บทที่ 3 อนุกรมอนันต์

โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักด์ิ อุรัจนานนท

บทที่ 3 อนุกรมอนันต

อนุกรมอนันต (Infinite series) เปนผลบวกที่มีจํานวนพจนนับไมถวน อนุกรมอนันตมีการประยุกตใชในสาขาวิศวกรรมศาสตร วิทยาศาสตร และในหลายสาขาวิชาของคณิตศาสตร

ผลบวกที่มีพจนเปนจํานวนมากนับไมถวนนั้นมีตัวอยางของผลบวกที่คุนเคยกันมากเกิดขึ้น

จากการแทนจํานวนจริงดวยทศนิยม เชน เมื่อเขียน 31 ในรูปทศนิยม จะได

...33333.031= นั้นหมายถึง

...00003.00003.0003.003.03.031

+++++=

แสดงวาการแทน 31 ดวยทศนิยม อาจจะพิจารณาเปนผลบวกของจํานวนจริงหลายจํานวน

นับไมถวนได

ผลบวกของอนุกรมอนันต นิยาม 1 อนุกรมอนันต คือ นิพจน (expression) ที่อยูในรูปของ

KK +++++ kuuuu 321

หรือเขียนในรูปสัญลักษณผลรวมไดเปน

∑∞

=

=+++++1

321k

kk uuuuu KK

เรียกจํานวน ...,,, 321 uuu วา พจนของอนุกรม และจะเรียก “อนุกรมอนันต’’ เพียงสั้น ๆ วา “อนุกรม”

เชน ∑∞

=

++++++=1

...1...41

31

2111

k kk


2

( ) ( )∑∞

=

++

++⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=+1

...1

1...54

143

132

121

11

1k kkkk

อนุกรมและลําดับมีความเกี่ยวพันกันอยางมากดังตอไปนี้

กําหนดให

11 uS = 212 uuS +=

3213 uuuS ++=

M

∑=

=++++=n

kknn uuuuuS

1321 ...

นั่นคือ nS เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑∞

=1kku เรียกวา ผลบวกยอยที่

n ( thn partial sum) ของอนุกรม∑∞

=1kku ซ่ึงจะเห็นวาจากผลบวกยอยตาง ๆ นี้ สามารถนํามาสราง

เปนลําดับไดดังนี้

{ }nS ,...,...,,, 321 nSSSS= เรียกวา ลําดับของผลบวกยอย นั่นเอง

จากตัวอยางผลบวกของ ...00003.00003.0003.003.03.0 +++++ นั้น เราไมสามารถบวกจํานวนเลขหลายจํานวนนับไมถวนเขาดวยกันไดดังนั้นจึงตองนิยามผลบวกของอนุกรมและคํานวณคาโดยวิธีลิมิต

เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐานพิจารณาทศนิยม ...33333.0 ซ่ึงสามารถเขียนเปนอนุกรมไดดังนี้

...00003.00003.0003.003.03.0 +++++

หรือ K+++++ 5432 103

103

103

103

103

เนื่องจาก 3133333.0 =K ดังนั้นผลบวกของอนุกรมควรจะเปน

31 ดวย

นั่นคือ 31

103

103

103

103

103

5432 =+++++ K


3

การหาผลบวกของอนุกรมทําไดโดยการพิจารณาลําดับของผลบวก ดังนี้

3.0103

1 ==S

33.010

3103

22 =+=S

333.010

310

3103

323 =++=S

3333.010

310

310

3103

4324 =+++=S

33333.010

310

310

310

3103

54325 =++++=S

M

สําหรับ K54321 ,,,, SSSSS สามารถใชเปนการประมาณผลบวกของอนุกรมได ในลําดับของผลบวกดังกลาว หากมีการใชพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ และการประมาณคาก็จะดีขึ้น

ตามลําดับ และลิมิตของลําดับควรจะเปน 31 นั่นเอง

เพื่อใหเห็นวาลิมิตเปน 31 จริงนั้น จะตองคํานวณลิมิตของพจนทั่วไป ( )nS ในลําดับที่ใช

ประมาณคา ในที่นี้พจนทั่วไปคือ

nnS10

310

310

310

310

3103

5432 +++++= K ( )1..........

