806, 804, 005מתאים לשאלונים - סיכום בגיאומטריה

ידי מאיר בכור- שנכתב על005פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון

השתדלתי שהסיכום המוגש לכם להלן יעזור להפוך את נושא הגיאומטריה לידידותי יותר עבורכם

.ופחות מאיים בסיכום תמצאו כלים להתמודדות עם השאלות בגיאומטריה והדגשה של נקודות חשובות אליהן יש

. שימוש בכלים אלה יכול להקל במציאת הדרך לפתרון.לשים לב כללי .א

. קיימות שתי שיטות מקובלות לכתיבת הוכחה בגיאומטריה .1

".טענה ונימוק"שיטת . א מסתמכים על שורה או , בנוסף לנימוקים הרגילים–" וההסתמכותהמספור" שיטת . ב

".2, 3, 5לפי שורות " או , "1לפי שורה : " שורות כגיבוי לנימוק

אין צורך לחלק (מקלה ונוחה יותר לשימוש " וההסתמכותהמספור"שיטת , מניסיוני זה עושה סדר בהוכחה ובמחשבה כי ברור מאיפה כל דבר , הדף לשני אזורים את . ני ממליץ בחום על שימוש בשיטה זוא ).מגיע

התשובה נפסלת-! לפתור שאלות בגיאומטריה בעזרת טריגונומטריהאין 005בשאלון .2

. )לשלב בין גיאומטריה וטריגונומטריה מותר806, 804בשאלונים (. חד וחלק

" תידלקנה" לפעמים דרך הנתונים עצמם –חשוב מאד לקרוא היטב את נתוני השאלה .3 .טיים לפתרוןיזכירו לכם את המשפטים הרלוונ/שיצביעו" נורות"לכם מה שעולה (מומלץ לרשום בצד את שמות כל המשפטים שנתוני השאלה מזכירים לכם ).שיטת האלימינציה. (ולנסות עם משפטים אלו לתקוף את השאלה) אסוציאציותכלכם

. ולכן יש להשתמש בכולם להוכחהאין נתונים מיותריםבדרך כלל בבחינה .4

. סביר להניח שטעיתם–נים במידה ולא השתמשתם באחד הנתו

: יש לרשום) כולל הוכחת משפטים(בכל פתרון של שאלות בגיאומטריה .5 !ראו זאת ככלל ברזל". הוכחה", ל"צ, "נתון "

. רישום מסודר עוזר בהתארגנות לפתרון ומונע דילוג על סעיפים

רטוט נפרד יש לשרטט עבור סעיף זה ש–שלהן כולל הוכחת משפט ' בשאלות שסעיף א .6 . מהשרטוט הנתון ולהוכיח את המשפט בהתאם

.'היא רמז או עזר לפתרון של סעיף ב' הוכחת המשפט מסעיף א, בבחינה, כלל- בדרך .או את השרטוט הנתון בשאלה, יש לשרטט שרטוט חדש' עבור סעיף ב

,חופשיתולא ביד ) או שבלונת עיגולים( יש לשרטט את השרטוט בעזרת סרגל ומחוגה .7

.כלל מטעה ומעוות את התמונה-בדרך, שרטוט ביד חופשית. נא להצטייד בהתאם, ולפיכך

רשמורות למאיר בכוכל הזכויות ©

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

2

אין להוריד ממנו , לפיכך. השרטוט הנתון בשאלה הוא סכמתי וללא קנה מידה/ הציור .8 .'שטחים וכו, זוויות, מידות ואין לקבל ממנו פרופורציות כלשהן על גדלים של צלעות

. בשרטוטxעם צלע " לרוץ" בשרטוט או ααααעם זווית " לרוץ"יש שאלות בהן מומלץ .9

ABCנסמן : "יש לרשום, במקרה זה = α= α= α= α∢∢∢∢ " נסמן "אוAD = x ."

.אלא גם כחלק אינטגרלי מההוכחה, בשרטוטיש לכתוב לא רק " ריצה" את ה

1כאשר משתמשים בזוויות .10 2, ...β ββ ββ ββ β 1 או 2D , D יש להגדירן בהוכחה בעזרת , ...

או קווים מקבילים /ו, או צלעות שוות/זוויות שוות ו, בנוסף. וגם לסמנם בשרטוט..." נסמן " . כדאי להשתמש גם בצבעים"). עירום"לא להשאיר את השרטוט ( מומלץ לסמן בשרטוט

: לדוגמא–להשתמש באותה אות לסימון נעלמים שונים באותה שאלה אין .11

ABC x====∢∢∢∢) זווית( ,AB = x) יש עוד אותיות לסימון נעלמים–זיכרו , )קטע .

יש להסביר את, משתמשים בבניית עזרבמידה ו. אין מגבלה לגבי מספר בניות העזר .12 . את השרטוט בדף המבחןחובה לשרטטבניה ולסמן אותיות בהתאם ובנוסף ה

).כלל משתמשים בבניית עזר אחת או שתיים-בדרך (

כאשר משתמשים בבניית עזר חייבים להגדיר את התנאי שבניית העזר מקיימת .13 בניית עזר). ' בין שתי נקודות וכדהעברת קטע, העברת משיק, הורדת גובה–למשל (

. אלא אם כן הוכחתם אותו– זו אינה יכולה לקיים תנאי נוסף

-מומלץ להסתכל על השרטוט הנתון מכיוון אחר , את הפתרון" לא רואים"כש, לפעמים .14 ".האסימון יירד"ואולי אז , לסובב את הדף, מהצד או מלמעלה

, לפעמים. או כותרת משנית בשלב הפתרון/ים ו אל תחסכו בהסברים מילוליים קצר .15

או כותרת יכולים להבהיר לבוחן את כוונתכם בצורה טובה יותר /הסבר קצר ו ).אף להקטין את מספר הנקודות שתרדנה במקרה של טעות, ואולי(

