vapaa_matikka

Oppikirjamaraton-tiimi

Vapaa matikka 1

Matikka verkostavapauteen!

Kirjasta puuttuu viel muun muassa kuvitusta, yhtenistmist ja muita

loppumetrien toimituksellisia temppuja. Kerro meille mit kirjassa pitisi pa-

rantaa! Helpoiten tm onnistuu lismll parannusehdotuksen osoitteessa

https://github.com/linjaaho/oppikirjamaraton-maa1/issues ja

klikkaamalla New Issue (vaatii rekisteritymisen GitHubiin).

MAA1 Funktiot ja yhtlt

Oppikirjamaraton - tt lukee kuin avointa kirjaa!Sislt on lisensoitu avoimella CC BY 3.0 -lisenssill.

2MetasivuProjektin nimi: Oppikirjamaraton

LaTeX-lhdekoodi: https://github.com/linjaaho/oppikirjamaraton-maa1

Versio: 0.9x lhdekoodi ajettu 5. lokakuuta 2012

Lisenssi: CC BY 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/legalcode)Sinulla on vapaus:

1. jakaa kopioida, levitt, nytt ja esitt teosta2. remiksata valmistaa muutettuja teoksia3. kytt teosta kaupallisiin tarkoituksiin

Seuraavilla ehdoilla:

1. nime Teoksen tekij on ilmoitettava siten kuin tekij tai teoksen lisen-soija on sen mrnnyt (mutta ei siten ett ilmoitus viittaisi lisenssinantajantukevan lisenssinsaajaa tai Teoksen kytttapaa)

Tue tekijit ja avointen oppimateriaalienluomista!

Flattr

http://flattr.com/t/914482

3Bitcoin

bitcoin:148pMeTViRMFBqMVZRnMZ6Hwccq9WTubq1?label=Oppikirjamaraton

148pMeTViRMFBqMVZRnMZ6Hwccq9WTubq1

pienell tekijiden nimet

#oppikirjamaraton

Listietoja: http://avoinoppikirja.fi

Sislt

0 Esipuhe 7

I Luvut ja laskutoimitukset 9

1 Numerot ja luvut 10

2 Kokonaisluvut 15

3 Rationaaliluvut 26

4 Potenssi 32

5 Desimaaliluvut 38

6 Juuret 42

7 Murtopotenssi 47

8 Reaaliluvut 50

9 Kertaus 53

II Yhtlt 54

10 Yhtl 55

4

SISLT 5

11 Ensimmisen asteen yhtl 59

12 Suoraan ja knten verrannollisuus 62

13 Prosenttilaskenta 66

14 Potenssiyhtlt 73

15 Kertaus 77

III Funktiot 78

16 Funktio 79

17 Koordinaatisto ja funktion kuvaaja 83

18 Potenssifunktio 85

19 Eksponenttifunktio 88

20 Kertaus 92

IV Kertaustehtvi 93

21 Harjoituskokeita 94

22 Ylioppilaskoetehtvi 96

23 Psykoetehtvi 100

Liitteet 106

A Lhttasotesti 107

B Yksikt ja vastaustarkkuus 109

C Laskusntjen todistuksia 114

SISLT 6

D Syventv sislt: logiikka ja joukko-oppi 117

E Syventv sislt: reaalilukujen aksioomat 118

F Ratkaisut 120

G Tekijt 131

H Sanasto 133

Luku 0 Esipuhe

Matematiikka tarjoaa tykaluja asioiden tsmlliseen jsentmiseen, pttelyyn jamallintamiseen. Alasta riippuen ksittelemme matematiikassa erilaisia objekteja:Geometriassa tarkastelemme tasokuvioita ja kolmiulotteisia rakenteita. Algebratutkii lukujen ja funktioiden ominaisuuksia. Todennkisyyslaskenta arvioi erilais-ten tapausten ja tilanteiden mahdollisuuksia ja riskej. Matemaattinen analyysi(kurssit 7, 8 ja 10) tutkii funktioita ja niiden muuttumista.

Jokaiseen tarkastelukohteeseen liitetn mys niille ominaisia operaatioita. Tmkurssi ksittelee lhinn lukuja ja niiden operaatioita, joita laskutoimituksiksikutsutaan. Kirjan ensimmisess osassa ksittelemme luvun ksitteen, yleisimmtlukutyypit ja lukujen tavallisimman laskutoimitukset.

Lukion opetussuunnitelman perusteet 2003 -dokumentin mukaan pitkn matema-tiikan ensimmisen kurssin tavoitteena on, ett opiskelija vahvistaa yhtln ratkaisemisen ja prosenttilaskennan taitojaan, syvent verrannollisuuden, nelijuuren ja potenssin ksitteiden ymmrt-

mistn, tottuu kyttmn nelijuuren ja potenssin laskusntj, syvent funktioksitteen ymmrtmistn tutkimalla potenssi- ja ekspo-

nenttifunktioita, ja oppii ratkaisemaan potenssiyhtlit.Kurssin keskeisin sislt opetussuunnitelmissa on: potenssifunktio potenssiyhtln ratkaiseminen juuret ja murtopotenssi

7

LUKU 0. ESIPUHE 8

eksponenttifunktio.

Sananen kirjastaTm kirja on syntynyt noin kahdenkymmenen hengen tyn tuloksena pitkn vii-konloppuna 28.30.9.2012. Tulos on nyt edesssi. Kirjan LATEX-lhdekoodi on saa-tavilla Githubissa osoitteessa https://github.com/linjaaho/oppikirjamaraton-maa1.

Kiitmme Metropolia AMK Daniel Valtakari ja Tekniikan akateemisten liitto TEK Senja Larsen Kebab Pizza Service Juhapekka Naula Tolvanen Onnibus Arto Piironen Paula Thitz Jokke Hs Kaj Sotala Katleena Kortesuo Heikki Hakkarainen Tiina Salola Anni Saarelainen Eveliina Heinonen Antti Ruonala Hannu Kngs Jussi Partanen Kaikki trket tyypit, joiden nimi unohtui mainita

Osa I Luvut jalaskutoimitukset

9

Luku 1 Numerot ja luvut

Ihmisill ja elimill on luonnostaan matemaattisia taitoja. Monet niist, esi-merkiksi lukumrien laskeminen, ovat monimutkaisia ajatusprosesseja, jotkakehittyvt lapsuudessa toisilla aiemmin, toisilla myhemmin. Koulussa opetelta-va peruslaskento ja mys matematiikka tieteenalana rakentuvat tmn biologisenosaamisen plle. Laskeminen itsessn on vain ers matematiikan osa-alue, eikkaikki matematiikka ole laskemista.

Huom.! laskea (lukumr)englanti count ruotsi _ /n las-kea (laskutoimitus) englanticalculate , ruotsi _

Yleisesti lukujen merkitsemisestLaskutoimitusten ja muun matemaattisen pohdinnan merkitseminen kirjalliseenmuotoon on taito, jonka oppiminen oli merkittv askel ihmisen kehityshistoriassa.Aikojen saatossa eri kansat ovat kyttneet erilaisia tapoja merkit laskutoimituk-sia ja lukumri. Tunnettu esimerkki on roomalaiset numerot, jotka nyttvthyvin erilaisilta nykyn kyttmiimme lukumerkintihin.

Helpoin ja yksinkertaisin tapa merkit lukumr on kytt vain yht merkkija toistaa sit:

Piirrettyn tukkimiehen kirjanpitoa ja vertausarabialaisilla numeroilla

Missingfigure

10

LUKU 1. NUMEROT JA LUVUT 11

Kun kytettviss olevien merkkien mr lis, suuria lukuja voi kirjoittaalyhyempn muotoon. Tilanne on verrattavissa vaikkapa kiinan kieleen, jossaon kytss satoja erilaisia kirjoitusmerkkej. Merkeiss on paljon muistettavaa,mutta toisaalta kokonaisen lauseen voi kirjoittaa vain parilla kirjoitusmerkill.

Roomalaiset luvutAntiikin Roomassa kytss olivat numeromerkit I, V, X, L, C , D ja M. Niidennumeroiden vastaavuudet meidn kyttmiimme lukuarvoihin ovat seuraavat:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Lukuja koostetaan nist merkeist siten, ett merkit kirjoitetaan perkkinpasiassa laskevassa jrjestyksess ja niiden numeroarvot lasketaan yhteen. Josarvoltaan pienempi numeromerkki (korkeintaan yksi) edelt suurempaa, pienempivhennetn suuremmasta ennen yhteenlaskun jatkamista.Esimerkki 1. XIV = 10 + (5 1) = 14Roomalaisia numeroita kytetn usein mys nykyn merkitsemn esimerkiksijrjestyst.

PaikkajrjestelmKun numeroista koostetaan lukuja, numeroiden kirjoitusjrjestyksell on vli.Esimerkiksi luvut 134 ja 413 eivt ole sama luku; saamme eri lukuja, kun numeroitayhdistelln eri tavoin. Ksityksi siit, miten numeron paikka vaikuttaa, luvunsuuruuteen, kutsutaan paikkajrjestelmiksi.

Seuraava esimerkki selvent, miten roomalaiset muodostivat erilaisia lukujanumeromerkeistn.Esimerkki 2. III= 1 + 1 + 1 = 3 IX= 10 1 = 9 XII= 10 + 1 + 1 = 12 XIX= 10 + (10 1) = 19


CDX= 500 100 + 10 = 410 MDMC= 1000 + (1000 500) + 100 = 1600

Lnsimaisessa traditiossa kytssmme on kymmenen numeromerkki: 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Nit kutsutaan alkuperns mukaan hindu-arabialaisiksinumeroiksi.

Kirjoittamalla nit numeromerkkej perkkin ilmaisemme lukuja.

Englannin kielen sana numbervoi viitata sek numeroon ettlukuun. Sana digit tarkoittaapelkstn yht numeromerk-ki. Ruotsiksi luku on tal, lu-kumr antal ja numeroa tailukumr tarkoittamatontanumeroyhdistelm kuvaa suo-men kielen tapaan sana num-mer.

Esimerkki 3. Luku715531

koostuu numeroista 7, 1, 5, 5, 3 ja 1. Luku

9

koostuu ainoastaan vastaavasta numeromerkist 9.Luvulla on aina suuruus mutta numerolla ei. Tmn vuoksi esimerkiksi arkipivnksitteet postinumero ja puhelinnumero eivt ole lukuja, vaikka niiss numeroitayhdistellnkin. Emme voi esimerkiksi sanoa, onko postinumero 00950 jollakintapaa suurempi kuin postinumero 00900.

LukujrjestelmtJrjestelmmme merkit lukuja kutsutaan kymmenjrjestelmksi. Siin kunkinnumeron paikka kertoo, kuinka monta kymment, sataa, tuhatta ja niin edelleennumero vastaa.Esimerkki 4. Luku 562 koostuu viidest sadasta, kuudesta kymmenest jakahdesta ykksest, eli 562 = 5 100 + 6 10 + 2.Luku 2010,23 koostuu kahdesta tuhannesta, yhdest kymmenest, kahdesta kym-menesosasta ja kolmesta sadasosasta. Desimaalimerkintihin palataan tarkemminDesimaaliluvut-osassa.

Kielioppihuomautuksia: 1) Tu-haterottimena kytetn vli-lynti, ei pilkkua tai pistett.2) Suomessa on kytss desi-maalipilkku, ei -piste! Yhdys-valtalaiset ovat suunnitelleetlaskimesi.

Kymmenjrjestelm kutsutaan mys desimaalijrjestelmksi, koska siin hydyn-netn kymment eri numeromerkki. Muita yleisesti kytss olevia jrjestelmi


ovat 2-jrjestelm eli binrijrjestelm ja 16-jrjestelm eli heksadesimaalijrjes-telm, joita kytetn digitaalisen informaation tallentamiseen ja ksittelemiseen.Binrijrjestelmss luvun muodostavia numeromerkkej kutsutaan biteiksi. Bit-ti voi olla joko pll (1) tai pois plt (0), ja toteutus tietokoneessa vastaaesimerkiksi sit, ett johtimessa kulkee virta (1) tai ei (0). Useampaa jrjestelmkytettess merkitn kantaluku luvun jlkeen alaindeksin. Esimerkiksi lukuyhdeksntoista voidaan merkit 1910, 100112 tai 1316 kytten desimaali, binritai heksadesimaalijrjestelm.

Esimerkki 5.

1910 = 1 10 + 9100112 = 1 (2 2 2 2) + 0 (2 2 2) + 0 (2 2) + 1 2 + 11316 = 1 16 + 3

Kuusitoistajrjestelmss tarvitaan viel kuusi uutta numeromerkki. Tavaksion vakiintunut kytt kirjainmerkkej A,B,C,D,E ja F. Ne vastaavat lukuja10, 11, 12, 13, 14 ja 15. Yleisesti -jrjestelmss kytetn : kappaletta erimerkkej, jotka merkitsevt lukuja nollasta lukuun 1.Esimerkki 6. 416 = (1616)+416+ = 15(1616)+416+12 = 391610

1.1 Kirjaimet symboleina luvuilleJos tm on kerran matematiikkaa, niin miksi kyttte kirjaimia? kysyy perus-koulun alaluokkien oppilas. Lyhyt vastaus on, ett nin saamme yleistetty moniatuloksia, eik meidn tarvitse tutkia vain erikoistapauksia.

Numeroita kuvaavat merkit ovat mielivaltaisia symboleita. Lukujakin edustamaanpdytn joskus kyttmn jotakin lyhennysmerkint, yleens yksittisi lati-nalaisten aakkosten kirjaimia. Kenties yleisin mielivaltaista, tuntematonta lukuaedustava symboli on kirjain . Kulmien suuruuksia merkitn yleens kreikkalaisillakirjaimilla kuten (alfa), (beeta) ja (gamma).


Jos kaksi lukua ja 2 ovat yht suuret, merkitn = 2. Tllainen yhtsuuruusptee aivan hyvin mys toisin pin: 2 = , joten kumpikin kirjoitustapa ontilanteesta riippumatta oikein. Jos luku on pienempi kuin merkitn < ,tai toisaalta > .

Painotekstiss kirjaimella mer-kityt tuntemattomat ja muut-tujat kirjoitetaan kursiivilla jaaina saman arvon saavat, tun-netut matemaattiset vakiot ku-ten pystyyn.

