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Curso avanzado de diseño de estabilidad. Construsoft

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VERIFICACIÓN DE LA ESTABILIDAD ESTRUCTURAL A PARTIR DE SUS MODOS DE PANDEO


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1. INTRODUCCIÓN Y PROPÓSITO DEL CURSO

Cada día es más habitual en la ingeniería estructural la realización de modelos tridimensionales

completos para realizar cálculos estructurales y verificaciones según distintas normativas, sin embargo,

en la manera tradicional de tratar estos modelos, sólo se acaba utilizando el modelo 3D para el cálculo

de esfuerzos y deformaciones en todas las barras de una manera simultánea. La metodología actual no

aprovecha toda la definición geométrica del modelo para el diseño automático de la estabilidad de los

elementos estructurales, siendo necesaria la definición manual, por parte del ingeniero, de coeficientes

de pandeo y pandeo lateral (en muchos casos difíciles de valorar), para una correcta verificación

posterior.

Resultados clásicos de tensiones y deformaciones utilizando elementos finitos de 6GDL.

Esto es debido a que anteriormente solía ser complicado y laborioso el realizar cálculos de “modos de

pandeo global” o “autovalores” en los modelos completos incluyendo el comportamiento a torsión

exacto donde se incluye el alabeo de los elementos, donde estos cálculos pueden reflejar la influencia

que tienen algunos detalles constructivos definidos en el modelo analítico en la estabilidad de

elementos, como es el caso de las excentricidades existentes entre barras, excentricidades en apoyos,

posición exacta de las cargas, etc. Es por este motivo, que los parámetros relacionados con la verificación

de pandeo de elementos, como son por ejemplo los coeficientes β para el pandeo por flexión, o

parámetros C1 para la verificación del pandeo lateral, se obtenían mediante tablas, libros o usando

programas de cálculo especiales, para introducir estos parámetros, como información adicional, en los

elementos estructurales del modelo 3D original para realizar verificaciones correctas a pandeo.


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Este sistema de trabajo obligaba al ingeniero a definir dos niveles de información en el software de

cálculo, uno para el cálculo de esfuerzos (tipos de apoyos, condiciones de enlaces entre barras, etc.) y

otro para la definición de los parámetros de pandeo y estabilidad (coeficientes y longitudes de pandeo)

para una correcta verificación según normativa, donde paradójicamente, los dos quieren reflejar una

misma realidad.

En este curso se aprenderán nuevos métodos de cálculo contrastados con software de última

generación, que permiten aprovechar la geometría 3D definida para realizar las verificaciones de

inestabilidad de elementos de manera totalmente automática considerando todos los detalles

constructivos definidos en el modelo. Este procedimiento dará una seguridad adicional al ingeniero ya

que el software ofrece una representación más exacta del comportamiento estructural y no es necesaria

la introducción de coeficientes de pandeo ni pandeo lateral que en muchos casos es difícil de valorar y

pueden ser diferentes para cada combinación de cargas.

Resultados de modos de pandeo y pandeo lateral con software Consteel que utiliza elementos finitos lineales de 7GDL

En el curso aprenderemos como utilizar los modos de pandeo globales que reflejan el efecto que tiene

la posición exacta de los perfiles en el modelo estructural (excentricidades), posición de

arriostramientos, efecto de la estructura secundaria e, incluso, el tipo de uniones entre elementos para

luego aplicar verificaciones de inestabilidad basadas en esos modos de pandeo, aplicación de

imperfecciones y cálculo de segundo orden.


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Para poder llevar a cabo este tipo de verificaciones, será necesario aprender a realizar cálculos de

esfuerzos y modos de pandeo global utilizando elementos finitos de 7 GDL que contemplen el

comportamiento exacto de la torsión de alabeo en perfiles abiertos y, posteriormente, aplicar, por

ejemplo, el método general para diseño de inestabilidad definido en el punto 6.3.4 de la EN 1993-1-1

con los modos de pandeo correctos para cada barra de la estructura. También veremos los métodos de

verificación basado en imperfecciones y cálculos en segundo orden definidos en los Eurocódigos

estructurales.

A lo largo del curso se compararán resultados manuales de los métodos clásicos con los nuevos métodos

tal como se muestra en el punto 5 de este documento.

2. METODOLOGÍA

El curso consta de 8 unidades didácticas donde se explica y se entrega documentación en formato PDF

con las bases teóricas de la normativa que afecta al tema estudiado y explicaciones de cómo se resuelve

con el M.E.F. mediante ejemplos prácticos realizados paso a paso.