זה מאפשר להתמקד במה ששאלו : יש לסכם בצורה מילולית את התשובה שהתקבלה .16

).בעיקר בשאלות חישוב(ת מיותרים ולפסול פתרונו ורק על, מומלץ בסוף פתרון השאלה לעבור על כל הסעיפים ולראות שעניתם על כולם .קשוי מה שב

:לדוגמא) 'מעלות וכו, שטח, אורך( יש לרשום יחידות .17

.AD= יחידות אורך 5: יש לרשום, כאשר אין יחידות בשאלה. AD= מ " ס5 .S= יחידות שטח 5: אשר אין יחידות בשאלה יש לרשוםכ. S= ר " סמ50

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

3

הביטוי ורק / הראו קודם כל את הנוסחא–כאשר יש שימוש בנוסחא או בביטוי אלגברי .18 טעות בהצבת המספרים או בחישוב. לאחר מכן הציבו בהם את המספרים בהתאם

".ספריםסתם לזרוק מ"כאשר ברור מקור המספרים תראה אחרת מאשר , התוצאה כשלבוחן לא ברור מקור המספרים הוא עלול לפסול את הבחינה בטענה של

"! חשד להעתקה "

, מנת למצוא זוויות- ניתן לשלב בהוכחה גיאומטרית גם משוואות באלגברה וזאת על .19 . 'שטחים וכו, צלעות

ת הסעיף הראשון במידה ואינכם מצליחים להוכיח א, בשאלה שבה יש שני סעיפים ויותר .20

. את הסעיף הראשון" הוכחתם" נסו להוכיח את הסעיפים הבאים כאילו ). לפחות תצברו חלק מהנקודות(כך אולי תקבלו נקודות על הסעיפים הבאים

משפט לא נכון/ברגע שנעשה שימוש בנימוק, בבדיקת בחינה, כלל-בדרך! שימו לב .21

מאד, לכן) נכונהבמקרהצאה הסופית יצאה גם אם התו (כאן נעצרת בדיקת השאלה . חשוב להיות מדוייקים בטענות ובנימוקים בהם אתם משתמשים

לא לחלק , מרווחת, ברורה, נקייה, אד חשוב לכתוב את ההוכחה בצורה מאורגנת מ .22

. ולזכור שיש מקום גם מעבר לדף" סימני דרך"בלי חיצים של , את הדף לשניים .יש לשים רווח של מספר שורות' להתחלת הוכחת סעיף ב' סעיף א בין סוף הוכחת

. 'וכו" ' ב. ל.ש.מ" , "' א. ל.ש.מ " -:ל סעיף רלוונטי צריך להסתיים ב כ

בוודאי לא מוחבאת, תשובה הסופית יש לכתוב בצורה ברורה בסוף הפתרוןאת ). ואפילו מודגשת במרקר (

".הכבוד הראוי לה" את יש לתת לתשובה הסופית

:יש להדגיש שהאסתטיקה בכתיבת הבחינה .23 אאוט -מבלק" יכולה להפחית מהלחץ ואולי אפילו להוציא, עוזרת בארגון המחשבה. א

.הכל יכולה לעזור בהגעה לפתרון הנכון-ובסך" זמני ובכך מאפשרת לבודק הבחינה להבחין בכל הפרטים שכתבתם ולהבינם טוב יותר. ב

. מונעת הורדת נקודות לחינם

טי ומושך את העיןתהבחינה שאתם מגישים היא כמו מוצר שחייב להיות אס! וכריז

.יבחין בכל פרטיו, הבודק–" הלקוח"מנת ש-על

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

4

עקרונות במשפטי חפיפה ודמיון. ב

. ת כמשפטולא מקבלים בבחינ. צ.ז. ז-מישי הח" משפט החפיפה" יש לשים לב שאת . 1 ידי -על. ז.צ.שימוש בו כמשפט מוריד נקודות ולכן יש להפוך משפט זה למשפט חפיפה ז ).°180 -הזווית השלישית משלימה ל( הוכחה שגם הזווית השלישית שווה בשני המשולשים

. פירושה שהצלע שווה בשני המשולשים" צ" שימו לב שבמשפטי החפיפה האות . 2

. בין הצלעות) יחס(פירושה שיש פרופורציה " צ"האות , במשפטי הדמיון, לעומת זאת שהזווית שווה בשני - גם במשפטי החפיפה וגם במשפטי דמיון -פירושה " ז" האות . המשולשים

. צלעות שוות זוויות שוות ולהיפך מול –במשולש . 3

.ולא בין שני משולשיםמשפט זה נכון כשמדובר באותו משולש עצמו ! שימו לב

" להוציא אותם החוצה", בשאלות בפרופורציה ודמיון יש לפרק את המשולשים הדומים . 4 ולהתאים את הקודקודים ) יהםושיהיה דמיון בינ(לשרטט אותם אחד ליד השני , מהשרטוט . לזוויות השוות המשולשים יש לרשום את אורכי הצלעות והשטחים הידועים על השרטוט המקורי ועל

.לפתרון רישום כזה מאד עוזר לראות מה קיים ואולי גם את הדרך. הדומים שהוצאו

יש לציין את שמו של המשולש אליו, לצורך הבהרה,בשאלות בפרופורציה ודמיוןגם .5 . מתייחסים

ולכן גם הזווית "–יש להתייחס לזווית השלישית בצורה מילולית . ז. במשפט דמיון ז . 6

.או להראות זאת בחישוב מתמטי, " °180 -כי היא משלימה ל, השלישית שווה . נא להתייחס לזווית השלישית– בכל מקרה

