ESAG_2014/2015Ficha de trabalho _4 preparação para exame de 12º ano de Matemática AAssunto: Funções racionais/irracionais. Assíntotas ao gráfico de uma função. Resolução de problemas envolvendo funções racionais. Operações com funções.

Grupo IOs itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.Escreva, na sua folha de resposta, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.Não apresente cálculos nem justificações.Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. A representação gráfica da figura corresponde a uma função f racional do tipo

f ( x )=ax+bx+c , a, b e c são números reais.

Quanto aos parâmetros a, b e c podes concluir:

(A)

a=2 , b=−6 e c=2(B)

a=−2 , b=−6 e c=2(C)

a= 2 , b= 6 e c=2(D)

a=2 , b=−6 e c=−2

2. As retas y=-1 e x=0 são assíntotas do gráfico de uma função h. Então, podes concluir que o gráfico

da função j definida por j ( x )=1−h (x+2 )admite como assíntotas as retas de equações:

(A) y=0 e x=−2 (B) y=1 e x=2 (C) y=2 e x=−2 (D) y=2 e x=2

3. Considera os polinómios P( x )=x2−9 e Q( x )=ax+b;a ,b∈ IR .

Acerca do número de zeros da função racional f definida por f ( x )= P( x )

Q( x ) podes concluir:(A) Não tem zeros (B) Tem dois zeros (C) Tem um único zero (D) Tem no máximo 2 zeros

4. Considera a função racional definida por f ( x )= x2−1

2x2+x−1 .

4.1. O domínio da função f é:(A) IR

(B) IR¿ {1

2,1¿}

(C) IR¿{−1 , 1

2¿}

(D) IR¿ {−1 ,− 1

2¿}

4.2. Se a função g é tal que g( x )= x−1

2 x−1 , então podes concluir:(A) g é uma restrição de f

(B)

f ( x )=g( x ) ,∀ x∈Dg

(C) f é um prolongamento de g

(D)

f ( x )=g( x ) ,∀ x∈Df

5. Dada a equação x3−xx−1

=0, podes concluir:

(A) É impossível. (B) Tem exatamente duas soluções.

(C) Tem apenas uma solução.

(D) Tem três soluções.

6. O gráfico da função f definida por f ( x )=x− x2

x+1 admite como assíntotas as retas de equações:

(A) y=x e x=−1 (B) y=1 e x=−1 (C)

y=−1 e x=−1 e y=x(D) y=x e y=−1

7. No referencial da figura estão representações gráficas das funções f e g definidas, respetivamente por

f ( x )= 1xe g ( x )=2−1

x .

Em relação ao conjunto dos números reais ]−∞ ,0[∪]1 ,+∞[,Podes afirmar que é o conjunto solução da condição:

(A) f ( x )−g( x )<0 (B) f ( x )≥g( x ) (C) f ( x )=g( x ) (D) g( x )≥f ( x )

8. Considere a função f definida por f ( x )={x2−9 se x≥1x2+1 se x<1

O conjunto dos zeros de f é:

(A) {−3,3 } (B) {−3 ,−1,1,3 } (C) {3 } (D) {}

9. Considere as funções f, g e h cujas representações gráficas são as seguintes:

Então, h pode ser a representação gráfica de:

(A) f +g (B) |f|×g (C) f×g(D) fg

10. Das funções, reais de variável real, p e q sabe-se que o domínio de p é IR- e que q é definida por

q ( x )= x+3x2−x−2 . Então, o domínio de

pq é:

(A) IR−¿ {−3 ,−1¿} (B) IR

−¿{−1¿} (C) IR−¿{−1,2¿} (D) IR

−¿{−3¿}

11. Relativamente às funções s e t, r.v.r., sabe-se que:. -1, 2 e 3 são os zeros de s e IR é o domínio;. 2 e 4 são os zeros de t e IR\{-1} o domínio.

O conjunto solução da equação st

( x )=0é:

(A) {−1,2,3 } (B) {3 } (C) {−1,3 } (D) {2,3 }

12. Observa a figura, onde se encontram representadas graficamente as funções h e j. O domínio da função j é IR e o domínio da função h é ]-4,+00[. As retas de equação x=-4 e y=0 são assíntotas do gráfico de h.