La documentación se complementa con vídeos explicativos, foros de debate y tutorías con profesores

expertos en la materia.

Con el curso se entrega:

• Documentación en PDF con la teoría explicada en el curso y los ejemplos prácticos resueltos.

• Una versión del software CONSTEEL para poder realizar el curso y un periodo adicional para

poder trabajar los ejemplos propuestos.

• Certificado oficial de Construsoft avalado por ConSteel.


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3. TEMARIO DEL CURSO

El temario ofrecido en el curso es el siguiente:

• Tema 1: Introducción a los diferentes métodos de análisis estructural y presentación del curso.

• Tema 2: Cálculo y verificación exacta de la torsión en perfiles abiertos considerando el alabeo de

las secciones (Teoría y resolución con M.E.F).

• Tema 3: Verificación de la estabilidad por pandeo y efectos de segundo orden.

o Teoría del pandeo Ideal.

o Teoría del pandeo real en elementos.

o Métodos de verificación con imperfecciones y segundo orden y método general.

• Tema 4: Utilización del software CONSTEEL para en modelado y verificación de estructuras.

• Tema 5: Perfiles armados y perfiles de inercia variable.

• Tema 6: Diseño preciso de perfiles conformados en frío y clase 4.

• Tema 7: Análisis Global Plástico.

• Tema 8: Modelado de estructuras paramétrico y enlaces BIM con TEKLA Structures e IDEA Sta-

tiCa.


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4. CÁLCULO EXACTO DE LA TORSIÓN Y MODOS DE PANDEO

4.1 Formulación básica utilizando elementos finitos especiales de 7 G.D.L.

En una primera fase del curso se aplica como se resuelve el problema del cálculo de la torsión en perfiles

abiertos presentando, por una parte, las bases teóricas de resistencia de materiales y, por otra parte,

las bases del elemento finito viga-columna para paredes delgadas de 7 grados de libertad (7 GDL) por

nodo que resuelve el problema.

La formulación de este elemento fue originalmente definida por Borsoum and Gallagher (1970) [1]. La

definición del elemento finito utilizada en programas de diseño estructural prácticos como ConSteel y

que veremos en el curso, fue publicada por Rajasekaran en el famoso libro de texto de Chen y Atsuta

(1977) [2]. El software ConSteel utiliza el elemento finito de 7GDL original definido por Rajasekaran y

está especialmente desarrollado para su utilización en elementos de secciones abiertas donde el alabeo

tiene un efecto muy importante en el comportamiento de la sección transversal, y este efecto se puede

considerar mediante la utilización de 7 GDL como muestra la Figura 1.

Figura 1. Utilización de 7 GDL por nodo y alabeo de una sección abierta.

Los primeros 6 GDL son los desplazamientos convencionales (u, v, w) y rotaciones (θx, θy, θz) de acuerdo

con el sistema de coordenadas local del elemento, y el séptimo GDL es matemáticamente la primera

derivada del giro torsional alrededor del eje longitudinal (θx'); matemáticamente éste representa el

alabeo de la sección el cual es una consecuencia directa de la torsión en secciones abiertas de paredes

delgadas. La Figura 1 muestra el efecto del alabeo de la sección en un perfil tipo I, cuando las alas

sobresalen del plano original de la sección. En este caso el GDL del alabeo se puede considerar como

una rotación de las alas dual y opuesta alrededor del eje perpendicular a su anchura (en este caso el eje


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local “z”). Esto nos permite considerar los 7 componentes de desplazamientos y fuerzas nodales en los

dos nodos del elemento (‘j’ and ‘k’) de la siguiente manera:

k

x

k

y

k

z

k

x

kkkj

x

j

y

j

z

j

x

jjj uwvuwvU '' ,,,,,, ,,,,,,, = (1)

kk

y

k

z

k

x

kk

z

k

y

jj

y

j

z

j

x

jj

z

j

y m,m,m,m,P,f,f ,m,m,m,m,P,f,fF = (2)

Usando estos vectores se puede establecer el equilibrio del elemento como:

( ) FUKK GS =+

(3)

Donde [KS] es la matriz de rigidez elástica (primer orden), [KG] es la matriz de rigidez geométrica

(segundo orden).

