พระมด(Pyramid)

1. พระมด(Pyramid)คอทรงสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใดๆมยอดแหลมซงไมอยบน

ระนาบเดยวกบฐานและหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลมนนนยมเรยกชอของพระมดตามลกษณะของฐาน เชน พระมด

ฐานสามเหลยม พระมดฐานสเหลยมผนผา พระมดฐานหกเหลยมดานเทา เปนตน

ขอคด

พระมด เปนสถาปตยกรรมทยงใหญ และเปนสงมหศจรรยของโลก ทสรางขนโดยชาวอยปตโบราณ พระมดทมชอเสยงและยงปรากฏอยจนถงปจจบนน เชน พระมดแหงเมองกซา (Great Pyramid at Giza) ในประเทศอยปต

สวนสงของพระมดตรงใดๆ จะตงฉากกบฐานทจดซงอยหางจากจดยอดมมของรปเหลยมทเปนฐานเปนระยะทางเทากน

2. พระมดแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ พระมดตรงและพระมดเอยง

พระมดตรง หมายถง พระมดทมฐานเปนรปเหลยมดานเทามมเทามสนยาวเทากนทกเสนจะมสงเอยงทกเสนยาวเทากนและสวนสงตงฉากกบฐานทจด ซงอยหางจากจดยอดมมของรปเหลยมทเปนฐานเปนระยะเทากนมหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมหนาจว

พระมดเอยง หมายถง สนทกสนยาวไมเทากนสงเอยงทกเสนยาวไมเทากน

ตวอยางภาพประกอบทใชในสอ

ขอคดพระมด หมายถง พระมดทมสนยาวเทากนทกเสนพระมดตรงทมฐานเปนรปเหลยมดานเทามมเทา จะมสงเอยงทกเสนยาวเทากน และหนาทกหนาเปนรป

3. สตรการหาพนทผวพระมด พนทผวของพระมด

การหาพนทผวขงพระมดเราสามารถหาไดโดยการคลรปเรขาคณตสามมตออกเปนรปเรขาคณตสองมตแ ลวคำานวณหาพนทของรปเรขาคณตสองมตนนแตละรปแลวนำาพนทของทกรปรวมกนเปนพนทผวของพระมดรปนน ตวอยางเชน

พระมดฐานสามเหลยมดานเทา รปคลของพระมดฐานสามเหลยมดานเทา

รปคลของพระมดฐานสามเหลยมดานเทาทมความยาวของฐาน a หนวย และความยาวของสงเอยง หนวย ประกอบดวยรปสามเหลยม

ดานเทาหนงรป ซงเปนฐาน และรปสามเหลยมหนาจว 3 รป ซงเปนหนาของพระมด ซงพนทของหนาทกหนาของพระมดรวมกนเรยกวาพนทผวขางของพระมด

พนทฐาน เทากบ พนทของรปสามเหลยมดานเทาหนงรป

พนทฐาน เทากบ ตารางหนวย

ℓa

aa

พนทผวขาง เทากบ พนทของรปสามเหลยมหนาจว 3 รป ซงเทากนทกประการ

พนทผวขาง = ตารางหนวย

จะได พนทผวขางพระมดฐานสามเหลยมดานเทา เทากบ พนทฐาน + พนทผวขาง

พนทผวของพระมดฐานสามเหลยมดานเทา =

= ตารางหนวย

รปคลของพระมดฐานสเหลยมจตรสหนงรปซงเปนฐานและรปสามเหลยมหนาจวสรป ซงเปนหนาทของพระมด

พนทฐาน เทากบ พนทของรปสเหลยมจตรสหนงรป

พนทฐาน = ตารางหนวย

พนทผวขาง เทากบ พนทของรปสามเหลยมหนาจวสรป ซงเทากนทกประการ

พนทผวขาง = 4

= ตารางหนวย

ดงนนพนทผวขงพระมดฐานสเหลยมจตรส เทากบ พนทฐาน + พนทผว

ขาง = ตารางหนวย

รปคลของพระมดฐานหกเหลยมดานเทามมเทา ประกอบดวยรปหกเหลยมดานเทามมเทาหนงรป ซงเปนฐาน

และรปสามเหลยมหนาจวหกรป ซงเปนหนาของพระมด

พนทฐาน เทากบ พนทของรปหกเหลยมดานเทามมเทา

พนทฐาน เทากบ

= ตารางหนวย

พนทผวขาง เทากบ พนทของรปสามเหลยมหนาจวทกรปหกรปซงเทากนทกประการ

พนทผวขาง = 6

= ตารางหนวย

ซง พนทผวขางของพระมด เทากบ พนทฐาน + พนทผวขาง

ดงนน พนทของพระมดฐานหกเหลยมดานเทาทกมม

= ตารางหนวย

พนทผวขางของพระมด = ความยาวของฐาน สงเอยง

พนทของหนาทกหนารวมกนพนทผวของพระมด = พนทผวขางของ

พระมด พนทฐานของพระมด

4 พนทผวของพระมด (Surface area of pyramid)พนทผวของพระมด (Surface area of pyramid)พนท