12.1. O domínio de hj é:

(A) IR (B) ]−4 ,+∞] (C) ]−4 ,+∞]¿{−3,4¿} (D) IR¿ {−3,4¿}

12.2. O conjunto de zeros de hj é:

(A) {−3,4 } (B) {4 } (C) {−3 } (D) {}

13. Na figura encontram-se representadas graficamente, pelas retas paralelas r e s, as funções f e g.

13.1. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função fg ?

13.2. Considere as seguintes afirmações:

I. O gráfico da função f×g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

II. O gráfico da função f−g é uma reta paralela ao eixo Ox.

(A) Somente I é

verdadeira

(B) Somente II é verdadeira

(C) Ambas são falsas

(D) Ambas são verdadeiras

14. Observa os gráficos seguintes. Um deles é o gráfico de uma função real de variável real f.

14.1. O gráfico de f…(A) pode ser qualquer um deles.

(B) só pode ser o I ou o II.

(C) só não pode ser o III

(D) não pode ser o I nem o II

14.2. Se f admite função inversa cujo domínio é IR\{-1}, então o gráfico de f é:(A) I (B) II (C) II ou IV (D) I ou II

15. Considere a função f definida por

f ( x )=x2−3e a função g de domínio [−2 ,+∞[que se encontra representada graficamente na figura.

15.1. O domínio de g o f é:(A) IR

(B) ]−∞ ,−1 ]∪[1 ,+∞[ (C) [−1,1 ] (D) [−2 ,+∞[

15.2. Seja z o conjunto de zeros de g o f. Então:

(A) z= {−2 } (B) z= {−√3 ,√3 } (C) z= {−1,1 } (D) z={}

16. Seja g a função de domínio IR, representada graficamente e r uma assíntota do seu gráfico. Qual das seguintes afirmações é falsa?(A) a função g admite inversa e g-1 (0) =-2;(B) A função g-1 existe e tem dois zeros.(C) A função |g (x) | não admite inversa.(D) A função g é injetiva.

17. Seja g a função definida por f ( x )=√ x+1 e g a função representada graficamente de domínio IR-{0} e cujo gráfico tem como única assíntota a reta de equação x=0.

O domínio da função fg é:

(A) IR \ {-2,0,2}(B) [-1,+00[ \ {0,2}(C) [-1,+00[ \ {0}(D) IR\{0,2}

Grupo IINas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver que efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida aproximação, apresente sempre o valor exato

1. Uma empresa produz embalagens de metal, com a forma cilíndrica, para a indústria alimentar. Pretende-se que as embalagens tenham as seguintes caraterísticas:. capacidade de 500 cm3;. o metal da superfície lateral custa 0,4 cêntimos por centímetro quadrado;. o metal das bases do cilindro custa 2 cêntimos por centímetro quadrado.

1.1. Mostre que o custo, c, da embalagem, em função do raio r do cilindro é dado por:

C (r )= 4×πr3+400r

1.2. Com a ajuda da calculadora gráfica, determine um valor aproximado, às décimas do centímetro, do raio da base da embalagem para o qual o custo do fabrico é mínimo e determine o valor desse custo.

2. 2.1. Na figura está a representação gráfica de uma função f, de domínio IR+ , da qual a reta t é uma assíntota. Qual o valor de

limx→+∞

[ f ( x )−( x−2 ) ]?

2.2. Determine as assíntotas dos gráficos das seguintes funções racionais:

2.2.1 f ( x )=11 x+5

x+1

2.2.2 g( x )=3+ 2

x−1

2.2.3 h( x )= x

2+25 xx+1 2.2.4.

f ( x )= x3−2 xx3−1

3. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, bem como as duas assíntotas deste gráfico. Tal como a figura sugere:. a origem do referencial pertence ao gráfico de f;. uma das assíntotas é horizontal; . a outra assíntota é a reta de equação x=-1.Admita que a assíntota horizontal é a reta de equação Y = -1,2 e que a expressão analítica de f é dada

por f ( x )=a+ b

x+c

Determine a, b e c.