:קיימים מספר משפטים בגיאומטריה שבנימוק ניתן לציינם בשמם בלבד. 7

משפט פיתגורס משפט תאלס

משפט חוצה הזווית ארבעת משפטי החפיפה

משפטי הדמיון זווית בין משיק למיתר

משפט תאלס המורחב משפט הפוך למשפט תאלס

.יש לנסח במדוייק, עילשאינם מופיעים בפירוט של, את יתר המשפטים! שימו לב

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

5

: נקודות חשובות לתשומת לב- משפטים בגיאומטריה

. מכירים, למידיםהת, מבוטל של משפטים ואת רובם אתם-בגיאומטריה יש מספר לא

לזכור , ברצוני להסב את תשומת לבכם לנקודות חשובות ולשים דגשים שיוכלו לעזור לכם להבין .ובכך לאפשר לכם לעשות שימוש נכון יותר בהם חלק מהמשפטיםולהכיר טוב יותר

: קיימים ארבעה משפטי חפיפה

)משפטים אלו הינם משפטים שמותר לציין בנימוק את שמם בלבד( צלע, זווית, צלע-צ .ז.משפט חפיפה צ .1 זווית , צלע, זווית-ז .צ.משפט חפיפה ז .2 צלע, צלע, צלע-צ .צ.משפט חפיפה צ .3 זווית, צלע, צלע-. ז.צ.משפט חפיפה צ .4

:).ז.צ.צ (הבהרה לגבי משפט החפיפה הרביעי

:אומר זה משפט

–ל הצלע הגדולה מהשתיים אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזווית שמו" .אז המשולשים חופפים

!שימו לב

השווה אכן נמצאת מול הצלע יש להראות כי הזווית בנוסף לשתי הצלעות השוות והזווית השווה !רק אז המשולשים חופפים! הגדולה מהשתיים :דוגמא

1. AB A B′ ′′ ′′ ′′ )נתון( ====′2. AC A C′ ′′ ′′ ′′ )נתון( ====′3. AB > AC )לא לשכוח) נתון!

4. C C′′′′====∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ )נתון (∢

5. ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′≅≅≅≅△ △△ △△ △△ ).1 - 4ולפי שורות . ז.צ.המשולשים חופפים לפי משפט חפיפה צ ( △

-: ניתן להסיק כיממשפט החפיפה הרביעי

. חופפים–משולשים ישרי זווית השווים ביתר ובאחד הניצבים שני היתר הוא הגדול בין שתי הצלעות השוות והזווית הישרה , °90הזווית השווה בשני המשולשים היא (

).כל תנאי משפט החפיפה הרביעי מתקיימים, לפיכך–היא מול היתר

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

6

-: איהיה לדוגמכאשר משתמשים במשפטי החפיפה הניסוח ".2 ,4 ,7ולפי שורות .צ.צ.צ המשולשים חופפים לפי משפט חפיפה "

צלעות מתאימות במשולשים : "ניתן להשתמש בנימוק, לאחר ההוכחה כי המשולשים חופפים -: הערה )ח"זמב" (זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות: "ובנימוק) ח"צמב" (חופפים שוות

יםסוגי זוויות בין ישרים מקביל

זוויות מתחלפות, זוויות מתאימות: קיימים שלושה סוגי זוויות בין ישרים מקבילים

.צדדיות-וזוויות חד

שבעזרתה ניתן " שיטת החיצים"בנוסף להגדרות המקובלות של זוויות אלו קיימת שיטה הנקראת .ל"לזהות את סוגי הזוויות הנ

":שיטת החיצים"

.ית וכיוונם מקודקוד הזווית החוצה יהיה על שוקי הזווסימון החיצים ).-(כאשר החיצים בכיוונים מנוגדים נסמן , (+) החיצים באותו הכיוון נסמן כאשר

:הזוויות הן או מתאימות או מתחלפות, אם מתקבלת מכפלה חיובית בין הסימנים

(+)�(+) = (+) הזוויות מתאימות כאשר שני הסימנים חיוביים )- (�) -(+) = (שר שני הסימנים שליליים הזוויות מתחלפות כא

.°180 -צדדיות וסכומן שווה ל-הזוויות הן חד, אם מתקבלת מכפלה שלילית

: כאשר החיצים של שני זוגות הישרים המקבילים באותו הכיוון-:זוויות מתאימות

(+) = (+) �(+)

: זוגות הישרים המקבילים בכיוונים מנוגדים כאשר החיצים של שני-:זוויות מתחלפות

) = (+) - (�) -(

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

7

כאשר החיצים של זוג אחד מהישרים המקבילים באותו הכיוון ואילו החיצים של - :צדדיות- זוויות חד :זוג הישרים המקבילים השני יהיו בכיוונים מנוגדים

) -) = (- (�(+)

"זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות: "דוגמאות לניסוח הנימוק "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות "

.����180 -צדדיות בין ישרים מקבילים שווה ל-סכום זוויות חד "

משפטים שחשוב לזכור במיוחד–משולשים .שלושת האנכים האמצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת .1

. את המשולשהחוסםמפגש שלושת האנכים האמצעים במשולש זהו מרכז המעגל

! שימו לב .זווית יהיה באמצע היתר-מרכז המעגל החוסם משולש ישר. א אז הקטעים ממרכז המעגל החוסם לקודקודים , םאם בשאלה נתון מרכז מעגל חוס. ב

לפעמים זוהי בניית . שוקיים- ויוצרים שלושה משולשים שווי, כי הם רדיוסים, שווים .עזר מתבקשת

.שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת .2

. במשולשהחסוםמפגש חוצי הזוויות במשולש זהו מרכז המעגל

אז הקטעים ממרכז המעגל החסום לקודקודים , שאלה נתון מרכז מעגל חסום אם ב !שימו לב .לפעמים זוהי בניית עזר מתבקשת. חוצים את זוויות המשולש

שווה למחצית °30 -הניצב שמול זווית ה: °60 - ו°30זווית שזוויותיו החדות הן -במשולש ישר .3

.היתר

" ריצה" ולהתחיל ב2x - ואת היתר בx - ב°30-לפעמים כדאי לסמן את הצלע מול ה! שימו לב . בשאר הצלעות xעם

אז הזווית שמול ניצב, זווית אחד מהניצבים שווה למחצית היתר- אם במשולש ישר- : וההפוך

