n g w i t h i t s e l e v a t i o n . S o m e t i m e s t h e t e r m i s o l i n e o r i s o c o n t o u r

i s u s e d w h e n t h e e l e v a t i o n m o d e l r e p r e s e n t s s o m e t h i n g e l s e t h a n h e i g h t a b o v e s e a l e v e l .

T h r o u g h o u t t h i s s u r v e y w e ' l l c o n t i n u e t o u s e c o n t o u r l i n e i n a l l s i t u a t i o n s .

A n c o n t o u r l i n e i s u s u a l l y s t o r e d a s a s e q u e n c e o f p o i n t s w i t h i t s x - a n d y - c o o r d i n a t e s .

I t t h e n r e p r e s e n t s a s i m p l e p o l y g o n o r p o l y g o n a l c h a i n o f w h i c h t h e e l e v a t i o n i s s p e c i e d .

S i n c e t h e c o n t o u r l i n e m o d e l s p e c i e s t h e e l e v a t i o n o n l y a t a s u b s e t o f t h e d o m a i n , a n

i n t e r p o l a t i o n m e t h o d i s n e e d e d t o d e t e r m i n e t h e e l e v a t i o n a t o t h e r p o i n t s . S i n c e a n y

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p o i n t l i e s i n a r e g i o n b o u n d e d b y c o n t o u r l i n e s o f o n l y t w o e l e v a t i o n s , o n e u s u a l l y o n l y

u s e s t h e b o u n d i n g c o n t o u r l i n e s f o r t h e i n t e r p o l a t i o n .

1 3

1 4

1 5

1 1

1 0

9

1 2

1 1

1 2

F i g u r e 2 . 2 : A n c o n t o u r l i n e

m o d e l f o r e l e v a t i o n .

T h e c o n t o u r l i n e s c a n b e s t o r e d i n a d o u b l y c o n n e c t e d

e d g e l i s t r e p r e s e n t a t i o n i n a c o m p u t e r . A n a l t e r n a t i v e t o

t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s b y m e a n s o f t h e c o n t o u r t r e e . A n

c o n t o u r l i n e s u b d i v i s i o n i s a s p e c i a l t y p e o f p l a n a r s u b d i -

v i s i o n w i t h n o v e r t i c e s o f d e g r e e t h r e e o r g r e a t e r . I n t h e -

o r y t h e y c o u l d e x i s t i f a n c o n t o u r l i n e c o n t a i n s a p a s s , b u t

s u c h a s i t u a t i o n w o u l d b e c o i n c i d e n t a l a n d u n d e s i r a b l e i n

m a p p i n g . S o o n e g e n e r a l l y a s s u m e s t h a t e a c h c o n t o u r l i n e

i s e i t h e r a c y c l e o f e d g e s ( p o l y g o n ) o r a c h a i n b e t w e e n t w o

p o i n t s o n t h e b o u n d a r y o f t h e e l e v a t i o n m o d e l . S u p p o s e

t h a t e v e r y c o n t o u r l i n e c o r r e s p o n d s t o a n o d e i n a g r a p h ,

a n d t w o n o d e s a r e c o n n e c t e d b y a n a r c i f t h e y b o u n d

t h e s a m e r e g i o n . T h i s g r a p h i s e a s i l y s e e n t o b e a t r e e ,

t h e c o n t o u r t r e e . A n c o n t o u r l i n e m o d e l c a n t h e r e f o r e b e

s t o r e d b y s t o r i n g t h e c o n t o u r t r e e , a n d w i t h e v e r y n o d e t h e c y c l e o r c h a i n o f e d g e s t h a t

t o g e t h e r f o r m t h e c o n t o u r l i n e .

2 . 3 T h e t r i a n g u l a t e d i r r e g u l a r n e t w o r k

1 2 1 2 1 3

1 4

1 5

1 4 1 4

1 2

1 4 1 3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 3

1 3

1 1

1 1

1 2

1 2

1 3

1 2

1 1

1 0

1 0

9

1 1

1 2

F i g u r e 2 . 3 : A T I N m o d e l f o r e l e v a -

t i o n .

I n t h e t r i a n g u l a t e d i r r e g u l a r n e t w o r k m o d e l , u s u -

a l l y a b b r e v i a t e d t o T I N , a n i t e s e t o f p o i n t s i s

s t o r e d t o g e t h e r w i t h t h e i r e l e v a t i o n . T h e p o i n t s

n e e d n o t l i e i n a n y p a r t i c u l a r p a t t e r n , a n d t h e d e n -

s i t y m a y v a r y i n t h e d o m a i n . O n t h e s e p o i n t s a

p l a n a r t r i a n g u l a t i o n i s g i v e n . A n y p o i n t i n t h e d o -

m a i n w i l l l i e o n a v e r t e x , a n e d g e o r i n a t r i a n g l e

o f t h e t r i a n g u l a t i o n . I f t h e p o i n t d o e s n ' t l i e o n a

v e r t e x , t h e n i t s e l e v a t i o n i s o b t a i n e d b y l i n e a r i n -

t e r p o l a t i o n ( o f 2 p o i n t s i f i t l i e s o n a n e d g e , a n d

o f 3 p o i n t s i f i t l i e s i n a t r i a n g l e ) . S o t h e m o d e l

i s a p i e c e w i s e l i n e a r m o d e l t h a t | i n 3 - d i m e n s i o n a l

s p a c e | c a n b e v i s u a l i z e d a s a s i m p l y c o n n e c t e d s e t

o f t r i a n g l e s . A T I N i s c o n t i n u o u s b u t n o t d i e r e n -

t i a b l e i n t h e w h o l e d o m a i n . T h e T I N m o d e l w a s

i n t r o d u c e d i n 1 9 7 8 8 9 ] ( s e e a l s o 5 0 , 8 7 ] ) .

2 . 3 . 1 S t o r i n g a T I N

A s u i t a b l e s t o r a g e s c h e m e o f a T I N i n s i d e t h e c o m p u t e r i s t h e d o u b l y c o n n e c t e d e d g e l i s t

9 1 , 9 2 ] , t h e q u a d e d g e s t r u c t u r e 5 8 ] , o r t h e q u a d v i e w s t r u c t u r e 3 1 ] . A l l t h r e e a r e w a y s

o f r e p r e s e n t i n g t h e t o p o l o g y o f a n y p l a n a r s u b d i v i s i o n . T h e s e r e p r e s e n t a t i o n s a l l o w s f o r

a l l n e c e s s a r y t r a v e r s a l o p e r a t i o n s i n a n e c i e n t m a n n e r .

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F i g u r e 2 . 4 : A T I N a n d t h e n e t w o r k s t r u c t u r e f o r i t . T h e t h r e e v a l u e s a n d t h e l i s t o f e a c h

v e r t e x a r e n o t s h o w n .

A n a l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o n c a n b e u s e d f o r t h i s s p e c i a l t y p e o f p l a n a r s u b d i v i s i o n ,

s e e a l s o F i g u r e 2 . 4 . T h i s a l t e r n a t i v e s a v e s s t o r a g e s p a c e w i t h o u t s a c r i c i n g e c i e n c y o f

t h e t r a v e r s a l p o s s i b i l i t i e s . F o r e v e r y t r i a n g l e t , e d g e e , a n d v e r t e x v , t h e r e i s a r e c o r d f o r

t h a t f e a t u r e . T h e r e c o r d o f a t r i a n g l e t h a s t h r e e e l d s w i t h p o i n t e r s . T h e s e p o i n t e r s a r e

d i r e c t e d t o t h e r e c o r d s o f e a c h o f t h e t h r e e e d g e s i n c i d e n t t o t . T h e r e c o r d o f a n e d g e e

h a s f o u r e l d s w i t h p o i n t e r s . T w o o f t h e p o i n t e r s a r e d i r e c t e d t o t h e r e c o r d s o f t h e t w o

i n c i d e n t t r i a n g l e s , a n d t h e o t h e r t w o p o i n t e r s a r e d i r e c t e d t o t h e r e c o r d s o f t h e i n c i d e n t

v e r t i c e s . T h e r e c o r d o f a v e r t e x v h a s f o u r e l d s o f w h i c h t h r e e a r e v a l u e s a n d o n e i s a

p o i n t e r t o a l i s t . T h e l i s t c o n t a i n s o n e e l e m e n t f o r e a c h e d g e i n c i d e n t t o v , a n d t h e e l e m e n t

s t o r e s a p o i n t e r t h a t i s d i r e c t e d t o t h e r e c o r d o f t h a t e d g e . T h e t h r e e v a l u e s a r e t h e x - a n d

y - c o o r d i n a t e s a n d t h e e l e v a t i o n o f t h e v e r t e x . T h e n e t w o r k s t r u c t u r e j u s t d e s c r i b e d a l l o w s

f o r n d i n g | f o r e v e r y t r i a n g l e | t h e e l e v a t i o n s o f i t s v e r t i c e s i n c o n s t a n t t i m e , n d i n g t h e

a d j a c e n t t r i a n g l e s f o r a g i v e n t r i a n g l e i n c o n s t a n t t i m e , a n d m o r e . T h i s a l l o w s u s , f o r

i n s t a n c e , t o w a l k t h r o u g h t h e t r i a n g u l a t i o n a l o n g a s t r a i g h t l i n e e c i e n t l y .

5

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6/43

2 . 3 . 2 T r a v e r s a l o f a T I N

T h e r e i s a n o l d b u t g o o d m e t h o d t o t r a v e r s e a T I N a n d v i s i t a l l i t s v e r t i c e s , e d g e s , a n d

t r i a n g l e s i n a s i m p l e w a y 5 1 , 5 3 , 5 5 ] . T h e n i c e t h i n g a b o u t t h e m e t h o d i s t h a t h a r d l y a n y

a d d i t i o n a l s t o r a g e i s n e e d e d : n o m a r k b i t s , n o s t a c k , j u s t o n e a c c e s s p o i n t t o t h e T I N .

L e t T b e a T I N s t o r e d i n t h e s t r u c t u r e j u s t d e s c r i b e d . F o r a n y t r i a n g l e , d e n e a n

i n c i d e n t e d g e t o b e i n i f i t b o u n d s t h e t r i a n g l e f r o m b e l o w , a n d d e n e i t t o b e o u t i f i t

b o u n d s t h e t r i a n g l e f r o m a b o v e . A v e r t i c a l e d g e b o u n d i n g a t r i a n g l e i s a l w a y s c o n s i d e r e d

o u t . N o w a l l t r i a n g l e s h a v e e i t h e r o n e i n e d g e a n d t w o o u t e d g e s , o r t w o i n e d g e s a n d

o n e o u t e d g e . T h e i n e d g e s w i l l r e p r e s e n t t h e e d g e t h r o u g h w h i c h t h e t r i a n g l e w i l l b e

e n t e r e d i n t h e t r a v e r s a l . T o m a k e s u r e t h a t w e e n t e r a t r i a n g l e o n l y o n c e , c o n s i d e r a n y

t r i a n g l e w i t h t w o i n e d g e s . O n e i s t o t h e l e f t o f t h e o t h e r , a n d w e t a k e t h a t t o b e t h e r e a l

i n e d g e . T h e o t h e r i n e d g e w i l l b e i n - a n d - b a c k : w e ' l l e n t e r t h e t r i a n g l e t h r o u g h i t , b u t

t h e a l g o r i t h m w i l l g o b a c k t h r o u g h t h a t s a m e e d g e i m m e d i a t e l y a f t e r . N o t e t h a t f o r a n y

t r i a n g l e , w e c a n d e t e r m i n e e a s i l y , i n c o n s t a n t t i m e , w h i c h o f i t s e d g e s a r e i n a n d o u t a n d ,

i f a p p l i c a b l e , d i s t i n g u i s h b e t w e e n t h e r e a l i n a n d t h e i n - a n d - b a c k e d g e s .

e

t

2

1

3

4

5

6

F i g u r e 2 . 5 : T r a v e r s i n g a T I N ; n u m b e r s a t

a r r o w s c o r r e s p o n d t o t h e a l g o r i t h m .