จากนั้นทําการหา nnS

∞→lim จะไดวา

nnS

∞→lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++++=

∞→ nn 103

103

103

103

103

103lim 5432 K

จะเห็นไดวา การหาลิมิตคอนขางยุงยากเพราะทั้งพจนสุดทายและจํานวนพจนเปลี่ยนตามคา n จึงตองพยายามเขียนลิมิตใหอยูในรูปที่จํานวนพจนไมแปรคาได ถาหากสามารถทําได ในที่นี้อาจทําไดดังนี้


4

จาก nnS10

310

310

310

310

3103

5432 +++++= K ( )1..........

สมการ ( ) 101 ×

165432 103

103

103

103

103

103

103

101

+++++++= nnnS K ( )2..........

แลวนํา ( ) ( )21 − ได

1103

103

101

+−=− nnn SS

nnS10103

103

109

⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= nnS

1011

103

109

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= nnS

1011

910

103

นั่นคือ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= nnS

1011

31

และไดวา nnS

∞→lim ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞→ nn 1011

31lim

( )0131

−=

31

=

ซ่ึงอาจจะแทนดวยการเขียน

...10

310

310

310

310

3103

31

5432 +++++++= nK


5

จากตัวอยางที่กลาวขางตน จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม kk

u∑∞

=1ไดดังนี้

จาก nS เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑∞

=1kku นั้น ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้น

ผลบวกยอย nn uuuS +++= ...21 จะรวมพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ ดังนั้นถา nS มีคาเขาใกลลิมิตคาหนึ่งขณะที่ ∞→n แลวคาลิมิตนั้นจะเปนผลบวกของทุกพจนในอนุกรมนั้น เขียนเปนนิยามดังนี้

การลูเขาของอนุกรม

นิยาม 2 ให{ }nS เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑∞

=1kku ถาลําดับ { }nS ลูเขาสูลิมิต S

หรือ SSnn=

∞→lim แลวจะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม เขียน

แทนดวย ∑∞

=

=1k

kuS

นิยาม 3 ให{ }nS เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑∞

=1kku ถาลําดับของผลบวกยอยลูออกหรือ

nnS

∞→lim หาคาไมไดแลว จะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูออก และจะไมมีผลบวก

ตัวอยาง 1 จงพิจารณาวา อนุกรม K+−+−+− 111111 ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก

วิธีทํา อนุกรมนี้มีพจนเปนคาบวกและลบสลับกันไป โดยมีคาของผลบวกยอยดังนี้

11 =S

0112 =−=S

11113 =+−=S

011114 =−+−=S

1111115 =+−+−=S …

ดั้งนั้นทําใหมีลําดับของผลบวกยอยดังนี้ K,0,1,0,1,0,1 ซ่ึงพจนในลําดับนี้มีคาสลับกันระหวาง 1 และ 0 ไมมีคาลูเขาสูคาใดคาหนึ่ง จึงไมมีลิมิต

นั่นคือลําดับของผลบวกยอยนี้เปนลําดับลูออก โดยนิยามจึงไดวาอนุกรมที่กําหนดเปนอนุกรมลูออกเชนเดียวกันและไมมีผลบวก


6

อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)

นิยาม 4 อนุกรมเรขาคณิต คืออนุกรมที่สามารถเขียนใหอยูในรูปดังนี้

)0(,132 ≠++++++ − aarararara k KK

สังเกตไดวาแตละพจนไดจากการคูณพจนกอนหนาดวยโดยคาคงตัว r และเรียกตัวคูณ

r วา อัตราสวนรวม (Common Ratio) ของอนุกรมนั้น

ตัวอยางของอนุกรมเรขาคณิต

KK ++++++ −128421 k 2,1: == ra

KK +++++ −132 103

103

103

103

k 101,

103: == ra

KK +−++−+− −k

k

21)1(

161

81

41

21 1

21,

21: == ra

KK ++++++ 11111 1,1: == ra

KK +−++−+− +1)1(1111 k 1,1: −== ra

การลูเขาของอนุกรมเรขาคณิตกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎี 1 อนุกรมเรขาคณิต )0(,12 ≠+++++ − aararara k KK