4. A função f representada no referencial ao lado é do tipo

y=a+ bx+c . As retas de equação y=2 e x=-2 são

assíntotas do gráfico de f.4.1. Indica os valores de a e b e c sabendo que 3 é zero da função f.4.2. Indica, justificando, o valor lógico das seguintes proposições:

4.2.1. ∀ x1 , x2∈D f , x1<x2⇒ f ( x1 )< f ( x2 ) ;

4.2.2. ∃ x∈D f : f ( x )=2 ;

4.2.3. ∃ x∈ IR : f (2 )=x ;

4.2.4. ∀ x∈]−2,0 ] , f ( x )<0 ;

4.2.5. ∀ x∈]3 ,+∞[ , f ( x )>0

5. Defina analiticamente uma função racional em que o gráfico admita as assíntotas x=2 e y=0.

6. Sem recurso à calculadora faça um esboço do gráfico da função f ( x )= x−2

x+3

7. Seja f a função racional definida por g( x )=a+ b

x−1 . Determine a e b sabendo que y=3 é assíntota horizontal do gráfico da função e o ponto (4,4) é um ponto do gráfico da função.

8. Na figura está a representação gráfica de uma função f de domínio IR\{6} em que as retas de equação x=6 e y=4 são assintotas do gráfico. Por observação do gráfico responde às alíneas seguintes:

8.1. Qual o contradomínio da função f?

8.2. Complete as seguintes igualdades:

8.2.1. limx→3−

f ( x )8.2.2.

limx→3+

f ( x )

8.2.3. limx→+∞

f ( x )8.2.4.

limx→−∞

f ( x )

8.2.5. limx→6+

f ( x )8.2.6.

limx→6−

f ( x )

8.3. Considera as funções g e h definidas por g( x )=−1+|f (x )| e h( x )= f (−x ).8.3.1. Indique as assíntotas do gráfico de g;8.3.2. Indique os zeros de h.

9. Para cada uma das seguintes funções racionais obtenha:. o domínio;. uma expressão simplificada para a definir;. a equação das assíntotas, se existirem.

9.1. f ( x )= x+4

x2−2 9.2. f ( x )= x2−4

3 x3+4 x2−x+6 9.3. f ( x )=−2x3−x2+x−3

2x2+x−3

10. Para cada uma das seguintes expressões, obtenha:. o domínio;. uma expressão simplificada, efetuando as operações indicadas;

10.1. 23x

+ 1x−3 10.2.

2xx2−4

− 12−x 10.3.

x2x−3

× x−32 x2

10.4. x2÷2 x

2−2 x2x

×3 x+2x−1 10.5.

32x+18

+27x2−81 10.6.

25x+2

+ 4x2−25

10.7. xx−7

− 17−x 10.8.

xx2+5x+6

− 2x2+3 x+2

11. Resolva, em IR, cada uma das seguintes condições:

11.1. x2

x+1−x=1

x−32 11.2.

2x−1

− 31−x

=111.3.

x+13−x

<0

11.4. x+1x−3

≥211.5.

3x−1x

≤ 2x−1 11.6.

2−x2

x−3≤1−x

12. Considera as funções racionais f e g definidas por f ( x )= 3 x

x2−1e g (x )= 2

x+1

12.1. Mostra, por via analítica, que 2 pertence ao contradomínio da função f;12.2. Determina as coordenadas do ponto ou dos pontos de interseção dos gráficos das funções f e g, quando representados num mesmo referencial o.m.xOy;12.3. Determina as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico da função g com a bissetriz dos quadrantes ímpares.12.4. Caraterize:12.4.1. a restrição de g que tem contradomínio IR+;12.4.2. o prolongamento de g a IR cujo contradomínio é IR13. No referencial da figura estão representações gráficas de duas funções f e g, tais que:

.f é uma função polinomial do 3º grau definida por

f ( x )=3 x2− x3 ;.g é a restrição a IR+ de uma função racional h do tipo

h( x )=ax+b ;a ,b∈ IR

;.os pontos de interseção dos gráficos de f e g são os pontos A e B, sendo (1,2) as coordenadas de A.

13.1. Mostre que o ponto B tem de coordenadas (3,0);

13.2. Caraterize a função g, começando por determinar a e b.

13.3. Determine o conjunto solução da condição:

13.3.1. f ( x−2 )≥0 13.3.2. f ( x )−g ( x )<0 13.3.3.

f ( x+1 )g ( x )

≥0

14. Considere a função f de domínio IR\{1}, definida por f ( x )=−2x+6

x−1 .Mostre que o gráfico de f interseta a bissetriz dos quadrantes ímpares em dois pontos. Determine as coordenadas desses pontos.