Erilaisilla luvuilla voidaan suorittaa erilaisia laskutoimituksia. Seuraavissa luvuissaesitelln ja kydn lpi lukiomatematiikassa ja mahdollisissa jatko-opinnoissakytettvi lukujoukkoja ja tavallisimmat laskutoimitukset.

Luku 2 Kokonaisluvut

Yksinkertaisimmat kyttmmme luvut ovat lukumrien ilmaisemiseen kytetyt0, 1, 2, 3, . . .. Nit kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi, ja niiden joukkoa eli kaikkialuonnollisia lukuja yhdess merkitn symbolilla N. Nolla mritelln tssluonnolliseksi luvuksi, mutta tst ei ole yhteist sopimusta: ert pitvt nollaaluonnollisena lukuna ja toiset eivt.

Luonnollisille luvuille ja on mritelty yhteenlasku+, esimerkiksi 5+3 = 8.

Luonnollisten lukujen ja kertolasku mritelln perkkisin yhteenlaskuina

= ++ . . .+ kpl

= + + . . .+ kpl

.

Nollalla kertomisen ajatellaan olevan tyhj yhteenlasku eli nolla:

0 = 0

Luonnollisten lukujen ja erotus mritelln yhteenlaskun avulla: onluku , jolle + = . Kahden luonnollisen luvun erotus ei kuitenkaan aina oleluonnollinen luku, esimerkkin 3 5. Ratkaisemme ongelman mrittelemllkullekin luonnolliselle luvulle vastaluvun.

Jokaisella luvulla on vastaluku , jolle ptee + () = 0.

Luonnolliset luvut ja niiden vastaluvut muodostavat yhdess kokonaislukujen

15

LUKU 2. KOKONAISLUVUT 16

joukonZ = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}.

Kun kytmme kokonaislukuja, voidaan kahden luvun erotus mritell yhteen-laskun ja vastaluvun avulla yksinkertaisesti:

= + ()

Esimerkiksi luvun 2 vastalukua merkitn 2, ja sille ptee 2 + (2) = 0.Vastaavasti luvun 2 vastaluku on sellainen luku, joka laskettuna yhteen luvun2 kanssa antaa luvun 0. Tm on tietysti 2, koska 2 + 2 = 0. Nin voidaanhuomata, ett (2) = 2.

2.1 Yhteen- ja vhennyslaskuKysymys: Mit saadaan, kun luvusta 5 vhennetn luku 8?Negatiivisten ja positiivisten lukujen yhteen- ja vhennyslaskut voidaan helpostitulkita lukusuoran avulla.

5 + 8 viiteen listn kahdeksan

5 + (+8) viiteen listn plus kahdeksan

+8 tarkoittaa samaa kuin 8. +-merkki kytetn luvun edess silloin, kunhalutaan korostaa, ett kyseess on nimenomaan positiivinen luku.

5 (+8) viidest vhennetn +8Tm tarkoittaa samaa kuin 5-8. Lukusuoralla siis liikutaan 8 pykl taaksepin.


Mit tapahtuu, kun listn negatiivinen luku? Kun lukuun listn 1, se kasvaayhdell. Kun lukuun listn 0, se ei kasva lainkaan. Kun lukuun listn negatii-vinen luku, esim. 1, on luonnollista ajatella, ett se pienenee. Tll logiikallanegatiivisen luvun lismisen pitisi siis pienent alkuperist lukua. Siksi onsovittu, ett 5 + (8) on yht suuri kuin 5 8.

5 (8) viidest vhennetn miinus kahdeksan

Negatiivisen luvun lisminen on vastakohta positiivisen luvun lismiselle. Tllinon luonnollista, ett negatiivisen luvun vhentminen on vastakohta positiivisenluvun vhentmiselle. Koska positiivisen luvun vhentminen pienent lukua,pitisi negatiivisen luvun vhentmisen kasvattaa lukua. Tmn vuoksi on sovittu,ett 5 (8) tarkoittaa samaa kuin 5 + 8.

Yhteen- ja vhennyslaskun merkkisnnt + () = = (+) () = () = + = + (+)


Yhteen- ja vhennyslasku kumoavat toisensa + = + =

2.2 KertolaskuSamaan logiikkaan perustuen on sovittu mys merkkisnnt positiivisten janegatiivisten lukujen kertolaskuissa. Kun negatiivinen ja positiivinen luku kerrotaankeskenn, saadaan negatiivinen luku, mutta kun kaksi negatiivista lukua kerrotaankeskenn, saadaan positiivinen luku.

3 4 kolme kappaletta nelosia

3 4 lukusuorallaMissingfigure

3 (4) kolme kappaletta miinus-nelosia

3 (4) lukusuorallaMissingfigure

3 4 miinus-kolme nelinkertaistetaan


3 4 lukusuorallaMissingfigure

3 (4) miinus-kolme miinus-nelinkertaistetaan

3 (4) lukusuorallaMissingfigure

2.3 JakolaskuKun ensin kerrotaan jollain ja sitten jaetaan samalla luvulla, pdytn takaisinsamaan, mist lhdettiin. Jakolaskujen merkkisnnt on sovittu niin, ett tmominaisuus silyy. Ne ovat siis samat kuin kertolaskujen merkkisnnt.

Esimerkiksi haluamme, ett (12) : (3) (3) = 12. Nyt voimme kysy,mit laskun (12) : (3) tulokseksi pitisi tulla, jotta jakolasku ja kertolaskusilyvt toisilleen knteisin, eli mik luku kerrottuna 3:lla on 12. Kertolaskunmerkkisnnist nhdn helposti, ett tmn luvun tytyy olla +4 eli 4. Niinpon sovittu, ett (12) : (3) = 12 : 3 = 4.


Kerto- ja jakolaskun merkkisnnt () = () = () () () = = () : = : () =

() : () = : =

Kerto- ja jakolasku kumoavat toisensa : = : =

2.4 Jaollisuus ja tekijihinjako

Kokonaisluku on jaollinen kokonaisluvulla , jos on olemassa kokonaisluku niin, ett = . Tllin sanotaan mys, ett on :n tekij.

Esimerkki 7. a) Luku 12 on jaollinen luvulla 3:lla, sill 12 = 3 (4).b) 12 ei ole jaollinen 5:ll, sill ei ole kokonaislukua, joka kerrottuna viidell

olisi 12.

Kuva, jossa on suorakaide, joka on jaettu 3x4 osaan.Missingfigure

Yll jaollisuus mritelln kertolaskun avulla. Jaollisuuden voi mritell mysjakolaskun avulla niin, ett on jaollinen :ll, mikli : on kokonaisluku.Esimerkiksi 12 on jaollinen 3:lla, koska 12 : 3 = 4, joka on kokonaisluku.


Kaikki luvut ovat jaollisia itselln ja luvulla 1. Esimerkiksi 7 = 7 1 = 1 7, joten7 on jaollinen 1:ll ja 7:ll.

Alkuluku on ykkst suurempi luku, joka on jaollinen ainoastaan luvulla 1 jaitselln.

Esimerkiksi luvut 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ja 19 ovat alkulukuja.

Kokonaisluvun tekijit, jotka ovat alkulukuja, kutsutaan alkutekijiksi.

Aritmetiikan peruslause

Jokainen ykkst suurempi kokonaisluku voidaan esitt yksiksitteisestialkulukujen tulona.

Aritmetiikan peruslause todistetaan kurssilla Logiikka ja lukuteoria.

Esimerkiksi luku 84 voidaan kirjoittaa muodossa 2 2 3 7. Kokeilemalla havaitaan,ett 2, 3, ja 7 ovat kaikki alkulukuja. Aritmetiikan peruslauseen nojalla tiedetn,ett tm on ainoa tapa kirjoittaa 84 alkulukujen tulona mahdollista kerrottavientermien jrjestyksen vaihtoa lukuunottamatta.

2.5 Lausekkeiden sieventminenMatemaattisia ongelmia ratkaistaessa kannattaa usein etsi vaihtoehtoisia ta-poja jonkin laskutoimituksen, lausekkeen tai luvun ilmaisemiseksi. Tllin useinkorvataan esimerkiksi jokin laskutoimitus toisella laskutoimituksella, josta tuleesama tulos. Nin lauseke saadaan sellaiseen muotoon, jonka avulla ratkaisussapstn eteenpin.

Matematiikassa on tapana ajatella niin, ett saman luvun voi kirjoittaa monellaeri tavalla. Esimerkiksi merkinnt 42, (42), 6 7 ja (50 29) 2 tarkoittavatkaikki samaa lukua. Niinp miss tahansa lausekkeessa voi luvun 42 paikallekirjoittaa merkinnn (5029) 2, sill ne tarkoittavat samaa lukua. Thn lukuun


on koottu sntj, joiden avulla laskutoimituksia voi vaihtaa niin, ett lopputulosei muutu.

Yhteenlaskut voi laskea miss jrjestyksess tahansa

+ = + (vaihdantalaki)

+ (+ ) = (+ ) + = + + (liitntlaki)

Esimerkiksi laskemalla voidaan tarkistaa, ett 5+ 7 = 7+ 5 ja ett (2 + 3)+ 5 =2 + (3 + 5).

Nm snnt voidaan yhdist yleiseksi snnksi, jonka mukaan yhteenlaskunsisll laskujrjestyst voi vaihtaa miten tahansa.

Tm snt voidaan yleist koskemaan mys vhennyslaskua, kun muistetaan,ett vhennyslasku tarkoittaa oikeastaan vastaluvun lismist. 5 8 tarkoittaasiis samaa kuin 5 + (8), joka voidaan nyt kirjoittaa yhteenlaskun vaihdantalainperusteella muotoon (8) + 5 eli 8 + 5 ilman, ett laskun lopputulos muuttuu.Tst seuraa seuraava snt:

Pelkstn yhteen- ja vhennyslaskua sisltvss lausekkeessa laskujrjestys-t voi vaihtaa vapaasti, kun ajattelee miinusmerkin kuuluvan sit seuraavaanlukuun ja liikkuvan sen mukana.

Esim. 58+72 = 5+(8)+7+(2) = (2)+(8)+5+7 = 28+5+7

Vastaavat snnt ptevt kerto- ja jakolaskulle samoista syist.

Kertolaskut voi laskea miss jrjestyksess tahansa

= (vaihdantalaki)

( ) = ( ) = (liitntlaki)

Esim. 5 6 = 6 5


Pelkstn kerto- ja jakolaskua sisltvss lausekkeessa laskujrjestyst voivaihtaa vapaasti, kun ajattelee jakolaskun knteisluvulla kertomisena.

Esim. 5 : 8 7 : 2 = 5 18 7 12 = 7 12 18 5 = 7 : 2 : 8 5

Lisksi yhteen- ja kertolaskua sisltvll lausekkeelle ptee seuraava erittintrke snt:

(+ ) = + (osittelulaki)

Vasemmalta oikealle luettaessa puhutaan sulkujen avaamisesta. Oikealtavasemmalle pin mentess puhutaan yhteisen tekijn ottamisesta.

Aikaisemmin mainittujen laskulakien perusteella osittelulaki voidaan yhdistkoskemaan mys toisin pin olevaa kertolaskun ja yhteenlaskun yhdistelm,useamman luvun yhteenlaskua, vhennyslaskua ja jakolaskua:

(+ ) = (+ ) = + = + (Sovellettu vaihdantalakia) (++) = ((+)+) = (+)+ = ++ (Sovellettu

liitntlakia) ( ) = ( + ()) = + () = (Sovellettu

vhennyslakun mritelm vastaluvun avulla) (+ ) : = (+ ) 1

= 1

+ 1

= : + : (Sovellettu jako-

laskun ilmaisemista knteisluvun avulla. Tm ominaisuus esitellnmyhemmin rationaalilukujen yhteydess.)

Esimerkiksi seuraava laskutoimitus on helppo laske osittelulain avulla: 2574 542 2574 541 = 2574 (542 541) = 2574 1 = 2574

Osittelulakia voidaan kytt mys tuntemattomia lukuja sisltvien lausekkeidenmuokkaamisessa. Esim. 2(+ 5) = 2+ 10.


Tehtvi1. Kirjoita laskutoimitukseksi. (Laskuun ei tarvitse merkit yksikkj, eli celciusas-teita tai euroja.)

a) Pakkasta on aluksi 10C, ja sitten se lisntyy kahdella pakkasasteella.b) Pakkasta on aluksi 20C, ja sitten se hellitt (vhentyy) kolme (pak-

kas)astetta.c) Lmptila on aluksi 17C, ja sitten se vhentyy viisi astetta.d) Lmptila on aluksi 5C, ja sitten se kasvaa kuusi astetta.e) Mies on mafialle 30000 euroa velkaa ja menehtyy. Hnen kolme poikaansa

jakavat velan tasan keskenn. Kuinka paljon kukin on velkaa mafialle?Merkitse velkaa negatiivisella luvulla.

2. Laske.

a) 11 + (14)b) 8 (4)c) 9 (+7)d) (8) + (5) ((11))e) 8 : (4)f) (8) : (4)g) (5) 12

3. Laske.

a) 3 + 5b) 10 5 6 + 1c) 2 2 1d) 9 5 (2) + 3e) 10 (5 2)f) (2 5)(5 1) + 1g) 9 2 (3 2 (3 2 1))

4. Mitk seuraavista luvuista ovat jaollisia luvulla 4? Jos luku on jaollinenluvulla 4, kerro, mill kokonaisluvulla ptee = 4 .a) 1 b) 12 c) 13 d) 2 e) -20 f) 0


5. Mitk seuraavista luvuista ovat alkulukuja? Jos luku ei ole alkuluku, esit sejoidenkin kahden kokonaisluvun (jotka eivt ole ykknen ja luku itse) tulona.a) 6 b) 11 c) 29 d) -27 e) -11 f) 06. Jaa seuraavat luvut alkutekijihin.a) 12 b) 15 c) 28 d) 30 e) 64 f) 90 g) 100

Luku 3 Rationaaliluvut

Rationaaliluvulla tarkoitetaan lukua , joka voidaan esitt muodossa

= ,

miss ja ovat kokonaislukuja ja = 0. Rationaalilukujen joukkoa merkitnsymbolillaQ. Rationaaliluvun esityst osamrn

kutsutaanmurtoluvuksi. Luku

on murtoluvun osoittaja ja luku on nimittj. Kaikki rationaaliluvut voidaanesitt murtolukuina, mutta murtoluvut eivt ole ainoa tapa rationaalilukujenesittmiseksi. Kaikki rationaaliluvut voidaan mys esitt usealla eri tavallamurtolukuna.

