مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

12
١ ﻣﻘﺮر ر ﺿﻴ ت اﻟﻔﺼ اﻟﺜﺎ ﻞ اﻟﺪرا٢٠١٥ ى اﻟﺜﺎﻧﻮ ول ﺎﺿﻴﺎت اﻟﺼﻒ ر إﻋﺪاد/ ﺲ ﻣﺤﻤﺪ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻠﺸﮫ ﻣﺤﻤﺪن ﻣﻌﻠﻤ ﻛﺒ- ﺎﺿﻴﺎت ﺗﻮﺟﻴﮫ اﻟﺮ" ﺳﺎﺑﻘﺎ" ﺎب اﳌﺜﻠﺜﺎت ﺮوﺣﺴـﺒـ اﻨﺪﺳـ اﻟ ـ ﺔ اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ اﻟﺜﺎ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺪرا٢٠١٥

Upload: yassin-balja

Post on 21-Jul-2016

249 views

Category:

Documents


14 download

DESCRIPTION

ملخص سريع لمراجعة المقرر

TRANSCRIPT

Page 1: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

١

ل�الدرا����الثا�ىالفص تاضيا�ر مقرر

٢٠١٥

ر�اضيات�الصف��ول�الثانوى محمد��س�محمد�محمد�بلشھ/ إعداد�

"سابقا"توجيھ�الر�اضيات�- كب���معلم�ن�

ــــر�وحســــــــــــــــــــــــــاب�املثلثات� ٢٠١٥الفصل�الدرا����الثا�ى��–ــــة�التحليليةال�ندسـ�–ا��بـــــــــــــــــــــــــ

Page 2: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٢

ــــاب�املثلثات� ـــ ـ ــ ــ ـــ ـــ ـــ ــ ـ ـــر�وحســ ـــ ــ ـ ــ ـ ــ ـ ــ ــ ـــ ـــ ـــ ٢٠١٥الفصل�الدرا����الثا�ى��–ا��بـ

sMatrice:ملصفوفاتا١ الوحدة الوحدة أ�داف

:أن ع�� قادرا الطالب ي�ون أن املتوقع من الوحدة ��اية ���

.ونظم�ا املصفوفة مف�وم يتعرف

.ا��اصة فوفاتاملص �عض يتعرف

ة�املتماثل وشبھ املتماثلة املصفوفة- الوحدة مصفوفة - القطر�ة املصفوفة - املصفوفة�الصفر�ة - املر�عة املصفوفة - العمود مصفوفة�-الصف مصفوفة(

.(

ا يضرب . مصفوفة �� حقيقيا عدد

.مصفوفت�ن �ساوى يتعرف

.املصفوفة مدور يوجد

.املصفوفات ع�� بوالضر والطرح ا��مع عمليات يجرى

.املتاحة ال��مجيات باستخدام تتضمن�مصفوفات ال�� املشكالت �عض حلول ��ة من يتحقق

.املصفوفات باستخدام ا��ياتية املشكالت �عض ينمذج

.أخرى مجاالت �� املصفوفات استخدام يوظف

الثالثة والرتبة الثانية الرتبة من املصفوفة محدد يتعرف

املثلثية الصورة ع�� املحدد قيمة يوجد

. ٢ ×٢ الرتبة من املر�عة املصفوفة مع�وس يوجد

.املصفوفة مع�وس باستخدام آن�ت�ن معادلت�ن يحل

.كرامر بطر�قة املعادالت يحل

.املحددات باستخدام املثلث مساحة يوجد

الوحدة م��ص

لعناصر يرمز كما .الكب��ة ا��روف باستخدام و�رمزل�ا قوس�ن، ب�ن كتبوت وأعمدة صفوف �� )أعداد أو متغ��ات( العناصر من لعدد ترت�ب �� املصفوفة

املصفوفة� داخل العنصر أ الصورة ع�� كتابتھ يمكننا فإنھ ع والعمود ص الصف �� يقع الذى العنصر عن التعب�� أردنا وإذا الصغ��ة، با��روف املصفوفة

ع صأ�

.اعمد��ا دعد �ساوى صفوف�ا عدد مصفوفة �� :املر�عة املصفوفة

. �عمدة من عدد وأى واحد، صف ع�� تحتوى مصفوفة �� :الصف مصفوفة

.الصفوف من عدد وأى واحد عمود ع�� تحتوى مصفوفة �� :العمود مصفوفة

.أصفار عناصر�ا جميع مصفوفة �� :الصفر�ة املصفوفة

.للصفر مغايرا �قل ع�� أحد�ا فت�ون الرئ���� لقطرا عناصر عدا ما اصفار، عناصر�ا جميع مر�عة مصفوفة �� :القطر�ة املصفوفة

.I بالرمز ل�ا و�رمز ، الواحد مساو�ا الرئ���� القطر عناصر �ل ف��ا ي�ون قطر�ة، مصفوفة ��: الوحدة مصفوفة

. م�ساو�ة املتناظرة وعناصر�ا النظم نفس ل�ا ال�� املصفوفات �� :امل�ساو�ة املصفوفات

ال��ت�ب، بالصفوف�بنفس و�عمدة باألعمدة، الصفوف اس�بدلنا إذا�ن ×م النظم أ�ع�� صفوفةم أى �� :املصفوفة مدور

ا =مد )مد ا(،�مد ا ل�ا املصفوفة�و�رمز مدور و�س�� م × ن النظم من مصفوفة ع�� نحصل فإننا

مد ا = ا �انت إذا :ماثلةاملت املصفوفة وفقط إذا متماثلة �س�� فإ��ا مر�عة، مصفوفة أ �انت إذا:املصفوفة�املتماثلة

