w8_kratownice_2008
TRANSCRIPT
Mechanika ogólnaMechanika ogólna
11
Wykład nr 8Wykład nr 8Obliczanie sił wewnętrznych Obliczanie sił wewnętrznych w układach prętowych.w układach prętowych.Kratownice.Kratownice.
KratownicaKratownica
Układ prętów prostoliniowych:Układ prętów prostoliniowych:–– połączenia przegubowe w węzłach;połączenia przegubowe w węzłach;–– obciążenia w postaci sił skupionych obciążenia w postaci sił skupionych
22
–– obciążenia w postaci sił skupionych obciążenia w postaci sił skupionych przyłożonych w węzłach.przyłożonych w węzłach.
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
KonsekwencjeKonsekwencje
Węzeł doznaje przesuwu (dwie Węzeł doznaje przesuwu (dwie składowe), obrót jest nieistotny;składowe), obrót jest nieistotny;
W prętach dwustronnie przegubowych, W prętach dwustronnie przegubowych,
33
W prętach dwustronnie przegubowych, W prętach dwustronnie przegubowych, nieobciążonych poprzecznie na nieobciążonych poprzecznie na długości, jedynie siła wewnętrzna to długości, jedynie siła wewnętrzna to normalna (siła osiowa).normalna (siła osiowa).
Nazwy prętówNazwy prętów
Pas dolny (D)Pas dolny (D) Pas górny (G)Pas górny (G) Krzyżulce (K)Krzyżulce (K)
44
Krzyżulce (K)Krzyżulce (K) Słupki (S)Słupki (S)
G1 G2
D1 D2
S1 S2 S3K1 K2
Statyczna wyznaczalnośćStatyczna wyznaczalność
Najprostsza kratownica złożona z trzech prętów Najprostsza kratownica złożona z trzech prętów połączonych przegubowo tworzy tarczę sztywną połączonych przegubowo tworzy tarczę sztywną i jest statycznie wyznaczalna.i jest statycznie wyznaczalna.
Każda kratownica budowana przez dostawianie Każda kratownica budowana przez dostawianie
55
Każda kratownica budowana przez dostawianie Każda kratownica budowana przez dostawianie pól zamkniętych tworzonych za pomocą pól zamkniętych tworzonych za pomocą kolejnych dwóch prętów jest statycznie kolejnych dwóch prętów jest statycznie wyznaczalna.wyznaczalna.
Stopień statycznej Stopień statycznej wyznaczalnościwyznaczalności Statyczna wyznaczalność:Statyczna wyznaczalność:
–– zewnętrzna zewnętrzna –– możliwość policzenia reakcji:możliwość policzenia reakcji:
3zn r
66
–– wewnętrzna wewnętrzna –– możliwość policzenia sił w możliwość policzenia sił w prętach:prętach:
–– całkowita:całkowita:
3zn r
2n r p w
2 3wn p w
PrzykładyPrzykłady (1)(1)
Kratownice statycznie wyznaczalneKratownice statycznie wyznaczalne
77
PrzykładyPrzykłady (2)(2)
Kratownice statycznie niewyznaczalneKratownice statycznie niewyznaczalne
88
PrzykładyPrzykłady (3)(3)
Kratownice geometrycznie zmienneKratownice geometrycznie zmienne
99
Metody rozwiązywaniaMetody rozwiązywania
Metoda równoważenia węzłów.Metoda równoważenia węzłów. Metoda Rittera.Metoda Rittera. Inne:Inne:
1010
Inne:Inne:–– wykreślna metoda Cremony;wykreślna metoda Cremony;–– metoda Culmana;metoda Culmana;–– metoda Hanneberga (wymiany prętów).metoda Hanneberga (wymiany prętów).
Metoda równoważenia Metoda równoważenia węzłówwęzłów Każdy z węzłów oddzielony zostaje od prętów Każdy z węzłów oddzielony zostaje od prętów
za pomocą przekroju przywęzłowego.za pomocą przekroju przywęzłowego. W węzłach otrzymuje się układy sił zbieżnych, W węzłach otrzymuje się układy sił zbieżnych,
w których można zapisać dwa równania w których można zapisać dwa równania
1111
w których można zapisać dwa równania w których można zapisać dwa równania równowagi równowagi –– sumy rzutów sił na dwie osie.sumy rzutów sił na dwie osie.
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
1N1-A N1-B
N1-4
N1-3N1-2
α β
Zalety i wady metody Zalety i wady metody równoważenia węzłówrównoważenia węzłów Zalety:Zalety:
–– łatwość zapisania równań łatwość zapisania równań –– sumy rzutów sumy rzutów sił;sił;
1212
sił;sił;–– kontrola wyników: ostatnie trzy równania kontrola wyników: ostatnie trzy równania
są sprawdzeniami;są sprawdzeniami;
Wady:Wady:–– propagacja błędu;propagacja błędu;–– duży nakład pracy wymagany do duży nakład pracy wymagany do
policzenia siły w wybranym pręcie.policzenia siły w wybranym pręcie.
Metoda RitteraMetoda Rittera (1)(1)
Kratownicę należy przeciąć przekrojem Kratownicę należy przeciąć przekrojem takim, aby można było zapisać równanie, takim, aby można było zapisać równanie, w którym jedyną niewiadomą będzie w którym jedyną niewiadomą będzie szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3 szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3 pręty, z których osie dwóch przecinają się pręty, z których osie dwóch przecinają się
1313
szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3 szukana siła w pręcie (najczęściej przez 3 pręty, z których osie dwóch przecinają się pręty, z których osie dwóch przecinają się w jednym punkcie).w jednym punkcie).