จะลูเขา ถา 1<r และลูออก ถา 1 ≥r

ถาอนุกรมเรขาคณิตนี้ลูเขาแลวจะมีผลบวกเปน

r

aararara k

−=+++++ −

112 KK


7

พิสูจน จะแยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ 1 =r และ 1 ≠r ดังนี้ กรณีที่ 1 1 =r พิจารณาแยกเปน

1.1 1=r และ 1.2 1−=r

1.1 ถา 1=r แลวอนุกรมอยูในรูป

KK +++++ aaaa

ผลบวกยอยที่ n คือ naSn =

และลิมิต ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈∞−

∈∞+==

−

+

∞→∞→ RaRa

naSnnn ,

,limlim

แสดงวาอนุกรมลูออก

1.2 ถา 1−=r แลวอนุกรมอยูในรูป

K+−+− aaaa ลําดับของผลบวกยอย คือ ...,0,,0,,0, aaa จึงเปนลําดับลูออก กรณีที่ 2 1 ≠r

ลําดับผลบวกยอยที่ n คือ

12 −++++= nn arararaS K ( )1..........

คูณทั้งสองขางของ ( )1 ดวย r ได nn

n ararararSr ++++= −12 K ( )2..........

นํา ( ) ( )21 − ได

nnn ararSS −=−


8

( ) nn araSr −=−1

เนื่องจาก 1≠r ได

r

araSn

n −−

=1

( )rraS

n

n −−

=11

( )rraS

n

nnn −−

=∞→∞→ 1

1limlim

ถา 1 <r แลว 0lim =

∞→

n

nr ได { }nS ล ู เขา

และได r

aSnn −=

∞→ 1lim

ถา 1 >r แลว 1>r หรือ 1−<r

กรณี r > 1 , ∞=∞→

n

nrlim

กรณี r < - 1 , คาของ nr จะแกวงระหวางคาบวกและคาลบและมีขนาดเพิ่มขึ้น

ดังนั้น { }nS ลูออก ถา 1 >r


9

ตัวอยาง 1 อนุกรม KK +++++ −12 47

47

477 k

เปนอนุกรมเรขาคณิต มี 41

747

,71

2 ====aara

เนื่องจาก 141

41 <==r

ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา

มีผลบวกเปน

411

71 −

=− ra

437

= 328

=

ตัวอยาง 2 อนุกรม KK +⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++−+−

−

341

43

43

433

1

32

k

เปนอนุกรมเรขาคณิต มี 41

343

,31

2 −=−

===aara


41 <=−=r


มีผลบวกเปน 5

12

453

411

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=− ra


10

ตัวอยาง 3 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ํา 0.7777…

วิธีทํา เขียนทศนิยมซ้ําที่กําหนดใหอยูในรูปผลบวกอนุกรมอนันตดังนี้

...0007.0007.007.07.0...7777.0 ++++=

...10

7107

107

107

432 ++++= ( เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 101,

107

== ra )

1011

107

−=

109

107

=

97

=

ตัวอยาง 4 จงพิจารณาวาอนุกรมเรขาคณิตตอไปนี้ลูเขาหรือไม และถาลูเขาจงหาผลรวมของอนุกรมดวย