مد ا - = ا :�انت إذا وفقط املتماثلة�إذا شبھ املصفوفة أ املصفوفة �س�� متماثلة شبھ:املصفوفة�شبھ�املتماثلة

.طرح�ا أو املتناظرة العناصر بجمع وذلك ، النظم نفس ل�ما �ان إذا املصفوفات طرح أو جمع يمكن

Page 3: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٣

. العدد �ذا �� املصفوفة عناصر من نصرع �ل ضربا ، ك حقيقى عدد �� مصفوفة لضرب

.املصفوفةالثانية �� الصفوف عدد �ساوى �و�� املصفوفة �� �عمدة عدد �ان إذا مصفوفت�ن ضرب يمكن

ا املصفوفت�ن من �ل ت�ون ا مع�وس� . Iالوحدة مصفوفة �و ضر��ما حاصل �ان إذا لألخرى ضر�ي�

.فيھ املعادلة نضرب�طر�� ثم املعامالت، ملصفوفة الضر�ى املع�وس نوجد ،ب =ا سسالصورة� ع�� مصفوفية معادلة ��ل

:Matrices املصفوفات

مصفوفات �� البيانات تنظيم ) :١ - ١( الدرس

١٢ )د( ٩)ج( ٦)ب( ٣)ا( : �ساوى �اعناصر عدد فإن�٣×٣النظم ع���ااملصفوفة �انت إذا -١

:فإنھ�يمكن�إجـراء�العملية��تية�١×٣مصفوفة�ع���النظم�مد ب،��٣×١النظممصفوفة�ع����اإذا��انت� -٢

ب ا) د ( مد� ب ا) ج( مد ا + مد� ب) ب(ب + ا) ا(

النظم ع�� ت�ون ب افإن�املصفوفة�٣× ١النظم� ع�� مصفوفة مد ب ،٣× ٢إذا��انت�أ�مصفوفة�ع���النظم��– ٣

٢× ١) د( ١× ٢)ج( ١× ٣) ب( ٣× ٣) ا(

.املصفوفات وطرح جمع�) :٢ -١( الدرس

�: �ان إذا�ء،�ج ،ب ،ا أوجـد -٤ ٣ ٢ �١ � ٤

ب� + � ا

ء ج�= �٠ ١

٣ ٢�

. املصفوفات ضرب ) :٣ -١( الدرس

�٤= مد ا �ان إذا -٥ � ٢٣ ٤

�=٢І+ ا٥ -٢افأث�ت�أن��

�٢=صص �انت� إذا -٦ ١ �٣ ٠

�= І ٣- صص٢-٢صص :أن �تفأث��

. املحددات ) :٤ -١( الدرس

�٢إذا��ان� - ٧ ٢س

٣ ٤ ٣ ٥)د( ٤)ج( ٣)ب( ٢ )ا( :�ساوى س فإن ١٠ = �

)٣��،٢) (د( ) ٢�،٣) (ج( )٢��،١)(ب( )١��،٢)(ا( : �� ٧ = ص٢ + س ٣، ١ = ص٣ - س٢املعادلت�ن� حل مجـموعة�-٨

�: املعادلة تحقق ال�� س يمق أوجـد -٩٠ ٠ س

س س ١

س ٢ ٥

� =٣

٥ = ص٢ + س ، ٣ = ص٣ - س٢ :كرامر طر�قة باستخدام التالية ا��طية املعادالت نظام حل -١٠

.املحددات باستخدام) ٥،� ٢-( ،) ١،� ٣( ،) ٢،� ٤- (رؤوسھ الذى املثلث مساحة أوجـد -١١

. فةللمصفو الضر�ى املعكوس ) :٥ -١( الدرس

�٤ ٢١ ٣

�.

١� �س

�٢× ا العالقة تحقق ال���ا املصفوفة أوجـد�-١٢ ٢ �٣ ٤

� = �٢٣ ١٢١٣ ٨

Page 4: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٤

٢٣ = ص٤ + س٣ ، ٤ = ص٣ - س٢ .املصفوفات باستخدام التالية ا��طية املعادالت نظام حل -١٣

Linear Programing ا���� الوحدة٢:�ال��مجة�ا��طية

الوحدة أ�داف

:أن ع�� قادرا الطالب ي�ون أن املتوقع من الوحدة ��اية ��

ا تمثيل�ا��ل مع واحد مج�ول �� �و�� الدرجة من متباينات يحل .بياني�

ا ا��ل منطقة وتحديد مج�ول�ن �� �و�� الدرجة من متباينات يحل .بياني�

ا ا��طية املتباينات من نظام يحل .بياني�

.ا��طية املتباينات أنظمة ع�� حياتية مسائل يحل

.حياتية ر�اضية مشكالت حل �� ا��طية ال��مجة �ستخدم

ا ا��ل منطقة يحدد ثم متباينات�خطية، صورة �� ل�ا البيانات و���جم مناسب، جدول �� حياتية ر�اضية مش�لة بموضوع خاصة معلومات يضع .بياني�

.لدالةال�دف �مثل ا��ل وإعطاء ا��ل، مجموعة إ�� ت�ت�� ال�� . النقط تحديد مع �حداثيات، بداللة ال�دف دالة �ع�ن

الوحدة م��ص

Linear inequality in two unknownsمج�ول�ن �� ا��طية املتباينة

بي��ما والفرق مج�ول�ن، �� �و�� الدرجة من ا��طية املعادلة �شبھ مج�ول�ن �� �و�� الدرجة من املتباينة

نةاملتباي رمز وضع �و معادلة �� +١ س =٥ ص،ص ،س مج�ول�ن �� خطية متباينة �� +١ س >٥ ص :فمثال ال�ساوي، رمز وضع من بدال