T h e a l g o r i t h m s t a r t s a t t h e t r i a n g l e t h a t

s h a r e s a n e d g e w i t h p a r t o f t h e b o t t o m b o u n d -

i n g r e c t a n g l e o f t h e T I N , a n d t h e l e f t m o s t

a m o n g t h e s e . L e t t h a t t r i a n g l e b e t , a n d l e t

e b e t h e e d g e t h a t l i e s o n t h e b o t t o m s i d e o f

t h e b o u n d i n g r e c t a n g l e . I n t h e a l g o r i t h m , e

w i l l b e t h e e d g e t h r o u g h w h i c h t w a s e n t e r e d .

S i n c e t h e r e a r e t w o t y p e s o f t r i a n g l e s , a n d

e a c h h a s t h r e e e d g e s , t h e a l g o r i t h m d i s t i n -

g u i s h e s s i x c a s e s t o d e c i d e h o w t h e t r a v e r s a l

s h o u l d p r o c e e d , s e e a l s o F i g u r e 2 . 5 .

1 . I f e i s t h e o n l y i n e d g e o f t , t h e n l e t e

0

b e t h e l e f t m o s t o u t e d g e o f t , a n d l e t t

0

b e

t h e t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f e . R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h t : = t

0

a n d e .

2 . I f e i s t h e r e a l i n e d g e , o r t h e o n l y i n e d g e o f t , t h e n l e t e

0

b e t h e ( l e f t m o s t ) o u t e d g e

o f t , a n d l e t t

0

b e t h e t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f e

0

. R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h

t : = t

0

a n d e : = e

0

.

3 . I f e i s a n i n - a n d - b a c k e d g e o f t , t h e n l e t t

0

b e t h e t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f e .

R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h t : = t

0

a n d e .

4 . I f t h a s t w o o u t e d g e s a n d e i s t h e l e f t m o s t o n e , t h e n l e t e

0

b e t h e r i g h t m o s t o u t e d g e

o f t , a n d l e t t

0

b e t h e t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f i t . R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h

t : = t

0

a n d e : = e

0

.

5 . I f t h a s t w o o u t e d g e s a n d e i s t h e r i g h t m o s t o n e , t h e n l e t e

0

b e t h e i n e d g e o f t , a n d

l e t t

0

b e t h e t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f i t . R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h t : = t

0

a n d

6

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e : = e

0

.

6 . I f e i s t h e o n l y o u t e d g e o f t , t h e n l e t e

0

b e t h e l e f t m o s t i n e d g e a n d t

0

t h e t r i a n g l e

o n t h e o t h e r s i d e o f i t . R e p e a t t h e a l g o r i t h m w i t h t : = t

0

a n d e : = e

0

.

I f t h e r e w a s n o t r i a n g l e o n t h e o t h e r s i d e o f t h e e d g e e

0

w e w a n t e d t o c r o s s , t h a t i s , t

0

d o e s n ' t e x i s t , t h e n w e d o t h e f o l l o w i n g . I f e

0

l i e s o n t h e l e f t , t h e r i g h t , o r t h e t o p s i d e o f t h e

b o u n d i n g r e c t a n g l e , t h e n w e s i m p l y s t a y i n t a n d s e t e : = e

0

. I f e l i e s o n t h e b o t t o m s i d e

o f t h e b o u n d i n g r e c t a n g l e , t h e n w e h a v e c o m e b a c k t o t h e t r i a n g l e w h e r e t h e a l g o r i t h m

s t a r t e d . W e m o v e t o t h e n e x t t r i a n g l e a l o n g t h e b o t t o m s i d e o f t h e r e c t a n g l e b o u n d i n g

t h e T I N , a n d s t a r t o v e r a g a i n . T h i s i s r e p e a t e d u n t i l a l l t r i a n g l e s a l o n g t h e b o t t o m s i d e

h a v e b e e n a s t a r t i n g p o i n t .

T h i s a l g o r i t h m v i s i t s e v e r y t r i a n g l e e x a c t l y o n c e i f w e d o n ' t c o u n t a c c e s s t h r o u g h a n

i n - a n d - b a c k e d g e . A t a l l t i m e s , w e n e e d o n l y k n o w t h e c u r r e n t t r i a n g l e , t h e e d g e t h r o u g h

w h i c h i t w a s a c c e s s e d , a n d t h e b o u n d i n g r e c t a n g l e . W e c a n r e p o r t a t r i a n g l e w h e n w e

v i s i t i t f o r t h e r s t t i m e . I f a l l e d g e s o r a l l v e r t i c e s o f t h e T I N s h o u l d b e r e p o r t e d , s o m e

s i m p l e a d a p t a t i o n s a r e n e e d e d .

T h e i d e a d e s c r i b e d a b o v e h a s b e e n e x t e n d e d t o t h e t r a v e r s a l o f o t h e r s u b d i v i s i o n s t h a n

o n l y t r i a n g u l a t i o n s 2 7 , 1 8 ] .

2 . 3 . 3 E c i e n t a c c e s s t o a T I N

I n a r e g u l a r s q u a r e g r i d s t r u c t u r e t h e r e i s d i r e c t a c c e s s t o e v e r y p a r t o f t h e t e r r a i n . I f o n e

w a n t s t o k n o w t h e e l e v a t i o n a t a p o i n t w i t h c o o r d i n a t e s x a n d y , t h e s e c o o r d i n a t e s c a n

s i m p l y b e r e w r i t t e n t o i n d e x v a l u e s i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l a r r a y . I n a T I N t h i s i s n o t s o

e a s y , b e c a u s e a T I N i s a p o i n t e r s t r u c t u r e . I f o n e w a n t s t o k n o w t h e e l e v a t i o n a t a p o i n t

g i v e n i t s c o o r d i n a t e s , o n e c o u l d t e s t e a c h t r i a n g l e t o s e e i f i t c o n t a i n s t h e p o i n t . T h i s i s

r a t h e r i n e c i e n t , o b v i o u s l y . W e b r i e y r e v i e w t h r e e m e t h o d s t o g a i n a c c e s s t o t h e T I N a t

a s p e c i c p o i n t .

A c c e s s u s i n g q u a d t r e e s . Q u a d t r e e s a n d o t h e r s p a t i a l i n d e x i n g s t r u c t u r e s c a n b e

u s e d t o g e t a c c e s s t o a T I N a t a s p e c i c q u e r y p o i n t e c i e n t l y . A q u a d t r e e i s a r o o t e d

s e a r c h t r e e o f d e g r e e f o u r , m e a n t t o s t o r e 2 - d i m e n s i o n a l d a t a . I t s n o d e s r e p r e s e n t a

r e c u r s i v e d e c o m p o s i t i o n o f a b i g s q u a r e ( a s s o c i a t e d w i t h t h e r o o t o f t h e q u a d t r e e ) i n t o

f o u r s u b s q u a r e s ( t h e c h i l d r e n o f t h e r o o t ) . E a c h o f t h e f o u r s u b s q u a r e s i s d e c o m p o s e d i n t o

f o u r y e t s m a l l e r s q u a r e s . F u r t h e r d e c o m p o s i t i o n s t o p s a s s o o n a s t h e d a t a t h a t f a l l s i n t h e

s u b s q u a r e i s s i m p l e e n o u g h t o h a n d l e i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r . T h i s d a t a i s s t o r e d i n

a l e a f o f t h e q u a d t r e e .

O n e m e t h o d t o s t o r e t h e t r i a n g l e s o f a T I N f o r f a s t a c c e s s i s t h e f o l l o w i n g , p r o p o s e d

b y C h e n 8 ] . C o n s i d e r a s q u a r e a r o u n d t h e T I N , a n d a s s o c i a t e i t w i t h t h e r o o t o f a q u a d

t r e e . C o n s i d e r t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l l i n e s t h a t s p l i t t h e s q u a r e i n f o u r s u b s q u a r e s .

A l l t r i a n g l e s i n t e r s e c t e d b y t h e s e l i n e s a r e s t o r e d w i t h t h e r o o t n o d e . A l l o t h e r t r i a n g l e s

l i e c o m p l e t e l y i n o n e o f t h e f o u r s u b s q u a r e s , a n d a r e s t o r e d r e c u r s i v e l y i n o n e o f t h e f o u r

s u b t r e e s b e l o w t h e r o o t .

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A n o t h e r p o s s i b i l i t y i s t o t a k e t h e s m a l l e s t e n c l o s i n g a x i s - p a r a l l e l r e c t a n g l e a r o u n d e a c h

t r i a n g l e o f t h e T I N . T h e r e s u l t i n g s e t o f r e c t a n g l e s m a y o v e r l a p , b u t o n e c a n e x p e c t t h a t

a t e a c h p o i n t t h e r e w o n ' t b e m a n y r e c t a n g l e s c o n t a i n i n g i t . A q u a d t r e e , s e g m e n t t r e e , o r

o t h e r 2 - d i m e n s i o n a l s e a r c h t r e e c a n b e u s e d t o s t o r e t h e r e c t a n g l e s , s e e f o r i n s t a n c e t h e

b o o k b y S a m e t 9 4 ] . F o r a q u e r y p o i n t , w e d e t e r m i n e a l l r e c t a n g l e s t h a t c o n t a i n i t , a n d

t h e n n d t h e t r i a n g l e e n c l o s e d b y o n e o f t h e l o c a t e d r e c t a n g l e s t h a t r e a l l y c o n t a i n s t h e

q u e r y p o i n t .

A c c e s s u s i n g p l a n a r p o i n t l o c a t i o n . I n t h e c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y e l d s e v e r a l

e c i e n t m e t h o d s h a v e b e e n d e v e l o p e d t o d e t e r m i n e w h i c h r e g i o n o f a s u b d i v i s i o n c o n t a i n s

a g i v e n q u e r y p o i n t . T h i s p r o b l e m i s k n o w n a s p o i n t l o c a t i o n . F o r a T I N w i t h n t r i a n g l e s ,

i t i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a n O ( n ) s i z e d a t a s t r u c t u r e t h a t a l l o w s f o r p o i n t l o c a t i o n i n

O ( l o g n ) t i m e . A m o n g t h e m a n y r e s u l t s , t h e m o s t s i m p l e a n d e c i e n t o n e s a r e b y S a r n a k

a n d T a r j a n 9 5 ] , C l a r k s o n a n d S h o r 1 3 ] , K i r k p a t r i c k 6 4 ] a n d S e i d e l 9 8 ] . D e s c r i p t i o n s c a n

a l s o b e f o u n d i n t e x t b o o k s o n c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y 1 7 , 8 5 , 9 2 ] .