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
3m
4,5m
20kN
3m 3m
Metoda RitteraMetoda Rittera (2)(2)
Otrzymany układ sił jest niezbieżny. Otrzymany układ sił jest niezbieżny. Równanie równowagi to zazwyczaj suma Równanie równowagi to zazwyczaj suma momentów względem punktu przecięcia momentów względem punktu przecięcia osi pozostałych prętów (czasem suma osi pozostałych prętów (czasem suma rzutów sił rzutów sił –– gdy pozostałe pręty są gdy pozostałe pręty są
1414
osi pozostałych prętów (czasem suma osi pozostałych prętów (czasem suma rzutów sił rzutów sił –– gdy pozostałe pręty są gdy pozostałe pręty są równoległe).równoległe).
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
RBVA
HAα βA B
1
2 3 4
NA-1 N1-A
N2-1 N1-2
N2-3
N3-2
RBVA
HA
3m
4,5m
20kN
3m 3m
ααβ
1,5m
1,5m
1,5m
AB
1 2
3
4
5 N5-4
N4-5
NA-4
N4-A
NA-1 N1-A
Zalety i wady metody Zalety i wady metody RitteraRittera Zalety:Zalety:
–– do znalezienia siły w pręcie potrzebne do znalezienia siły w pręcie potrzebne jest zapisanie i rozwiązanie tylko jednego jest zapisanie i rozwiązanie tylko jednego równania;równania;
1515
równania;równania;–– brak propagacji błędu;brak propagacji błędu;
Wady:Wady:–– konieczność zapisania równań sum konieczność zapisania równań sum
momentów;momentów;–– brak kontroli błędów (możliwa np. za brak kontroli błędów (możliwa np. za
pomocą metody równoważenia węzłów).pomocą metody równoważenia węzłów).
Przykład A Przykład A –– kratownica z kratownica z pasami równoległymipasami równoległymi
10kN20kN
10kN20kN
1616
3m
3m
3,5m3m
3m
3,5m
Przykład A Przykład A –– ReakcjeReakcje
3m
10kN20kN
α β
2 3 4 2 2
3sin cos 0,7073 3
m
m m
2 2
3sin 0,6513 3,5
m
m m
3,5m
1717
3m 3,5m RBVA
HA
α βA B
1
: 10 0AX H kN : 20 0A BY V R kN
: 6,5 10 3 20 3 0A BM R m kN m kN m
2 2
3,5cos 0,7593 3,5
m
m m
10AH kN
6,154AV kN
13,846BR kN
10kN20kN
2 3 4
N2-A
N2-3 N2-3 N3-2
N3-2 N3-4
N3-4 N4-3 N4-3
N4-BN4-1N4-1N3-1N
N2-1
N
Przykład A Przykład A –– metoda metoda równoważenia węzłówrównoważenia węzłów
RBVA
HAB
1A
NA-2NA-1 NA-1
NA-2
N1-A
N1-A N1-B
N1-4
N1-4N1-3N1-2
N2-A
N4-1
N1-3
N3-1
N3-1
N1-2
N2-1N4-B
NB-4
N1-B NB-1
NB-1
NB-4
1818
Węzeł AWęzeł A
HA
A
NA-2NA-1
1: 0A AX H N
1 10A AN H kN
1919
VA
A
2: 0A AY V N
1 10A AN H kN
2 6,154A AN V kN
Węzeł 2Węzeł 2
10kN 2
N2-A
N2-3
N2-1
2 2 1: sin 0AY N N
22 1 8,704
0,707ANN kN
2020
2-A
2 3 2 1: cos 10 0X N N kN
0,707
2 3 10 8,704 0,707 16,154N kN kN kN
Węzeł 3Węzeł 3
20kN
3
N N
3 1: 20 0Y N kN
3 1 20N kN
2121
N3-2 N3-4
N3-13 2 3 4: 0X N N
3 4 3 2 16,154N N kN
Węzeł 1Węzeł 1
N1-3N1-2
1 2 1 3 1 4: sin sin 0Y N N N
1 48,704 0,707 20 21, 269
0,651kN kNN kN
2222
1N1-A N1-B
N1-4
N1-2
α β
1 1 2 1 4 1: cos cos 0A BX N N N N 1 10 8,704 0,707 21,269 0,759 0,011BN kN kN kN kN
Węzeł 4Węzeł 4
4N4-3
N4-BN4-1
β
4 3 4 1: cos 0X N N
Sprawdzenie:Sprawdzenie:
2323
4-1 4 3 4 1: cos 0X N N
4 4 1: sin 0BY N N
4 3 4 1 0,759 16,154 21, 269 0,759 0,011 0N N kN kN kN
4 21,269 0,651 13,846BN kN kN
Węzeł BWęzeł B
R
B
NB-4NB-1 Sprawdzenie:Sprawdzenie:1: 0BX N
2424
RB
4: 0B BY N R
1 0,011 0BN kN
4 13,864 13,864 0B BN R
Sprawdzenie:Sprawdzenie:
Przykład A Przykład A –– metoda metoda Rittera Rittera –– przekrój 1przekrój 1 (z lewej)(z lewej)
2 1: sin 0lAY V N
1 2 3: 3 10 3 3 0lAM V m kN m N m
: 3 3 0lM H m N m
2525
3m
3m
10kN
3,5m
20kN
RBVA
HAα βA B
1
2 3 4
NA-1 N1-A
N2-1 N1-2
N2-3
N3-22 1
6,154 8,7040,707
kNN kN
2 3 6,154 10 16,154N kN kN kN
2 1: 3 3 0lA AM H m N m
1 10AN kN