15. Uma mistura de café é obtida utilizando 10kg de café, cujo quilo custa 12 euros, e uma certa quantidade de café de qualidade superior, cujo quilo custa 20 euros.

Que quantidade de café de qualidade superior deve ser utilizada, de modo que o preço da mistura não exceda os 18 euros por quilo mas seja superior a 16 euros?

16. Um investigador estudou a evolução do número de árvores de uma zona florestal ao longo de 20 anos. Com base nos estudos feitos, o investigador concluiu que o número de árvores, N, em milhares, é

dado por N ( t )=20 (5+2t )

1+0 ,06 t, 0≤t≤20

, em que t é o tempo, em anos, decorridos desde o instante em que o investigador iniciou o estudo.16.1. Quantas árvores existiam na zona florestal:16.1.1. no início do estudo?16.1.2. decorridos 15 anos?16.2. Considere que este modelo se mantém válido para t > 20. Determine uma equação da assíntota horizontal do gráfico da função dada e interprete o seu significado no contexto da situação apresentada.

17. Um doente toma um medicamento e a concentração c, em miligramas por litro, no sangue ao fim

de t horas é dada por: c ( t )= 7 t

5 t 2+1, 0≤t≤12

.17.1. Recorrendo à calculadora gráfica esboce uma representação gráfica da função.No gráfico assinale:. a concentração máxima;. o instante em que ocorre a concentração máxima;Use três casas decimais.17.2. Interprete o gráfico da função descrevendo o que acontece após a tomada do medicamento;17.3. Durante quanto tempo a concentração foi superior a 0,5 mg/L?Apresente o resultado em horas e minutos arredondados às unidades.

18. A função f tem domínio IR+ e é definida por

f ( x )=1x .

. Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função f.

. o ponto C é a projeção ortogonal do ponto B sobre o eixo Ox;. As abcissas dos pontos A e B são, respetivamente x e x+1

Escreva, em função de x, a área do quadrilátero [OCBA];

19. Pretende-se esboçar o gráfico da função N, que dá “o nível de álcool no sangue” em função do peso p de uma pessoa, depois de ela ter ingerido um litro de cerveja. Sabe-se que:

(I) num litro de cerveja existem 40g de álcool;

(II) N (p) é a razão entre o peso (em gramas) de álcool existente no litro de cerveja e o volume (em litros) do fluido orgânico da pessoa;(III) o volume do fluido orgânico de cada pessoa é numericamente igual a 70% do seu peso total (em quilogramas).Sabendo que N (p) é expresso em gramas por litro e p em quilogramas:19.1. Identifica uma expressão analítica do modelo matemático, N (p), que descreve esta situação;19.2. Determine N (30), N (60) e N (80);19.3. Esboce o gráfico de N quando p varia entre 20 e 130;19.4. Em Portugal a lei estabelece penas avultadas para quem for apanhado a conduzir com um nível de álcool no sangue superior a 0,5 gramas por litro. Indique, nas condições do enunciado, quem não deve conduzir depois de beber um litro de cerveja.

20. Um ecologista concluiu que em certas condições a seguinte função relaciona o número n de veados

que podem sobreviver com o número h de hectares de terra de pastagem: n (h )=80h

0,8h+16, h≥0

20.1. Calcule n(100) e interprete o resultado;20.2. Com o aumento do número de hectares o número de veados tende a estabilizar. Qual é esse número? Fundamente o seu raciocínio.

20.3. Resolva a inequação 80h0,8h+16

≤50e interprete o resultado no contexto da situação apresentada.

21. Uma empresa que se dedica à despoluição de lagos e rios concluiu que o modelo matemático para o cálculo do custo c, em milhões de euros, para remover p% de poluentes em lagos e rios de uma dada região é dado por:

c (p )=180 p100−p

, 0≤p<100

21.1. Qual é a equação da assíntota vertical do gráfico da função? Qual é o seu significado?21.2. Utilize a calculadora gráfica para fazer um esboço do gráfico da função e interprete, numa pequena composição, o comportamento da função para remover p% de poluentes.21.3. Determine o custo para remover 85% de poluentes.

22. Considere um terreno retangular de comprimento x e largura y e tal que a sua área é de 1000 m2.22.1. Escreva, em função de x, o perímetro do terreno retangular;22.2. Use a calculadora gráfica para determinar x, com aproximação às décimas, de modo que o perímetro do retângulo seja mínimo.