J u m p - a n d - w a l k s t r a t e g y . B y f a r t h e s i m p l e s t m e t h o d t o l o c a t e a p o i n t i n a T I N i s t h e

j u m p - a n d - w a l k s t r a t e g y . I t a l s o r e q u i r e s v e r y l i t t l e a d d i t i o n a l s t o r a g e , s o i t m a y w e l l b e

t h e b e s t c h o i c e i n p r a c t i c e . S u p p o s e t h a t a c c e s s t o t h e T I N s t r u c t u r e i s p r o v i d e d b y o n e

p o i n t e r t o s o m e f e a t u r e . R a t h e r t h a n t r a v e r s i n g a l l t r i a n g l e s u n t i l w e n d o n e t h a t c o n t a i n s

t h e q u e r y p o i n t , w e c a n a l s o t r a v e r s e t h e T I N i n a s t r a i g h t l i n e f r o m t h e a c c e s s p o i n t t o

t h e q u e r y p o i n t . W e e x p e c t t o e n c o u n t e r m u c h f e w e r t r i a n g l e s o n t h e w a y t h a n i f w e w o u l d

t r a v e r s e t h e w h o l e s t r u c t u r e . I n d e e d , t h e e x p e c t e d q u e r y t i m e u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s

o n d i s t r i b u t i o n a n d s t a r t i n g p o i n t i s t h a t O ( n

1 = 3

) t r i a n g l e s a r e v i s i t e d . ( C h e c k M u c k e ,

S a i a s , Z h u , D e v r o y e , B o s e ) .

q

p

1

p

2

p

3

F i g u r e 2 . 6 : J u m p - a n d - w a l k w i t h

t h r e e s t a r t i n g p o i n t s .

T h i s j u m p - a n d - w a l k s t r a t e g y c a n b e r e n e d b y

a l l o w i n g m o r e t h a n o n e a c c e s s p o i n t e r . F o r i n s t a n c e ,

c h o o s e m p o i n t s p

1

; : : : ; p

m

i n t h e x y - p l a n e a n d e q u i p

e a c h o n e w i t h a p o i n t e r t o t h e t r i a n g l e o f t h e T I N

s t r u c t u r e c o n t a i n i n g i t . W h e n w e q u e r y w i t h a p o i n t

q , w e r s t d e t e r m i n e t h e a c c e s s p o i n t p

i

c l o s e s t t o

q i n O ( m ) t i m e , a n d t h e n w e s t a r t t r a c i n g t h e l i n e

s e g m e n t p

i

q , s t a r t i n g a t t h e t r i a n g l e c o n t a i n i n g p

i

. I t

i s p o s s i b l e t o n e t u n e t h e v a l u e o f m t o g e t t h e b e s t

p e r f o r m a n c e , t h a t i s , b a l a n c e t h e c o s t s o f n d i n g t h e

n e a r e s t c h o s e n p o i n t a n d t h e c o s t s o f w a l k i n g f r o m i t

i n t h e T I N .

2 . 4 C o n v e r s i o n b e t w e e n m o d e l s

T e r r a i n d a t a c a n b e e n t e r e d i n t o a G I S i n v a r i o u s f o r m a t s . O f t e n , c o n t o u r l i n e d a t a i s

e n t e r e d w h e n p a p e r m a p s w i t h c o n t o u r l i n e s a r e d i g i t i z e d . A l s o q u i t e o f t e n , g r i d d e d d a t a

i s t h e i n p u t f o r m a t , f o r i n s t a n c e w h e n t h e d a t a i s a c q u i r e d b y r e m o t e s e n s i n g o r a u t o m a t i c

p h o t o - i n t e r p r e t a t i o n . T h e r e a r e v a r i o u s r e a s o n s w h y d a t a i n o n e f o r m a t m a y n e e d t o b e

8

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t r a n s f o r m e d i n t o a n o t h e r . G r i d d e d d a t a u s u a l l y i s h u g e i n s i z e , r e s u l t i n g i n h i g h m e m o r y

r e q u i r e m e n t s a n d s l o w a l g o r i t h m s w h e n t h e d a t a i s p r o c e s s e d f u r t h e r . C o n t o u r l i n e d a t a

o f t e n n e e d s t o b e i n t e r p r e t e d a n y w a y b e f o r e a n y t h i n g u s e f u l c a n b e d o n e w i t h i t . I n s e v e r a l

c a s e s i t m a y h e l p t o s t o r e a n d c o m p u t e w i t h T I N s i n s t e a d . C o n v e r s i o n f r o m T I N s i n t o

g r i d s o r c o n t o u r l i n e s m a y a l s o b e u s e f u l . T h e f o r m e r p r o b l e m i s a l g o r i t h m i c a l l y q u i t e

s t r a i g h t f o r w a r d a n d w e w o n ' t d i s c u s s i t h e r e . T h e l a t t e r p r o b l e m s h o w s u p w h e n a T I N

i s v i s u a l i z e d ; w e d e a l w i t h t h a t i s s u e l a t e r i n S e c t i o n 3 . 1 .

T h i s s e c t i o n g i v e s a f e w a l g o r i t h m s a n d r e f e r e n c e s f o r c o n v e r t i n g t o T I N s . F i r s t w e

d i s c u s s h o w p o i n t s a m p l e d a t a c a n b e c o n v e r t e d t o a T I N , t h e n g r i d - t o - T I N c o n v e r s i o n i s

h a n d l e d , a n d t h e n w e g o f r o m c o n t o u r l i n e s t o a T I N .

2 . 4 . 1 F r o m p o i n t s a m p l e t o T I N

S u p p o s e a s e t P o f n p o i n t s i n t h e p l a n e i s g i v e n , e a c h w i t h a n e l e v a t i o n v a l u e . T o c o n v e r t

t h i s i n f o r m a t i o n i n t o a T I N , o n e c o u l d s i m p l y t r i a n g u l a t e t h e p o i n t s e t . I n f a c t , t h e

t r i a n g u l a t i o n i s a n i n t e r p o l a t i o n o f a r e g i o n b a s e d o n t h e p o i n t s o f P . I t i s c o m m o n t o u s e

t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n b e c a u s e i t a t t e m p t s t o c r e a t e w e l l - s h a p e d t r i a n g l e s . E c i e n t

a l g o r i t h m s f o r t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n h a v e b e e n k n o w n f o r a w h i l e . S e e f o r i n s t a n c e

L e e a n d S c h a c h t e r 7 0 ] , G u i b a s a n d S t o l 5 8 ] , o r a n y t e x t b o o k o n c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y

1 7 , 8 5 , 9 2 ] .

A v a r i a t i o n o f t h e p r o b l e m o c c u r s i f w e a r e g i v e n t h e s e t P o f p o i n t s i s g i v e n a n d a

m a x i m u m a l l o w e d e r r o r , a n d w e w i s h t o d e t e r m i n e a T I N w i t h a s f e w v e r t i c e s a s p o s s i b l e

s u c h t h a t a l l p o i n t s o f P , w h e n i n t e r p o l a t e d u s i n g t h e T I N , h a v e e r r o r a t m o s t . T h e

T I N v e r t i c e s n e e d n o t b e c h o s e n f r o m P . T h i s p r o b l e m i s k n o w n t o b e N P - h a r d 1 ] , s o

n o e c i e n t , p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m c a n b e e x p e c t e d . T h e r e a r e , h o w e v e r , a l g o r i t h m s

t h a t p r o d u c e a T I N w i t h i n m a x i m u m a l l o w e d e r r o r , a n d h a v e a g u a n t a n t e e o n h o w m a n y

m o r e v e r t i c e s a r e u s e d c o m p a r e d t o t h e o p t i m u m p o s s i b l e 1 ] .

A d i e r e n t p r o b l e m o c c u r s i f w e a r e g i v e n t h e p o i n t s e t P t o g e t h e r w i t h a n i n t e r p o l a t i o n

f u n c t i o n a n d a m a x i m u m e r r o r . T h e q u e s t i o n i s : c o n s t r u c t a T I N b a s e d o n P a n d t h e

i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n , s u c h t h a t a t a n y p o i n t , t h e i n t e r p o l a t e d e l e v a t i o n a n d t h e e l e v a t i o n

g i v e n b y t h e T I N d i e r b y a t m o s t t h e m a x i m u m e r r o r . N o w i t m a y n o t s u c e t o u s e o n l y

t h e p o i n t s o f P a s T I N v e r t i c e s , a n d w e n e e d t o s e l e c t m o r e p o i n t s . T h e d i c u l t y l i e s i n

w h i c h p o i n t s t o c h o o s e , s o w e n e e d n ' t c h o o s e t o o m a n y . S o m e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s u s e d

f o r p o i n t s e t s , b e s i d e s t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n i t s e l f , a r e n a t u r a l n e i g h b o r i n t e r p o l a t i o n

5 4 , 9 3 , 1 0 0 ] , w e i g h t e d m o v i n g a v e r a g e s 4 ] , v a r i o u s s p l i n e s 4 2 ] , a n d K r i g i n g 4 , 1 1 5 ] .

2 . 4 . 2 F r o m g r i d t o T I N

G r i d - t o - T I N c o n v e r s i o n c a n b e s e e n a s a s p e c i a l c a s e o f t h e c o n v e r s i o n o f s a m p l e p o i n t s t o

a T I N . A l s o , g r i d - t o - T I N c o n v e r s i o n c a n b e s e e n a s a s p e c i a l c a s e o f T I N g e n e r a l i z a t i o n :

r e d u c i n g t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f a T I N t o r e p r e s e n t a t e r r a i n . A g r i d c a n s i m p l y b e

t r i a n g u l a t e d t o a n e r e g u l a r t r i a n g u l a t i o n . V a r i o u s a l g o r i t h m s h a v e b e e n p r o p o s e d i n t h e

l i t e r a t u r e ; s e e f o r i n s t a n c e t h e c o m p a r i s o n b y L e e 7 4 ] . U s u a l l y , t h e m e t h o d s h a v e t w o

d i s t i n g u i s h i n g f e a t u r e s : ( 1 ) s e l e c t i n g w h i c h g r i d p o i n t s t o k e e p o r d i s c a r d , a n d ( 2 ) d e c i d i n g

w h e n t o s t o p s e l e c t i n g o r d i s c a r d i n g .

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F i g u r e 2 . 7 : L e f t , a T I N w i t h o n e v e r t e x i n d i c a t e d b y a c i r c l e . M i d d l e , t h e p o l y g o n t h a t

a p p e a r s w h e n t h e i n d i c a t e d v e r t e x i s r e m o v e d . R i g h t , a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e

p o l y g o n .

S o m e m e t h o d s s t a r t o u t b y d e t e c t i n g s u r f a c e s p e c i c f e a t u r e s o n t h e g r i d l i k e p e a k s ,

p i t s , s a d d l e p o i n t s , r i d g e s , a n d v a l l e y l i n e s 4 3 ] . T h e n t h e y c o m p l e t e t h e s e r e t a i n e d p o i n t s

a n d l i n e s e g m e n t s t o a T I N . E x t r a c t i o n o f s u r f a c e s p e c i c f e a t u r e s i s d i s c u s s e d l a t e r i n

t h i s s u r v e y .

A n o t h e r m e t h o d d e c i d e s w h i c h g r i d p o i n t s t o k e e p o r d i s c a r d b y i n i t i a l l y a s s i g n i n g

a n i m p o r t a n c e t o e a c h g r i d p o i n t 9 ] . T h e i m p o r t a n c e i s d e t e r m i n e d b y c o m p a r i n g t h e

e l e v a t i o n o f a g r i d p o i n t w i t h t h e i n t e r p o l a t e d e l e v a t i o n a t t h e g r i d p o i n t b a s e d o n t h e

e l e v a t i o n s o f t h e e i g h t n e i g h b o r s . O n l y t h e g r i d p o i n t s w h e r e t h e d i e r e n c e i s g r e a t e s t a r e

k e p t . T h e s e p o i n t s c a n b e t r i a n g u l a t e d , f o r i n s t a n c e u s i n g t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n ,

a n d b e c o m e t h e T I N v e r t i c e s .