.°30 - זה שווה ל

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

8

.זווית שווה למחצית היתר- התיכון ליתר במשולש ישר .4

הוא משולש , צית הצלע אותה הוא חוצה משולש שבו אחד מהתיכונים שווה למח-:וההפוך ).°90ל היא "הזווית שמול הצלע הנ(זווית -ישר

כל שני תיכונים במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול .5

. מהקטע הקרוב לצלע2פי . שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

.עי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה קטע אמצעים במשולש המחבר אמצ .6

חוצה את, קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית- : וההפוך

. הצלע השניה

מקביל לצלע , קטע המחבר שתי נקודות הנמצאות על שתי צלעות במשולש- : הפוך נוסף . הוא קטע אמצעים– למחציתה ה שלישית ושוו

.שת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת שלו .7

חוצי הזוויות והאנכים האמצעיים, התיכונים, הגבהים, במשולש, כאמור! שימו לב .8

). ולא באותה נקודה( נפגשים בנקודה

! נקודת המפגש של כולם תהיה אותה נקודה, צלעות-רק במשולש שווה

/תיכונים/גבהיםכאשר נתונה בשאלה נקודת מפגש של שניים מה, לפעמים אנכים אמצעיים כדאי להשתמש בבניית עזר ולהעביר דרך נקודה זו גם את/זוויות-חוצי

.הקו השלישי

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

9

משפטים נבחרים- מרובעים

המרובעים

כללי .1

ס זהו הבסי. חשוב מאד להכיר את תכונות המקבילית ואת המשפטים הקשורים בה. א . מעוין, ריבוע, מלבן– לצורות הנוספות

להוכיח קודם כל , כלל-בדרך, נצטרך, כאשר מבקשים להוכיח שמרובע למשל הוא מעוין. ב .שהוא מקבילית ובנוסף להוכיח תכונה המייחדת אותו כמעוין ואינה קיימת בכל מקבילית

:תכונות המקבילית .2

.זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזוכל שתי . א . שתי זוויות נגדיות שלו שוות זו לזו הוא מקביליתמרובע שכל. ב .כל שתי צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. ג .מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו הוא מקבילית. ד משפט חשוב ושימושי . האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. ה משפט חשוב ושימושי. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. ו .מרובע ששתיים מצלעותיו הנגדיות גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית . ז משפט חשוב ושימושי

:כונות המלבןת .3

.המלבן הוא מקבילית בעלת זווית ישרה. א .האלכסונים במלבן שווים זה לזה. ב .מקבילית שבה האלכסונים שווים זה לזה היא מלבן. ג

מרובע כלשהו

דלתון

מקבילית

זווית -טרפז ישר ש"טרפז ש

מעוין ריבוע מלבן

טרפז כלשהו

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

10

:תכונות המעוין .4 .מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין .א .מרובע שכל צלעותיו שוות הוא מעוין .ב .אלכסוני המעוין חוצים את זוויות המעוין .ג .שבה אלכסון אחד חוצה זווית אחת הוא מעויןמקבילית .ד .אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה .ה .מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין .ו

.תכונות הריבוע .5

.מעוין בעל זווית ישרה הוא ריבוע. א .מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. ב . שוות וכל זוויותיו שוות הוא ריבועמרובע שכל צלעותיו .ג

:הטרפז .6

. מרובע שבו רק זוג אחד של צלעות נגדיות מקבילות נקרא טרפז- :הגדרה

-:שימו לב שזוג אחד של צלעות ,בהתאם להגדרה , יש להוכיח, מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז- על. א

בדרך כלל שוכחים( מקביל אינות וג השני של הצלעות הנגדיושהז וגם נגדיות מקבילות ). להתייחס לזוג השני של הצלעות ועל כך יכולות לרדת נקודות

במקום להוכיח שהזוג השני של הצלעות אינו מקביל ניתן גם להוכיח כי הבסיסים של . ב אחרת זו ( כיוון שבטרפז הבסיסים לא יכולים להיות שווים שונים המרובע מקבילים אך

). תהיה מקבילית

, )חד צדדיות (180°°°°-סכום הזוויות ליד כל שוק בטרפז שווה ל. ג

.180°°°° - שווה לאינוסכום זוויות הבסיס בטרפז , לעומת זאת

:תכונות טרפז שווה שוקיים .וה שוקיים שוות זו לזוזוויות הבסיס בטרפז שו. א

.טרפז שבו זוויות הבסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. ב .בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. ג

.טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. ד :קטע אמצעים בטרפז

.וה למחצית סכומםקטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושו. א .קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים חוצה את השוק השניה. ב

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

11

משפטים נבחרים–המעגל

.למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות .1 .לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים .2 ית המרכזית המתאימה ואתחוצה את הזוו, אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר .3

.הקשת המתאימה .קטע ממרכז המעגל החוצה את המיתר מאונך למיתר .4 .הזווית המרכזית במעגל גדולה פי שתיים מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת .5

-:והמסקנות ממשפט זה הן .כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. א .°90 -זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל. ב

. נשענת על קוטר°90זווית היקפית בת . ג .זוויות היקפיות שוות נשענות על מיתרים שווים .6 )'א" לב- שימו"ראה . (על מיתרים שווים נשענות זוויות היקפיות שוות .7 .זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות .8 .וות נשענות זוויות היקפיות שוותעל קשתות ש .9

!שימו לב

אך אינן נשענות AC נשענות על המיתר ββββ - וααααשתי הזוויות ההיקפיות שבשרטוט . א

.על אותה קשת ולכן אינן שוות ). בהתאם למשפט מרובע חסום במעגל°180במקרה זה סכומן הוא (

ניתן להתייחס , נחתכים ולהם מיתר משותף) זהים (בעלי אותו רדיוסכאשר שני מעגלים . ב :לזוויות ההיקפיות הנשענות על המיתר בשני המעגלים כזוויות שוות A C====∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ ) שענות על הקשתות הקטנות שבשני המעגליםשתי הזוויות ההיקפיות נ (∢