Murtoluku on osamr

miss , Z ja = 0. Jokaisen murtoluvun arvo on rationaaliluku jajokainen rationaaliluku voidaan esitt murtolukuna.

3.1 Murtolukujen laskusnntEsimerkki 8. Murtolukujen yhteenlasku. Laske

12 +

16 +

26 .

26

LUKU 3. RATIONAALILUVUT 27

Ratkaisu. Lavennetaan nimittjt samannimisiksi ja lasketaan osoittajat yhteen:

12 +

16 +

26 =

3 13 2 +

16 +

26

= 36 +16 +

26

= 3 + 1 + 26= 66 = 1.

Jos murtolukujen nimittjt ovat samat, voidaan murtoluvut laskea yhteenlaskemalla osoittajat yhteen.

+ = +

Murtolukuja, joiden nimittjt ovat samat, sanotaan samannimisiksi. Jos yhteen-laskettavien murtolukujen nimittjt eivt ole samat, murtoluvut lavennetaanensin samannimisiksi ja sitten osoittajat lasketaan yhteen. Jos siis

ja

ovat

murtolukuja, lasketaan

+ =

+

= +

Tss lavennetaan :ll ja

lavennetaan :ll, jolloin saadaan kaksi sa-

mannimist murtolukua, joiden kummankin nimittj on yhteenlaskettaviennimittjien tulo .

Esimerkki 9. Murtolukujen kertolaskussa osoittajat ja nimittjt kerrotaan kes-kenn.

34

65 =

3 64 5 =

1820 =

910


Murtolukujen ja

tulo lasketaan kertomalla lukujen osoittajat ja nimittjt

keskenn:

=

=

thn Sampon paperille suunnittelema havainnollis-tus kertolaskusnnst

Missingfigure

Esimerkki 10. Luvun 5 knteisluku on 15 , koska

5 15 = 1.

Vastaavasti luvun 23 knteisluku on 32 , koska

23 (32) = 1.

Rationaaliluvun ( = 0) knteisluvuku on 1, sill

1= 1.

Vastaavasti rationaaliluvun ( = 0 ja = 0) knteisluku on

, sill

= 1.

Kahta murtolukua vertailtaessa ne kannattaa ensin laventaa samanni-misiksi.Esimerkki 11. Salamipizza jaetaan kuuteen ja tonnikalapizza neljn yht suu-


reen siivuun. Vesa saa kaksi siivua salamipizzaa ja yhden siivun tonnikalapizzaa.Minttu saa kaksi siivua tonnikalapizzaa. Kumpi saa enemmn pizzaa, jos molem-mat pizzat ovat saman kokoisia?

thn kuva pizzoistaMissingfigure

Ratkaisu.

Huomataan, ett 12 = 3 4 = 2 6. Luvut kannattaa pizzan kokonaismrnlaskemista varten laventaa niin, ett nimittjn on luku 12. Vesan saama mrpizzaa on

26 +

14 =

2 22 6 +

3 13 4 =

412 +

312 =

712 .

Mintun saama mr pizzaa on

24 =

3 23 4 =

612 .

Koska 6/12 < 7/12, Vesa saa enemmn.

Kaikki rationaaliluvut voidaan esitt murtolukumuodossa, mutta mys koko-naisluvut voidaan esitt murtolukuina asettamalla murtoluvun nimittjksi yksi.Tt voidaan kytt, kun lasketaan yhteen kokonaislukuja ja murtolukuja.

Esimerkki 12. Laske2 + 13 .

Ratkaisu.

Kirjoitetaan lausekkeen kokonaisluku 2 murtolukuna, jonka jlkeen voidaan mur-


toluvut voidaan laventaa samannimisiksi ja laskea yhteen:

2 + 13 =21 +

13 =

3 23 1 +

13 =

6 + 13 =

73 .

Rationaalilukujen ja murtolukujen erona on, ett rationaaliluvut ovat lukujenmuodostama joukko, kun taas murtoluvut ovat lukujen esitystapa. Vaihtoehtoi-nen esitystapa rationaaliluvuille on desimaaliluvut, esimerkiksi murtoluku 12 jadesimaaliluku 0,5 esittvt samaa rationaalilukua.

TehtviOpi perusteet

7. a) 311 +511 b)

45 15 c) 23 + 16 d) 1112 56

8. a) 129 +59 b)

13 + 2

13 c) 2 +

54 d)

32 56

Laskujrjestys:1. Sulut2. Potenssilaskut3. Kerto- ja jakolaskut va-

semmalta oikealle4. Yhteen- ja jakolaskut

vasemmalta oikealle

9. a) 58 (35 + 25) b) 13 + 14 6510. a) 23 :

711 b)

43 : (

134 ) c)

78 : 4

11. Laske murtolukujen 56 ja 215a) summa b) erotus c) tulo d) osamr.

Hallitse kokonaisuus

12. a)12 :

32

32 +

13

b)23 +

34

56 712

.

13. Laske lausekkeen 23 arvo, kun ona) 4 b) 12 c) 710 .14. Laske lausekkeen +2 arvo, kuna) = 12 ja =

14 b) =

14 ja = 38 .

15. Laatikossa on palloja, joista kolmasosa on mustia, neljsosa valkoisia javiidesosa harmaita. Loput palloista ovat vrikkit. Kuinka suuri osuus palloistaon vrikkit?


Sekalaisia tehtvi16. Fibonaccin luvut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . mritelln seuraavasti: Kaksiensimmist Fibonaccin lukua ovat 0 ja 1, ja siit seuraavat saadaan kahdenedellisen summana:

0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ja niin edelleen.

Tutki, miten Fibonaccin luvut liittyvt lukuihin

11 + 1 ,

11 + 11+1

,1

1 + 11+ 11+1,

11 + 11+ 1

1+ 11+1

, . . .

Yksi prosentti tarkoittaa yht sadasosaa: 1 % = 110017. Pontus, Viljami, Jarkko-Kaaleppi, Simo ja Milla leipoivat lanttuvompatti-piirakkaa. Pontus kuitenkin si piirakasta kolmanneksen ennen muita, ja loputpiirakasta jaettiin muiden kanssa tasan. Kuinka suuren osan muut saivat?18. Huvipuiston sisnpsylippu maksaa 20 euroa, ja lapset psevt sisnpuoleen hintaan.

a) Kuinka paljon kolmen lapsen yksinhuoltajaperheelle maksaa pst sisn?b) Kuinka paljon sisnpsy maksaa perheelle avajaispivn, kun silloin

sisn psee 25 % halvemmalla.19. Laske 109 98 87 76 65 54 43 32 .20. Erss kaupassa on kynniss loppuunmyynti ja kaikki tuotteet myydnpuoleen hintaan. Lisksi kanta-asiakkaat saavat aina viidenneksen alennustatuotteiden senhetkisest hinnasta. Paljonko kanta-asiakas maksaa nyt tuotteestajoka normaalisti maksaisi 40 euroa?21. Kokonaisesta kakusta sydn maanantaina iltapivll puolet, ja jljellejneest palasta sydn tiistaina iltapivll taas puolet. Jos kakun jakamista jasymist jatketaan samalla tavalla koko viikko, niin kuinka suuri osa alkuperisestkakusta on jljell seuraavana maanantaiaamuna?22. Ratkaise lausekkeen 1

1

arvo, kun tiedetn, ett = 16 ja = + 1.

Luku 4 Potenssi

Jos on reaaliluku ja on positiivinen kokonaisluku, potenssilla tarkoitetaantuloa

= . . . kpl

.

Lukua kutsutaan potenssin kantaluvuksi ja lukua eksponentiksi. Merkinnll24 siis tarkoitetaan tuloa 2 2 2 2. Siten

24 = 2 2 2 2 = 16.

Luvun toista potenssia 2 kutsutaan mys luvun neliksi ja kolmatta potenssia3 sen kuutioksi. Luvun > 0 neli on sellaisen nelin pinta-ala, jonka sivunpituus on . Vastaavasti, jos kuution srmn pituus on , niin 3 on kyseisenkuution tilavuus.

Esimerkki 13. Potenssien sieventminen.

a) (2)3 = (2) (2) (2) = 8b) (2)4 = (2) (2) (2) (2) = 16c) 24 = (24) = (2 2 2 2) = 16d) 22 23 = 2 2

2 kpl 2 2 2

3 kpl= 2 2 2 2 2

5 kpl= 25 = 32

e) 24 2223 =

2 2 2 2 2 22 2 2 = 2

3 = 8

32

LUKU 4. POTENSSI 33

Potenssien laskusnnt

Samankantaisten potenssien kertolasku

3 4 = 3 kpl

4kpl

= 3+4 = 7

Samankantaisten potenssien jakolasku

7

4=

= 74 = 3

Potenssin potenssi

(2)3 = 2 2 2 3 kpl

= 23=6 kpl

= 23 = 6

Tulon potenssi

(5)3 = 5 5 5 = 5 5 5 = 13 53 = 315

Osamrn potenssi(9

7

)3=

9

7

9

7

9

7=

9 9 97 7 7 =

93

73=

27

21

Potensseille ptevt seuraavat laskusnnt.

LUKU 4. POTENSSI 34

Potenssien laskusntj

Olkoot ja kokonaislukuja ja reaaliluku.

= + Samakantaisten potenssien tulo

= Samakantaisten potenssien osamr ( = 0)

( ) = Tulon potenssi(

)=

Osamrn potenssi ( = 0)

() = Potenssin potenssi

Negatiivinen luku ja nollaeksponenttinaSievennetn osamr 3

5 kahdella eri tavalla. Supistamalla yhteiset tekijtlopputulos

3

5=

=1

=12

on erinkinen, kuin kyttmll potenssien laskusntj

3

5= 35 = 2.

Koska lhttilanne on molemmissa tapauksissa sama, voidaan mritell, ett

2 = 12

LUKU 4. POTENSSI 35

Negatiivinen eksponentti (kun = 0)

= 1

Kun eksponenttina on nolla, on tuloksena aina luku 1 kaikilla nollasta poikkeavillakantaluvuilla. Esimerkiksi

3

3= = 1,

mutta sama lasku voidaan laskea mys toisella tavalla: 33 =

33 = 0.

Eksponenttina nolla (kun = 0)

0 = 1

Merkint 00 ei ole mritelty.

TehtviOpi perusteetLaske.23. a) (2) (2) (2) b) (1) (1) (1) (1)Sievenn24. a) b) c) Laske.25. a) 23 23 b) 43 c) (22)3 d) 22+2+2Sievenn.26. a) 3 2 5 b) (3)2 c) (23)4 d) 72Laske.27. a) 2

3

22 b)2422 c)

2321 d)

2320 e)

2324 f)

2325

LUKU 4. POTENSSI 36

Hallitse kokonaisuusSievenn.28. a) (1 )3 b) ( 2)2 c) (2)3 d) (3)4

Sievenn.29. a) 3 2 5 b) (3)2 c) (54)3 d) ()2

Sievenn.30. a) () () b) () () ()3 c) (2) ()2

Sievenn.31. a) 3(0)2 b) (3)0 c) (4)32 d) 3(2)5

Sievenn.32. a) (12) (12) b) (

2

2)3 c) (44)2 d)

(()4)2

Sievenn.33. a) 6932 b) (

222 )

3 c) 5215 d)(( 103100)21

)2

Sekalaisia tehtviSievenn.34. a) 2 3 b) 32 c) 2 d) 2 e) 213

35. a) 0 b) 00 c) 1 d) 0 e) 01

36. a) 12 b) c) 32 d) 01

37. a) () b) () () c) 2 (2)38. a) 3 (2) b) () () c) 2 (2)39. a) 03 03 03 b) 31 c) 22+3 d) 264 e) 50

40. a) (3)1 b) (6)2 c) (2)4 d) (1)3 e) (0)5

41. a) (13 22)2 b) (12 23)2 c) (224)2 d) (3)3

42. a) (32)2 b) (23)4 c) (24)5 d) (22)3

43. a) 32 b)

4

2 c)3

1 d)3

0 e)3

4 f)3

5

44. a) 22

b) 22 c)

3

3 d)10 e)

3

4

LUKU 4. POTENSSI 37

Sievenn ja kirjoita potenssiksi, jonka eksponentti on positiivinen.45. a) 3 b)

3 c) 2 5 d) 4 4 e) 3

5

Esit ilman sulkuja ja sievenn.46. a) (12)2 b) (

13)

3 c) ()4 d) (2

3 )2 e)

(2

2

)2Sievenn.47. a) 23

b) c) 32

d) 04

48. a) 25

b) 53

c) (3)2

d) 120

49. a) 2(4)b) (2)0

c) (3)3

d) (53)3

50. a) 2729b) 3

c)(13

)2d)(24

)4

Luku 5 Desimaaliluvut

Desimaaliluvut on kymmenjrjestelmn perustava tapa merkit rationaalilukuja.Niill voi merkit mys irrationaalilukujen likiarvoja.

123,456 on esimerkki desimaaliluvusta. 123 on sen kokonaisosa. Kokonaisluku erotetaan loppuosasta desimaalierottimella, joka on suomen

kieless pilkku (,). 1

Osaa 456 kutsutaan desimaaliluvun loppuosaksi.

Esimerkkin annettu desimaaliluku tulkitaan seuraavasti:

123,456 = 1 102 + 2 101 + 3 100 + 4 101 + 5 102 + 6 103 (5.1)

Thn kuva siit, kuinka desimaaliluvun numerotvastaavat kymmenen potensseja

Missingfigure

1. Useissa englanninkielisiss maissa kytetn desimaalierottimena pistett (.) ja pilkku ontuhaterotin. Esimerkiksi yhdysvaltalaisessa kirjassa merkint $ 1,000.50 tarkoittaa tuhattadollaria ja 50 sentti. Suomen kieless tuhaterotin on vlilynti.

38

LUKU 5. DESIMAALILUVUT 39

Kymmenjrjestelm saa nimens siit, ett jokainen luvussa esiintyv numerokertoo sen paikkaa vastaavien kymmenen potenssien mrn.

Desimaaliluvut voidaan muuttaa murtoluvuiksi laskemalla ne auki yllolevan tavanmukaan.