1. K−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

2

32

321

วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 32,1 −== ra


32 <=−=r ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา

K−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

2

32

321

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=−

=

321

11 r

a

53

351==


11

2. K+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

2

441 ππ

วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี ,1=a4π

=r


<==ππr ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา

K+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++

2

441 ππ

πππ −=

−=

−=

−=

44

44

1

41

11 r

a

3. k

k∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2 54

วิธีทํา ...54

54

54

54 432

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∑

∞

=

k

k

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี ,2516

54 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=a

54

=r


54 <==r ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา

k

k∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2 54

5165

2516

512516

541

2516

1=•==

−=

−=

ra

4. ( )∑∞

=13ln

k

k

วิธีทํา ( ) ( ) ( ) ...3ln3ln3ln3ln 32

1+++=∑

∞

=k

k

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี ,3ln=a ( ) 3ln3ln3ln 3

==r

เนื่องจาก 13log3ln3ln >=== er

ดังนั้นเปนอนุกรมเรขาคณิตที่ลูออก


12

5. ( )∑∞

=15sin

k

k

วิธีทํา ( ) ( ) ( ) ...5sin5sin5sin5sin 32

1

+++=∑∞

=k

k

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี ,5sin=a ( ) 5sin5sin5sin 2

==r

เนื่องจาก 15sin5sin <==r ( เนื่องจาก 1sin1 ≤≤− θ )


( )∑∞

=15sin

k

k 5sin1

5sin1 −

=−

=r

a

ตัวอยาง 5 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ําตอไปนี้

1. ...7888.0

วิธีทํา ...0008.0008.008.07.0...7888.0 ++++=

...10

8108

108

107

432 ++++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= ...

108

108

108

107

432 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

101,

108

2 ra

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

1011

108

107 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ •+=

910

108

107

2

908

107+=

9071

90863=

+=


13

2. ...784784.0

วิธีทํา ...000000784.0000784.0784.0...784784784.0 +++=

...10784

10784

10784

963 +++= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ == 33 10

1,10784 ra

3

3

1011

10784

−=

3

3

1099910784

=

99910

10784 3

3 •=

999784

=

ตัวอยาง 6 โยนลูกปงปองจากที่สูงระยะ a เมตร ลงบนพื้นที่เรียบ แตละครั้งที่ลูกปงปองกระทบพื้น เมื่อตกลงมาเปนระยะทาง h เมตร จะกระดอนกลับขึ้นไปเปนระยะ rh เมตร ( )10 << r จงหาระยะทางที่ลูกปงปองเคลื่อนที่ทั้งหมดจนกวาจะหยุดนิ่ง

วิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้

0A•

K4321 AAAA


14

จาก 0A ถึง 1A เคลื่อนที่ไดระยะทาง a เมตร

จาก 1A ถึง 2A เคลื่อนที่ไดระยะทาง ararar 2=+ เมตร

จาก 2A ถึง 3A เคลื่อนที่ไดระยะทาง 222 2ararar =+ เมตร

จาก 3A ถึง 4A เคลื่อนที่ไดระยะทาง 333 2ararar =+ เมตร

มีลักษณะเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จะไดระยะทางที่เคลื่อนที่ทั้งหมด

...222 32 ++++= arararaS

( )...222 32 ++++= ararara

( )...12 2 ++++= rrara

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=r

ara1

12 ( )1,1 <== rra

r

ara−

+=12

เชน 32,10 == ra จะได

ระยะทางทั้งหมด ( )

321

32102

10−

+=

313

40

10 +=

334010 •+=

50=


15

ตัวอยาง 7 กําหนดใหรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1+n เกิดจากการลากเสนตรงตอจุดกึ่งกลางทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ n ถากระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทานี้ไมส้ินสุด และผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย จงหาผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาเหลานี้

วิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้

เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย

เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 2 เทากับ 2a หนวย



M

ผลบวกของเสนรอบรูปทั้งหมดเทากับ ...842++++

aaaa

211−

=a

a2= หนวย


16

ตัวอยาง 8 จงพิจารณาวาอนุกรม ( ) K+++=+∑

∞

= 4.31

3.21

2.11

11

1k kk

ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก วิธีทํา ผลบวกยอยที่ n ของอนุกรมนี้ คือ