.��ا مرتبطة خطية

solving a system of Linear inequalities حل�نظام�من�املتباينات�ا��طية

ن �و نرسم ا��طية، املتباينات من نظام حل جادوإلي ا��طية، املتباينات من نظاما أك�� أو خطيتان متباي�تان ت

.��يحة املتباينات جميع ف��ا ت�ون ال�� �� ا��ل ومنطقة متباينة، �ل

rammingLinear pro ا��طية ال��مجة

أقل تحقيق ثلم مع�ن، �دف لتحقيق ا��الألمثل إ�� الوصول حياتيةأو مش�لة ��ل قرار أفضل إ�� الوصول من تمكننا ر�اضية طر�قة ا��طية ال��مجة

:خالل من ذلك تحقيق و�مكن الدراسة، محل املش�لة أو والسوق آلياتاإلنتاج وقيود �شروط �ل��ام مع مع�ن ملشروع ر�ح أع�� أو ت�لفة

.خطية متباينات نظام صورة �� ووضع�ا القيود ع�� للتعرف املش�لة أو املوقف تحليل ١-

ص ب + س اخطية� صورة �� ال�دف دالة تحديد ٢-

.املش�لة حل فضاء تحديد ٣-

.ال�دف دالة تحقق ال�� ا��ل فضاء من القيم أو القيمة عن البحث ٤-

:Linear Programming ا��طية ال��مجة

.ا��طية املتباينة ) :١ -٢( الدرس

:���٣≥ص + س ، ١ > ص ، ٢ > س :�تية املتباينات حل مجـموعة إ�� ت�ت�� ال�� النقطة -١

) ١�،٣) (د( ) ٣��،٢) (ج( ) ١��،٢) (ب( )١،� ٢) (ا(

�� ٦ < ص٣ + س ، ٤ < ص + س٠��،٢≥،��ص��٠≥ س�:�تية املتباينات حل مجـموعة إ�� ت�ت�� ال�� النقطة�-٢

) ١�،١) (د( ) ٢��،٣) (ج( ) ٣��،٠) (ب( )٣- ،��١) (ا(

:���٣≥ص + س ، ١ > ص ، ٢ > س�:�تية املتباينات حل عةمجـمو إ�� ت�ت�� ال�� النقطة – ٣

) ١�،٣) (د( ) ٣��،٢) (ج( ) ١��،٢) (ب( )٣��،١) (ا(

يانبيا ا��طية املتباينات من أنظمة حل ) :٢ -٢( الدرس

:القيود تحتص + س٢=رال�دف� لدالة العظ�� القيمة أوجـد -٤

٨- ≥ ص + س٤ -، ١٨ ≤ص٣ + س٠،٢ ≥ س ، ٠ ≥ ص

Page 5: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٥

ن -٥ ا �تية املتباينات حل مجـموعة ع� ١٤≤ص٤ + س٧�،٣≤ص٣ + س،��٠≥ص ،���٠≥ س :بياني�

.يمكن ما أك�� ص ٥٠ + س ٣٠=ر :الدالة قيمة تجـعل ال�� ص ،س قيم ا��ل مجـموعة من أوجـد ثم

.�مثل وا��ل ا��طية ال��مجة ) :٣ -٢( الدرس

الثا�ى والنوع .الني�ل من وحدات ٤النحاس، من وحدة ٢٥ إ�� يحتاجـ �ول النوع املوسيقية، النفخ آالت من نوع�ن املصا�ع ي�تج�أحد - ٦

وحدة ٣٢ الني�ل ومن وحدة ٩٥ النحاس من املصنع �� املتاحة الكمية الني�ل،�فإذا��انت من وحدات ٨ النحاس، من وحدة ١٥ إ�� يحتاج

نوع؛ �ل من املصنع أن�ي�تجـ�ا ال���يجـب �الت عدد فما .جـن��ا ٤٨ الثا�ى النوع من �لة �� والر�ح جـن��ا ٦٠ ول � النوع �لة�من �� الر�ح و�ان

.ر�ح أك�� يحقق ح��

Trigonometry املثلثات حساب ٥ الوحدة

الوحدة أ�داف

:أن ع�� قادرا الطالب ي�ون أن املتوقع من الوحدة ��اية ��

.املثلثية الدوال ب�ن �ساسية قاتالعال �ست�تج

. املثلثية الدوال ع�� متطابقات ��ة يث�ت

[ ٠��،٢[ الف��ة �� العامة الصورة �� �سيطة مثلثية معادالت يحل

.املثلثية للمعادلة العام ا��ل يتعرف

.الزاو�ة القائم املثلث يحل

.و�نخفاض �رتفاع زوايا �شمل تطبيقات يحل

.مساحتھ إيجاد وكيفية الدائرى قطاعال يتعرف

.مساح��ا إيجاد وكيفية الدائر�ة القطعة يتعرف

.املنتظم املضلع ومساحة الر�ا�� الش�ل ومساحة املثلث مساحة يوجد

.املثلثات حساب ع�� متنوعة مسائل يحل

.املثلثات �ساب� �ساسية للمفا�يم املتعددة التطبيقات ع�� التعرف �� املعلومات تكنولوجيا �ستخدم

.مثلثية بدوال تمثل وال�� وا��يو�ة الف��يائية الظوا�ر �عض ينمذج

.��� ا��اسب ل��امج أ�شطة �ستخدم

الوحدة م��ص

.امل�ساو�ة طر�� من طرف �ل بھ �عرف والذى ا��قيقية املتغ�� قيم ��ميع ��يحة م�ساو�ة �� :املتطابقة