Estos términos hacen posible resolver problemas complejos en segundo orden incluyendo la torsión con

alabeo, y realizar análisis globales de pandeo considerando todos los modos posibles (pandeo por

flexión, torsión, flexión-torsión, pandeo lateral y cualquier interacción entre ellos).

Todas las filas relacionadas con el séptimo grado de libertad en la ecuación son una confirmación del

equilibrio de los dos bimomentos tomados en los extremos de los dos elementos conectados en el nodo

(Figura 2):

01 =+ + j,ik,i mm (4)

Debido a que el bimomento se debe expresar como la segunda derivada del giro de la sección, y que

esta última se aproxima por un polinomio de tercer grado, la Ecuación (4) asegura también la

compatibilidad del alabeo. En cualquier otro caso (e.j. sección variable; elemento no recto; nudos 3D

donde los elementos tienen diferentes direcciones, y así sucesivamente) la Ecuación (4) no es

estrictamente correcta. Sin embargo, a falta de una solución analítica precisa, la Ecuación (4) puede

aplicar de forma general.


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Figura 2. Equilibrio del bimomento en los nudos con secciones uniformes.


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4.2 Análisis de modos de pandeo global

En el curso se aprende como resolver problemas de pandeo (como el pandeo por flexión “Flexural

buckling” FB); pandeo lateral “lateral-torsional buckling” LTB; o pandeo combinado “coupled buckling”

CB) mediante un análisis de buckling donde la condición matemática es que la carga no incluya ningún

tipo de componente que pueda causar deformaciones en la forma del modo de pandeo. Esto significa

que se debería de considerar 0Fglob =

. En este caso Ecuación (5) se escribiría de la siguiente manera:

( ) 0=+ globglob,gglob,S UKK

(5)

La Eq. (5) no significa que el modelo este descargado, sino que la carga no genera deformación en la

forma del modo de pandeo (por ejemplo, en el caso de pilares con carga axial pero no transversal). Dado

que en las cercanías del punto de bifurcación del equilibrio 0U glob

, la condición de bifurcación se

puede escribir como sigue:

( ) 0=+ glob,gglob,S KKdet

(6)

En la práctica, en vez de la solución teórica de la Eq. (6), se puede aplicar el siguiente método numérico

donde se asume que los resultados de tensiones son linealmente proporcionales al factor de carga λ, y

en consecuencia la Eq. (3) se debe escribir como sigue:

( ) globglobglob,gglob,S FUKK =+

(7)

En el punto crítico la segunda variación de la energía de deformación debería ser igual a cero (ya

que el vector de carga no incluye ningún componente que genere trabajo externo)

( ) 0UKKU

2

1globglob,gglob,Sglob =+

(8)

Eq. (8) se satisfice si:

( ) 0UKK globglob,gglob,S =+

(9)

Introduciendo que glob,SK=A

, glob,GK=B

es globU=v

, la Eq. (9) se debe de escribir de la

forma siguiente:

( )0v

vAvB

=−

(10)


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A este problema se le llama autovalores o valores propios y la solución numérica se puede resolver en

el software ConSteel en base al método de Lánczos modificado. Con este método se puede analizar un

número arbitrario (como máximo el número de grados de libertad) de valores propios y vectores

propios. El valor propio positivo más bajo dará el factor carga crítico, despreciando los valores negativos

ya que no tienen un significado físico al no considerar el caso de inversión de carga.

( )icr min=

(11)

La forma del modo de pandeo se determina con el vector propio apropiado. El software ConSteel

aplica este método con gran precisión.


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5. VERIFICACIÓN ESTRUCTURAL A PARTIR DE LOS MODOS DE PANDEO GLOBALES.

Este punto trata de explicar mediante un ejemplo realizado con el software ConSteel, la aplicación del

llamado “Método General” definido en el Eurocódigo EN 1993-1-1 (6.3.4), el cual utiliza los modos de

pandeo global relevantes y sus factores de cargas criticas asociados, para la verificación de la estabilidad

fuera del plano del modelo estructural. El ejemplo siguiente muestra una columna HEA200 de acero

S235 JR simplemente apoyada con una restricción lateral en la mitad de su altura que impide también

la torsión en ese punto (Figura 3). La columna está sujeta a una carga de compresión y a una carga

distribuida definiendo una excentricidad para que actúe en el ala. En la Tabla 1 se muestran los pasos

para el cálculo de la resistencia al pandeo (interacción del pandeo por flexión, y el pandeo lateral)

usando el método clásico (basado en el tratamiento separado de los modos de pandeo aislados) y el

método integrado basado en el “Método General”. Para el “Método General” se aplica una imperfección

inicial en el plano de flexión para incluir el efecto amplificador que tiene carga de compresión en

segundo orden en la flexión respecto al eje fuerte del perfil.