Esimerkki 14. 21,37 = 2 101+1 100+3 101+7 102 = 2 10+1 1+3 110+7 1100 = 21 + 310 + 7100 = 21100100 + 3101010 + 7100 = 21100+310+7100 = 2100+30+7100 = 2137100Toisaalta pstn paljon helpommalla, kun huomataan, ett voidaan vain kertoaja jakaa koko luku niin monella kympill, kuin on numeroita desimaalipilkunjlkeen. Tsmllisemmin sanottuna 10:ll, jossa on pilkun jlkeen tuleviennumeroiden mr.

Esimerkki 15. 21,47 = 21,47 1 = 21,47 102102 = 21,47100100 = 2147100Esimerkki 16. 0,007 = 0,007 1 = 0,007 103103 = 0,00710001000 = 71000Menetelmn toimivuus kaikkien desimaalilukujen tapauksessa voidaan todistaatarkastelemalla desimaaliluvun mritelm, mutta jtetn tss tekemtt.

Tss on joitain murtolukujen desimaaliesityksi, jotka on hyv osata 110 = 0,1 1100 = 0,01 12 = 0,5 14 = 0,25 34 = 0,75

Tehtvi51. Laske ja totea edell olevien murtolukujen desimaaliesitysten paikkansapit-vyys.

52. Muuta murtoluvuksi.

a) 43,532b) 5,031


c) 0,23d) 0,3002e) 0,101

53. Muuta murtoluvuksi ja sievenn.a) 0,01b) 0,0245c) 0,004d) 0,001004

rat.lukujen muuttami-nen desimaaliluvuiksi,motivaatio, teoria jaesimerkkej

rat.lukujen muuttami-nen desimaaliluvuiksi,motivaatio, teoria jaesimerkkej

tehtvi rat.lukujenmuuttamisesta desi-maaliluvuiksi (huom! eipttymttmi desi-maaliluvuista)

tehtvi rat.lukujenmuuttamisesta desi-maaliluvuiksi (huom! eipttymttmi desi-maaliluvuista)

54. a)55. a)

Joissain yhteyksiss kytetn muitakin lukujrjestelmi kuin kymmenjrjes-telm. Esimerkiksi tietokoneet kyttvt kaksikantajrjestelm eli binri-jrjestelm. Binrijrjestelmss jokainen luvun numero kertoo sen paikkaavastaavan kakkosen potenssien mrn kymmenen potenssien sijasta.

Binrijrjestelmss esitetty luku merkitn yleens kirjoittamalla pienikakkonen luvun jlkeen, esim. 10,012.

Esimerkki 17. 10,012 = 1 21 + 0 20 + 0 21 + 1 22 = 2,2510

Tehtvi56. Muunna seuraavat binriluvut kymmenjrjestelmn.

a) 101,02b) 1,001012c) 100101,11012

57. Muunna seuraavat luvut binrijrjestelmn.a) 7,010b) 2,510


c) 11,187510pttymttmt desi-maaliluvut, jotka onesitettviss rationaali-lukuina

pttymttmt desi-maaliluvut, jotka onesitettviss rationaali-lukuina

nm on hyv osata:esimerkkej desimaali-luvuista jotka on esitet-tviss rationaalilukui-na, esim. 0,333...

nm on hyv osata:esimerkkej desimaali-luvuista jotka on esitet-tviss rationaalilukui-na, esim. 0,333...

tehtvi pttymtt-mist mutta jaksollisis-ta desimaaliluvuista

tehtvi pttymtt-mist mutta jaksollisis-ta desimaaliluvuista

Luku 6 Juuret

6.1 NelijuuriAjatellaan, ett nelin pinta-ala on . Halutaan tiet, mik on kyseisen nelinsivun pituus. Vastausta thn kysymykseen kutsutaan luvun 0 nelijuureksija merkitn . Luvun nelijuuri on mys yhtln 2 = ratkaisu. Tllintytyy kuitenkin huomata, ett mys luku = toteuttaa kyseisen yhtln.Nelijuurella tarkoitetaan kyseisen yhtln epnegatiivista ratkaisua. Tm onluonnollista, koska nelin sivun pituus ei voi olla negatiivinen luku.

Luvun nelijuuri on epnegatiivinen luku, jonka neli on . Tm voidaanilmaista mys ()2 = .

Nelijuurta ei tll kurssilla mritell negatiivisille luvuille, koska nelin pinta-alaon aina positiivinen luku tai nolla. Kytnnss lukujen nelijuuria lasketaan useinlaskimella.

Esimerkki 18. Laske.

a)4

b)144

c)4471.

Ratkaisut.

a) Laskimella tai pss laskemalla saadaan, ett4 = 2, koska 2 0 ja 22 = 4.

b)144 = 12. Tm voidaan viel tarkistaa laskemalla 122 = 12 12 = 144.

42

LUKU 6. JUURET 43

c)4471 66,9. Vertailun vuoksi laskimella saadaan mys 67 67 = 4489.

Vastaukset. a) 2, b) 12, c) 66,9.

Esimerkki 19. Taulutelevision kooksi (lvistjksi) on ilmoitettu mainokses-sa 46,0 tuumaa (116,8 cm) ja kuvasuhteeksi 16:9. Kuinka leve televisio on(senttimetrein)?

Ratkaisu.

Taulutelevision halkaisija, alareuna ja toinen sivu muodostavat suorakulmaisenkolmion. Kolmion hypotenuusa on television halkaisija ja kateetit alareuna jatoinen sivu.

Kuvausuhteen perusteella kateettien pituuksia voidaan merkit 16 ja 9. Pytha-goraan lauseesta saadaan

(116,8)2 = (16)2 + (9)2

eli13642,24 = (256 + 81)2.

Siten2 = 13642,24337

ja siis

=13642,24337 6,36.

Television leveys on noin 16 = 16 6,36 102 cm.Vastaus. Noin 102 cm.

6.2 KuutiojuuriKuution tilavuus on . Halutaan tiet, mik on kyseisen kuution sivun pituus.Vastausta thn kysymykseen kutsutaan luvun 0 kuutiojuureksi ja merkitn3. Luvun kuutiojuuri on mys yhtln 3 = vastaus.

LUKU 6. JUURET 44

Luvun kuutiojuuri on luku, jonka kuutio on . Tm voidaan ilmaista mys( 3)3 = .

Jos < 0, niin kysymys kuutiosta jonka tilavuus on , ei ole mieleks. Tsthuolimatta kuutiojuuri mritelln mys negatiivisille luvuille. Syy thn on, ettyhtlll 3 = on tsskin tapauksessa yksiksitteinen ratkaisu. Positiivisenluvun kuutiojuuri on aina positiivinen ja negatiivisen luvun kuutiojuuri on ainanegatiivinen luku. Kuutiojuuren voi siis ottaa mist tahansa reaaliluvusta.Esimerkki 20. Laske.

a) 327

b) 31397

c) 32197.

Ratkaisut.

a) Laskimella tai pss laskemalla saadaan, ett 327 = 3, koska 33 = 3 3 3 =

27.

b) 31397 11,18.

c) 32197 = 13. Tm voidaan viel tarkistaa laskemalla 133 = 13 13 13 = 2197.

Vastaukset.

a) 3, b) 11,18, c) 13.

6.3 Korkeammat juuretYhtln = ratkaisujen avulla voidaan mritell :s juuri mille tahansa posi-tiiviselle kokonaisluvulle . Neli- ja kuutiojuurten tapauksesta voidaan kuitenkinvoi huomata, ett kuutiojuuri on mritelty kaikille luvuille, mutta nelijuuri vainei-negatiivisille luvuille. Tm toistuu mys muissa juurissa: parilliset ja parittomatjuuret on mriteltv erikseen.

Juurimerkinnll (luetaan :s juuri luvusta ) tarkoitetaan lukua, joka toteut-taa ehdon ( ) = . Jotta juuri olisi yksiksitteisesti mritelty asetetaan lisksi,

LUKU 6. JUURET 45

ett parillisessa tapauksessa :s juuri tarkoittaa kyseisen yhtln epnegatiivistaratkaisua.

Parillinen juuri

Kun on parillinen luku, luvun 0 :s juuri on luku 0, jonka :spotenssi on , eli = . Lukua merkitn , eli ( ) = . Edelleen,kun on parillinen luku, :tt juurta ei ole mritelty negatiivisille luvuille.

Luvun toista juurta, eli nelijuurta 2 merkitn yleens yksinkertaisemmin .

Pariton juuri

Kun on pariton luku, luvun R :s juuri on yksiksitteinen luku R,jonka :s potenssi on , eli = . Lukua merkitn , eli ( ) = .Erityisesti :s juuri on mritelty parittomilla mys negatiivisille luvuilletoisin kuin :s juuri parillisilla .

Korkeampien juurten laskeminen tapahtuu tavallisesti laskimella.

Esimerkki 21. Laske.

a) 4256

b) 5243

c) 48

Ratkaisut.

a) Laskimella saadaan 4256 = 4 koska 44 = 256.

b) Laskimella 5243 = 3, koska (3)5 = 243.

c) Luvun 8 neljs juuri 48 ei ole mritelty, koska minkn luvun neljspotenssi ei ole negatiivinen.

LUKU 6. JUURET 46

Tehtvi58. Laske seuraavat nelijuuret laskimella.a)320, b)

15, c)

71

59. Laske8100 pss ajattelemalla juurrettava luku sopivana tulona.

60. Etsi luku > 0 jolle 4 = 83521.61. Oletetaan ett suorakaiteen leveyden suhde korkeuteen on 2 ja suorakaiteenpinta-ala on 10. Mik on suorakaiteen leveys ja korkeus?62. Ajatellaan suorakulmaista hiekkakentt, jonka pinta-ala on aari (100 m2).Lyhyemmn ja pidemmn sivujen pituuksien suhde on 4:3. Laske Pythagoraanlauseen avulla matka hiekkakentn kulmasta kauimmaisena olevaan kulmaan.63. Laske. a)

64 b)

64 c) 364 d) 36464. Laske. a) 4

81 b) 4

81 c) 532 d) 53265. Laske luvun 10 potensseja: 101, 102, 103, 104, . . . Kuinka monta nollaa onluvussa 10? Laske sitten 6

1 000 000 ja 10

10 000 000 000.

66. Onko annettu juuri mritelty kaikilla luvuilla ? Millaisia arvoja juuri voisaada luvusta riippuen?a) 42 b) 4

2 c) 4()2 d) 42

67. Onko annettu juuri mritelty kaikilla luvuilla ? Millaisia arvoja juuri voisaada luvusta riippuen?a) 52 b) 5

3 c) 5

2 d) 5268. Sievenn (3 +

3)4 : (

3 + )3.

69. (YO 1888 1) Mik on a/b:n arvo, jos(+

) : (

) = 2 ?

Luku 7 Murtopotenssi

Seuraavaksi tutkitaan potenssin ksitteen laajentamista tilanteeseen, jossa ekspo-nenttina on murtoluku. Esimerkiksi voidaan pohtia, mit tarkoittaa merkint 2 13 ?Potenssin laskusntjen perusteella

(2) = 2, kun , Z.

Siten on luonnollista ajatella, ett murtopotenssille 2 13 ptee

(2 13 )3 = 2 33 = 21 = 2.

Koska luvun 2 kuutiojuuri toteuttaa yhtln ( 32)3 = 2, tytyy siis asettaa

2 13 = 32. Yleisemmin asetetaan 1 = , kun on positiivinen kokonaisluku

ja 0.

Kaavan on edelleen luontevaa ajatella yleistyvn niin, ett esimerkiksi

(2 13 )2 = 2 23 .

Yleisemmin otetaan murtopotenssin mritelmksi

= ( 1 ) = (

),

kun ja ovat kokonaislukuja ja > 0.

47

LUKU 7. MURTOPOTENSSI 48

Murtopotenssimerkinnt

1 =

, kun 0.

Erityisesti 12 = .

= (

), kun 0.

Kun murtolukueksponentit mritelln nin, kaikki aikaisemmat potenssienlaskusnnt ovat sellaisenaan voimassa mys niille. Esimerkiksi kaavat

= +, () = , () =

ptevt kaikille rationaaliluvuille ja . Niden kaavojen todistukset on esitettyliitteess C.

Huomautus mrittelyjoukosta. Murtopotenssimerkint kytettess vaadi-taan, ett 0 mys silloin, kun on pariton. Syy thn on seuraava. Esimerkiksi31 = 1, koska (1)3 = 1, mutta lauseketta (1) 13 ei ole tllin mritelty.Murtopotenssimerkinnn mrittelyst voi tllin seurata yllttvi ongelmia:

1 = 31 = (1) 13 = (1) 26 = ((1)2) 16 = 1 16 = 61 = 1.

Luvun 13 lavennus muotoon26 on ongelman ydin, mutta murtolukujen lavennus-

snnist luopuminen olisi mys hankalaa. Siksi sovitaan, ettei murtopotenssi-merkint kytet, jos kantaluku on negatiivinen.

Esimerkki 22. Muuta lausekkeet 53 ja ( 4)7 murtopotenssimuotoon.

Ratkaisu.53 = 3 15 ,

( 4)7 = ( 14 )7 = 74

Esimerkki 23. Sievenn lauseke 8 23 .

Ratkaisu. 8 23 = ( 38)2 = 22 = 4.

LUKU 7. MURTOPOTENSSI 49

TehtviMuuta lausekkeet murtopotenssimuotoon.70. a) 3 b) 6 c) 71. a) ( 3

)6 b) ( 6

3) c) ( 5

)2 d) ( 16

4)

Sievenn.72. a) 15 b) 43 c) 84 d) 25100

73. a) 9 12 b) 8 13 c) 4 32 d) 81 34

74. a) 13 b) 52 c) 3 12 d) 247

75. a) 4 34 b) 2 51 c) 16 23 d) 5 53

Muuta murtopotenssimuotoon.76. a)

b) 3

4 c)

d) 5

7

77. a) 3

32 b) 5

2 c)

(4)3

Luku 8 Reaaliluvut

Joskus yksinkertaisen geometrisen ongelman ratkaisu voi olla luku, jota ei voidaesitt rationaalilukuna. Siksi on tarpeen tutkia lukuja, jotka eivt ole rationaali-lukuja. Tllaisia lukuja kutsutaan irrationaaliluvuiksi.

Esimerkiksi2 on irrationaaliluku, mik todistetaan luvun lopussa. Toinen tuttu

peruskoulusta tuttu irrationaaliluku on ympyrn kehn pituuden suhde halkaisijaan:.