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

12

משיק למעגל. 10

.°90 -שווה ל, הנפגשים בנקודת ההשקה, )ולקוטר(הזווית בין משיק לרדיוס . א .משיק למעגל, ישר המאונך לרדיוס בקצהו. ב .שווים זה לזה, היוצאים מאותה נקודה, משיקים למעגלשני. ג , הקטע המחבר את מרכז המעגל עם הנקודה ממנה יוצאים שני המשיקים במעגל. ד

). חוצה גם את הזווית המרכזית. ( חוצה את הזווית שבין המשיקים

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד( זווית בין משיק למיתר. ה

הזווית בין משיק למיתר הנפגשים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על . המיתר מצידו השני

.משכונקודת המגע של שני מעגלים משיקים נמצאת על קטע המרכזים או על ה. ו

!שימו לב

קטע המרכזים שווה , כאשר ההשקה מבחוץ. 1

. לסכום הרדיוסים

1 1 22M M R R= += += += +

קטע המרכזים, ניםכאשר ההשקה מבפ. 2 . שווה להפרש הרדיוסים

1 2 12M M R R= −= −= −= −

.נקודת המגע נמצאת על המשכו של קטע המרכזים! שימו לב

בנקודת המגע של שני מעגלים משיקים יש משיק. 3 ,לפעמים, משותף לשני המעגלים ולכן מומלץ

– שבניית העזר תהיה העברת המשיק המשותף . זה יאפשר למצוא את הזוויות בין משיק למיתר

2M

1M

2M

1M

2M

1M

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

13

מרובע חסום במעגל . 11

.°180 -לסכום כל שתי זוויות נגדיות שווה , בכל מרובע החסום במעגל. א אז ניתן לחסום אותו , °180שסכומן , אם במרובע יש זוג אחד של זוויות נגדיות. ב

).חסימה-המרובע בר( במעגל

!שימו לב :ניסוח השאלה יהיה, כלל-בדרך. 1

ABCDהוכח שמרובע "או" ניתן לחסום במעגלABCDהוכח שאת המרובע " .משמעותם של שני הניסוחים זהה". חסימה- הוא בר

.°180של זוויות נגדיות שסכומן ) בלבד( למצוא זוג אחד -: דרך הפתרון

: יש להוכיח שוויון בין שתי זוויות וקשה למצוא את הפתרון לכך, לפעמים . 2 -ו לחפש מעגל חוסם למרובע המכיל את קודקודי הזוויות ולשרטט אותו נס

. אולי תוכלו דרך זוויות היקפיות שוות למצוא את הפתרון

DFCהוכח "- לדוגמא DEC====∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ ∢."

... DEFC חיסמו במעגל את מרובע ניתן , בעלי יתר משותף, זווית- כאשר בשאלה יש שני משולשים ישרי, על אותו רעיון. 3

אולי תוכלו דרך זוויות - לחסום אותם במעגל שמרכזו אמצע היתר ולשרטט אותו . היקפיות שוות למצוא את הפתרון

,אם במרובע כל ארבעת האנכים האמצעיים לצלעות המרובע נפגשים בנקודה אחת .4 אנך אמצעי הוא מקום גיאומטרי של כל (אז הנקודה היא מרכז המעגל החוסם ).ההנקודות שמרחקן מקצות הקטע שוו

F E

C D

B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

14

מרובע חוסם מעגל. 12

. סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השניבמרובע חוסם מעגל. א אז אפשר , אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. ב

. לחסום מעגל במרובע

!שימו לב .ה מכל קודקוד של המרובע יוצאים שני משיקים שווים עד לנקודות ההשק

. ����90 - שווה לAOBכאשר טרפז חוסם מעגל הזווית . ג

מרכז המעגל החסום במרובע הוא מפגש ארבעת חוצי הזוויות של המרובע . ד ).חוצה זווית הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהשוקיים שווה (

לע משוכללמצו. 13

.וכל זוויותיו שוות, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות: הגדרה

).המעגל חוסם את המצולע(כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל . א ).י המצולע"המעגל חסום ע(בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל . ב

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

15

משפטים נבחרים–שטחים

".יחידות שטח"יש לרשום , כאשר אין יחידות בשאלה. 'ר וכו"מ, ר"סמ: יחידות השטח הן

S .שטח המלבן שווה למכפלת צלע אחת בצלע השניה .1 a b= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

)))) -: היקף המלבן הוא ))))P 2 a b= += += += +

2S .ריבוע שווה למכפלת צלע הריבוע בעצמהשטח .2 a==== P -: היקף הריבוע הוא 4a====

a .שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה שלה .3 bS a h b h= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

).ם שוניםלמקבילית שתי צלעות שונות ולכן יש גם שני גבהי! שימו לב(

)))) -: היקף המקבילית הוא ))))P 2 a b= += += += +

a. שטח משולש שווה למחצית המכפלה של צלע בגובה שלה .4 b ca h b h c hS

2 2 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= = == = == = == = =

)ah - הגובה לצלע a(

P -: היקף המשולש הוא a b c= + += + += + += + +

: מקרים מיוחדים

משולשים בעלי בסיס משותף ושהקודקוד השלישי שלהם נמצא על ישר המקביל . א .הם בעלי שטחים שווים, לבסיס משותף זה

שווים ולכן לשלושת המשולשים אותו ) גבהים(בין שני ישרים מקבילים עוברים אנכים

ABC: ומכאןBCהגובה וגם אותו הבסיס EBC DBCS S S∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= == == == =.

.התיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח. ב

וגובה משותף ומכאן נובע BD = DCלשני המשולשים שנוצרו אותו גודל בסיס ABD: שהשטחים שלהם שווים DACS S∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆====

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

16

.שלושת התיכונים במשולש מחלקים אותו לשישה משולשים שווי שטח. ג

.אלכסונים במקבילית מחלקים אותה לארבעה משולשים שווי שטחה. ד . ABC כתיכון במשולש BOאת ניתן לראות

:דרכים נוספות למציאת שטח משולש. 5

ההיקף של המשולש ברדיוס המעגל החסום מחציתשטח משולש שווה למכפלת . אS: במשולש p r= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: כאשרa b c

p2

+ ++ ++ ++ + . הוא רדיוס המעגל החסוםr -ו) היקף המשולשמחצית (====

) :נוסחת הרון (a, b, cשטח משולש באמצעות הצלעות . ב

(((( )))) (((( )))) (((( ))))S p p a p b p c= − − −= − − −= − − −= − − − )p היקף המשולשמחצית (

. שטח טרפז שווה למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה. 6 (((( ))))a b h

S2

++++====

!שימו לב . שטחים שווים– למשולשים חופפים אך, משולשים חופפיםאין פירושושטחים שווים

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

17

:שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית מכפלת האלכסונים זה בזה. 7

1 2k kS

2

⋅⋅⋅⋅====

). ריבוע ודלתון הינם מרובעים שאלכסוניהם מאונכים זה לזה, מעוין(

2S: ידי הנוסחא- ניתן עלRשרדיוסו ) S(שטח עיגול . 8 R==== ππππ

P: ידי הנוסחא- ניתן עלRשרדיוסו ) P(היקף מעגל . 9 2 R==== ππππ

!בשימו ל :מומלץ, בשאלות בנושא שטחים כאשר מבקשים להוכיח שוויון בין שני שטחים לבדוק מאילו צורות הנדסיות מורכב כל שטח ולחפש צורות משותפות לשני השטחים ואז ניתן . א ". מה שנשאר" לפשט את הבעיה ולהוכיח את

.בסיסים שווים/לחפש צלעות שוות . ב .בעיקר בין ישרים מקביליםוגבהים שווים לחפש . ג

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

18

משפט פיתגורס

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(

זווית סכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע הבנוי על -בכל משולש ישר . היתר

2 2 2a b c+ =+ =+ =+ =

!שימו לב הצלעות הקטנות יותר(שווה לסכום ריבועי הניצבים ) הצלע הגדולה במשולש(היתר בריבוע

).במשולש

:משפט הפוך למשפט פיתגורס .זווית-אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית אז המשולש הוא ישר

).הזווית הישרה מול הצלע הגדולה(

:במשפט פיתגורסאחדים יםימושש :מציאת אורך אלכסון של ריבוע .1

BDC משפט פיתגורס במשולש

2 2 2 2k a a 2a

k a 2

= + == + == + == + =

====

מציאת גובה במשולש שווה צלעות. 2

ADC משפט פיתגורס במשולש

2 22 2 a 3a

h a2 4

a 3h

2

= − == − == − == − =

====

הקפידו נא– על איזה משולש חל משפט פיתגורס נובשתי הדוגמאות שלעיל הבהר! שימו לב .זה נדרש בבחינות ומאפשר לכם ולבוחן מעקב טוב יותר אחר מהלך הפתרון – לעשות זאת

B D

C

C a

b c

A

B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

19

משפטים נבחרים–פרופורציה ודמיון

)ה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבדמשפט ז (משפט תאלס. 1

.שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים

AB AC

BD CE====

:'והרחבה ב' הרחבה א-ותלמשפט תאלס יש שתי הרחב. א

.BC ,DEמשתמשים כאשר רוצים להתייחס לצלעות האופקיות המקבילות ' בהרחבה א

AB AC BC

AD AE DE= == == == =

" אמה במשולש הגדולצלע במשולש הקטן חלקי צלע בהת: "מנת לזכור ביתר קלות- על

BC װ ED ": שעון חול"משתמשים כאשר יש צורה של ' בהרחבה ב

BA CA BC

AD AE ED= == == == =

"צלע חלקי ההמשך שלה: "מנת לזכור ביתר קלות- על

.ניתן לשלב בין משפט תאלס והרחבותיו. ב

E D

B C

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

20

ואת" שוקי הזווית"יש לחפש בשרטוט את , כאשר נתונה שאלה בפרופורציה ודמיון. ג ".שעון החול "

:לדוגמא EF װ AB -:תון טרפז ונתון שנ

: מהשרטוט" שוקי הזווית"ו" שעון החול"את " נוציא", להבהרה

" שעון חול"

"שוקי הזווית"

!שימו לב

.'יש להשתמש בהרחבה א, EO ,FO בצלעות האופקיות המקבילות כאשר משתמשים

מתקיים BDCבמשולש : לדוגמאFO BO

CD BD====.

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

21

:ןת עזר שיש להכיר הובני. ד

BE װ CD: העברת קו מקביל לאחת השוקיים ידי-הפיכת טרפז למקבילית ומשולש על) 1 ".שוקי זווית"וכעת יש

".שוקי זווית" וכעת יש ACהעברת האלכסון ) 2

)משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(: משפט הפוך למשפט תאלס. 2

.שני ישרים המקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציוניים מקבילים זה לזה )משפט זה הוא משפט שמותר לציין בנימוק את שמו בלבד(משפט חוצה הזווית .3 חלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחסחוצה זווית במשולש מ .שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית

BD AB

DC AC====

אז גם בין, )DC(חלקי קטע ימין ) BD( אם בחרתם קטע שמאל -:יש לשים לב לכיוון. א ).AC(חלקי צלע ימין ) AB( הצלעות הכולאות את הזווית יש לבחור צלע שמאל ).כיוון/אותו סדר (

– "להידלק אצלכם נורה" אמורה –" חוצה זווית"כאשר בשאלה מופיעה המילה . ב

. אולי אפשר להשתמש במשפט חוצה הזווית, כלומר

D

C B

A

α αα αα αα α

B D

C

A

C

D E

B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

22

!יש לדעת להוכיח את משפט חוצה הזווית. ג AC = AE -מוכיחים ש, AD המקביל לחוצה הזווית CE מעבירים כבניית עזר קו –הרעיון ומשתמשים ) שווה שוקייםACEמשולש (בעזרת זוויות מתאימות ומתחלפות