Figura 3. a) Pilar arriostrado sujeto a flexo-compresión, b) momento de primer orden, c) momento de segundo orden, d)

modo de pandeo combinado fuera del plano


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Tabla 1. Comparación entre el método clásico de fórmulas de interacción y el “método general”

Se puede apreciar que la diferencia básica reside en el cálculo de las cargas críticas elásticas (paso 3),

donde el método integrado no trata el efecto del pandeo por separado y utiliza el sistema completo

para la determinación del modo de pandeo combinado (Figura 3) obteniendo un factor de carga crítico

que naturalmente incluye todas las interacciones entre los diferentes efectos de las cargas en el pandeo.

Consecuentemente sólo un valor de esbeltez describe el problema del pandeo sin la necesidad de buscar

factores de interacción, ofreciendo una verificación final del perfil muy similar al método clásico. Sin

embargo, la gran ventaja del método general es que se puede utilizar del mismo modo para cualquier

caso de carga y cualquier condición de soportes, eliminando por completo las incertidumbres que

Pasos Método clásico EN 1993-1-1 6.3.3 Método general EN 1993-1-1 6.3.4

1 a Imperfección: e0y,d

ninguna

e0y,d = 800/250 =3,2cm [Tab.5.1 y Tab.6.2]

1 b Esfuerzos en elemento

NEd = 300𝑘𝑁

max My,Ed = 32𝑘𝑁𝑚 ( primer orden )

NEd = 300𝑘𝑁

maxMy,Ed = 55,83𝑘𝑁𝑚 (Segundo orden)

2 Resistencia de la sección transversal

Nc,Rk = 1264,3𝑘𝑁 (6.10)-(6.11)

Mc,Rk = 100,9𝑘𝑁𝑚 (6.13)-(6.15)

𝛼𝑢𝑙𝑡 ,𝑘 =1

300

1265+

55,83

100,9

= 1,265 (6.65)

3 Factores de cargas críticas elásticas

Ncr ,y = 1194𝑘𝑁 § 6.3.1.2(1)

Ncr ,z = 1736𝑘𝑁 § 6.3.1.2(1)

Mcr = 220,9𝑘𝑁𝑚 § 6.3.2.2(2)

CONSTEEL: 𝛼𝑐𝑟 ,𝑜𝑝 = 3,770 § 6.3.4(3)

4 Esbeltez

𝜆 𝑦 = Nc ,Rk

Ncr ,y= 1,029 § 6.3.1.2(1)

𝜆 𝑧 = Nc ,Rk

Ncr ,z= 0,855 § 6.3.1.2(1)

𝜆 𝐿𝑇 = Mc ,Rk

Mcr= 0,676 § 6.3.2.2(2)

𝜆 𝑜𝑝 = 𝛼𝑢𝑙𝑡 ,𝑘

𝛼𝑐𝑟 ,𝑜𝑝=

1,26

3,77= 0,579 (6.64)

5 Factores de reducción

𝜒𝑦 𝜆 𝑦 , 𝑏 = 0,580 (6.49)

𝜒𝑧 𝜆 𝑧 , 𝑐 = 0,630 (6.49)

𝜒𝐿𝑇 𝜆 𝐿𝑇 , 𝑏 = 0,880 (6.57)

𝜒𝑧 𝜆 𝑜𝑝 , 𝑐 = 0,798 (6.49)

𝜒𝐿𝑇 𝜆 𝑜𝑝 , 𝑏 = 0,926 (6.57)

𝜒𝑜𝑝 = min 𝜒𝑧 , 𝜒𝐿𝑇 = 0,798

6 Factores de interacción

k𝑦𝑦 = 1,26 Método B

k𝑧𝑦 = 0,95 Método B

−

7 Verificación de estabilidad

NEd𝜒𝑦 ∙N c ,Rk

𝛾𝑀1

+ k𝑦𝑦

My ,Ed𝜒𝐿𝑇 ∙M c,Rk

𝛾𝑀1

= 0,86 (6.61)