ของหนาทกหนาของพระมดรวมกน เรยกวา พนทผวขางของพระมด พนทผวขางของพระมดรวมกบพนทฐานของพระมด เรยกวา พนทผวของพระมดสตรการหาพนทผวของพระมด

ในกรณทเปนพระมดตรงและมฐานเปนรปเหลยมดานเทาทกเทา

5 . สตรการหาปรมาตรของพระมด

พนทผวขาง 1 ดาน = × ฐาน× สงเอยงพนทผวทงหมด = พนทฐาน + พนทผวขางทกดาน

พนทผวขางทกดาน = × ความยาว

เสนรอบฐาน× สงเอยง

ปรมาตรของพระมด = × พนท

ฐาน× สง

ขอแนะนำา* พระมดเปนรปทรงเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใด ๆ มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน หนา ทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดเหลยมนน* สวนสงของพระมดตรงใด จะตงฉากกบฐานทจดซงอยหางจากจดยอดมมของรปเหลยมทเปนฐานเปนระยะเทากน* พระมดตรงทมฐานเปนฐานรปเหลยมดานเทามมเทา จะมสงเอยงทกเสนยาวเทากน และมสนสวนขางยาวเทากน* การเรยกชอพระมดจะเรยกตามลกษณะของฐาน

6. ตวอยางโจทย

ตวอยางท 1 พระมดฐานสเหลยมจตรสมดานฐานยาวดานละ 6 นว สนยาว 5 นว จงหาสงเอยง วธทำา วาดรปพระมดฐานสเหลยมจตรสขนมากอน

กำาหนดให AC เปนสนยาว 5 นว และ AB เปนความสงเอยง BC เปนความยาวครงหนงของดานฐาน ยาว 6 ÷ 2 = 3 นว  ตามทฤษฎปทาโกรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ABC พจารณาสามเหลยม ABC

AB2  +  32 =  52 AB2  =  52 - 32

AB2=  16 AB    =  4 ตอบ สงเอยงยาว 4 นว 

ตวอยางท 2 การหาสงเอยง กรณทโจทยกำาหนดสวนสง พระมดฐานสเหลยมจตรสมดานฐานยาวดานละ 10 นว สวนสงยาว 12 นว จงหาสงเอยง วธทำา วาดรปพระมดฐานสเหลยมจตรสขนมากอน

กำาหนดให AC เปนสวนสง ยาว 12 นว และ AB เปนความสงเอยง  BC เปนความยาวครงหนงของดานฐาน ยาว 10 ÷ 2 = 5 นว ตามทฤษฎปทาโกรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ABC พจารณาสามเหลยม ABC 

AB2  =  122 + 52 AB2     =   144 + 25AB2   =   169 AB      =   13  

ตอบ  สงเอยงยาว 13 นว

ตวอยางท 3 จงหาพนทผวของพระมดรปสเหลยมจตรสทมฐานยาวดานละ 4 นว และมสงเอยงยาว 6 นว

วธทำา พนทผวขางของพระมด = พนทของหนา 4 หนา

=

= 48 ตารางนว

พนทฐาน = ดาน ดาน

= 4 4 = 16 ตารางนว

พนทผวของพระมด = พนทผวขาง + พนทฐาน

= 48 + 16 = 64 ตารางนว

ดงนน พนทผวของพระมดเทากบ 64 ตารางนว

6”D

C

E

B C4”

ตวอยางท 4 จงหาสตรและสงเอยงจากพระมดทกำาหนดให

กำาหนด AD = 13 นว และ BE = ED = 10 นว

จะตองหาสงตรง และสงเอยง

วธทำา จากทฤษฎบทปทาโกรส เมอ Δ AGD เปนรปสามเหลยมมมฉาก

จะได = -

= -

= 169 – 25 = 144

= 12

ดงนนสงเอยงของพระมดยาว 12 นว พจารณารปสามเหลยมมมฉาก AFG

จะได = -

= - 5

= 144 – 25 = 119

AF =

ดงนน สงตรงของพระมดยาว นว

ขอสงเกต

A

13”

D

G

E10”B

C

F

GF

12”

5”

สวนสงของกรวยตรงจะตงฉากกบฐานทจดศนยกลางของฐาน

สงเอยงของกรวยตรงจะยาวเทากน