: BECבמשפט תאלס במשולש

BD BA

DC AE: ולכן====

BD BA

DC AC====

משפט הפוך למשפט חוצה הזווית. 4

וד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים המתייחסים זה לזה המחבר קודק קטע . חוצה את זווית המשולש– כמו היחס שבין שתי הצלעות האחרות

משפט חוצה זווית חיצונית. 5

שהיחס בין הקטע, חוצה זווית חיצונית למשולש מחלק את הצלע שמול הזווית הפנימית כך לבין המשכה של הצלע שווה ליחס שבין הצלעות הכולאות את , והמשכה המכיל את הצלע . הזווית הפנימית

BD BA

DC AC====

! שימו לב

של חוצה אך הנוסחא היא אותה נוסחא ) ABCממשולש " (יצאה החוצה "Dהנקודה . זווית פנימית במשולש ולכן קל לזכור אותה

המקביל CEמנת להוכיח את משפט חוצה זווית חיצונית מעבירים כבניית עזר קו - על ).כמו שעשינו בהוכחת משפט חוצה זווית פנימית (AD לחוצה הזווית

משפט הפוך למשפט חוצה זווית חיצונית. 6

ומחלק את הצלע שמול הקודקוד חלוקה חיצונית ביחס ישר העובר דרך קודקוד של משולש . חוצה את הזווית החיצונית שליד הקודקוד– השווה ליחס שבין שתי הצלעות האחרות

αααα

αααα

α αα αα αα α

E

A

B D

C

αααααααα

D C

B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

23

משולשים דומים

:הגדרהשלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה וקיים יחס שווה בין שלושת שני משולשים נקראים דומים אם

.זוגות הצלעות המתאימות

!שימו לב .ישר המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש הדומה לו

)השימושיים (משפטי הדמיון. 1

אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות –. צ.ז.משפט דמיון צ. א

. והזווית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זווית אז המשולשים –. ז.משפט דמיון ז. ב

יש להתייחס גם לזווית השלישית מילולית או , כאמור. ( דומים ). מתמטית אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שלושת זוגות הצלעות –צ .צ.משפט דמיון צ. ג

.אז המשולשים דומים, המתאימות

קטעים מתאימים במשולשים דומים. 2

הרדיוסים של, הרדיוסים של מעגלים החוסמים, התיכונים, חוצי הזוויות, ההיקפים ,הגבהים .כיחס הצלעות המתאימות מתייחסים זה לזה – במשולשים דומים מעגלים החסומים

שטחי משולשים דומים. 3

. שבין הצלעות המתאימותכריבוע היחס של משולשים דומים מתייחסים זה לזה השטחים

!שימו לב

. צלעות המתאימותכריבוע יחס ה ההתייחסות היא השטחים כשמדובר ביחס . הצלעות המתאימותכיחס ההתייחסות היא בקטעים כשמדובר

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

24

יש לדעת להוכיח את המשפטים בנושא קטעים מתאימים במשולשים דומים ושטחי משולשים . 4

). לעיל3- ו2סעיפים ( דומים

. שרטוט נפרד לכל הוכחת משפט יש לשרטט -! זיכרו

:ות דוגמא

".הוכח שבמשולשים דומים יחס הגבהים הוא כיחס הצלעות המתאימות. " א

ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼ AD ,A D′ ′′ ′′ ′′ . גבהים′

: ל"צ AD AC

A D A C====

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′

: הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון( ∽∽∽∽∆

2 (AB AC BC

A B A C B C= == == == =

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ .)1 לפי – מתאימות הבמשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות (

3 (C C′′′′====∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ .)1לפי - במשולשים דומים הזוויות שוות בהתאמה ( ∢

4 (ADC A D C 90′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′= == == == = ����∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ .)נתונים גבהים( ∢

5 (CAD C A D′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′====∢ ∢∢ ∢∢ ∢∢ ). וזו ההתייחסות לזווית השלישית– °180 - הזווית השלישית משלימה ל( ∢

6 ( ADC A D C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ . )4, 3לפי ו.ז.לפי משפט דמיון ז (∽∽∽∽∆

7 (AD AC

A D A C====

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ .)6לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

.ל.ש.מ) 8

D′′′′

C′′′′

B′′′′

A′′′′

D C B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

25

".הוא כיחס שבין הצלעות המתאימותהוכח שבמשולשים דומים יחס ההיקפים . "ב ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼

ABC: ל"צ

A B C

P BC

P B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====′ ′′ ′′ ′′ ′

△△△△

△△△△

:הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון (∽∽∽∽∆

: נסמן) 2

m - הדמיון( יחס הפרופורציה( P - היקף משולש

3 (AB AC BC

mA B A C B C

= = == = == = == = =′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

4 (ABCP BC AC AB= + += + += + += + .)ABCהיקף משולש (△△△△+

5 (A B CP B C A C A B′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′= + += + += + += + Aהיקף משולש (△△△△+ B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′(.