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3

2

2

Rationaalilukuja ja irrationaalilukuja kutsutaan yhdess reaaliluvuiksi. Reaali-lukujen joukkoja merkitn R.

Rationaaliluvuilla voidaan approksimoida irrationaalilukuja mielivaltaisen tarkas-ti. Esimerkiksi voidaan kirjoittaa halutusta tarkkuudesta riippuen seuraaviinmuotoihin:

3, 3,1, 3,14, 3,145, 3,1459, 3,14592, 3,145926, . . .

Rationaaliluvut eivt ns. tyt koko lukusuoraa, mutta niit on niin tihesti,ett jokaista irrationaaliluku voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti jollainrationaaliluvulla.

50

LUKU 8. REAALILUVUT 51

kuva thn lukusuorasta, jolla on nelijuuri 2 ja senvieress rationaalilukuja yh lhempn ja lhemp-n - ne approksimoivat nelijuuri kakkosta

Missingfigure

Vaikka menisimme kuinka lhelle jotain irrationaalilukua lukusuoralla, vlistlytyisi viel jokin rationaaliluku.

Kaikki rationaalilukuja koskevat laskusnnt ptevt mys reaaliluvuille.

Tmn perusteleminen on valitettavasti liian pitkllinen asia lukion ykkskurssille.

pid huolta, ett ai-emmin on oikeasti pu-huttu rationaalilukujendesimaalilukuesitystenjaksollisuudesta!! taisitten perustele tss

pid huolta, ett ai-emmin on oikeasti pu-huttu rationaalilukujendesimaalilukuesitystenjaksollisuudesta!! taisitten perustele tss

Siin miss rationaalilukujen desimaaliesitykset ovat pttyvi tai jaksollisia, ovatirrationaalilukujen desimaaliesitykset pttymttmi ja jaksottomia.

Luvun 2 1,414213562373095048801688724209 . . .

desimaaliesityksess on kyll toistuvia kohtia, esimerkiksi numeropari 88 esiintyykahdesti. Siin ei kuitenkaan ole mitn jaksoa, jonka jlkeen luvut alkaisivattoistua, toisin kuin esimerkiksi luvussa 3,80612312312312 . . ..

Reaalilukujen ominaisuuksista kerrotaan lis liitteess E.

Reaalilukujen myt kaikki lukiokursseissa esiintyvt lukujoukot on esitelty. Neon lueteltu seuraavassa:

Joukko Symboli Mit ne ovatLuonnolliset luvut N Luvut 0, 1, 2, 3, . . .Kokonaisluvut Z Luvut . . . -2, -1, 0, 1, 2 . . .Rationaaliluvut Q Luvut, jotka voidaan esitt murtolukuinaReaaliluvut R Kaikki lukusuoran luvut

Kuva lukujoukoista ty-tyy korjata: kaikki esi-merkkiluvut suppeim-man joukon sisn,johon ne kuuluvat. Eiomaa rinkulaa irratio-naaliluvuille. Tekstiirrationaaliluvut saajd mukaan.

Kuva lukujoukoista ty-tyy korjata: kaikki esi-merkkiluvut suppeim-man joukon sisn,johon ne kuuluvat. Eiomaa rinkulaa irratio-naaliluvuille. Tekstiirrationaaliluvut saajd mukaan.

LUKU 8. REAALILUVUT 52

NZ

Q

Irrationaaliluvut

R

1

5 1015

0

14

7513

523

4

357

4

2

2

52

13

3

0

5

2

75

3

Lukualueita voidaan laajentaa lis viel tstkin, esimerkiksi imaginaariluvutovat lukuja, jotka eivt ole reaalilukuja, vaan lukuja, joita ei voi edes sijoittaalukusuoralle. Reaalilukuja ja imaginaarilukuja kutsutaan yhdess kompleksiluvuiksi.

Kompleksilukuja tarvitaan mm. insinrialoilla yliopistoissa ja ammattikorkeakou-luissa. Esimerkiksi vaihtoshkpiirien analyysiss, signaalinksittelyss ja st-tekniikassa kytetn runsaasti kompleksilukuja. Kompleksiluvut ovat trkeitmys matematiikan tutkimuksessa itsessn.

Luku 9 Kertaus

53

Osa II Yhtlt

54

Luku 10 Yhtl

Monissa kytnnn tilanteissa jokin suure voidaan ptell tai laskea kahdella eritavalla. Nm tavat voidaan merkit lukuina tai kirjoittaa lausekkeiksi. Merkitse-mll nin saadut lukuarvot ja lausekkeet yhtsuuriksi saadaan yhtl. Yhtl onsiis kahden lausekkeen merkitty yhtsuuruus. Yhtlit esiintyy usein kytnnntilanteissa.Esimerkki 24. Merkitn lausekkeet 5 + ja 7 + 7 yhtsuuriksi, jolloinsaadaan yhtl 5+ = 7+ 7.

Jos yhtln kummankin puolen lausekkeen arvo on sama, sanotaan ettyhtl ptee.

Esimerkki 25. a) Yhtl 3+ 2 = 0 ptee, kun = 23 .b) Yhtl 5 = 3 ei pde.

Esimerkki 26. Kuvassa oleva vaaka on tasapainossa. Toisessa vaakakupissa onkahden kilon siika ja toisessa puolen kilon ahven sek tuntematon mr lakritsia.Kuinka paljon vaakakupissa on lakritsia? kahden kilon siika -

esimerkin ratkaisukahden kilon siika -esimerkin ratkaisu

Kuva kaloista vaaassaMissingfigure

55

LUKU 10. YHTL 56

Ratkaisu.

Merkitn lakritsin mr tuntemattomalla . Tilannetta kuvaa yhtl

2 = 0,5 + . (10.1)

Ratkaistaan yhtl.

2 = 0,5 + | 0,52 0,5 =

1,5 = = 1,5

Vastaus. Lakritsia on 1,5 kg.

lis yhtlesimerkkejlis yhtlesimerkkej

Yhtlss esiintyy yleens tuntemattomia, joiden arvoa ei tiedet jajoita merkitn eri symboleilla. Jos tuntemattomia on vain yksi, sitmerkitn yleens kirjaimella .

Niit tuntemattoman arvoja, joilla yhtl ptee, kutsutaan yhtlnratkaisuiksi.

Yhtln ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien yhtln ratkaisujen sel-vittmist.

jokin helposti ymmr-rettv esimerkki tun-temattomista

jokin helposti ymmr-rettv esimerkki tun-temattomista

LUKU 10. YHTL 57

Tyypillinen tapa ratkaista yhtlit on kirjoittaa ne ilmaistuna toisella tavalla.Kytnnss se tarkoittaa sit, ett niit muokkaa siten, ettei alkuperi-sen yhtln paikkansapitvyys muutu. Tllaisia sallittuja muunnoksia ovatesimerkiksi: Yhtln molemmille puolille voidaan list tai molemmilta puolilta

voidaan vhent luku. Esimerkiksi yhtl 3+ 5 = 3 saadaan ninmuotoon 3 = 2.

Yhtln molemmat puolet voidaan kertoa nollasta poikkeavalla luvulla.Esimerkiksi kertomalla yhtln 2 = 4 molemmat puolet luvulla 12saadaan yhtl = 2.

Kuvitellaan orsivaaka, joka on tasapainossa. Vasemmalla ja oikealla puolella oneripainoisia esineit, mutta ne painavat yhteens yht paljon. Jos molemmillepuolille listn nyt saman verran painoa, vaaka on yh tasapainossa. Samallatavalla yhtln molemmille puolille on sallittua list sama luku.

Yhtlt ratkeavat siten, ett niit muokataan, kunnes vastauksen voi lukea siitsuoraan, esim = 3.

Yhtlit on kolmenlaisia:1. Yhtl, joka on aina tosi. Esimerkiksi yhtlt 8 = 8 ja = .2. Yhtl, joka on joskus tosi. Esimerkiksi yhtl + 4 = 7 on tosi, kun

= 3, ja eptosi muulloin.3. Yhtl, joka ei ole koskaan tosi. Esimerkiksi yhtl 0 = 1.

Trkeimpi nist ovat joskus todet yhtlt.

LUKU 10. YHTL 58

Yleisi yhtlnratkaisuperiaatteita: Kerro tuntematonta sisltvt lausekkeet pois nimittjist. Yhdist useat murtolausekkeet yhdeksi laventamalla. Yhdist tuntemattomat. Kumoa juuret korottamalla yhtl puolittain sopivaan potenssiin. Sulkuja ei vlttmtt aina kannata kertoa auki. Yhtl on ratkaistu vasta, kun jljell on en vain yksi kappale

tuntematonta suuretta, ja se sijaitsee yksin omalla puolellaan yhtl.

Siirrymme nyt tarkastelemaan trke yhtliden lajia, ensimmisen asteen yht-lit.

Luku 11 Ensimmisen asteenyhtl

Ensimmisen asteen yhtlksi kutsutaan yhtl, joka on esitettviss muo-dossa + = 0, jossa = 0.

Yhtltyypin nimi tulee siit, ett korkein potenssi, johon tuntematon yhtlsskorotetaan, on 1.

Esimerkki 27. Muun muassa seuraavat yhtlt ovat ensimmisen asteen yht-lit:

a) 2 = 4

b) 5+ 3 = 0

c) + 2 = 3 4

Ensimmisen asteen yhtl ratkaistaan siirtmll ensin tuntemattoman sisltvt termit yhtln vasemmalle puolelle ja vakiotermit oikealle puolelle.Tmn jlkeen yhtl jaetaan puolittain tuntemattoman kertoimella.

/todoonko 1. asteen yhtlnratkaisun laatikossa kytettv siirt toiselle puo-lelle ehk kuitenkin voi olla noin

59

LUKU 11. ENSIMMISEN ASTEEN YHTL 60

Esimerkki 28. Yhtln 7+ 4 = 4+ 7 ratkaisu saadaan seuraavasti:

7+ 4 = 4+ 7 |Vhennetn molemmilta puolilta 4.3+ 4 = 7 |Vhennetn molemmilta puolilta 4.

3 = 3 | Jaetaan molemmat puolet luvulla 3. = 1

Vastaus. = 1Ensimmisen asteen yhtlll on aina tsmlleen yksi ratkaisu.Teoreema 1. Kaikki muotoa + = + olevat yhtlt, joissa = , ovatensimmisen asteen yhtlit.

Todistus.

+ = + |Vhennetn molemmilta puolilta + .+ (+ ) = 0 | Jrjestelln termej uudelleen. + = 0 |Otetaan yhteinen tekij.

( )+ ( ) = 0

Tm on mritelmn mukainen ensimmisen asteen yhtl, koska = .Esimerkki 29. Yleinen lhestymistapa muotoa + = + olevien yhtlidenratkaisuun:(1) Vhenn molemmilta puolilta . Saat yhtln ( )+ = .(2) Vhenn molemmilta puolita . Saat yhtln ( ) = .(3) Jaa ( ):ll. Saat yhtln ratkaistuun muotoon =

.

Tehtvi78. Mit yhtllle + = 0 tapahtuu, jos kerroin saa arvon nolla? Onkoyhtlll ratkaisuja?

LUKU 11. ENSIMMISEN ASTEEN YHTL 61

79. Ratkaise:a) + 4 = 5b) 1 = 3c) 7 = 35d) 2 = 4e) 10 2 = f) 9+ 4 = 6 g) 25 = 4h) 3 + 1 =

56

80. Ratkaise kysytty tuntematon yhtlsta) = , =? (Voima on massa kerrottuna kiihtyvyydell.)b) =

, =? (Paine on voima jaettuna alalla.)

c) = 2, =? (Ympyrn pinta-ala on pii kerrottuna steen nelill.)d) = 132, =? (Kartion tilavuus on piin kolmasosa kerrottuna steen

nelill ja kartion korkeudella.)81. Knnykkliittymn kuukausittainen perusmaksu on 2,90 euroa. Lisksi jo-kainen puheminuutti ja tekstiviesti maksaa 0,69 sentti. Pekan knnykklaskukuukauden ajalta oli 27,05 euroa.

a) Kuinka monta puheminuuttia/tekstiviesti Pekka kytti kuukauden aikana?b) Pekka lhetti kaksi tekstiviesti jokaista viitt puheminuuttia kohden. Kuin-

ka monta tekstiviesti Pekka lhetti?82. Sadevesikerin nytt vesipatsaan korkeuden millimetrein. Ern aamunakerimess oli 5 mm vett. Seuraavana aamuna samaan aikaan kerimess oli23 mm vett. Muodosta yhtl ja selvit, kuinka paljon vett oli keskimrinsatanut kuluneen vuorokauden aikana tunnissa.

Luku 12 Suoraan ja kntenverrannollisuus

Kaksi muuttujaa voivat riippua toisistaan monin eri tavoin. Tavallisia riippuvuudentyyppej ovat suoraan ja knten verrannollisuus.

Kaksi muuttujaa ja ovat suoraan verrannolliset, jos toinen saadaantoisesta kertomalla se jollakin vakiolla, eli = . Vakiota kutsutaanverrannollisuuskertoimeksi.

Jos suureet ja ovat suoraan verrannolliset, niin tt merkitn tai .Suoraan verrannollisuus voidaan tunnistaa esimerkiksi laskemalla muuttujien suhdeja toteamalla, ett se on muuttujista riippumaton vakio.Esimerkki 30. Banaanien kilohinta on 2,00 euroa. Seuraavassa taulukossa onbanaanien paino1, jonka saa ostettua tietyll rahamrll:

Hinta (euroa) Paino (kg) Hinta/paino (euroa/kg)1,00 0,50 2,002,00 1,00 2,003,00 1,50 2,004,00 2,00 2,00

Hinnan ja painon suhde on vakio, 2,00 euroa/kg, joten ostettujen banaanienpaino ja niihin kytetty rahamr ovat suoraan verrannolliset.

1. Fysikaalisesti kyse on massasta, mutta arkikieless kytetn sanaa paino.

62

LUKU 12. SUORAAN JA KNTEN VERRANNOLLISUUS 63

Suoraan verrannollisuutta voidaan kuvata mys niin, ett jos toinen muuttujistakaksinkertaistuu, niin toinenkin kaksinkertaistuu. Samoin jos toisen muuttujanarvo puolittuu, toisenkin arvo puolittuu.

Jos suoraan verrannollisista muuttujista piirretn kuvaaja, pisteet asettuvatsuoralle:

Kuva, johon piirretty vaaka-akselille kytetty raha-mr ja pystyakselille ostettujen banaanien paino.