١ : فيثاغورث متطابقات � θ .اتج٢

� θ .جا٢

، θ .قا٢

� θ .ظا٢

� ١ ، θ .قتا٢

� θ .اتظ٢

� ١ .م�ساو�تان لطرف��ا املحددت�ن الدالت�ن أن نث�ت مثلثية متطابقة ��ة إلثبات :متطابقة ��ة إثبات

.يحقق�ا ال �خرالذى ضللبع ��يحة وغ�� امل�ساو�ة �ذه تحقق ال�� ا��قيقية �عداد لبعض ��يحة م�ساو�ة �� :املعادلة

ا ا��سم من البادئ الشعاع مع �فقى الشعاع اتحاد �� �نخفاض أو �رتفاع زاو�ة�:�نخفاض وزاو�ة �رتفاع زاو�ة .الراصد �ع�ن مار�

.)بالتبادل( �نخفاض زاو�ة قياس = �رتفاع زاو�ة قياس

. وقوس قطر�ن بنصفى محدودة الدائرة سطح من جزء �و : الدائرى القطاع

.θ = الدائرى القطاع مساحة ء

نق١

٢.

٢ ) القطاع زاو�ة ءθدائرتھ�، قطر نصف نقحيث�(

Page 6: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٦

.س= الدائرى القطاع مساحة∘

٣٦٠..سحيث�( مساحة سطح الدائرة × ∘

∘ ) بالدرجات��القطاع زاو�ة

.القوس ذلك ب��اي�� مار ووتر ف��ا بقوس محدود الدائرة سطح من جزء �� : دائر�ةال القطعة

� إ�θ =القطعة مساحة θ�. ء

نق١

٢.

٢ )دائر��ا قطر نصف ،نق�طول للقطعة املركز�ة الزاو�ة قياسθ حيث(

= املثلث مساحة١

٢ =�رتفاع× القاعدة طول

١

٢ .بي��ما املحصورة الزاو�ة جيب × ضلع�نأى��طو�� ضرب حاصل

= الر�ا�� الش�ل مساحة١

٢ .بي��ما املحصورة الزاو�ة جيب × طو���القطر�ن ضرب حاصل

= املنتظم الش�ل مساحة١

٤ظتا��٢س ن

ن ) الضلع طول س ، املضلع أضالع عدد ن حيث�(

Trigonometry املثلثات حساب

املثلثية املتطابقات : )١-٥(الدرس

θ للمقدار صورة أ�سط -١ .اتظ٢

� θ )ا: (�� ١ .جا٢

θ )ب( .اتج٢

θ )ج( .قاθ )د( ٢ .قتا

٢

: املتطابقة ��ة أث�ت -٢ظا س جـتاس

قتاس س٢جـتا- ١=

: املتطابقة ��ة أث�ت�- ٣ ظتا جـ

ـج � ١ ٢. ظتا جـ جـتا × جـ جـا =

املثلثية املعادالت حل : )٢-٥(الدرس

°} ٣١٥ ) {د °} ( ٢٤٠ { )ج( }° ٢٢٥ {)ب( °}٢١٠ {)ا(�ساوى ° ٣٦ ٠ <س <° ١٨٠ حيث ٠ = س جـتا + س جـا املعادلة حل مجـموعة -٤

) ج( ن٢) ب( ن)ا( :�و�١=ѳ جـتا للمتباينة العام ا��ل�-٥

٢ )د( ن+

٢ ن٢+

ѳجـا = ٢ѳجـتا للمعادلة العام ا��ل أوجـد -٦

الزاو�ة القائم املثلث حل : )٣-٥(الدرس

٢سم ٣ ة١٨ )د( ٢سم ٣ ة١٢ )جــ( ٢سم٣ ة ٩ ) ب( ٢سم ٣ة ٦ )أ( :�ساوى سم٦ ضلعھ طول الذى �ضالع امل�ساوى املثلث مساحة -٧

نخفاض� وزوايا �رتفاع زوايا : )٤-٥(الدرس

٨-

.الفنار قمة عن القارب �عد أوجـد° ٣٥انخفاضھ زاو�ة أن فوجـد ، م��ا ٥٠ ارتفاعھ فنار قمة من قارب رصد

° ١٩‘ ��٢٤ قمة�العمود ارتفاع زاو�ة قياس أن وجـد رأ���، عمود قاعدة عن م�� ٥٠ تبعد �رض سطح ع�� نقطة من -٩

. .�رض سطح عن العمود ارتفاع م�� ألقرب أوجـد

الدائرى القطاع : )٥-٥(الدرس

٢٠)د(١٠)جــ(٨)ب(٤)أ( :�ساوى املر�عة بالسن�يم��ات مساحتھ فإن سم٢ قوسھ وطول سم ١٠ محيطھ دائرى قطاع -١٠

.مساحتھ أوجـد .سم ٢٥ ومحيطھ سم٧ قوسھ طول دائرى قطاع -١١

الدائر�ة القطعة : )٦-٥(الدرس

ال�� الصغرى الدائر�ة القطعة مساحة�سطح واحد عشرى رقم ألقرب أوجـد ° ٦٠ قياس�ا مركز�ة زاو�ة يقابل سم٨ طولھ دائرة �� وتر ���أ ب -١٢

.���أ بوتر�ا

Page 7: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٧

قطر�ا نصف طول أوجـد .٢ سم ٥٦ سطح�ا ومساحة�°٩٠ املركز�ة زاو���ا قياس دائر�ة قطعة -١٣

املساحات : )٧-٥(الدرس

٢سم ٣ ة ١٨ )د( ٢سم ٣ ة ١٢ )جــ( ٢سم٣ ة ٩ )ب( ٢سم ٣ ة٦ )أ( :�ساوى سم٦ ضلعھ طول الذى �ضالع امل�ساوى املثلث مساحة -٧