A t h i r d m e t h o d d i e r s f r o m t h e p r e v i o u s o n e b y d i s c a r d i n g g r i d p o i n t s i n c r e m e n t a l l y

i n s t e a d o f u s i n g a p r e c o m p u t e d i m p o r t a n c e 7 3 , 7 4 ] . I n a s e n s e , t h e i m p o r t a n c e c o m p u t a -

t i o n i s p o s t p o n e d u n t i l t h e p o i n t i s r e a l l y d i s c a r d e d . A m o r e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n f o l l o w s

l a t e r .

F o u r t h l y , t h e r e a r e m e t h o d s t h a t s t a r t o u t w i t h a c o a r s e t r i a n g u l a t i o n o f o n l y t h e f o u r

c o r n e r g r i d p r i n t s , a n d k e e p o n r e n i n g t h e t r i a n g u l a t i o n b y a d d i n g m o r e p o i n t s i n t h e

t r i a n g l e s 3 6 , 5 9 , 1 0 2 ] . R e n i n g a t r i a n g l e f u r t h e r s t o p s w h e n t h e t r i a n g l e a p p r o x i m a t e s

t h e g r i d p o i n t s t h a t l i e i n i t s u c i e n t l y w e l l .

W e d e s c r i b e t w o m e t h o d s i n m o r e d e t a i l , n a m e l y , t h e d r o p h e u r i s t i c b y L e e 7 3 , 7 4 ]

o f t h e t h i r d t y p e , a n d a m e t h o d b y F j a l l s t r o m 3 6 ] o f t h e f o u r t h t y p e . T h e y h a v e t h e

a d d i t i o n a l f e a t u r e t h a t t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n i s t h e e n d p r o d u c t .

L e e ' s g r i d - t o - T I N a l g o r i t h m

L e e ' s d r o p h e u r i s t i c m e t h o d t a k e s a T I N a s i t s i n p u t , a n d i t e r a t i v e l y d i s c a r d s o n e v e r t e x

a t t h e t i m e t o o b t a i n a T I N w i t h f e w e r v e r t i c e s . O b v i o u s l y , i t a l s o a p p l i e s t o g r i d s a s i n p u t

i f w e c o n s i d e r i t t o b e a t r i a n g u l a t e d r e g u l a r g r i d . I f a v e r t e x i s d i s c a r d e d , t h e i n c i d e n t

e d g e s a r e a l s o r e m o v e d a n d a p o l y g o n a p p e a r s i n t h e s t r u c t u r e . T o g o b a c k t o a T I N , t h e

p o l y g o n i s t r i a n g u l a t e d u s i n g t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n . T h i s w i l l a s c e r t a i n t h a t i f t h e

a l g o r i t h m s t a r t s w i t h a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n , t h e n a f t e r e v e r y i t e r a t i o n w e ' l l s t i l l h a v e

a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n .

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T o d e c i d e w h i c h v e r t e x s h o u l d b e d i s c a r d e d , e a c h v e r t e x i s t e m p o r a r i l y r e m o v e d a n d

t h e a p p e a r i n g p o l y g o n i s t r i a n g u l a t e d | s e e F i g u r e 2 . 7 . T h e n w e d e t e r m i n e t h e v e r t i c a l

d i s t a n c e b e t w e e n t h e r e m o v e d p o i n t a n d t h e n e w , s i m p l i e d T I N . T h e r e m o v e d p o i n t l i e s

o n o n e o f t h e n e w t r i a n g l e s i n t h e p o l y g o n , s o t h i s i s e a s y t o d o . O n c e w e k n o w t h e v e r t i c a l

d i s t a n c e | i n f a c t , t h e e r r o r c r e a t e d a t t h e v e r t e x i f i t i s d i s c a r d e d | w e a d d t h e r e m o v e d

v e r t e x b a c k t o t h e T I N a n d t e m p o r a r i l y r e m o v e a n o t h e r v e r t e x . A f t e r w e h a v e d o n e s o

f o r a l l v e r t i c e s , w e s e l e c t t h e o n e f o r w h i c h t h e c o m p u t e d v e r t i c a l d i s t a n c e i s s m a l l e s t a n d

r e a l l y d i s c a r d i t . T h e p r o c e s s c o n t i n u e s u n t i l t h e c r e a t e d v e r t i c a l d i s t a n c e i s m o r e t h a n

t h e a l l o w e d e r r o r .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e e r r o r a t a v e r t e x a f t e r i t i s d i s c a r d e d c a n b e c o m e b i g g e r

w h e n m o r e v e r t i c e s a r e d i s c a r d e d . S o t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t t h e m a x i m u m e r r o r a t a l l

d i s c a r d e d v e r t i c e s r e a l l y i s w i t h i n t h e p r e s p e c i e d e r r o r . L e e ' s d r o p h e u r i s t i c c o m p l e t e l y

f o r g e t s a b o u t v e r t i c e s t h a t a r e d i s c a r d e d , a l t h o u g h a t t h e e x p e n s e o f m o r e c o m p u t a t i o n ,

a v a r i a n t o f t h e m e t h o d c o u l d s t i l l c o n s i d e r t h e m . B e l o w w e ' l l a n a l y z e t h e s t a n d a r d

a l g o r i t h m .

A s t r a i g h t f o r w a r d i m p l e m e n t a t i o n o f t h e a l g o r i t h m r e q u i r e s O ( n l o g n ) t i m e p e r i t e r a -

t i o n o n a T I N w i t h n v e r t i c e s . D i s c a r d i n g e a c h v e r t e x a n d r e t r i a n g u l a t i n g c a n b e d o n e i n

O ( n l o g n ) t i m e i n t o t a l . T h i s i s t r u e b e c a u s e t h e t o t a l c o m p l e x i t y o f a l l p o l y g o n s t o b e

t r i a n g u l a t e d i s l i n e a r i n n . U n f o r t u n a t e l y , t h e v e r t i c a l d i s t a n c e s m u s t b e r e c o m p u t e d a t

e a c h i t e r a t i o n , b e c a u s e t h e p r e v i o u s i t e r a t i o n m a y h a v e c h a n g e d t h e v e r t i c a l d i s t a n c e s . I t

i s p o s s i b l e t o c o n s t r u c t a n e x a m p l e o f a T I N w i t h n v e r t i c e s w h e r e t h e a l g o r i t h m h a s t o r e -

c o m p u t e t h e v e r t i c a l d i s t a n c e a t a v e r t e x w i t h l i n e a r d e g r e e i n t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n

a t m a n y i t e r a t i o n s , r e s u l t i n g i n a r u n n i n g t i m e o f ( n

2

l o g n ) t i m e .

I n p r a c t i c e , h o w e v e r , s u c h p a t h o l o g i c a l e x a m p l e s w o n ' t a p p e a r . L e t ' s c o n s i d e r t h e

s i t u a t i o n w h e r e a l l v e r t i c e s i n t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n s i n e a c h i t e r a t i o n h a v e c o n s t a n t

d e g r e e . T h e n w e c a n d e s i g n a v a r i a t i o n o f t h e g i v e n a l g o r i t h m w h i c h w i l l r u n i n O ( n l o g n )

t i m e . W e d e s c r i b e t h i s v a r i a t i o n b e l o w .

1 . F o r e a c h v e r t e x v i n t h e T I N :

T e m p o r a r i l y r e m o v e i t v .

C o m p u t e t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e a p p e a r i n g p o l y g o n .

D e t e r m i n e t h e v e r t i c a l d i s t a n c e o f v t o t h e n e w T I N .

A d d t h e r e m o v e d v e r t e x b a c k t o t h e T I N .

S t o r e a l l v e r t i c a l d i s t a n c e s s o r t e d i n a b a l a n c e d b i n a r y t r e e

T. A t e a c h n o d e o f

T

s t o r i n g a v e r t i c a l d i s t a n c e , s t o r e a p o i n t e r t o t h e v e r t e x i n t h e T I N t h a t g i v e s t h i s

v e r t i c a l d i s t a n c e . A t t h e v e r t e x , s t o r e a p o i n t e r b a c k t o t h e n o d e i n T .

2 . C o n s i d e r t h e n o d e w i t h s m a l l e s t v e r t i c a l d i s t a n c e i n T . I f t h e v e r t i c a l d i s t a n c e i s

g r e a t e r t h a n t h e p r e s p e c i e d m a x i m u m e r r o r , t h e a l g o r i t h m s t o p s . O t h e r w i s e :

R e m o v e t h e n o d e f r o m T .

R e m o v e t h e c o r r e s p o n d i n g v e r t e x i n t h e T I N s t r u c t u r e .

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F i g u r e 2 . 8 : T h e r i g h t T I N s h o w s t h e s i t u a t i o n i f t h e s q u a r e g r i d p o i n t o n t h e l e f t i s t h e

o n e w i t h m a x i m u m e r r o r .

3 . R e t r i a n g u l a t e t h e p o l y g o n u s i n g t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n . F o r e v e r y v e r t e x o f t h e

p o l y g o n :

R e m o v e t h e c o r r e s p o n d i n g n o d e i n T .

R e c o m p u t e t h e v e r t i c a l d i s t a n c e t o t h e t e r r a i n i f i t w e r e r e m o v e d .

I n s e r t t h e n e w v e r t i c a l d i s t a n c e i n T .

C o n t i n u e a t s t e p 2 .

I f a l l v e r t i c e s i n t h e T I N h a v e c o n s t a n t d e g r e e , t h e n e a c h i t e r a t i o n r e q u i r e s o n l y

O ( l o g n ) t i m e . T h e p o l y g o n t o b e r e t r i a n g u l a t e d o n l y h a s a c o n s t a n t n u m b e r o f v e r -

t i c e s , a n d o n l y o f t h e s e a n e w v e r t i c a l d i s t a n c e n e e d b e c o m p u t e d . T h e i n s e r t a n d d e l e t e

o p e r a t i o n s o n t h e t r e e T t a k e O ( l o g n ) t i m e a p i e c e . S o o n e e x p e c t s t h e a l g o r i t h m t o t a k e

o n l y O ( n l o g n ) t i m e .

F j a l l s t r o m ' s g r i d - t o - T I N a l g o r i t h m

T h e o r i g i n a l d e s c r i p t i o n o f F j a l l s t r o m ' s a l g o r i t h m w a s f o r t h e a p p r o x i m a t i o n o f a s e t o f

s a m p l e p o i n t s , w h i c h h a s g r i d - t o - T I N a s a s p e c i a l c a s e . T h e a l g o r i t h m | d e s c i b e d b e l o w |

t a k e s a g r i d a n d a m a x i m u m a l l o w e d e r r o r a s t h e i n p u t . U n l i k e L e e ' s a l g o r i t h m , t h e

a l g o r i t h m t o b e d e s c r i b e d d o e s g u a r a n t e e t h a t t h e n a l T I N a c t u a l l y h a s e r r o r a t m o s t .

1 . L e t P b e t h e s e t o f m i d p o i n t o f g r i d c e l l s , w i t h t h e e l e v a t i o n v a l u e a s s o c i a t e d . T a k e

t h e c o r n e r p o i n t s , p u t t h e m i n a s e t S u n d e r c o n s t r u c t i o n .

2 . C o m p u t e t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n D T ( S ) o f S .

3 . D e t e r m i n e f o r a l l p o i n t s i n P n S i n w h i c h t r i a n g l e o f D T ( S ) t h e y f a l l . F o r p o i n t s

o n e d g e s w e c a n c h o o s e e i t h e r o n e . S t o r e w i t h e a c h t r i a n g l e o f D T ( S ) a l i s t o f t h e

p o i n t s o f P n S t h a t l i e i n i t .