( ) ( )11

4.31

3.21

2.11

11

1 +++++=

+= ∑

= nnkkS

n

kn K

พิจารณาการลูเขาหรือลูออก โดยการหา nnS

∞→lim

พิจารณาเขียน nS ใหมในรูปที่ไมมีการขยายพจน เพื่อสะดวกในการหา nnS

∞→lim

ในกรณีนี้สามารถทําไดโดยใชวิธีของการแยกเศษสวนยอยไดผลดังนี้

1

11)1(

1+

−=+ nnnn

ดังนั้น nS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

111

41

31

31

21

211

nnK

1111

31

31

21

211

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

nnnK

1

11+

−=n

และ nnS

∞→lim = 1

111lim =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

∞→ nn

ดังนั้น ( ) 11

11

=+∑

∞

=k kk


17

ตัวอยาง 9 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก

1. ( )( )∑∞

= +−1 14341

k kk

วิธีทํา ( )( )∑= +−

=n

kn kk

S1 1434

1

( )( )14341

13.91

9.51

5.11

+−++++=

nnK

จาก ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

+− 141

341

41

)14(341

nnnn (โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได

=nS ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

141

341

41

91

51

41

511

41

nnK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

141

341...

91

51

511

41

nn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

141

341

341...

91

91

51

511

41

nnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

1411

41

n

และ nnS

∞→lim = ( )

4101

41

1411

41lim =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

∞→ nn

ดังนั้น ( )( ) 41

14341

1=

+−∑∞

=k kk


18

2. ( )∑

∞

= ++

122 1

12k kk

k

วิธีทํา ( )∑

= ++

=n

kn kk

kS1

22 112

( )22222222 1

1243

732

521

1++

++•

+•

+•

=nnn

K

จาก ( ) ( )2222 1

111

1+

−=+ nnnn

(โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได

=nS ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 22 1

11161

91

91

41

411

nnK

( )222 1

11191

91

41

411

+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

nnnK

( )2111+

−=n

และ nnS

∞→lim =

( )101

111lim 2 =−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

∞→ nn

ดังนั้น ( )

1112

122 =

++∑

∞

=k kkk


19

3. ∑∞

= +1 1ln

k kk

วิธีทํา ∑= +

=n

kn k

kS1 1ln

1

ln43ln

32ln

21ln

+++++=

nn

K

จากกฎลอการิทึม ( )1lnln1

ln +−=+

nnn

n จะได

=nS ( ) ( ) ( ) ( )( )1lnln4ln3ln3ln2ln2ln1ln +−+−+−+− nnK

( )1ln1ln +−= n

( )1ln0 +−= n

( )1ln +−= n

และ nnS

∞→lim = ( )( ) ∞−=+−

∞→1lnlim n

n

ดังนั้น ∑∞

= +1 1ln

k kk เปนอนุกรมลูออก

4. ∑∞

= +−

1 111

k kk

วิธีทํา ∑= +

−=n

kn kk

S1 1

11

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

111

41

31

31

21

211

nnK

1

1113

13

12

12

11+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

nnnK

1

11+

−=n

และ nnS

∞→lim = 101

111lim =−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∞→ nn

ดังนั้น 11

111

=+

−∑∞

=k kk


20

ตัวอยาง 10 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมที่ลูเขา

1. ( )∑∞

=

−0

21k

kk x

วิธีทํา ( ) ...11 642

0

2 +−+−=−∑∞

=

xxxxk

kk

2,1 xra −== เปนอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมลูเขาเมื่อ 1<r นั่นคือ