.مر�ع سن�يم�� ألقرب سم ١٠ ضلعھ طول الذى املنتظم ا��ما��� الش�ل مساحة أوجـد -١٤

Vectors املتج�ات�٣الوحدة:ال�ندسةالتحليلية

الوحدة أ�داف

:ع�� ادراق الطالب ي�ون أن املتوقع من الوحدة ��اية ��

.�حداثيات مستوى �� طرف��ا بداللة ع��ا و�ع�� ،ةاملستقيمة�املوج� والقطعة املتج�ة والكمية القياسية الكمية يتعرف

.القطبية الصورة �� و�ضعھ املوضع متجھ يتعرف

.الصفرى واملتجھ املتجھ، معيار يوجد

.متج��ن ت�افؤ ع�� تمار�ن و�حل يتعرف

.الوحدة��ساسي�ن متج�� بداللة املتجھ عن �ع��و الوحدة متجھ يتعرف

.متج��ن و�عامد متج��ن توازى يتعرف

.حقيقى عدد �� متجھ يضرب

.متج��ن يطرح - )�ضالع متوازى طر�قة�- �حداثيات( املثلث قاعدة باستخدام متج��ن يجمع

.املتج�ات باستخدام ال�ندسية النظر�ات �عض يث�ت

.املتج�ات ع�� املستو�ة ندسةال� �� تطبيقات يحل

الوحدة م��ص

.والكثافة واملساحة الطول مثل فقط مقدار�ا بمعرفة تماما تتحدد كميات ���rscalas :القياسية الكميات

.والقوة والسرعة �زاحة مثل واتجا��ا مقدار�ا بمعرفة تماما تتحدد كميات ��sVector : املتج�ة الكميات

.اتجاه ��اية، نقطة بداية، نقطة ل�ا مستقيمة قطعة �� mentgesDirected Line :املوج�ة املستقيمة القطعة

∥�����أ ب ∥ بالرمز ل�ا و�رمز� �����أ بطول �و �����أ ب املوج�ة املستقيمة القطعة معيار

.�تجاه ونفس املعيار نفس ل�ما �ان إذا املوج�تان املستقيمتان القطعتان تت�افأ

�صل نقطة بداي��ا ال�� املوج�ة املستقيمة القطعة �و �صل لنقطة بال�سبة معلومة لنقطة املوضع متجھ: toron VeciitsPoاملوضع� متجھ

.املعلومة النقطة و��اي��ا

.للمتجھ املمثلة املستقيمة القطعة طول �و� :Normاملتجھ معيار

ر : Polar Form �راملوضع�� ملتجھ القطبية الصورة�����

ر ∥= ( ����� ∥���،Ѳ ( حيثѲ ثابت اتجاه مع يصنع�ا�املتجھ ال�� الزاو�ة قياس�.

و�عرف�: Zero Vector �٠أ،��و بالرمز لھ الصفرى�يرمز املتجھ�

�تجاه مع�ن غ�� و�و،��٠= ∥ ��٠ ∥ حيث الصفرى باملتجھ) ٠��،٠= (

.اعل�� املعرفت�ن حقيقى عدد �� لضربوا ا��مع عملي�� مع ٢ ح املجموعة عناصر �� : Vector املتج�ات

ومحايد� عنصر -دامجة - إبدالية - مغلقة�:املتج�ات جمع عملية خواص�-١�

ال�ل - ا- يوجد�٢ح∊ �

٢ح∊ �

: حقيقى عدد �� متجھ ضرب خواص

:التوز�ع خاصية

Page 8: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٨

ا ل�لب ، �

���ا( ك :ي�ون ح ∊ك ل�ل ، ٢ح∊

ب+ ����اك= )

�بك +

���ا∊ل�ل،

�ا )٢ك+ ١ك(ي�ون��ح ∊٢ك ،١كول�ل��٢ح

�ا ١ك=

�ا ٢ك+

ا ل�ل : التجميع خاصية�ا) ٢ك. ١ك(ي�ون�ح ∊٢ك،�١كول�ل��، ٢ح ∊

ا )٢ك. (١ك= �ا )١ك( ٢ك= �

ال�ل: ا��ذف خاصيةب،��� �

���اك�ان�� إذا ح∊ ك ل�ل ، ٢ح∊

بك = ����

افإن��ب= �

��� .ح��ي والعكس�

واحدة وحدة معياره متجھ �و :الوحدة متجھ

سس �������

الس�نات ملحور املوجب �تجاه �و واتجا��ا الوحدة ومعيار�ا �صل نقطة مبدؤ�ا ال�� املوج�ة املستقيمة القطعة و�و -:�سا��� الوحدة متجھ

سس و�كتب�������

= )١��،٠(

صص������

الصادات ملحور املوجب �تجاه �و واتجا��ا الوحدة ومعيار�ا �صل نقطة مبدؤ�ا ال�� املوج�ة املستقيمة القطعة و�و� �سا��� الوحدة متجھ

صص و�كتب������

= )٠��،١(

ا�ان� إذا �ساسي�ن الوحدة متج�� بداللة املتجھ عن التعب���

افإن�� )٢ا،��١ا=( �

سس ١ا= صص ٢ا+ �������

������

موج�ة مستقيمة قطعة أى توازى أحد�ما تمثل موج�ة مستقيمة قطعة أى �انت إذا واز�انمت أ��ما���ن ، ���مـ ملتج��ن يقال :املتواز�ان املتج�ان

.مستقيم �� مع�ا محتواه أو �خر تمثل

ع�� عمودى ألحد�ما ممثلة موج�ة مستقيمة قطعة يحمل الذى املستقيم �ان إذا متعامدان أ��ما ��ن ، ���مـ ملتج��ن يقال :املتعامدان املتج�ان