6 ((((( ))))ABC A B CP ma mb mc m a b c m P ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅= + + = + + = ⋅△ △△ △△ △△ . )5, 4, 3לפי ( △

7 (ABC

A B C

Pm

P ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====△△△△

△△△△

).6לפי (

8 (ABC

A B C

P BCm

P B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

= == == == =′ ′′ ′′ ′′ ′

△△△△

△△△△

. )7, 3לפי (

.ל.ש. מ) 9

c b

a

mc mb

ma C′′′′

B′′′′

A′′′′

C B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

26

".הוכח שבמשולשים דומים יחס השטחים הוא כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות" . ג

ABC: נתון A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆∼∼∼∼

: ל"צ

2

ABC

A B C

S BC

S B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

==== ′ ′′ ′′ ′′ ′ △△△△

△△△△

: הוכחה

1 (ABC A B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ) נתון (∽∽∽∽∆

:נסמן) 2 m -יחס הפרופורציה

ADו - A D′ ′′ ′′ ′′ ).כבניית עזר( גבהים - ′

3 (AB AC BC

mA B A C B C

= = == = == = == = =′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים קיים יחס שווה בין הצלעות המתאימות(

4 (AD BC

mA D B C

= == == == =′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′

.)1לפי - במשולשים דומים יחס הגבהים הוא כיחס הצלעות המתאימות(

5 (A B C

B C A DS

2′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′⋅⋅⋅⋅Aשטח משולש (△△△△==== B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′(.

: נקבל5, 4, 3לפי ) 6

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2

2ABC A B C

m B C m A D m B C A DBC ADS m S

2 2 2′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅= = = = ⋅= = = = ⋅= = = = ⋅= = = = ⋅△ △△ △△ △△ △

7 ( 2ABC

A B C

Sm

S ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

====△△△△

△△△△

).6לפי (

8 (

2

ABC

A B C

S BC

S B C′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′

==== ′ ′′ ′′ ′′ ′ △△△△

△△△△

).7- ו3לפי (

.ל.ש.מ) 9

D′′′′

C′′′′

B′′′′

A′′′′

D C B

A

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

27

משפטים–זווית -פרופורציה במשולש ישר

)ובעזרת פירוק המשולשים (.ז.בעזרת משפט דמיון זהוכחת המשפטים הבאים תעשה

זווית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד מהם-הגובה ליתר במשולש ישר .1

)ααααשים הקיימים יש זווית ישרה וזווית לכל שלושת המשול. (דומה למשולש המקורי

.זווית הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר-הגובה ליתר במשולש ישר .2

AD BD

CD AD : ולכן====

2AD BD DC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: 2משפט הפוך למשפט .3 , ם הגובה לאחת הצלעות במשולש הוא הממוצע ההנדסי של היטלי שתי הצלעות האחרותא . זווית-אז המשולש ישר

.זווית הוא הממוצע ההנדסי של היתר והיטלו של ניצב זה על היתר-ניצב במשולש ישר .4

AB BD

BC AB : ולכן====

2AB BD BC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

A

C

A

αααα

αααα

D B

αααα αααα

C

D A D B

A

αααα αααα

C

B A D B

A

"פירוק המשולשים"

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

28

משפטים–פרופורציה במעגל

.קיימים שלושה משפטים בנושא זה ויש לדעת להוכיח משפטים אלה

כאן מובאות התשובות (ובעזרת פירוק המשולשים . ז. משפט דמיון זאמצעותבההוכחה נעשית .בניות העזר להוכחת המשפטים משורטטות בקווקוו). הסופיות בלבד

גלשני מיתרים הנחתכים במע .1

מחלקים זה את זה כך שמכפלת , שני מיתרים הנחתכים במעגל .קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

הוכחת המשפט מסתמכת על זוויות היקפיות .נשענות על קשתות שוות וזוויות קודקודיות שוותה

ACE DBE∼∼∼∼△ △△ △△ △△ AE: ולכן אחרי הפירוק△ EB DE EC⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

: הערה , אם שני קטעים נחתכים ומכפלת חלקי הקטע האחד שווה למכפלת חלקי הקטע האחר )C, B, D, Aבנקודות . (אז ניתן להעביר מעגל דרך ארבעת קצות שני הקטעים

שני חותכים למעגל .2

ם שני חותכים מאותה נקודה אז מכפלתאם למעגל יוצאי למכפלת החותך השני חותך אחד בחלקו החיצוני שווה .בחלקו החיצוני

. הוכחת המשפט מסתמכת על מרובע חסום במעגל

ABC ADE∼∼∼∼△ △△ △△ △△ AD : ולכן אחרי הפירוק △ AC AE AB⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅⋅ = ⋅

שיקחותך ומ .3

אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני .קבוע ושווה לריבוע המשיק זהו גודל

) למעגלAמנקודה התוצאה תהיה קבועה לכל החותכים היוצאים(

.הוכחת המשפט מסתמכת על זווית בין משיק למיתר

ACB ABD∼∼∼∼△ △△ △△ △△ 2AB: ולכן אחרי הפירוק△ AD AC= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

: הערה חייב לחתוך אתוהוא, מוצא החותך בנקודה מחוץ למעגל . המעגל בשתי נקודות

ך שיהפוך את המעגל בשתי נקודות ניתן להאריך אותו כ במידה ויש קטע שאינו חותך .לחותך

מאיר בכורכל הזכויות שמורות ל ©

29

..)ולא משפטי דמיון(משל על משפטים ודמיון

. ועל גבו שק מלא חיצים" חליפת מגן"דמיינו לכם צייד שיוצא לציד לבוש ב

הצייד בוחר את החץ הנכון ). לזמן קצוב( המטרה נייחת –הצייד רואה מטרה

. והמתאים לפגיעה במטרה

.זמנית-את המטרה עליו להשתמש בכמה חיצים בו" לחס"מנת ל-על, לפעמים

, התלמידים, הצייד הוא כל אחד מכם

,חליפת המגן היא הידע שרכשתם במשך השנים

, הנימוקים בגיאומטריה/החיצים שבשק הם המשפטים

. והמטרה היא כל שאלה שאתם נדרשים לפתור

לזהות ולמשוך כך יהיה לכם קל יותר , ככל שתתרגלו את הפגיעה במטרות

- פתרון השאלות –המשפטים המתאימים והפגיעה במטרות /את החצים מהשק

). יש לכם זמן קצוב לפתרון כל שאלה(מדוייקת יותר ומהירה יותר , תהיה קלה יותר

! ובבחינותבהצלחה בציד

כעת אתם יכולים וצריכים לדרוש מעצמכם יותר

!!!בהצלחה