4 . I f a l l p o i n t s o f P n S a r e a p p r o x i m a t e d w i t h e r r o r a t m o s t b y t h e c u r r e n t T I N t h e n

i t i s a c c e p t e d a n d t h e a l g o r i t h m s t o p s . O t h e r w i s e , t a k e t h e p o i n t w i t h m a x i m u m

a p p r o x i m a t i o n e r r o r , a d d i t t o S , a n d c o n t i n u e a t s t e p 2 .

1 2

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I f w e a s s u m e a s i m p l e a n d s l o w i m p l e m e n t a t i o n o f t h e a l g o r i t h m , w e o b s e r v e t h a t a t

m o s t n t i m e s a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n i s c o m p u t e d . F o r e a c h o n e , t h e p o i n t s i n P

nS a r e

d i s t i b u t e d a m o n g t h e t r i a n g l e s o f D T ( S ) . T h i s r e q u i r e s ( n

3

) t e s t s o f t h e t y p e p o i n t i n

t r i a n g l e , i f a l i n e a r n u m b e r o f p o i n t s a r e a d d e d t o S .

A m u c h f a s t e r i m p l e m e n t a t i o n h a s a w o r s t c a s e p e r f o r m a n c e o f O ( n

2

l o g n ) t i m e , a n d

i n p r a c t i c a l s i t u a t i o n s e v e n b e t t e r . T h e a l g o r i t h m r e s e m b l e s t h e i n c r e m e n t a l c o n s t r u c t i o n

a l g o r i t h m o f t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n q u i t e a b i t 1 7 , 5 6 , 1 3 ] . T h i s a l g o r i t h m , h o w e v e r ,

m u s t a l s o d i s t r i b u t e t h e p o i n t s o f P n S a n d n d t h e o n e w i t h m a x i m u m a p p r o x i m a t i o n

e r r o r . W e ' l l s h o w t h a t t h e s e s t e p s c a n b e d o n e e c i e n t l y .

A s s u m e t h a t p 2 P n S i s f o u n d t o b e t h e p o i n t w i t h m a x i m u m e r r o r , a n d p m u s t b e

a d d e d t o S . T h e n w e l o c a t e t h e t r i a n g l e t o f D T ( S ) t h a t c o n t a i n s p , a n d w e n d t h e

v e r t i c e s t h a t w i l l b e c o m e n e i g h b o r s o f p i n D T ( S f p g ) . T h i s u p d a t e s t e p o f t h e D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n i s t h e s a m e a s i n t h e i n c r e m e n t a l c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m . T o d i s t r i b u t e t h e

p o i n t s o f P n ( S f p g ) o v e r t h e t r i a n g l e s o f D T ( S f p g ) , o b s e r v e t h a t o n l y t h e t r i a n g l e s o f

w h i c h p i s a v e r t e x i n D T ( S f p g ) h a v e c h a n g e d . S o f o r a l l t r i a n g l e s o f D T ( S ) t h a t d o n ' t

e x i s t i n D T ( S f p g ) , w e c o l l e c t t h e a s s o c i a t e d l i s t s o f p o i n t s . S o r t t h e m b y a n g l e a r o u n d

p , a n d u s e t h i s o r d e r t o d i s t i b u t e t h e m a m o n g t h e n e w t r i a n g l e s i n n e w l i s t s .

T h e p r o b l e m t h a t r e m a i n s i s l o c a t i n g t h e p o i n t w i t h m a x i m u m e r r o r . T h i s i s s o l v e d b y

m a i n t a i n i n g o n e b a l a n c e d b i n a r y t r e e T . E a c h n o d e o f T s t o r e s o n e p o i n t o f P n S , a n d t h e

o r d e r i s b y t h e e r r o r i n d u c e d b y e a c h . S e e F i g u r e 2 . 9 . T h i s a l l o w s u s t o l o c a t e t h e p o i n t

p w i t h m a x i m u m e r r o r e c i e n t l y . W h e n p i s m o v e d f r o m P n S t o S , a n d t h e D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n i s c h a n g e d a c c o r d i n g l y , w e m u s t r e c o m p u t e t h e e r r o r s o f a l l p o i n t s i n P n S

( n o w w i t h o u t p ) t h a t l i e i n n e w t r i a n g l e s . F o r e a c h s u c h p o i n t , t h i s r e q u i r e s o n e d e l e t i o n

a n d o n e r e - i n s e r t i o n i n T . N o t e t h a t c r o s s - p o i n t e r s a r e r e q u i r e d b e t w e e n t h e l i s t s w i t h

t r i a n g l e s , a n d t h e n o d e s o f T . O t h e r w i s e w e c o u l d n ' t l o c a t e t h e p o i n t s o f w h i c h t h e e r r o r

h a s c h a n g e d e c i e n t l y .

I f k i s t h e n u m b e r o f n e i g h b o r s o p p i n D T ( S f p g ) , a n d m i s t h e n u m b e r o f p o i n t s

i n t h e t r i a n g l e s i n c i d e n t t o p , t h e n t h e r e n e d a l g o r i t h m r e q u i r e s O ( k + l o g n ) t i m e f o r

u p d a t i n g t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n , O ( k + m l o g m ) t i m e t o r e d i s t r i b u t e t h e p o i n t s , a n d

O ( m l o g n ) t i m e t o m a i n t a i n t h e b a l a n c e d b i n a r y t r e e s o r t e d o n e r r o r . I n t h e w o r s t c a s e ,

m a n d k a r e b o t h l i n e a r i n n , g i v i n g a n w o r s t c a s e p e r f o r m a n c e o f O ( n

2

l o g n ) .

O n e c a n e x p e c t t h a t k i s u s u a l l y c o n s t a n t , a n d a f t e r a c o u p l e o f i t e r a t i o n s o f t h e

a l g o r i t h m , m w i l l p r o b a b l y b e m u c h s m a l l e r t h a n n . T h e m o r e i t e r a t i o n s , t h e s m a l l e r m

t e n d s t o b e . O n e c a n e x p e c t t h a t t h e a l g o r i t h m b e h a v e s m o r e l i k e t h e b e s t c a s e i n p r a c t i c e

t h a n l i k e t h e w o r s t c a s e . I n t h e b e s t c a s e , k w i l l b e c o n s t a n t , a n d e v e r y l i s t o f p o i n t s s t o r e d

w i t h a t r i a n g l e r e d u c e s i n l e n g t h c o n s i d e r a b l y e a c h t i m e i t i s i n v o l v e d i n a r e d i s t r i b u t i o n .

I f t h i s i s s o , t h e n t h e a l g o r i t h m w i l l t a k e O ( n l o g n ) t i m e .

2 . 4 . 3 F r o m c o n t o u r l i n e t o T I N

C o n t o u r l i n e t o T I N c o n v e r s i o n a l g o r i t h m s a r e u s e f u l b e c a u s e e l e v a t i o n d a t a i s o f t e n o b -

t a i n e d b y d i g i t i z i n g c o n t o u r l i n e m a p s . A c o n t o u r l i n e m a p i s a l r e a d y a v e c t o r d a t a

s t r u c t u r e , i n f a c t , a p l a n a r s u b d i v i s i o n w h e r e t h e v e r t i c e s a n d l i n e s a r e a s s i g n e d t h e e l e -

v a t i o n o f t h e c o n t o u r l i n e t h e y a r e o n . T o c o n v e r t t h e c o n t o u r l i n e s t o a T I N , t h e o b v i o u s

t h i n g t o d o i s t r i a n g u l a t e a l l r e g i o n s , t h a t i s , t r i a n g u l a t e b e t w e e n t h e c o n t o u r l i n e s . E a c h

1 3

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n o d e f o r p o i n t

w i t h m a x i m u m

e r r o r

n o d e f o r p o i n t

w i t h m i n i m u m

e r r o r

T

F i g u r e 2 . 9 : T h e T I N w i t h l i s t s s t o r e d w i t h t h e t r i a n g l e s ( o n l y t w o a r e s h o w n ) , t h e t r e e

T

s o r t e d o n e r r o r , a n d t h e c r o s s - p o i n t e r s .

r e g i o n c a n b e s e e n a s a p o l y g o n w i t h h o l e s , a n d t h e r e a r e s t a n d a r d t r i a n g u l a t i o n a l g o r i t h m s

k n o w n f o r t h i s p r o b l e m i n c o m p u t a t i o n a l g e o m e t r y 1 7 , 8 5 , 9 2 ] .

I n s t e a d o f u s i n g t h e s t a n d a r d t r i a n g u l a t i o n i t m a y b e a g o o d i d e a t o u s e t h e s o -

c a l l e d c o n s t r a i n e d D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n 1 0 , 2 2 , 2 3 ] . I t i s a v a r i a t i o n o f t h e s t a n d a r d

t r i a n g u l a t i o n i n c a s e s w h e r e e d g e s a r e a l r e a d y p r e s e n t , a n d t h e s e m a y n o t b e i n t e r s e c t e d b y

t r i a n g u l a t i o n e d g e s w h e n c o m p l e t i n g t h e s i t u a t i o n t o a p r o p e r t r i a n g u l a t i o n . F o r t h e r e s t ,

t h e c o n s t r a i n e d D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n r e s e m b l e s t h e s t a n d a r d D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n a s

m u c h a s p o s s i b l e .

I n t h e G I S l i t e r a t u r e , a c o u p l e o f a p p r o a c h e s h a v e b e e n t a k e n a s w e l l 4 8 , 9 6 , 1 1 ,

2 9 ] . O n e o f t h e p r o b l e m s w i t h t h e m e t h o d s m e n t i o n e d a b o v e i s t h a t t h e y m a y c r e a t e

h o r i z o n t a l t r i a n g l e s . T h e s e a r e u n d e s i r a b l e w h e n v i s u a l i z i n g t h e t e r r a i n . S e v e r a l o f t h e

k n o w n m e t h o d s t r y t o a v o i d s u c h h o r i z o n t a l t r i a n g l e s . H e r e w e w o n ' t d e a l w i t h t h i s t y p e

o f t e r r a i n m o d e l c o n v e r s i o n .

1 4

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T

1

T

2

o v e r l a y t r i a n g u l a t i o n

h e i g h t o f t h e g r o u n d w a t e r a b o v e s e a l e v e l . S i m i l a r l y , i f t h e d e p t h s f r o m t h e s u r f a c e t o t w o

t y p e s o f s o i l d a t a i s s t o r e d i n t e r r a i n s , t h e n t h e t h i c k n e s s o f t h e s o i l i n b e t w e e n c a n b e

o b t a i n e d b y s u b t r a c t i o n .

A s a n e x a m p l e w h e r e i t i s u s e f u l t o s q u a r e a n d c u b e t e r r a i n d a t a , c o n s i d e r w i n d e r o s i o n

8 0 ] . P a r t i c l e s o f a c e r t a i n s i z e c a n b e t r a n s p o r t e d b y t h e w i n d a n d d e p o s i t e d a g a i n . I t

h a s b e e n s h o w n t h a t t h e d e t a c h m e n t c a p a c i t y o f w i n d v a r i e s w i t h t h e s q u a r e o f t h e w i n d

v e l o c i t y , a n d t h e t r a n s p o r t i n g c a p a c i t y w i t h i t s c u b e . S o i f e l e v a t i o n d a t a o f w i n d v e l o c i t y

i s g i v e n , w e c a n c o m p u t e t h e s e c a p a c i t i e s b y s q u a r i n g a n d c u b i n g t h e d a t a .