Missingfigure

Suoraan verrannollisia muuttujia ovat mys esimerkiksi aika ja kuljettu matka, kun liikutaan vakionopeudella, tai kappaleen massa ja painovoiman kappaleeseen aiheuttama voima.Suoraan verrannollisuutta monimutkaisempi riippuvuus on knten verrannolli-suus.

Muuttujat ja ovat knten verrannolliset, jos toinen saadaan toisestajakamalla jokin vakio sill, eli =

.

Knten verrannollisuus voidaan tunnistaa esimerkiksi kertomalla muuttujienarvoja keskenn ja huomaamalla, ett tulo on muuttujista riippumaton vakio.Esimerkki 31. Nopeus ja matkaan tarvittava aika ovat knten verrannolliset.Jos kuljettavana matkana on 80 km, voidaan nopeudet ja matka-ajat kirjoittaataulukoksi:

Nopeus (km/h) Matka-aika (h) Nopeusmatka-aika (km)40 2 8080 1 80100 0,8 80

Tulo on aina 80 km, joten nopeus ja matka-aika ovat knten verrannolliset.


Knten verrannollisuutta voidaan kuvata mys niin, ett jos toinen muuttujistakaksinkertaistuu, toinen puolittuu.

Jos knten verrannollisista muuttujista piirretn kuvaaja, pisteet muodostavatlaskevan kyrn:

Kuva, johon on piirretty matka-aika ja nopeus (yllolevan taulukon mukaisesti).

Missingfigure

Knten verrannollisia muuttujia ovat mys esimerkiksi kaivamistyn suorittamiseen kuluva aika ja tyntekijiden lukumr.

Tehtvi83. Tutkitaan seuraavia muuttujapareja:

1. Nelin sivun pituus ja nelin pinta-ala.2. Kuljettu matka ja kulunut aika, kun nopeus on vakio.3. Dieselin hinta ja 50 eurolla saatavan dieselin mr.4. Irtomyynnist ostetun suolakurkkuern paino ja hinta.

Miten toinen muuttuja muuttuu ensimmisen kaksinkertaistuessa tai puolittuessa?Ovatko muuttujat suoraan tai knten verrannolliset vai eivt kumpaakaan?84. Ratkaise

1. 3 = 12. 8

= 2

3. 7= 168

4. 3 =17

85. Muodosta seuraavia tilanteita kuvaavat yhtlt.


1. Kultakimpaleen arvo () on suoraan verrannollinen sen massaan (), elimit painavampi kimpale on, sit enemmn siit saa rahaa.

2. Aidan maalaamiseen osallistuvien ihmisten mr on knten verran-nollinen maalaamiseen kuluvaan aikaan (). Toisin sanoen, mit enemmnmaalaajia, sit nopeammin homma on valmis.

3. Planeettojen toisiinsa aiheuttama vetovoima ( ) on suoraan verrannollinenplaneettojen massoihin (1 ja 2) ja knten verrannollinen niiden vlisenetisyyden () nelin.

86. Rento pyrilyvauhti kaupunkiolosuhteissa on noin 20 km/h. Lukiolta ur-heiluhallille on matkaa 7 km. Kuinka monta minuuttia kest arviolta pyrilllukiolta urheiluhallille?87. Is ja lapset ovat ajamassa mkille Sotkamoon. On ajettu jo nelj viidesosaamatkasta, ja aikaa on kulunut kaksi tuntia. Joko ollaan perill? lapset kysyvttakapenkilt. Kuinka pitkn viel arviolta kuluu, ennen kuin ollaan mkill?88. idinkielen kurssilla annettiin tehtvksi lukea 300-sivuinen romaani. Ersopiskelija otti aikaa ja selvitti lukevansa vartissa seitsemn sivua. Kuinka montatuntia hnelt kuluu koko romaanin lukemiseen, jos taukoja ei lasketa?

Luku 13 Prosenttilaskenta

Sana prosentti tulee latinan kielen sanoista pro centum, mik tarkoittaa kirjai-mellisesti sataa kohden. Prosentteja kytetn ilmaisemaan suhteellista osuutta.Prosentin merkki on %.

1 prosentti = 1 % = 1100 = 0,01

Esimerkki 32.

6 % = 6100 = 0,06

48,2 % = 48,2100 = 0,482

140 % = 140100 = 1,40

tehtv: ilmaise desi-maalilukuna seuraavatprosentit

tehtv: ilmaise desi-maalilukuna seuraavatprosentitLukua, josta suhde lasketaan, kutsutaan perusarvoksi.

Esimerkki 33. Jos sadan euron hintaisen tuotteen hintaa on alennettu 25prosenttia, niin alennettu hinta on 75 euroa. Jos sen sijaan alkuperinen hintanousee 15 prosenttia, niin tuotteen uusi hinta on 115 euroa. Perusarvo onmolemmissa tapauksissa 100 euroa.

66

LUKU 13. PROSENTTILASKENTA 67

kuva suorakaiteesta, joka kuvaa perusarvoa (se voiolla vaik 10x10 pient laatikkoa. Sit kuva, jossa pe-ruarvosta on vhennetty 25 % perusarvosta, eli 75laatikkoa. Sit kuva, jossa perusarvoon on listty15 %, eli 115 laatikkoa. Sit sopivat havainnollistavatvritykset

Missingfigure

tehtv perusarvostatehtv perusarvosta

Prosentteja kytetn usein ilmaisemaan suureiden muutoksia, esimerkiksiluku kasvaa luvuksi . Muutosprosenttia laskettaessa muutoksen suuruttaaverrataan alkuperiseen lukuun. Perusarvona on siis alkuperinen arvo, johonnhden muutos on tapahtunut.

Jos kysytn, kuinka monta prosenttia on isompi :t, se tarkoittaa samaa,kuin kuinka monta :n sadasosaa on se mr, jolla on suurempi :t.Toisin sanoen kuinka monta :n sadasosaa mahtuu :hen. Se saadaanlaskemalla

100=

100

Samalla tavalla saadaan laskettua, kuinka monta prosenttia luku kasvoi, kunse muuttui :sta :hen.

Esimerkki 34. Vesan paino on tammikuussa 68 kg ja keskuussa 64 kg. Kuinkamonta prosenttia Vesa on laihtunut?

Ratkaisu.

Lasketaan68 6468 =

468 = 0,06 = 6 %

Vastaus.

Vesa on laihtunut 6 %.


89. Oppikirjamaraton-tiimi kvi lounastamassa. Osoita oheisen kuitin tiedoillavrksi yleinen virheksitys, ett 13 %:n arvonlisvero olisi 13 % lopullisestamyyntihinnasta.


Vertailuprosentilla ilmaistaan, kuinka monta prosenttia luku on jostain toises-ta luvusta. Vertailuprosentin laskennassa kytetn perusarvona sit lukua,johon verrataan.

Jos kysytn, kuinka monta prosenttia on :st, se tarkoittaa samaa, kuinkuinka monta :n sadasosaa on. Toisin sanoen kuinka monta :n sadasosaa:hen mahtuu. Se saadaan laskemalla

100=

100

havainnollistava kuva vertailuprosentista suora-kulmioiden avulla

Missingfigure

Esimerkki 35. Vesa ansaitsee kuukaudessa 2 300 euroa ja Antero 1 700 euroa.Kuinka monta prosenttia Anteron tulot ovat Vesan tuloista?

Ratkaisu.

Lasketaan

17002300 0,74 = 74 %.

Laskuissa kytettv perusarvo on Vesan palkka eli 2300 euroa.

Vastaus.

74 %


Prosenttiyksikk mittaa prosenttiosuuksien vlisi eroja. Esimerkiksi 4 % on2 prosenttiyksikk suurempi kuin 2 %, mutta 100 % suurempi kuin 2 %.Jos prosenttiluku muuttuu, muutos voidaan ilmaista joko prosentteina taiprosenttiyksikkin.

Esimerkki 36. Tuotteen markkinaosuus on vuoden tammikuussa 10 % ja kes-kuussa 15 %.

a) Kuinka monta prosenttia tuotteen markkinaosuus on noussut?b) Kuinka monta prosenttiyksikk tuotteen markkinaosuus on noussut?

Ratkaisu.

a) Tuotteen markkinaosuus on noussut

15 1010 =

510 = 50 %.

b) Tuotteen markkinaosuus on noussut 15 10 = 5 prosenttiyksikk.Vastaus.

a) 50 prosenttiab) 5 prosenttiykskk.

Tehtvi90. Laukun normaalihinta on 225 euroa, ja se on 25 %:n alennuksessa. Mik onalennettu hinta?

91. Jaakon kuukausipalkka on 1623,52 euroa. Hn saa 1,3 % palkankorotuksen.Mik on Jaakon kuukausipalkka korotuksen jlkeen?

92. Kirjan myyntihinta, joka sislt arvolisveron, on 9 % suurempi kuin kirjanveroton hinta. Laske kirjan veroton hinta, kun myyntihinta on 27 e.

93. Sokerijuurikkaassa on 18 % sokeria. Kuinka paljon sokerijuurikkaita tarvitaanvalmistettaessa 8 tonnia sokeriliuosta, jonka sokeripitoisuus on 4,5 %?


94. Perussuomalaisten kannatus oli vuoden 2007 eduskuntavaaleissa 4,1 %ja vuoden 2011 eduskuntavaaleissa 19,1 %. Kuinka monta prosenttiyksikkkannatus nousi? Kuinka monta prosenttia kannatus nousi?

95. Askartelukaupassa on alennusviikot, ja kaikki tavarat myydn 60 %:nalennuksella. Viimeisen pivn kaikista hinnoista annetaan viel lisalennus,joka lasketaan aiemmin alennetusta hinnasta. Mink suuruinen lisalennus tuleeantaa, jos lopullisen kokonaisalennuksen halutaan olevan 80 %?

96. Hedelmiss on vett aluksi 60 %. Kuinka monta prosenttia vedest onhaihdutettava, jotta hedelmiss tmn jlkeen olisi vain 20 % vett?

97. Ern pankin myntm opintolaina kasvaa korkoa 2 % vuodessa. Kuinkamonta prosenttia laina on kasvanut korkoa alkuperiseen verrattuna kymmenenvuoden kuluttua?

98. Samulin pituus on 165 cm ja Joonaksen 173 cm.

1. Kuinka monta prosenttia Samulin pituus on Joonaksen pituudesta?2. Kuinka monta prosenttia Samuli on lyhyempi kuin Joonas?3. Kuinka monta prosenttia Joonas on pidempi kuin Samuli?

99. Yleinen arvonlisveroprosentti oli Suomessa vuonna 2012 23 % tuotteenverottomasta hinnasta. Tuotteen hinta koostuu sen verottomasta hinnasta jatuotteesta maksettavasta arvonlisverosta. Kuinka monta prosenttia arvonlisveroon tuotteen myyntihinnasta?

100. Kun matkalipun hintaa korotettiin 10,0 %, matkustajien mr vheni10,0 %. Kuinka monella prosentilla tllin lisntyivt tai vhentyivt liikennitsi-jn lipputulot?

101. Tuoreissa omenissa on vett 80 % ja sokeria 4 %. Kuinka monta prosenttiasokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, ett kosteusprosentti on20? [K2000, 4]

102. Kappaleen putoamisen kesto maahan korkeudelta on knten verrannol-linen putoamiskiihtyvyyden nelijuureen. Vakio on kullekin taivaankappaleelleominainen ja eri puolilla taivaankappaletta likimain sama. Empire State Buildinginkatolta (korkeus 381 m) pudotetulla kuulalla kest n. 6,2 s osua maahan. Marsinputoamiskiihtyvyys on 37,6 % Maan putoamiskiihtyvyydest.


Jos Empire State Building sijaitsisi Marsissa, kuinka monta prosenttia pitempiaika kuluisi kuulan maahan osumiseen?103. Matin ja Iidan duo saa julkisuutta, ja he alkavat myyd CD-levyn keikkojenyhteydess 10 euron kappalehinnalla. Jonkin ajan pst he pttvt laskea CD:nhintaa 20 prosenttia. Matti alkaa kuitenkin katua ptst, ja ehdottaa tmnalennetun hinnan korottamista 20 prosentilla. Mik olisi tmn toimenpiteenjlkeen CD:n uusi hinta? Montako prosenttia olisi korotuksen oltava, jotta oikeastipstisiin takaisin alkuperiseen 10 euron hintaan?104. Jalkapalloilija Georgios Samaras teki ensimmisell kaudellaan Skotlanninvalioliigassa (2007-08) 5 maalia Celtic F.C.:n paidassa. Seuraavalla kaudellaSamaras teki Celticille liigassa 15 maalia. Kuinka monta prosenttia Samaraksenmaalimr nousi?105. Kaupungissa tuli jokaisen talonomistajan suorittaa kaupungin kassaan 5 %saadusta hyyrymrst1. Sittemmin mrttiin, ett mainittu prosentti oli oleva10. Monellako prosentilla tytyy talonomistajien korottaa hyyryj saadakseensaman puhtaan sstn kuin ennen? [YO 1877, 4]

1. vuokra, ruotsin sanasta hyra

Luku 14 Potenssiyhtlt

Ensimmisen asteen yhtl + = 0 monimutkaisempia yhtlit saadaan,kun tuntematon korotetaan potenssiin.

Potenssiyhtl on muotoa = , oleva yhtl, jossa on positiivinenkokonaisluku. Eksponentin arvoa kutsutaan potenssiyhtln asteeksi.

Potenssiyhtlit tarvitaan esimerkiksi tilanteissa, joissa lasketaan korolle korkoa.Mys pinta-ala- ja tilavuuslaskuissa esiintyy potenssiyhtlit.Esimerkki 37. (a) Yhtl 273 = 7 on potenssiyhtl, sill jakamalla se

puolittain luvulla 27 saadaan 3 = 727 .(b) Yhtl 24 7 = 3 on potenssiyhtl, sill se voidaan muokata muotoon

= ,

24 7 = 324 = 3 + 74 = 1024 = 5.

(c) Yhtl 32 = 42 ei ole potenssiyhtl, sill eksponentti 32 ei ole kokonaisluku.Yhtl voidaan kuitenkin kirjoittaa uuden tuntemattoman = 12 = avulla: tllin saadaan potenssiyhtl 3 = 42.)