.لآلخر ممثلة موج�ة مستقيمة قطعة يحمل ذىال املستقيم

: فإن�)٢، ص ١س( = ��ن ، )١، ص ١س( = ���مـحيث صفر��ن غ�� متج��ن ��ن ، ���مـ �ان إذا :واملتعامد التوازى شرطا

يح�� والعكس٠= ٢ص١ص -٢س١س�ان� إذا� ��ن� �مـ ) ٢( ��يح والعكس٠= ١ص٢س+ ٢ص١س�ان� إذا ��ن// ���مـ) ١(

)١ك ص،� ١ك س) = (١ص،� ١س(ك = ���مـ كفإن�) ١ص،��١س( ���مـ = �ان ،فإذا ح ∊حقيقى�ك �عدد متجھ ضرب يمكن

���مـ ك // ���مـ فإن صفرى غ�� متجھ ���مـ ،٠≠ ك �ان وإذا

٠< ك ل�ل �مـ اتجاه عكس �و �مـ ك اتجاه،��٠ > ك ل�ل �مـ اتجاه نفس �و���مـ ك اتجاه

eometrically gVector gAddin �ندسيا املتج�ات جمع�-أ�

ا باملثلث قاعدة)١(ب ج + ������

�������ا ج =

������

ب ا�ضالع متوازى قاعدة)٢(ب ج + ������

�������ب ء =

�������ب ه ٢ =

�������

�subtracting Vectors geometricallyندسيا املتج�ات طرح�-ب�

ا با ج - ������

ج ب = ��������������

ا بعن�� التعب��ا�ان� لطرف��ا�إذا املوضع متج�� بداللة� ������

�ب ،) ١ص،�١س( =

��� فإن�)٢ص،��٢س( =

ا ب ب= ������

���ا -

� ) ١ص -٢ص،��١س -٢س( =

:املتج�ات ع�� تطبيقات

.)بنمذج��ا حياتية مشكالت وحل النظر�ات إلثبات( �ندسية تطبيقات�)١(

)أ�شطة( ةف��يائي تطبيقات )٢(

ــــــــــــة :Vectors املتج�ات ال�ندســـــــــــــــــــــ

Page 9: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

٩

املوج�ة املستقيمة والقطعة املتجة، والكميات القياسية، الكميات ) :١ -٣( الدرس

املتج�ات ) :٢ -٣( الدرس

ا �ان� إذا .١�

ب ،) ٣،� ٢= ( ���ا بفإن�)١��،٢-= (

������ = . . . . .

ا �ان إذا .٢�

ب ،) ٥،� ١-= ( ���ا ب ∥فإن�)٢��،١= (

������∥ = . . . ..

ا �ان إذا .٣�

ب ،) ٢،� ٤= (���ا ∥فإن�)٢-،��١= (

�ب -

��� ∥ = . . . . .

ا �ان إذا .٤�

سس ٢= �������صص ٣+

������ب،�

���سس ٢٣=

�������صص ٢ -

������ا٢فإن��

�ب -

��� = . . . . .

ا �ان إذا .٥�

ج ، )١، ٢-( = ��

. . . . . =كن�فإن�متواز��) ك، ٣-( =

ء او�ان��)ك،١( =ء ،)٠،� ٢-( =ج ،) ٢-،��٤( = ب ،)٢�،٢( =ا�ان� إذا .٦�����ج ب ،

�������� . كمتعامدين�فأوجد�قيمة�

ا ك٣ ∥ �ان إذا .٧ . . . . . =ك فإن ∥��� ا ١٥ -∥= ∥�

ا ك ∥ ٥= ∥��� ا ٨ -∥�ان إذا .٨ . . . . . =ك فإن ∥�

ا ٤∥ك �ان إذا .٩ا ٣-∥=∥���

� ك مةقي فأوجـد�∥

ا ب ∥،��)م،� ١-( = ب،�)٣�،٥( =ا�ان� إذا .١٠ . مفأوجد�قمة� ٤= ∥������

.املتج�ات ع�� العمليات ) :٣ -٣( الدرس

.ءالرأس فأوجد�إحداث�� ا ب ج ء أضالع ملتوازى رؤوس ثالثة�)٢-،��٢( =ج ، )١- ،��٤( =ب ،)٣��،٤( =ا �انت إذا�-١٠

����� ا بصفتمن هش�ل�ر�ا���،� ا ب ج ء -١١ج ء صفتو�من ،

�������������� ب ج: أث�ت�أن�

ا ء+ ����� ������ـ و ٢ =

������� م ا : أن مستو�ھ�أث�ت �� نقطة م ،ن �� قطراه تقاطع أضالع متوازى ا ب ج ء - ١٢م ب+

��������م ج+

�������م ء+

������م ن٤=

��������

���� ا ءفيھ��منحرف شبھ ا ب ج ء -١٣����� ب ج//

)ص،��٥( = ء ،)٢��،١( = ج،��)١- ،��٣( = ب،�)١- ،�٧( =افإذا��انت��

.ء ا ب جاملنحرف� شبھ سطح مساحة أوجد�-ب .ص قيمة أوجد -ا

.املتج�ات ع�� تطبيقات ) :٤ -٣( الدرس

×××××

)Straight Lineاملستقيم ا��ط٤الوحدة(ال�ندسة�التحليلية

الوحدة أ�داف قادر الطالب ي�ون أن املتوقع من الوحدة ��اية �� .١

:أن ع��ا

.التقسيم �سبة علمت إذا أو�ا��ارج الداخل من مستقيمة قطعة تقسيم نقطة إحداث�� يوجد .٢