2 . 6 . 1 A d d i n g a n d s u b t r a c t i n g t e r r a i n s

A s s u m e t h a t t w o T I N s T

1

a n d T

2

a r e g i v e n , a n d w e w i s h t o a d d t h e e l e v a t i o n d a t a .

S u b t r a c t i n g w o u l d b e t h e s a m e a f t e r p l a c i n g a m i n u s s i g n b e f o r e t h e e l e v a t i o n d a t a o f t h e

t e r r a i n t o b e s u b t r a c t e d . T h e a d d i t i o n o f t w o T I N s c a n b e d e t e r m i n e d e x a c t l y a n d s t o r e d

i n t o a n e w T I N , b e c a u s e t h e a d d i t i o n o f p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n s ( w h i c h T I N s r e p r e s e n t )

a g a i n y i e l d s a p i e c e w i s e l i n e a r f u n c t i o n . T h e a d d i t i o n i s d o n e b y p e r f o r m i n g a n o v e r l a y o f

T

1

a n d T

2

. T h e r e a r e s e v e r a l a l g o r i t h m s k n o w n f o r c o m p u t i n g t h e o v e r l a y 3 2 , 5 7 , 7 6 , 8 3 ] .

A f t e r c o m p u t i n g t h e o v e r l a y | t h e r e n e m e n t o f e a c h o f t h e T I N s | w e o b t a i n a s u b d i v i s i o n

w h e r e a l l f a c e s h a v e t h r e e , f o u r , v e , o r s i x e d g e s . I t i s t r i v i a l t o t r i a n g u l a t e a n d o b t a i n

a p r o p e r T I N a g a i n . W e n o w m u s t l l i n t h e h e i g h t i n f o r m a t i o n f o r t h e v e r t i c e s o f t h e

o v e r l a y . E v e r y v e r t e x o r i g i n a l l y i n T

1

r e c e i v e s i t s h e i g h t p l u s t h e i n t e r p o l a t e d h e i g h t i n

T

2

, a n d t h e a n a l o g o u s t h i n g h o l d s f o r t h e v e r t i c e s o f T

2

. T h e v e r t i c e s i n t h e o v e r l a y t h a t

c o m e f r o m t h e i n t e r s e c t i o n o f t w o e d g e s a r e a s s i g n e d t h e h e i g h t t h a t i s t h e s u m o f t h e

i n t e r p o l a t e d h e i g h t s o n t h o s e t w o e d g e s . T h e o v e r l a y c a n b e c o m p u t e d i n O ( n + k ) t i m e ,

w h e r e n i s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s o f T

1

a n d T

2

, a n d k i s t h e n u m b e r o f v e r t i c e s i n t h e

o v e r l a y . I n t h e o r y , k c a n b e a s l a r g e a s ( n

2

) , b u t i n p r a c t i c e k c a n b e e x p e c t e d t o b e

c l o s e t o l i n e a r i n n .

2 . 6 . 2 S q u a r i n g a t e r r a i n

S u p p o s e w e w a n t t o c o m p u t e a n d r e p r e s e n t a f u n c t i o n i n t w o v a r i a b l e s x a n d y t h a t i s

t h e s q u a r e o f a n o t h e r f u n c t i o n , r e p r e s e n t e d b y a t e r r a i n T . T h e s q u a r e o f T w i l l o b v i o u s l y

b e a p i e c e w i s e q u a d r a t i c f u n c t i o n , s o a T I N c a n n e v e r r e p r e s e n t t h e s q u a r e o f T w i t h o u t

i n t r o d u c i n g e r r o r . T h e p r o b l e m w e ' l l d i s c u s s i s r e p r e s e n t i n g t h e s q u a r e o f a T I N i n a n o t h e r

T I N b u t w i t h a g u a r a n t e e d m a x i m u m a l l o w e d e r r o r . W h a t w i l l h a p p e n i f t h e s q u a r e

o f T i s s i m p l y c o m p u t e d a n d r e p r e s e n t e d b y a T I N

T b y s q u a r i n g t h e e l e v a t i o n o f e a c h

v e r t e x ? T h e T I N

T w i l l a l w a y s o v e r e s t i m a t e t h e t r u e s q u a r e T

2

o f T . T h e e r r o r o f

T a s a

r e p r e s e n t a t i o n o f T

2

i s m a x (

T ? T

2

) , m a x i m i z e d o v e r a l l p o i n t s ( x ; y ) o n t h e t w o t e r r a i n s .

1 6

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L e t ' s c o n s i d e r o n e e d g e o f T , w h e r e t h e l o w e r v e r t e x h a s e l e v a t i o n a a n d t h e h i g h e r

v e r t e x h a s e l e v a t i o n b . T h e n

T w i l l r e p r e s e n t t h i s e d g e a s t h e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n f r o m

a

2

t o b

2

, w h e r e a s t h e t r u e s q u a r e o f t h e e d g e w i l l b e a q u a d r a t i c f u n c t i o n f r o m a

2

t o b

2

.

T h e m a x i m u m e r r o r o v e r t h e e d g e a l w a y s o c c u r s e x a c t l y h a l f w a y t h e e d g e , a n d t h e e r r o r

i t s e l f h a s t h e v a l u e

1

4

( b ? a )

2

. S o t h e e r r o r i s n o t d e p e n d e n t o n t h e p o s i t i o n o r l e n g t h o f

t h e e d g e , o n l y o n t h e d i e r e n c e i n e l e v a t i o n o f t h e i n c i d e n t v e r t i c e s . W e c o n c l u d e t h a t t h e

m a x i m u m e r r o r o f

T a l w a y s o c c u r s o n a n e d g e , a n d n e v e r i n t e r i o r t o a t r i a n g l e .

a

b

a + 2

a + 4

z

F i g u r e 2 . 1 0 : R e n i n g a t r i a n g l e .

S u p p o s e t h a t t h e m a x i m u m a l l o w e d e r r o r i s

g i v e n . T o c o m p u t e a T I N

~

T t h a t r e p r e s e n t s t h e

s q u a r e o f T w i t h e r r o r a t m o s t , w e ' l l r e n e t h e

e d g e s o f T s o t h a t n o n e o f t h e m h a s a n e l e v a t i o n

d i e r e n c e m o r e t h a n 2

p

. F o r a n y e d g e s p a n n i n g

t h e e l e v a t i o n s f r o m a t o b , t h e n u m b e r o f p o i n t s

n e e d e d t o r e n e t h a t e d g e i s d

1

2

( b ? a ) =

p

e . W e

p l a c e t h e s e p o i n t s a t a + 2

p

, a + 4

p

, a + 6

p

,

a n d s o o n , u n t i l t h e l a s t o n e i s a t e l e v a t i o n b ? 2

p

o r h i g h e r . W e d o s o f o r e v e r y e d g e o f t h e T I N , a n d

t h e n t r i a n g u l a t e e v e r y t r i a n g l e w i t h t h e a d d i t i o n a l p o i n t s a s a t a s p o s s i b l e . T h i s c a n

b e d o n e w i t h o u t i n t r o d u c i n g a n y e d g e s t h a t s p a n a n e l e v a t i o n m o r e t h a n 2

p

. T h e n w e

s q u a r e t h e r e n e d T I N t o o b t a i n

~

T . F r o m t h e d i s c u s s i o n i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h , t h e

e r r o r o f

~

T i s a t m o s t .

1 7

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18/43

C h a p t e r 3

T h e u s e o f t e r r a i n s

3 . 1 C o n t o u r l i n e s

O n e o f t h e m o s t u s e f u l s t r u c t u r e s t h a t c a n b e o b t a i n e d f r o m a d i g i t a l e l e v a t i o n m o d e l a r e

t h e c o n t o u r l i n e s . C o n t o u r l i n e s a r e p r o b a b l y t h e m o s t o f t e n u s e d a n d m o s t n a t u r a l w a y t o

v i s u a l i z e e l e v a t i o n d a t a . O t h e r a p p l i c a t i o n s l i e i n s i t e p l a n n i n g . W h e n a n e w c o n s t r u c t i o n

s i t e m u s t b e d e t e r m i n e d , o n e o f t h e c o n d i t i o n s m a y b e t h a t t h e s i t e l i e o n a n e l e v a t i o n

b e l o w 1 0 0 0 m e t e r s . O r a s p a t i a l q u e r y d o n e b y a u s e r o f a G I S m a y r e q u e s t a l l g e o g r a p h i c

o b j e c t s o f a c e r t a i n t y p e t h a t h a v e a t l e a s t a c e r t a i n e l e v a t i o n . F o r e x a m p l e , t h e p a r l e m e n t

o f a c o u n t r y m a y c o n s i d e r t o p a r t i a l l y f u n d a n i r r i g a t i o n s y s t e m f o r a l l c r o p e l d s t h a t

r e c e i v e l e s s t h a n 2 5 0 m m p e r c i p i t a t i o n a n n u a l l y . T o e s t i m a t e h o w m u c h t h i s w i l l c o s t , t h e

t o t a l a r e a o f t h e s e c r o p e l d s m u s t b e d e t e r m i n e d . T h i s i n t u r n r e q u i r e s t h e c o n t o u r l i n e

o f 2 5 0 m m o n a n e l e v a t i o n m o d e l r e p r e s e n t i n g t h e a n n u a l p e r c i p i t a t i o n .

I n t h i s s e c t i o n w e u s e t h e t e r m c o n t o u r l i n e f o r a c o n n e c t e d s e t o f l i n e s e g m e n t s w i t h a

g i v e n e l e v a t i o n . W e u s e t h e p l u r a l t e r m c o n t o u r l i n e s f o r a l l c o n n e c t e d s e t s o f l i n e s e g m e n t s

w i t h t h e g i v e n e l e v a t i o n . W e n e x t c o n s i d e r t w o m e t h o d s f o r d e t e r m i n i n g c o n t o u r l i n e s o n

a T I N . T h e r s t m e t h o d s i m p l y s c a n s t h e T I N t o d e t e r m i n e t h e c o n t o u r l i n e s , w h i l e t h e

s e c o n d m e t h o d u s e s p r e p r o c e s s i n g t o b e a b l e t o n d t h e c o n t o u r l i n e s m o r e e c i e n t l y .

T h i s i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n i n t e r a c t i v e s i t u a t i o n s .

3 . 1 . 1 C o m p u t i n g c o n t o u r l i n e s

W h e n c o n s i d e r i n g t h e c o n t o u r l i n e s o n a T I N , o b s e r v e t h a t a l l v e r t i c e s o f t h e c o n t o u r l i n e

l i e o n e d g e s o r v e r t i c e s o f t h e T I N , a n d a l l s e g m e n t s o f t h e c o n t o u r l i n e l i e o n t r i a n g l e s

o r h o r i z o n t a l e d g e s o f t h e T I N . W e a s s u m e t h a t t h e r e a r e n o h o r i z o n t a l t r i a n g l e s o n t h e

e l e v a t i o n o f w h i c h w e w a n t t h e c o n t o u r l i n e . T h i s c a n b e e n f o r c e d a s f o l l o w s . S u p p o s e t h e

c o n t o u r l i n e s o f e l e v a t i o n Z a r e n e e d e d , a n d a t s o m e m o m e n t a h o r i z o n t a l t r i a n g l e t w i t h

e l e v a t i o n Z i s l o c a t e d . T h e n w e o n l y t a k e t h e e d g e s o f t f o r w h i c h t h e o t h e r t r i a n g l e s h a v e

a v e r t e x h i g h e r t h a n Z . T h i s b a s i c a l l y c o m e s d o w n t o t r a c i n g a c o n t o u r l i n e a f r a c t i o n

h i g h e r t h a n Z . W i t h t h i s e n f o r c e m e n t w e c a n f r o m n o w o n f o r g e t a b o u t w h o l e t r i a n g l e s

o n t h e c o n t o u r l i n e . I n a s i m i l a r w a y w e c a n f o r g e t a b o u t s a d d l e p o i n t s o n t h e T I N ; t h e y

a r e v e r t i c e s t h a t h a v e f o u r o r m o r e i n c i d e n t s e g m e n t s o f a c o n t o u r l i n e . I f a c o n t o u r l i n e

d o e s n ' t c o n t a i n s a d d l e p o i n t s , i t m u s t b e a s i m p l e p o l y g o n ( c l o s e d ) o r a s i m p l e p o l y g o n a l

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l i n e b e t w e e n t w o p o i n t s o n t h e b o u n d a r y o f t h e T I N .