(d) Yhtl 2 = 44 ei ole potenssiyhtl, sill 2 ei ole positiivinen kokonaislu-ku. Sekin voidaan kirjoittaa potenssiyhtln, kun merkitn = 1 = 1

.

Tllin saadaan yhtl 2 = 44.)

73

LUKU 14. POTENSSIYHTLT 74

Potenssiyhtln ratkaiseminen: Jos potenssiyhtln aste on parillinen ja 0, yhtlll on kaksi

ratkaisua, = 1

. ( tarkoittaa, ett sek positiivinen ett negatiivinen arvo kyvt:5 tarkoittaa sek lukuja 5 ett 5.)

Jos aste on pariton, yhtlll on tsmlleen yksi ratkaisu,

= 1 .

Jos aste on parillinen ja < 0, potenssiyhtlll ei ole yhtn ratkaisua.

Esimerkki 38. (a) Potenssiyhtln 3 = 100 ratkaisu on = 100 13 =4,6416....

(b) Potenssiyhtlll 4 = 50 on kaksi ratkaisua = 50 14 = 2,6591... ja = 50 14 = 2,6591....

(c) Potenssiyhtlll 6 = 1 ei ole ratkaisua, sill 4 = (3)2 0 kaikille .

Esimerkki 39. Suursijoittaja Nalle Mursulla on 5 000 euroa ylimrist rahaa,


jonka hn aikoo sijoittaa 30 vuodeksi. Nalle Mursu haluaa sijoittamansa pomankasvavan 100 000 euroksi 30 vuodessa. Kuinka suuren vuotuisen korkokannanNalle Mursu tarvitsee sijoitukselleen?

Ratkaisu: Olkoon vuotuinen korkokanta . Korkoa korolle -periaatten nojalla5 000 euron sijoitus kasvaa 30 vuodessa summaksi 5 000 (1+)30. Merkitsemll = 1 + saamme yhtln 5000 30 = 100 000. Jakamalla yhtl puolittainluvulla 5 000 pdymme potenssiyhtln

30 = 20 000,

jonka ratkaisuksi saadaan = 20 000 130 = 1,39.... Nin ollen suursijoittaja NalleMursun vaatima korkokanta sijoitukselleen on noin = 1 = 1 1,39 =0,39 = 39 %.

Yhtlt, jotka ovat muotoa = (joskus mys muotoa ( = 0),ratkaistavuus riippuu useammasta seikasta. Mikli on pariton, yhtl on ainaratkaistavissa (eli sill on reaalinen juuri):

= =

=

Esimerkki 40. 23 + 16 = 0 23 = 16 3 = 8 = 38 = 2Mikli on parillinen, yhtl on ratkaistavissa jos ja vain jos

0. Parillisella

potenssifunktiolla voi olla yksi, kaksi tai ei yhtn ratkaisua.

Esimerkki 41. 2 = 0 = 0 Yhtlll on yksi ratkaisu.Esimerkki 42. 2 9 = 0 2 = 9 = 3 Yhtlll on kaksi ratkaisua, sill 32 = 9 ja (3)2 = 9.Esimerkki 43. 2 + 9 = 0 2 = 9 = 9 Yhtlll ei ole reaalista ratkaisua.


Tehtvi106. Ratkaise:a) 2 = 4 b) 3 = 27 c) 5 = 1 d) 2 3 = 0 e)3 + 125 = 0

107. Ratkaisea) 52 = 25 b) (2)3 = 8 c) 4 = 14 d) (3)2 = 36 e)(4)2 16 = 0.108. Ratkaise potenssiyhtlt

1. 3 = 812. 5 = 103. 2 = 44. 4 = 1.

109. Ratkaise potenssiyhtlt1. 4 8 = 02. 23 + 7 = 03. 24 52 = 14. 1,514 1,2 = 7,5.

110. Muinainen hallitsija Tauno Alpakka rakennuttaa itselleen kuution muotoistapalatsia. Palatsin tulee olla 5 000 m3.

1. Kuinka korkea palatsista tulee?2. Palatsi pllystetn 10 cm:n paksuisella kultakerroksella. Kuinka monta

kiloa kultaa tarvitaan? (Kullan tiheys on 19,23 103 kg/m3.)

Luku 15 Kertaus

77

Osa III Funktiot

78

Luku 16 Funktio

Usein ollaan kiinnostuneita siit, millainen yhteys kahden asian vlill on. Funktioon matemaattinen tykalu niden yhteyksien tarkastelemiseen.

Funktio liitt muuttujaan arvon ().

Funktiolla on mrittelyjoukko , johon muuttuja kuuluu, ja maalijoukko, johon funktion arvot kuuluvat.

Pitisikhn tt funk-tion mritelm vielhioa? Pitisik mainitaFunktio on snt?

Pitisikhn tt funk-tion mritelm vielhioa? Pitisik mainitaFunktio on snt?

Esimerkki 44. Hydykkeen ja siit maksettavan arvonlisveron vlist yhteyttvoidaan kuvata funktiolla. Valitaan funktion mrittelyjoukoksi tiettyjen hydyk-keiden joukko,

= {ahvenfilee,AIV-rehu, auto, runokirja, ravintola-ateria, srkylke, televisio},

ja arvojoukoksi reaaliluvut. Funktio voi liitt kuhunkin hydykkeeseen esimerkiksisiit maksettavan arvonlisveroprosentin: (srkylke) = 9 ja (televisio) = 23.

79

LUKU 16. FUNKTIO 80

Funktioiden kyttmiseen liittyy joitakin vakiintuneita tapoja:

() = lausutaan: Funktio saa arvon pisteess , Funktion mrittely- ja arvojoukko jtetn usein merkitsemtt, jos ne

voidaan ptell asiayhteydest. Tll kurssilla arvojoukkona on yleensreaaliluvut.

Toisinaan funktiolle ja funktion kuvaajalle ei tehd selke eroa: =() samaistetaan koordinaatistoon piirretyn funktion kuvaajan kanssa.Periaatteessa funktio ja sen kuvaaja ovat kuitenkin eri asioita.

Funktiolla on usein jokin selke snt, joka voidaan kirjoittaa matemaattisenalausekkeena.

Esimerkki 45. Jos nelin sivun pituutta merkitn :ll, voidaan sivun pituudenja nelin pinta-alan vlist yhteytt kuvata funktiolla () = 2.

Funktion mrittelyjoukko koostuu niist muuttujan arvoista, joilla funktio onmritelty eli joilla funktion arvo voidaan laskea.

Esimerkki 46. Mritelln funktio lausekkeella

() = 1 1 .

Mik on funktion mrittelyjoukko?

LUKU 16. FUNKTIO 81

Ratkaisu. Funktio () on mritelty, kun nimittj 1 on erisuuri kuin 0.Tm toteutuu kaikilla :n arvoilla lukuun ottamatta arvoa = 1. Funktionmrittelyjoukkoon kuuluvat siis kaikki reaaliluvut paitsi luku 1.

Funktion arvojoukko sislt ne maalijoukon alkiot, jotka funktio saa arvokseenainakin yhdess pisteess.

Esimerkki 47. Mik on edell mritellyn funktion () arvojoukko?

Ratkaisu. Arvojoukon selvittmiseksi tutkitaan, mill luvun arvoilla yhtlll() = on ratkaisu,

= 1 1 |Oletetaan, ett = 1, jolloin voimme kertoa ( 1):ll puolittain.

( 1) = 1 1 = 1

= 1 + 1

|Havaitaan, ett yhtlll on ratkaisu kaikilla = 0.

Funktion arvojoukkona on siis koko reaalilukujen joukko poislukien luku 0.

Tehtvi111. Olkoon () = 2+4

. Laske

a) (1)b) (2)c) (12)d) (13)e) (0)f) (1)

112. Mill :n arvoilla yhtl (()) = ptee, kun

a) () = 1b) () = c) () = + 1

LUKU 16. FUNKTIO 82

d) () = 2e) () = 2+ 1?

Luku 17 Koordinaatisto jafunktion kuvaaja

Funktioita reaaliluvuilta reaaliluvuille voidaan havainnollistaa koordinaatistossakuvaajien avulla. Funktion kuvaajassa koordinaatistoon piirretn ne pisteet,joilla y-koordinaatti on :n arvo sen x-koordinaatissa. Siis kaikilla :n mrittely-joukon luvuilla lasketaan = () ja piirretn piste (, ) koordinaatistoon.Funktioita voi piirt helposti mys graafisilla laskimilla tai tietokoneohjelmilla(esimerkiksi Wolfram Alphalla1).

Esimerkki 48. Funktion () = 2 1 kuvaaja sislt kaikki pisteet (, ),joilla ptee = 2 1:

= ()3 2,52 21 1,50 11 0,52 03 0,5

Esimerkki 49. Funktion () = 2 kuvaaja sislt kaikki pisteet (, ), joillaptee = 2:

1. http://www.wolframalpha.com

83

LUKU 17. KOORDINAATISTO JA FUNKTION KUVAAJA 84

= ()2 41 1

0,5 0.250 0

0,5 0.251 12 4

Esimerkki 50. Funktion () = 3 5 + 2 kuvaaja sislt kaikki pisteet(, ), joilla ptee = 3 5+ 2:

TehtviOpi perusteet113. Hahmottele funktion kuvaaja kynll ja paperilla tai laskimen avulla. Voitmys kytt tietokonetta.

a) () = 2b) () = 3+ 2c) () = 2

d) () = 2

Luku 18 Potenssifunktio

Kahden muuttujan vlinen riippuvuus ei monesti ole suoraan tai knten verran-nollista. Potenssifunktion kyttminen on ers keino kuvata tllaisia riippuvuuksia.

Potenssifunktioita ovat muotoa () = olevat funktiot, jossa = 0.

Eksponenttia kutsutaan potenssifunktion asteluvuksi tai asteeksi. Potenssi-funktion eksponentti voi olla mik tahansa reaaliluku, mutta rajoitumme ensinksittelemn tapauksia, jossa = 1, 2, 3 . . ..

Esimerkki 51. Jos nelin sivun pituus on , nelin pinta-ala voidaan laskeafunktiolla () = 2. Esimerkiksi jos = 3 cm, saadaan nelin pinta-alaksi() = 9 cm2. Vastaavasti kuutiolle: jos kuvaa kuution srmn pituutta,funktiolla () = 3 voidaan laskea kuution tilavuus. Sek () ett () ovatesimerkkej potenssifunktioista.

Potenssifunktion aste vaikuttaa funktion kuvaajan muotoon:

Jos aste on parillinen, kuvaaja on U-kirjaimen muotoinen ja funktio saa:n merkist riippuen joko pelkstn positiivisia tai pelkstn negatiivisiaarvoja.

Jos aste on pariton, kuvaaja muodostaa kaksoismutkan ja potenssifunktiosaa sek positiivisia ett negatiivisia arvoja.

85

LUKU 18. POTENSSIFUNKTIO 86

Potenssifunktioiden kuvaajat - yksi parillisilla potens-seilla ja toinen parittomilla (kerroin a positiivinen).

Missingfigure

Potenssifunktion trkeit erikoistapauksia ovat asteluvut = 1 ja = 1. Kun = 1, saadaan edellisess luvussa esitelty suoraan verrannollinen riippuvuus :nja ():n vlill, ja kun = 1, muuttuja ja funktion arvo () ovat kntenverrannolliset.

Potenssifunktiota voidaan laajentaa sallimalla eksponentille mys negatiivisetarvot. Tllin funktion muoto muuttuu merkittvsti. Funktio ei myskn oleen mritelty kohdassa = 0, vaan funktion arvot rjhtvt rettmyyteen,kun y-akselia lhestytn:

Potenssifunktioiden kuvaajat - yksi potenssilla -1 jatoinen potenssilla -2.

Missingfigure

TehtviOpi perusteet114. Mik on seuraavien potenssifunktioiden aste?

a) () = b) () = 55

LUKU 18. POTENSSIFUNKTIO 87

c) () = 12d) () = 2

115. Olkoon () = 3. Laskea) (1)b) (2)c) (13)

Hallitse kokonaisuus116. Olkoon () = 2. Mill :n arvoilla

a) () = 4b) () = 25c) () = 121

117. Mink kahden kokonaisluvun vliss yhtln 2 = 12 ratkaisu on?

Sekalaisia tehtvi118. Kuution tilavuus srmn pituuden funktiona on () = 3. Jos kuutiontilavuus on 64, niin mik on srmn pituus?

Luku 19 Eksponenttifunktio

Potenssifunktiossa () = muuttuja on kantalukuna. Jos muuttuja onsen sijaan eksponenttina, saadaan joukko funktioita, joita kutsutaan eksponent-tifunktioiksi.

Eksponenttifunktiot ovat muotoa () = , > 0, = 1 olevia funktioita.

Eksponenttifunktioita on kahta tyyppi: kasvavia ja vhenevi. Kasvavilla ekspo-nenttifunktioilla > 1, esimerkiksi

Vhenevill eksponenttifunktioilla 0 < < 1, esimerkiksi

88

LUKU 19. EKSPONENTTIFUNKTIO 89

Negatiiviselle kantaluvulle ei ole mritelty yleist reaalilukupotenssia, joteneksponenttifunktiota ei ole mritelty, kun < 0.

Kun = 0 tai = 1, eksponenttifunktio pelkistyy vakiofunktioksi. Lisksi 00:aei ole mritelty, joten vaaditaan, ett eksponenttifunktion kantaluvulle ptee > 0 ja = 1.Esimerkki 52. Mill muuttujan arvoilla eksponenttifunktio () = 2 saaarvon () = 64?

Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtv yhtlksi: 2 = 64. Kokeilemalla huomataan, ett = 6 ratkaisee yhtln.

Varmistutaan viel siit, ett yhtlll ei ole muita ratkaisuja. Eksponenttifunktionkantalukuna on 2, joten eksponenttifunktio on kasvava. Funktio () = 2 ei siisvoi saada uudelleen arvoa 64, kun > 6. Samasta syyst () ei voi olla 64, kun < 6.

Ainoa ratkaisu yhtllle on siis = 6.Esimerkki 53. Mill muuttujan arvoilla eksponenttifunktio () =

(12

)saa

arvon () = 1/5?

Ratkaisu. Edellisen esimerkin tavoin kokeillaan :n eri arvoja. Havaitaan, ettkun = 2, funktio saa arvon () = 14 , ja kun = 3, on () =

18 . Ratkaisu on

siis vlill 2 < < 3.