.التقسيم نقطة إحداثيات علم إذا ا��ارج من أو الداخل من مستقيمة قطعة ��ا تنقسم ال�� ال�سبة يوجد .٣

املستقيم ا��ط ملعادلة املختلفة الصور رفيتع .٤

.املستقيم ل��ط ال�ارت��ية واملعادلة البارام��ية، واملعادالت املتج�ة املعادلة يوجد .٥

.�حداثيات من�محورى املقطوعة �جزاء بداللة املستقيم ا��ط معادلة املستقيميوجد ا��ط ملعادلة العامة الصورة يوجد .٦

مستقيم�ن ب�ن ةا��اد الزاو�ة قياس يوجد .٧

مستقيم خط إ�� نقطة من املرسوم العمود طول يوجد .٨

.مستقيم�ن تقاطع بنقطة املار للمستقيم العامة املعادلة يوجد .٩

الوحدة م��ص

Page 10: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

١٠

ا بتقسم� جـ �انت إذا)١(������

رحيث� ٢ل:١لب�سبة�������

ر ،١�����

ر ،٢�����

و ااملستقيمة�� املمثلة�بالقطع ���املتج�ات������

و ب ، �������و ج ،

������ :فإن� ��ت�بال ع��

ر�����

٢

.٢ل

.� ر

�����١

.١ل

.

٢ل

.� ١ل

. � ر�����

⇔ � ص

٢

٢

. � ص١

١

.

ل٢

. � ل١

. ، س

٢

٢

. � س١

١

.

ل٢

. � ل١

. � � �س ، ص�

:)م( املستقيم ا��ط ميل)٢(

. �ـ ظا = م :الس�نات ملحور املوجب �تجاه مع) ـ�( موجبة �ةزاو يصنع الذى)ا(

= م = )٢،�ص�٢س(،)١،�ص�١س( بالنقطت�ن يمر الذى )ب(ص�٢ص١

س�٢س١

ر: الصورة ع�� معادلتھ الذى )ج(����� =م�و�) ب،��ا(ك + )١ص،��١س( =

ب

ا

-= م �و�٠= جـ + ب ص + ا س : الصورة ع�� معادلتھ الذى�)د(ا

ب =-

معامل س

معامل ص

).ا ،ب -(أو��) ا- ، ب(متجھ�اتجاه�العمودى�ملستقيم�معلوم�،�فإن�متجھ��تجاه�ل�ذا�املستقيم��و)ب،��ا= ( ��نإذا��ان�)٣(

:�ما�ميال�مستقيم�ن�معلوم�ن�فإن�٢م،� ١مإذا��ان�)٤(

.إذا��ان�املستقيمان�متعامدين� ١-= ٢م× ١م )ب. (إذا��ان�املستقيمان�متواز��ن ٢م = ١م) ا( :املستقيم ا��ط معادالت)٥(

ر: املعادلة�املتج�ة����) ا(�����ق=

�����ىك +

��� ).ب،��ا( ك + )١ص،��١س( )=ص، س(أى���

. ك ب+ ١ص= ص ، اك + ١س= س : املعادالت�البارام��ية����)ب(

)١س –س ( م = ١ص –ص ����)١ص،��١س(لومة�ونقطة�مع�ماملعادلة�ال�ارت��يةبمعلومية�امليل�) ج(

. ج +م س = ص ����جوطول�ا��زء�املقطوع�من�محور�الصادات��ماملعادلة�ال�ارت��يةبمعلومية�امليل� )د(

من�محورى�الس�نات�والصادات�ع���ال��ت�ب����ب ، اطو���ا��زئ�ن�املقطوع�ن� املعادلة�ال�ارت��يةبمعلومية )�ـ(س

ا +

ص

ب =١.

.ال��ساو�ا�الصفر�معا�ب،��احيث� ٠= جـ + ب ص + اس : الصورة�العامة�ملعادلة�ا��ط�املستقيم�)و(

:الصورة�العامة�ملعادلة�ا��ط�املستقيم�املار�بنقطة�تقاطع�مستقيم�ن�معلوم�ن���� )ز(

صفر�≠ك حيث�٠=) ٢جـ ج+ص ٢ب+ س ٢ا( ك + ١جـ ج+ص ١ب+ س ١ا

| =ه ظا�:فإن� ٢م،١ماللذين�ميال�ما� ٢ل،١لاملستقيم�ن��ب�نا��ادة�و�ة�قياس�الزا����ه إذا��انت�)٦(٢

�١مم

٢م

١�١م

|

:صفر��عطى�بالعالقة��= ج+ ب ص + ا س : إ���ا��ط�املستقيم�)١ص،��١س(طول�العمود�املرسوم�من�النقطة��) ٧(

=ل �ج جـ ص

١

.س � ب

١

٢ب

� ٢ا

straight Lines املستقيم ا��ط�وحدة دروس

.مستقيمة قطعة تقسيم : )١-٤(سو الدر

ا ب تنصيف نقطة ���)٣�،٦(النقطة �انت إذا -١����

). . ،. . (�� ب نقطة إحداث�� فإن )٣�،٧-( =احيث�

ا ب يقسم الس�نات محور فإن�) ٨- ، ٦( = ب ، )٤ ،٣-( =ا �انت� إذا�-٢������

. . . . . . . .ب�سبة�

ا ب ∊ج ،) ٨- ، ٥( = ب ، )٤ ،٤-( = ا �انت�إذا� -٣����

). . ،. . ( = جفإن��١: ٢= ب ج : ا ج بحيث�

ا بتقسم ال�� جنقطة� إحداث�� أوجد�)١- ، ٥( = ب ، )٤ ،١-( =ا �انت� إذا�-٤���� ٢:١ ب�سبة الداخل من