G i v e n a T I N a n d a n e l e v a t i o n v a l u e Z , t h e r e i s a v e r y s i m p l e w a y t o n d t h e c o n t o u r

l i n e s o f e l e v a t i o n Z : F o r e v e r y t r i a n g l e o f t h e T I N , d e t e r m i n e i f i t c o n t a i n s a s e g m e n t o f

t h e c o n t o u r l i n e s . I f s o , r e p o r t i t . T h i s t r i v i a l a l g o r i t h m r e q u i r e s O ( n ) t i m e f o r a T I N w i t h

n t r i a n g l e s . O n e s h o r t c o m i n g o f t h i s a l g o r i t h m i s t h a t i t g i v e s t h e s e g m e n t s o n t h e c o n t o u r

l i n e s i n a n a r b i t r a r y o r d e r . S o m e t i m e s i t i s n e c e s s a r y t h a t e a c h c o n t o u r l i n e b e r e t u r n e d

a s a s e p a r a t e s e q u e n c e o f s e g m e n t s , f o r i n s t a n c e w h e n s m o o t h i n g s h o u l d b e p e r f o r m e d .

T h e r e a r e t w o w a y s t o o b t a i n t h e c o n t o u r l i n e s i n a s t r u c t u r e d f o r m , a s s e q u e n c e s o f

s e g m e n t s . T h e r s t w a y i s b y p o s t p r o c e s s i n g t h e s e g m e n t s t h a t w e r e f o u n d b y t h e t r i v i a l

a l g o r i t h m . S o r t a l l e n d p o i n t s o f t h e s e g m e n t s l e x i c o g r a p h i c a l l y o n t h e c o o r d i n a t e s . T h e n

a l l e n d p o i n t s t h a t a r e s h a r e d a m o n g t w o s e g m e n t s b e c o m e a d j a c e n t i n t h e o r d e r . T h i s

a l l o w s u s t o s t r u c t u r e t h e s e p a r a t e s e g m e n t s t o s e q u e n c e s , e a c h o f w h i c h i s o n e c o n t o u r

l i n e . I f t h e c o n t o u r l i n e s t o g e t h e r c o n t a i n k s e g m e n t s , t h e n t h e p o s t p r o c e s s i n g s t e p t a k e s

O ( k l o g k ) t i m e . S o i n t o t a l , t h e m e t h o d t a k e s O ( n + k l o g k ) t i m e . S i n c e k i s e x p e c t e d t o

b e m u c h s m a l l e r t h a n n o n r e a l d a t a | p r o p o r t i o n a l t o

p

n i s o f t e n a r g u e d | , t h e o v e r h e a d

o f O ( k l o g k ) t i m e i s n o b i g d e a l .

T h e s e c o n d w a y t o o b t a i n t h e c o n t o u r l i n e s i n s t r u c t u r e d f o r m i s b y t r a c i n g e a c h

c o n t o u r l i n e d i r e c t l y o n t h e T I N . I f t h e T I N i s s t o r e d i n a t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e l i k e t h e

o n e d e s c r i b e d i n S u b s e c t i o n 2 . 3 . 1 , t h e t r a v e r s a l o f o n e c o n t o u r l i n e f r o m a s t a r t i n g p o i n t

c a n e a s i l y b e d o n e i n t i m e l i n e a r i n t h e n u m b e r o f s e g m e n t s o f t h e c o n t o u r l i n e ( t h e r e i s a

s m a l l c a t c h i f t h e c o n t o u r l i n e p a s s e s t h r o u g h a v e r t e x o f h i g h d e g r e e ; a p o s s i b l e s o l u t i o n

1 1 1 ] w o n ' t b e d i s c u s s e d h e r e s i n c e i t w o n ' t b e w o r t h w h i l e i n p r a c t i c e ) . I t r e m a i n s t o n d

a l l s t a r t i n g p o i n t s f r o m w h i c h t o s t a r t t r a c i n g . I f t h e T I N s t r u c t u r e h a s m a r k b i t s s t o r e d

w i t h t h e e d g e r e c o r d s o r t h e t r i a n g l e r e c o r d s , t h e f o l l o w i n g m e t h o d c a n b e u s e d . I n i t i a l l y

a l l m a r k b i t s a r e r e s e t . F o r e a c h t r i a n g l e o f t h e T I N , d e t e r m i n e i f i t s m a r k b i t i s r e s e t a n d

i t c o n t a i n s a s e g m e n t o f t h e c o n t o u r l i n e s . I f s o , s t a r t t r a c i n g t h e c o n t o u r l i n e a n d s e t t h e

m a r k o f a l l t r i a n g l e s t h a t a r e t r a v e r s e d . T h e t r a c i n g c a n s t o p i f t h e b o u n d a r y i f t h e T I N

i s r e a c h e d o r a c y c l e h a s b e e n c o m p l e t e d . A f t e r t h e t r a c i n g h a s s t o p p e d , w e c o n t i n u e w i t h

t h e n e x t t r i a n g l e . A f t e r a l l t r i a n g l e s h a v e b e e n t e s t e d , a l l m a r k b i t s m u s t b e r e s e t a g a i n

t o a l l o w a n e x t r e q u e s t f o r c o n t o u r l i n e s . T h e w h o l e a l g o r i t h m c l e a r l y t a k e s O ( n ) t i m e .

T h e o n e d i s a d v a n t a g e i s t h a t m a r k b i t s a r e r e q u i r e d i n t h e s t r u c t u r e .

3 . 1 . 2 P r e p r o c e s s i n g f o r c o n t o u r l i n e s

T h e b r u t e - f o r c e c o n t o u r l i n e e x t r a c t i o n a p p r o a c h d e s c r i b e d a b o v e i s u n s a t i s f a c t o r y e s p e -

c i a l l y w h e n t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s t h a t c r o s s t h e e l e v a t i o n Z i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e

t o t a l n u m b e r o f t r i a n g l e s i n t h e T I N . A m o r e e c i e n t s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d i n s i t u a -

t i o n s w h e r e p r e p r o c e s s i n g i s a l l o w e d . T h e n w e c a n b u i l d a d a t a s t r u c t u r e a n d q u e r y w i t h

t h e e l e v a t i o n o f w h i c h t h e c o n t o u r l i n e s a r e r e q u e s t e d . T h i s i d e a h a s b e e n t h e b a s i s o f

t w o d i e r e n t a p p r o a c h e s , d e s c r i b e d b y D e F l o r i a n i e t a l . 3 9 ] a n d b y t h e a u t h o r h i m s e l f

1 1 1 ] . T h e m e t h o d i s a l s o u s e d i n t h e v i s u a l i z a t i o n o f i s o s u r f a c e s , t h e h i g h e r - d i m e n s i o n a l

c o u n t e r p a r t o f c o n t o u r l i n e s 2 , 7 5 ] .

w e d e s c r i b e t h e i n t e r v a l t r e e , a g e o m e t r i c d a t a s t r u c t u r e t h a t s t o r e s a s e t o f i n t e r v a l s

o f t h e r e a l l i n e . I t w a s d e v e l o p e d b y E d e l s b r u n n e r 2 6 ] a n d M c C r e i g h t 7 8 ] i n d e p e n d e n t l y .

H e r e w e g i v e a b r i e f d e s c r i p t i o n | s e e F i g u r e 3 . 1 .

1 9

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t h a t i s r e p o r t e d .

T o u s e a n i n t e r v a l t r e e f o r o u r p u r p o s e s o f r e t r i e v i n g t h e c o n t o u r l i n e s , n o t e t h a t e v e r y

t r i a n g l e o f t h e T I N h a s a z - s p a n , g i v e n b y t h e o p e n i n t e r v a l b o u n d e d b y t h e e l e v a t i o n

o f t h e v e r t i c e s o f t h e t r i a n g l e w i t h l o w e s t a n d h i g h e s t e l e v a t i o n . F o r a n y q u e r y e l e v a t i o n

Z b e t w e e n t h i s l o w e s t a n d h i g h e s t e l e v a t i o n , t h e t r i a n g l e c o n t r i b u t e s t o t h e c o n t o u r l i n e s

w i t h a l i n e s e g m e n t o n t h a t t r i a n g l e . T h e s e t o f z - s p a n s d e n e d b y t h e t r i a n g l e s o f t h e

T I N a r e s t o r e d i n a n i n t e r v a l t r e e , a n d w i t h e a c h z - s p a n a p o i n t e r t o t h e c o r r e s p o n d i n g

t r i a n g l e r e c o r d i n t h e T I N .

N o t o n l y t r i a n g l e s , b u t a l s o h o r i z o n t a l e d g e s o f t h e T I N c a n c o n t r i b u t e t o t h e c o n t o u r

l i n e s w i t h a l i n e s e g m e n t . T h e z - s p a n o f a h o r i z o n t a l e d g e i s t h e c l o s e d i n t e r v a l c o n t a i n i n g

a s i n g l e e l e v a t i o n , t h e e l e v a t i o n o f t h a t e d g e . T h e i n t e r v a l t r e e c a n e a s i l y b e a d a p t e d t o

s t o r e t h e s e c l o s e d i n t e r v a l s . G i v e n t h e q u e r y e l e v a t i o n Z , t h e s e a r c h i n t h e i n t e r v a l t r e e

r e t r i e v e s a l l t r i a n g l e s t h a t l i e p a r t i a l l y b e l o w a n d p a r t i a l l y a b o v e Z , a n d a l l e d g e s w i t h

e l e v a t i o n Z . T h e l i n e s e g m e n t s o f e l e v a t i o n Z o n t h e s e t r i a n g l e s a n d e d g e s t o g e t h e r f o r m

t h e c o n t o u r l i n e s f o r e l e v a t i o n Z . T h e q u e r y t i m e i s O ( l o g n + k ) , w h e r e k i s t h e n u m b e r

o f s e g m e n t s i n t h e c o n t o u r l i n e s .

W e c o n c l u d e t h a t t h e c o n t o u r l i n e s o f a n y e l e v a t i o n o n a T I N c a n b e f o u n d i n o n l y

O ( l o g n + k ) t i m e , i f w e a r e a l l o w e d t o d o p r e p r o c e s s i n g a n d u s e a d d i t i o n a l s t o r a g e .