12 <− x

12 <x

012 <−x

( )( ) 011 <+− xx

จะได 11 <<− x

2. ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

0 213

k

kx

วิธีทํา k

kk

k xx ∑∑∞

=

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

00 213

213

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= ...2

12

1132xx

2

1,1 −==

xra เปนอนุกรมเรขาคณิต


12

1<

−x

12

11 <−

<−x

212 <−<− x

จะได 31 <<− x


21

3. ∑∞

=0

sink

n x

วิธีทํา ...sinsinsin1sin 32

0

++++=∑∞

=

xxxxk

n

xra sin,1 == เปนอนุกรมเรขาคณิต


1sin <x

1sin1 <<− x ถา 1sin =x จะได 1sin ±=x

จะได ( )2

12 π+= rx เมื่อ r เปนจํานวนเต็ม

จะไดคําตอบคือ ( )2

12 π+≠ rx

4. ( )∑∞

=0ln

k

nx

วิธีทํา ( ) ( ) ( ) ...lnlnln1ln 32

0

++++=∑∞

=

xxxxk

n

xra ln,1 == เปนอนุกรมเรขาคณิต


1ln <x

ดังนั้น 1ln1 <<− x

จะได 1log1 <<− xe

exe <<−1

exe

<<1


22

5. ( ) k

k

k

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∑

∞

= sin31

21

0

วิธีทํา ( ) k

k

k

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∑

∞

= sin31

21

0

( ) ...sin31

21

sin31

211

21 2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

xx

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−= ...

sin31

sin311

21 2

xx

x

rasin31,1

+−== เปนอนุกรมเรขาคณิต


1sin31

<+

−x

1sin31

<+ x

1sin311 <

+<−

x

จะได xx sin31sin3 +<<−− ( )0sin3 >+ x

1sin3 <−− x และ xsin31 +<

4sin <− x และ xsin2 <−

4sin −>x และ 2sin −>x

2sin −>x

เนื่องจาก 1sin1 ≤≤− x คําตอบคือ ∞<<∞− x


23

ตัวอยาง 11 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรม

...22221 8765432 +++++++++ xxxxxxxx

เปนอนุกรมที่ลูเขาพรอมกับหาผลรวมดวย

วิธีทํา

...22221 8765432 +++++++++ xxxxxxxx

( ) ( )...2222...1 7538642 ++++++++++= xxxxxxxx

( ) ( )...12...1 6428642 ++++++++++= xxxxxxxx ( )( )xxxxx 21...1 8642 ++++++= (เปนอนุกรมเรขาคณิต)

( )xx

211

12 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

2121xx

−+

=

เปนอนุกรมลูเขาเมื่อ 12 <x

12 <x

012 <−x

( )( ) 011 <+− xx

จะได 11 <<− x

และผลรวมของอนุกรมนี้คือ 2121xx

−+


24

อนุกรมฮารมอนิก (Harmonic Series)

ในบรรดาอนุกรมที่ลูออกทั้งหมด มีอนุกรมที่สําคัญที่สุดอนุกรมหนึ่ง คือ อนุกรมฮารมอนิก

K+++++=∑∞

= 51

41

31

2111

1k k

อนุกรมนี้เกิดขึ้นในเรื่องที่เกี่ยวกับเสียงสอดแทรกที่เกิดจากการสั่นของเสนลวดในเครื่องดนตรี เราทราบวาอนุกรมนี้ลูออกโดยการตรวจสอบผลบวกยอย ดังนี้

11 =S

2112 +=S

31

2113 ++=S

41

31

2114 +++=S

ผลบวกยอยเหลานี้สรางลําดับเพิ่ม

<<<< nSSSS K321

โดยทฤษฎีบทสามารถพิสูจนไดวาลําดับนี้ลูออก โดยจะแสดงใหเห็นวาไมมีคาคงที่ M ที่มีคามากกวาหรือเทากับทุกผลบวกยอย

พิจารณาผลบวกยอยบางจํานวน คือ K,,,,, 3216842 SSSSS ซ่ึงเปนผลบวกยอยในรูป nS

2 ผลบวกยอยเหลานี้สอดคลองอสมการ

22

21

21

2112 =+>+=S

23

21)

41

41(

41

31

2224 >+=++>++= SSSS


25

24

21)

81

81

81

81(

81

71

61

51

4448 >+=++++>++++= SSSS

25

21)