Ratkaisun etsimist voidaan jatkaa kokeilemalla esimerkiksi arvoa = 2,5. Nin


pstn lhemmksi ratkaisua, mutta yhtln ratkaisu on irrationaalinen, jotensen desimaalikehitelm on rettmn pitk ja jaksoton. Tarkkaa ratkaisua ei siissaada tll menetelmll.

Yleisen eksponenttiyhtln tarkkaan ratkaisemiseen palataan myhemmill mate-matiikan kursseilla.

19.1 Eksponentiaalinen malliKun eksponenttifunktiota kytetn kuvaamaan jotakin reaalimaailman ilmit,siit kytetn nime eksponentiaalinen malli.

Eksponentiaalinen malli on ers yleisimmin kytetyist matemaattisista malleista.Sill kuvataan sellaista kasvua tai vhenemist, jossa kullakin ajanhetkell funktionhetkellinen muutos on suoraan verrannollinen funktion sen hetkiseen arvoon. Tmmuotoillaan tsmllisesti myhemmill matematiikan kursseilla.

Esimerkki 54. Soluviljelmss olevien Escherichia coli -bakteerien mr voi-daan kuvata eksponentiaalisella mallilla: ajanhetkell = 0 bakteerien lukumron 1, ja kullakin aika-askeleella bakteerien lukumr tuplaantuu. Malli voidaankirjoittaa

() = 2, 0,

jossa () on bakteerien lukumr ajanhetkell .

Huomaa, ett esimerkissfunktion () arvot voivatolla mys rationaalisia taiirrationaalisia, vaikka baktee-rien mr on kokonaisluku.Yleens tt ei pidet on-gelmallisena, vaan funktiotavoidaan ksitell, iknkuin bakteerien mr olisijatkuvasti kasvava suure.

Esimerkki 55. Radioaktiivisessa hajoamisessa atomiydinten lukumr kuva-taan eksponentiaalisella mallilla. Jos ydinten mr ajanhetkell = 0 on () = ,malli voidaan kirjoittaa

() = (12

), 0,

jossa () on atomiydinten lukumr ajanhetkell . Atomiydinten lukumrsiis puolittuu kullakin aika-askeleella.


TehtviOpi perusteet119. Olkoon () = 4. Laske

a) (0)b) (3)c) (12)

120. Olkoon () = 10. Mill :n arvoillaa) () = 1000b) () = 1100c) () = 1?

Hallitse kokonaisuus121. Mink kahden kokonaisluvun vliss yhtln 10 = 500 ratkaisu on?122. Olkoon () = 20 2 bakteerien lukumr soluviljelmss ajanhetkell .Mill ajanhetkell bakteerien lukumr on tasan 160?123. Miten muokkaisit edellisen tehtvn funktiota, jos bakteerien lukumrksihalutaan 5 ajanhetkell = 0?124. Mill ajanhetkell atomiydinten mr on alle 1/200 alkuperisest?

Sekalaisia tehtvi125. (YO 1877 4) Vuosikymmenen 1860-70 kuluessa lisntyi Helsingin vkilukupuolella vuoden 1860 vkiluvulla. Jos vkiluvun lisys tapahtuisi seuraavinakinvuosikymmenin samassa suhteessa, paljonko vke Helsingiss olisi 1890, kunsiell 1860 oli 21700 asukasta?

Luku 20 Kertaus

92

Osa IV Kertaustehtvi

93

Luku 21 Harjoituskokeita

Harjoituskoe 1Kaikki tehtvt tehdn. Kaikista tehtvist voi saada 6 p, paitsi tehtvst 7

viel ylimriset 2 p.1. Laske

(a)144 (b)

196 (c) 3

64 (d) 3

216

2. Sievenn(a) 22

, = 0 (b) 3(2 + 1) 2(2 1)

(c) (+ 2) (d) (32)2.3. Ratkaise

(a) 2 = 1 (b) 4 = 2

4. Mitk seuraavista luvuista ovat alkulukuja?(a) 11 (b) 4 (c) 29 (d) 39

5. Olkoon () = 35 2 bakteerien lukumr soluviljelmss ajanhetkell (sekuntia). Monenko sekunnin kuluttua bakteereita on yli 1000? Yhdensekunnin tarkkuus ylspin pyristettyn riitt.

6. Muuta seuraavat kymmenjrjestelmn luvut binriluvuiksi.(a) 100 (b) 128

7. Kerro jokin(a) aina tosi yhtl(b) joskus tosi yhtl (ja milloin se on tosi)(c) aina eptosi yhtl(+) mahdollisesti tosi yhtl (tst voi saada ylimriset 2 p).

8. Funktio mritelln kaavalla () = 2+2+3. Ilmaise (()) muodossa,

94

LUKU 21. HARJOITUSKOKEITA 95

jossa ei ole termi ().Arvosanat: 45 - 50 p: 10, 39 - 44 p: 9, 33 - 38 p: 8, 27 - 32 p: 7, 21 - 26 p: 6,

15 - 20 p: 5, 0 - 14 p: 4.

Harjoituskoe 2

Luku 22 Ylioppilaskoetehtvi

Ylioppilaskokeissa on yleens tehtvi tai tehtvien alakohtia, joiden ratkaiseminenon mahdollista ensimmisen kurssin tiedoin.

(K2012/1b) Ratkaise yhtl

6 32

79 = 0

(K2012/2a) Laske lausekkeen 154 (63

)2arvo.

(S2011/1b) Ratkaise yhtl

4 15 =

+ 12 +

3 4 .

(K2011/1a) Ratkaise yhtl2= 3

2(K2011/2a) Osakkeen arvo oli 35,50 euroa. Se nousi ensin 12%, mutta laski

seuraavana pivn 10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensniden muutosten jlkeen?

(S2010/1a) Sievenn lauseke (+ )2 ( )2.(K2010/1b) Sievenn lauseke (+ 1)2 1.(S2009/1c) Osoita, ett

27 102 = 52.

(S2009/2b) Ratkaise yhtl+ 2 = 3.

(K2009/1a) Sievenn 23 (

3

)2.

96

LUKU 22. YLIOPPILASKOETEHTVI 97

(S2008/1b) Sievenn lauseke

1 12

+ 1 + 2

(S2009/2b) Ratkaise yhtl

6 23 =

512

(K2008/4) Vuonna 2007 alennettiin parturimaksujen arvonlisveroa 22 pro-sentista 8 prosenttiin. Jos alennus olisi siirtynyt tysimrisen parturi-maksuihin, kuinka monta prosenttia ne olisivat alentuneet? Arvonlisveroilmoitetaan prosentteina verottomasta hinnasta ja se on osa tuotteen taipalvelun hintaa.

(S2007/1c) Ratkaise yhtlst

= 12

(S2007/4) Tuotteen hintaa korotettiin prosenttia, jolloin menekki vheni.Tmn johdosta hinta ptettiin alentaa takaisin alkuperiseksi. Kuinkamonta prosenttia korotetusta hinnasta alennus oli?

(K2007/1c) Sievenn lauseke 3 ( > 0).

(K2007/3a) Merivett, jossa on 4,0 painoprosenttia suolaa, haihdutetaan al-taassa, kunnes sen massa on vhentynyt 28%. Mik on suolapitoisuushaihduttamisen jlkeen? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuu-della.

(K2007/3b) Mik on vuotuinen korkoprosentti, jos tilille talletettu rahamrkasvaa korkoa korolle 1,5kertaiseksi 10 vuodessa? Lhdeveroa ei otetahuomioon. Anna vastaus prosentin sadasosan tarkkuudella.

(S2006/5) Hopean ja kuparin seoksesta tehty esine painaa 150 g, ja sen tiheys on10,1 kg/dm3. Kuinka monta painoprosenttia esineess on hopeaa ja kuinkamonta kuparia, kun hopean tiheys on 10,5 kg/dm3 ja kuparin 9,0 kg/dm3?

(K2006/1a) Ratkaise yhtlst 4+ 2 = 3 2(+ 4).


(K2006/1c) Sievenn lauseke

1 1

( 1

)

(K2006/4) Kesmkin rakentaminen tuli 25% arvioitua kalliimmaksi. Raken-nustarvikkeet olivat 19% ja muut kustannukset 28% arvioitua kalliimpia.Mik oli rakennustarvikkeiden arvioitu osuus ja mik lopullinen osuus koko-naiskustannuksista?

(S2005/1a) Ratkaise reaalilukualueella yhtl

2( 1) + 3(+ 1) =

(S2005/1c) Ratkaise reaalilukualueella yhtl 16 = 256.(K2005/1a) Sievenn lauseke

1 +

1 +

(K2005/3) Asuinrakennuksesta saadut vuokrat ovat 12% pienemmt kuin yllpi-tokustannukset. Kuinka monta prosenttia vuokria olisi korotettava, jotta netulisivat 10% suuremmiksi kuin yllpitokustannukset, jotka samanaikaisestikohoavat 4%?

(K2004/3) Perheen vuokramenot olivat 25% tuloista. Vuokramenot nousivat15%. Montako prosenttia vhemmn rahaa riitti muuhun kyttn koro-tuksen jlkeen?

(S2003/5) Prynmehusta ja omenamehusta tehdyn sekamehun sokeripitoi-suus on 11%. Mrit mehujen sekoitussuhde, kun prynmehun sokeripi-toisuus on 14% ja omenamehun 7%.

(K2003/1) Sievenn lausekkeet(a)

334

123(b)

(+

2

) (

).

(S2002/2) Vuoden 1960 jlkeen on nopeimman junayhteyden matka-aika Hel-singin ja Lappeenrannan vlill lyhentynyt 37 prosenttia. Laske, kuinkamonta prosenttia keskinopeus on tllin noussut. Oletetaan, ett radan


pituus ei ole muuttunut.(S2002/4a) Olkoon = 0 ja = 0. Sievenn lauseke

+ 2

+ 2

(K2002/3) Vuonna 2001 ern liikeyrityksen ulkomaille suuntautuvan myynninarvo kasvoi 10% vuoteen 2000 verrattuna. Samaan aikaan myynnin arvokotimaassa vheni 5%. Tllin koko myynnin arvo kasvoi 6%. Laske, kuinkamonta prosenttia myynnist meni vuonna 2000 ulkomaille.

(S2001/1) Ratkaise lineaarinen yhtlryhm 3 2 = 14+ 5 = 2

(S2001/3) Juna lhtee Tampereelta klo 8.06 ja saapuu Helsinkiin klo 9.58.Vastakkaiseen suuntaan kulkeva juna lhtee Helsingist klo 8.58 ja saa-puu Tampereelle klo 11.02. Matkan pituus on 187 kilometri. Oletetaan,ett junat kulkevat tasaisella nopeudella, eik pyshdyksiin kuluvia aikojaoteta huomioon. Laske kummankin junan keskinopeus. Mill etisyydellHelsingist junat kohtaavat, ja paljonko kello tllin on?

(K2001/4) Sili sislt 2,3 kg ilmaa, ja pumppu poistaa jokaisella vedolla5% siliss olevasta ilmasta. Kunka monen vedon jlkeen siliss onvhemmn kuin 0,2 kg ilmaa?

(S2000/1) Sievenn seuraavat lausekkeet:(a) (1)1 ()2(b) 3 ( 32 35)

(S2000/3) Matkaa kuljetaan tasaisella nopeudella. Kun matkasta on jljell40%, nopeutta listn 20%. Kuinka monta prosenttia koko matkaankuluva aika tllin lyhenee?

Luku 23 Psykoetehtvi

23.1 Arkkitehtivalinta(2012/1) Taloyhtiss on 210 asukasta. Taloyhti perii vesimaksua 15e/henkil/kk.

Kaupunki perii taloyhtilt vesimaksua kokonaiskulutuksen mukaan 3,17e/m3. Taloyhtin toteutunut kokonaisvedenkulutus on asukasta kohden155 litraa vuorokaudessa, mihin sisltyy hukkaan valuvia vuotoja yhtitkohden 1500m3 vuodessa. Oletamme, ett vuodessa on 365 vuorokautta.(a) Kuinka monta litraa vett taloyhtiss valuu hukkaan minuutissa?(b) Vuodot tukitaan. Montako prosenttia vesimaksua voitaisiin laskea tai

tulee korottaa, jotta vesimaksu tllin kattaisi taloyhtin vuotuisetvesikulut?

Anna vastaukset kolmen numeron tarkkuudella.(2010/3) Arkkitehdit M. Uoto, F. rm ja S. Hap ovat suunnitelleet Aalto-

yliopiston aulaan kullatusta terskuutiosta muodostuvan taideteoksen. Kul-taus on ohut.Toteutuksen aikana teoksen sijoituspaikka muuttuu, jolloin terskuutiontilavuutta kasvatetaan 19% alkuperisest. Loppulaskutuksessa materiaali-kustannusten todetaan kasvaneen samaiset 19% alkuperisest budjetista.(a) Paljonko kultaukseen kytetyn kullan mr kasvoi toteutuksen aika-

na?(b) Terksen yksikkhinta ei toteutuksen aikana muuttunu. Miten kullan

yksikkhinta siis muuttui?Anna vastaukset prosentteina 0,1 prosenttiyksikn tarkkuuteen pyristetty-n.

100

LUKU 23. PSYKOETEHTVI 101

23.2 Diplomi-insinrivalinta(2012/3) Asumistukea maksetaan 80 % vuokran mrst, silt osin kuin vuokra

ei ylit 252 euroa. Vuokran mr vhennettyn asumistuella kutsutaanomavastuuksi.(a) Minka suuruinen vuokra on, kun omavastuu on puolet vuokrasta?

(2009/1) Kokonaistuotanto jaetaan materian ja palveluiden tuotantoon. Ver-rataan tuotantoa tammikuussa 2008 tammikuuhun 2009. Tn vuodenpituisen tarkastelujakson aikana materiatuotanto kasvoi 2,0 % ja palvelu-tuotanto laski 7,0 %.Kuinka suuri oli materiatuotannon osuus kokonaistuotannosta tammikuussa2009,(a) kun tammikuussa 2008 materia- ja palvelutuotanto olivat yhtsuuret?(b) kun vertailuaikana kokonaistuotanto laski 2,0 %?Anna kummatkin vastaukset 0,1 %-yksikn tarkkuuteen pyristettyn.

(2008/2) Yritys hankkii 5000 kg raaka-ainetta, josta on

vapaa_matikka

Documents