T h e m e t h o d t h a t w a s j u s t d e s c r i b e d c o m p u t e d t h e c o n t o u r l i n e s i n u n s t r u c t u r e d f o r -

m a t . W e c o n t i n u e b y c o n s i d e r i n g h o w t h e c o n t o u r l i n e s c a n b e f o u n d a s s e q u e n c e s o f

s e g m e n t s , a n d s t i l l u s e t h e i n t e r v a l t r e e t o h a v e f a s t q u e r y t i m e . W e c a n c o m b i n e t h e

m e t h o d s o f t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n w i t h t h e i n t e r v a l t r e e j u s t d e s c r i b e d . B y p o s t p r o c e s s -

i n g t h e s e g m e n t s o f t h e c o n t o u r l i n e s , w e c a n g e t t h e m i n s t r u c t u r e d f o r m i n a d d i t i o n a l

O ( k l o g k ) t i m e . T h i s m a k e s t h e t o t a l q u e r y t i m e O ( l o g n + k l o g k ) . T h i s t i m e , t h e a d d i -

t i o n a l t e r m m a y b e s i g n i c a n t , b e c a u s e i n p r a c t i c a l c a s e s t h e k l o g k t e r m i s l i k e l y t o b e

l a r g e r t h a n l o g n + k .

T h e m e t h o d w i t h m a r k b i t s c a n a l s o b e c o m b i n e d w i t h t h e i n t e r v a l t r e e . S i n c e w e s t o r e d

w i t h e a c h i n t e r v a l a p o i n t e r t o t h e c o r r e s p o n d i n g t r i a n g l e r e c o r d i n t h e T I N s t r u c t u r e , w e

h a v e i m m e d i a t e a c c e s s t o s t a r t t r a c i n g . O n e s u b t l e t y i s t h e f o l l o w i n g . W e c a n n o t r e s e t a l l

m a r k b i t s a f t e r a q u e r y b y t r a v e r s i n g t h e w h o l e T I N ; t h a t w o u l d b l o w u p t h e q u e r y t i m e

t o l i n e a r i n n a g a i n . I n s t e a d , w e r e p e a t t h e q u e r y i n t e r v a l t r e e w i t h t h e o n l y o b j e c t i v e t o

r e s e t t h e m a r k b i t s . S o w e t r a c e e a c h c o n t o u r l i n e o n t h e T I N s t r u c t u r e a g a i n a n d r e s e t

a l l m a r k b i t s . T h i s w i l l d o u b l e t h e q u e r y t i m e b u t n o m o r e t h a n t h a t . S o , t o c o n c l u d e

w e h a v e s e e n t h a t t h e c o n t o u r l i n e s o f a q u e r y e l e v a t i o n Z c a n b e o b t a i n e d i n s t r u c t u r e d

f o r m i n O ( l o g n + k ) t i m e , w h e r e k i s t h e n u m b e r o f s e g m e n t s i n t h e c o n t o u r l i n e s .

3 . 2 T o p o g r a p h i c f e a t u r e s

G e o m o r p h o l o g i s t s s t u d y t h e s h a p e o f t h e l a n d , a n d w h a t p r o c e s s e s i n u e n c e i t . T h e

q u a n t i c a t i o n o f t h e s h a p e o f t h e l a n d i s n e c e s s a r y i n o r d e r a u t o m a t i c a l l y r e c o g n i z e c e r t a i n

f e a t u r e s o f s h a p e . T e r r a i n f e a t u r e s c a n b e z e r o - , o n e - , o r t w o - d i m e n s i o n a l . W e d i s c u s s t h e

m o s t i m p o r t a n t o n e s i n t h e n e x t s u b s e c t i o n s .

2 1

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22/43

3 . 2 . 1 P e a k s , p i t s , p a s s e s

2 0

2 0

2 0

1 5

1 2

1 1

1 7

1 4

1 3

1 8

F i g u r e 3 . 2 : P e a k s

o f a t r i a n g u l a r

p l a t e a u .

A c c o r d i n g t o t h e d i c t i o n a r y o f p h y s i c a l g e o g r a p h y 1 1 8 ] , a p e a k

i s \ t h e p o i n t e d t o p o r s u m m i t o f a m o u n t a i n " . T h i s q u a l i t a t i v e d e f -

i n i t i o n d o e s n ' t a l l o w f o r i m m e d i a t e c o m p u t a t i o n o n a d i g i t a l t e r r a i n

m o d e l s u c h a s a T I N . O n a T I N i t i s m o r e c o m m o n t o d e n e a p e a k

t o b e a v e r t e x o n t h e t e r r a i n t h a t h a s n o h i g h e r n e i g h b o r i n g v e r t i c e s .

T h e n e i g h b o r s m a y h a v e t h e s a m e h e i g h t . T h e a d v a n t a g e o f t h e d e f -

i n i t i o n i s t h a t i t i s l o c a l : w h e t h e r a v e r t e x i s a p e a k o r n o t d e p e n d s

o n l y o n t h e t e r r a i n i n t h e n e i g h b o r h o o d o f i t , w h i c h c o r r e s p o n d s t o

o u r i n t u i t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , t h e d e n t i o n i s n o t o n l y d e p e n d e n t

o n t h e T I N m o d e l , i t i s a l s o d e p e n d e n t o n t h e p r e c i s e r e p r e s e n t a t i o n .

F o r e x a m p l e , c o n s i d e r a t e r r a i n t h a t h a s o n e h o r i z o n t a l t r i a n g l e t h a t

i s h i g h e r t h a n a l l t r i a n g l e s n e a r t o i t . T h e n t h e t h r e e v e r t i c e s a r e

p e a k s . H o w e v e r , i f t h e t r i a n g l e w e r e t r i a n g u l a t e d b y a d d i n g a n e w

v e r t e x i n t h e c e n t e r w i t h t h e s a m e h e i g h t , t h e n t h e r e a r e f o u r p e a k s ,

w h e r e a s t h e n e w T I N r e p r e s e n t s e x a c t l y t h e s a m e s u r f a c e a s t h e r s t

o n e ! S e e F i g u r e 3 . 2 . T h i s i s a n u n d e s i r a b l e s i t u a t i o n . B u t i t i s n o t s o c l e a r w h a t w e r e a l l y

w a n t . W e c o u l d s a y t h a t a l l p o i n t s o n t h e t r i a n g l e a r e p e a k s , o r s a y t h a t t h e t r i a n g l e

i n i t s t o t a l i t y i s a p e a k . B u t t h e n a p e a k c a n b e 2 - d i m e n s i o n a l , c o n t r a r y t o o u r i d e a o f

p e a k s . W e c o u l d c h o o s e t o t a k e o n l y t h e m i d d l e p o i n t o n t h e a t t r i a n g l e , b u t t h e n s i m i l a r

p r o b l e m s a r i s e i f s e v e r a l a t t r i a n g l e s f o r m a l o c a l l y m a x i m a l p l a t e a u . T h e d e n i t i o n o f

p i t a n d s a d d l e ( o r p a s s ) i n v o l v e s e x a c t l y t h e s a m e t y p e o f p r o b l e m s , a l l c a u s e d b y t h e

p r e s e n c e o f h o r i z o n t a l t r i a n g l e s a n d e d g e s i n t h e T I N . T h e s i t u a t i o n o n a g r i d i s n o b e t t e r ,

s i n c e p i x e l s c a n h a v e n e i g h b o r s t h a t h a v e t h e s a m e h e i g h t .

W e ' l l t a k e o n e s i m p l e s o l u t i o n : i f t w o p o i n t s o n t h e t e r r a i n h a v e t h e s a m e h e i g h t v a l u e ,

t h e n w e d e n e t h e p o i n t w i t h g r e a t e r y - c o o r d i n a t e t o b e h i g h e r . I f t h e y - c o o r d i n a t e s o f

t h e t w o p o i n t s h a p p e n t o b e t h e s a m e a s w e l l , t h e n t h e x - c o o r d i n a t e s d e n e w h i c h p o i n t

i s h i g h e r . T h i s s o l u t i o n c o m e s d o w n t o t i l t i n g t h e t e r r a i n u p w a r d v e r y s l i g h t l y a t t h e

s i d e w i t h g r e a t e r y - c o o r d i n a t e s . S o a v e r t e x i s a p e a k i f i t i s h i g h e r t h a n a l l n e i g h b o r i n g

v e r t i c e s . O t h e r p o i n t s o n t h e T I N c a n n o t b e p e a k s . A d i s a d v a n t a g e o f t h i s s o l u t i o n i s

t h a t i t i s n o t o r i e n t a t i o n i n v a r i a n t . I f t h e T I N r e p r e s e n t a t i o n i s r o t a t e d 1 8 0

a b o u t a

v e r t i c a l a x i s t h e n t h e p e a k s m a y n o t b e t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s o f t h e T I N . T h e r e m a y

e v e n b e a d i e r e n t n u m b e r o f p e a k s . O n t h e p o s i t i v e s i d e , t h e d e n i t i o n i s l o c a l , a p e a k

i s 1 - d i m e n s i o n a l , a n d a d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s a m e T I N ( i n t h e s a m e o r i e n t a t i o n )

y i e l d s t h e s a m e p e a k s . W i t h t h e n e w d e n i t i o n , n o t w o d i s t i n c t p o i n t s h a v e t h e s a m e

h e i g h t . T h e r e f o r e , p i t s a n d s a d d l e v e r t i c e s c a n a l s o b e d e n e d w i t h o u t f u r t h e r p r o b l e m s .

A v e r t e x i s a p i t i f i t i s l o w e r t h a n a l l n e i g h b o r i n g v e r t i c e s . A v e r t e x i s a s a d d l e o r p a s s

i f i t h a s f o u r n e i g h b o r i n g v e r t i c e s t h a t a r e h i g h e r , l o w e r , h i g h e r , a n d l o w e r i n c y c l i c o r d e r

a r o u n d i t . A l g o r i t h m i c a l l y , t h e r e i s n o p r o b l e m . W h e t h e r a v e r t e x i s a p e a k , p i t , o r s a d d l e

c a n b e d e t e r m i n e d i n t i m e l i n e a r i n t h e d e g r e e o f t h e v e r t e x ( t h a t i s , l i n e a r i n t h e n u m b e r

o f n e i g h b o r s ) , a s s u m i n g a t o p o l o g i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e T I N .

2 2

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23/43

3 . 2 . 2 V a l l e y s a n d r i d g e s

V a l l e y s o n a T I N a r e 1 - d i m e n s i o n a l f e a t u r e s . T h e y a r e u s u a l l y d e n e d a s t h e e d g e s f o r

w h i c h t h e t w o i n c i d e n t t r i a n g l e s e a c h h a v e a n o u t w a r d n o r m a l v e c t o r w h o s e v e r t i c a l p r o j e c -

t i o n o n t h e x y - p l a n e i s d i r e c t e d t o w a r d s t h e v a l l e y e d g e , w h e n i t i s a l s o p r o j e c t e d v e r t i c a l l y

4 4 , 1 0 7 ] . T h e r e a r e p o t e n t i a l p r o b l e m s w i t h t h i s d e n i t i o n i f t h e o u t w a r d n o r m a l v e c t o r s

v a l l e y r i d g e

n e i t h e r

F i g u r e 3 . 3 : T h r e e t i m e s t w o a d j a c e n t t r i a n g l e s a n d t h e i r o u t w a r d n o r m a l v e c t o r s .

a r e p a r a l l e l t o t h e e d g e , i n t h e p r o j e c t i o n . W e c o u l d d e n e a n e d g e t o b e a v a l l e y e d g e i f

a t l e a s t o n e i n c i d e n t t r i a n g l e h a s i t s o u t w a r d n o r m a l t o w a r d s t h e e d g e , a n d t h e o t h e r o n e

h a s i t s o u t w a r d n o r m a l t o w a r d s t h e e d g e o r p a r a l l e l t o i t . A s i m i l a r d e n i t i o n c a n b e m a d e

f o r r i d g e e d g e s , w h e r e t h e o u t w a r d n o r m a l s l e a d a w a y f r o m t h e e d g e . T h e s e d e n i t i