NEd𝜒𝑧 ∙N c,Rk

𝛾𝑀1

+ k𝑧𝑦

My ,Ed𝜒𝐿𝑇 ∙M c,Rk

𝛾𝑀1

= 0,75 (6.62)

NEd𝜒𝑧 ∙N c,Rk

𝛾𝑀1

+My ,Ed

𝜒𝐿𝑇 ∙M c,Rk𝛾𝑀1

= 0,894 (6.66)

NEd𝜒𝑜𝑝 ∙N c ,Rk

𝛾𝑀1

+My ,Ed

𝜒𝑜𝑝 ∙M c,Rk𝛾𝑀1

= 0,991 (6.65)


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conlleva tratar separadamente los modos de pandeo aislados para luego tener que determinar

longitudes de pandeo, parámetros del gradiente de momentos en los factores de interacción etc…

• Vigas de inercia variable

• Vigas con apoyos parciales intermedios

(caso de apoyos sólo en un ala de un per-

fil)

• Elementos con esquinas acarteladas

• Casos complejos de interacción de cargas

Figura 8. Casos especiales no tratados en las fórmulas de interacción de la normativa.

El método general del Eurocódigo permite escoger (en función del anejo nacional) entre la fórmula 6.65

o 6.66 para la verificación de la sección. Véase que la fórmula 6.66 (más precisa) ofrece prácticamente

los mismos resultados que el método clásico 6.61, con la gran ventaja que el método general permite al

ingeniero verificar elementos directamente de los resultados de los modos de pandeo obtenidos con un

software como ConSteel, pudiéndose aplicar también en casos donde el método clásico no es

directamente aplicable como:

Conclusiones

Como veremos a lo largo del curso, el “método general” especificado en EC3-1-1 6.3.4 se puede aplicar

directamente a pórticos planos de inercia variable de una manera directa y sencilla donde los apoyos

laterales en sus posiciones reales tienen un efecto directo en la verificación final del pórtico sin la

necesidad de calcular ni introducir longitudes de pandeo ni coeficientes de gradientes de momentos

para el pandeo lateral. También el método permite considerar el efecto de la posición exacta de las

cargas y efecto de las excentricidades entre barras, así como las condiciones de enlace.

Se demuestra que las verificaciones finales son parecidas a los métodos convencionales cuando en éstos

se consideran los correctos coeficientes de pandeo e interacción aunque la ventaja de este nuevo

método es que solventa la incertidumbre que presentan estos parámetros adicionales.

El método general permite una fácil implementación en los programas avanzados de análisis que existen

actualmente como es el caso del software ConSteel.


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6. REFERENCIAS UTILIZADAS EN EL CURSO

[1] BORSOUM, R.S., GALLAGHER, R.H., Finite Element Analysis of Torsional and Torsional-Flexural Sta-

bility Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Wiley & Sons, Bristol,

1970, Vol. 2., pp 335-352.

[2] CHEN, W., ATSUTA, T., Theory of Beam-Columns, McGraw-Hill, Nueva York, 1977, Vol.2: Space Be-

haviour and Design.

[3] KINDMANN, R., KRAUS, M., Finite Elemente Methoden im Stahlbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin,

2007.

[4] TURKALJ, G. ET AL., Large rotation analysis of elastic thin-walled beam- type structures using ESA

approach, Computers & Structures 81, University of Rijeka, 2003.

[5] BASAGLIA, C., CAMOTIM, D., SILVESTRE, N., Torsion warping transmission at thin-walled frame

joints: Kinematics, modelling and structural response, Journal of Constructional Steel Research

69/1, 2012.

[6] CLARK, J.W., HILL, H.N., Lateral buckling of beams, Journal of the Structural Division, 1960, Vol. 86,

Issue 7, pp 175-196.

[7] BOISSONNADE, N. ET AL., Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation

and design guidelines, ECCS Technical Committee – Stability, Bruselas, 2006, pp. 229.

[8] SILVA, L.S. ET AL., Comparison between C factors for determination of the elastic critical moment

of steel beams, ECCS Technical Committee – Stability, Working Paper for Meeting in Stuttgart, Ger-

many, 2013.

[9] MOHRI, F. ET AL., Theoretical and numerical analyses of unrestrained, mono-symmetric thinwalled

beams. Journal of Constructional Steel Research 59, 2003, pp. 63–90.

[10] KINDMANN, R., KRÜGER, U., Stahlbau, Teil 1:Grundlagen, Ernst & Sohn, Aufrage, 2013.

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