Page 11: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

١١

ا بتقسم�) ٢،٥( ج نقطة �انت إذا�-٥������

. ب نقطة إحداث�� فأوجـد�) ٣ ، ٨( او�انت��١:٤ب�سبة�

املستقيم ا��ط معادلة: )٢ - ٤(سو الدر

. . . . . . . .�� ) ٣-،��٠( ،�) ٢�،٠(ن��بالنقطت� يمر الذى املستقيم ا��ط معادلة�-٦

. . . . . . . .=امتعامدان�فإن�٠=٥ + ص٣ + سا ،٠=٧ + ص٢ - س٣ املستقيمان �ان إذا -٧

. . . . . . . .=م فإن متعامدين ملستقيم�ن تجاها متج���) م، ٣( ، ) ٤ ،٦( �ان إذا�-٨

. . . . . . . .���)٣��،٤( لھ �تجـاه ومتجـھ�)٨- ،��٥( بالنقطة يمر الذى للمستقيم املتجـ�ة املعادلة -٩

مستقيم�ن ب�ن الزاو�ة قياس : )٣ -٤(سو الدر

ميال�ما�� الذين املستقيم�ن ب�ن ا��ادة الزاو�ة قياس�-٤١

٢ . . . . . . . .ساوى � ٢-،

مستقيم خط إ�� نقطة من املرسوم العمود طول : )٤ -٤(سو الدر

. . . . . . . .�ساوى ٠ = ص + س املستقيم إ�� )١��،١( النقطة من املرسوم العمود طول -٥

٠=٧-ص ١٢ - س٥ معادلتھ الذى املستقيم ع���)٢ ، ١(النقطة� من املرسوم العمود طول أوجـد -٦

فأوجد�ب ، االنقطت�ن� �� �حداثيات محورى ١٢ = ص٣ - س٤ املستقيم قطع إذا -٧

ا ب املستقيم ا��ط إ�� �صل نقطة من مسافة أقصر )ب( . �صل نقطة و حيث ب او املثلث سطح مساحة )ا(������ .

نمستقيم� تقاطع بنقطة املار املستقيم ل��ط العامة املعادلة: )٥ -٤(سو الدر

٠ = ٥ + ص + س ،٠ =٤ + ص - س٢املستقيم�ن تقاطع ونقطة ،) ١،٠-( بالنقطة يمر الذى املستقيم ا��ط معادلة أوجد -٨ : املستقيم�ن تقاطع بنقطة املار املستقيم معادلة أوجد -٩

قياس�ا الس�نات ملحور املوجب �تجاه مع و�صنع ، ٠=٤ – ص٢ + س ،٠=٩ + ص٧ - س٢

٤ .

رواملستقيم� ، ٥ = ص + س٢ املستقيم�ن تقاطع بنقطة يمر الذى املستقيم معادلة أوجـد -١٠����� ) ٣ ، ٥( بالنقطة و�مر) ١ ، ١( ك +) ٠ ،١( =

�ساسية املصط��ات

Scalar Quantities قياسية كمية Matrix مصفوفة

Vector Quantities متج�ة كمية Element عنصر

Vector تجھم Row matrix الصف مصفوفة

Scalar Quantities قياسية كمية Column matrix العمود مصفوفة

Distance مسافة Square matrix مر�عة مصفوفة

Displacement إزاحة Zero matrix صفر�ة مصفوفة

Position Vector موضع متجھ Equal matrices م�ساو�ة مصفوفات

Ordered Pair بمرت زوج Symmetric matrix متماثلة مصفوفة

Absolute value مطلقة قيمة Skew-symmetric matrix متماثلة شبھ مصفوفة

Norm متجھ معيار Identity matrix الوحدة مصفوفة

Equivalent Vector م�ا�� متجھ Matrix equation مصفوفية معادلة

Adding vectors املتج�ات جمع Variable matrix املتغ��ات مصفوفة

The triangle Rule قاعدة�املثلث Constant matrix الثوابت فوفةمص

Parallelogram Rule �ضالع متوازى قاعدة Adding matrices املصفوفات��� جمع

Subtracting Vectors املتج�ات طرح Subtracting matrices املصفوفات طرح

Resultant Force القوى حصلةم محصلة قوة Multiplying matrices املصفوفات ضرب

Relative Velocity �س�ية سرعة Transpose of matrix املصفوفة مدور

point of division تقسيم نقطة Determinant محدد

direction vector of Straight line direction مستقيم اتجاه متجھ Second order determinant الثانية الرتبة محدد

Vector equation متج�ة معادلة Third order determinant الثالثة بةالرت محدد

parametric Equation بارام��ية معادلة Coefficient matrix املعامالت مصفوفة

Page 12: مقرررياضيات الفصل الدراسى الثانى 2015

١٢

Cartesian Equation �ارت��ية معادلة Inverse matrix للمصفوفة ضر�ى معكوس

General Equation عامة معادلة Linear Inequality خطية متباينة

Angle between two straight lines مستقيم�ن ب�ن زاو�ة Boundary line حدى مستقيم

Length of perpendicular عمود طول Dashed boundary line منقط حدى مستقيم

Trigonometric identity مثلثية متطابقة Solid boundary line متصل حدى مستقيم

Trigonometric equation مثلثية معادلة Linear Inequality in two unknowns مج�ول�ن �� خطية متباينة

Angle of elevation ارتفاع زاو�ة System of linear inequalities ا��طية املتباينات نظام

Angle of depression انخفاض زاو�ة Feasible region ا��ل منطقة

Circular sector دائرى قطاع Graph بيا�ي رسم

Circular Segment دائر�ة قطعة Linear programming خطية برمجة

Constrains القيود

Optimize �مثل ا��ل