161

161(

161

121

111

101

91

88816 >+=+++>++++++= SSSS KK M

8← พจน →

21

2

+>

nS n

ถา M เปนคาคงตัวใด ๆ เราสามารถหาจํานวนเต็มบวก n โดยที่ Mn>

+2

1 แตสําหรับ

n คานี้ เรามี

MnS n >+

>2

12

ดังนั้นจึงไมมีคาคงตัว M คาใดที่มากกวาหรือเทาหรับผลบวกยอยของอนุกรมฮารมอนิก จึงพิสูจนไดวาอนุกรมฮารมอนิกนี้ลูออก


26

แบบฝกหัด 1. ในแตละขอยอย จงหารูปแบบที่ไมมีการขยายพจนของผลบวกยอย nS และจงหาวาอนุกรมที่ กําหนดลูเขาหรือไม ถาลูเขาจงหาผลบวก

ก. ∑∞

=−

115

2k

k ข. ( )( )∑∞

= ++1 211

k kk

ค. ∑∞

=

−

1

1

42

k

k

ง. ∑∞

=1 47

kk

จ. ( )( )∑∞

= +−1 14344

k kk ฉ. ( )( )∑

∞

= +−1 14341

k kk

จากขอ 2 – 20 จงหาวาอนุกรมลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก

2. ∑∞

=1 51

kk 3. ∑

∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1

1

43

k

k

4. 2

1 32 +∞

=∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

k

k

5. ( ) 1

1

1 671 −

−∞

=

⋅−∑ k

k

k

6. ∑∞

=

−

1

14k

k 7. ∑∞

=

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1

1

43

k

k

8. ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+1 41

31

k kk 9. ( )( )∑

∞

= ++1 321

k kk

10. ∑∞

=+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

112

121

kkk 11. ∑

∞

= −+12 239

1k kk

12. ∑∞

= −22 11

k k 13. ∑

∞

=

+

−1

2

174

kk

k

14. 1

1

−∞

=∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

k

k

eπ

15. k

k∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

1 21

16. ∑∞

= −1 25

k k 17. ( ) k

k

k

451

1⋅−∑

∞

=


27

18. ∑∞

=0 52

kk

k

19. ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

1 31

25

kkk

20. ( )( )∑∞

= +−3 14344

k kk

จากขอ 21 - 24 จงกระจายทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวน

21. K4444.0 22. K373737.5

23. K217821782178.0 24. K234234234.0

25. ปลอยลูกบอลจากที่สูง4 เมตร แตละครั้งที่ลูกบอลกระทบพื้น ลูกบอลจะกระดอนขึ้นตามแนวดิ่ง

มีความสูงเปน43 เทาของความสูงกอนหนานั้น จงหาระยะทางรวมที่ลูกบอลเคลื่อนไปไดสมมติ

ลูกบอลกระดอนแบบไมหยุด

26. จงแสดงวา 2ln21ln2

2 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∑

∞

=k k

27. จงแสดงวา 111

2=

+

−+∑∞

=k kkkk

28. จงแสดงวา 21

7.51

5.31

3.11

=+++ K

29. จงใชอนุกรมเรขาคณิตแสดงวา

ก. ( )x

xkk

k +=−∑

∞

= 111

0 ถา 11 <<− x

ข. ( )x

xk

k

−=−∑

∞

= 413

0 ถา 42 << x

ค. ( ) 22

0 111x

x k

k

k

+=−∑

∞

=

ถา 11 <<− x


28

จากขอ 30 – 31 จงหาคา x ทั้งหมดที่ทําใหอนุกรมลูเขา และจงหาผลบวก

30. K+++++ 65432168421xxxxx

31. K+−+− xxxx 432 sin81sin

41sin

21sin

32. ถาดานหนึ่งของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปหนึ่งยาว p หนวย ถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ดวยเสนตรงจะเกิดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปใหม และถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปใหมนั้นดวยเสนตรงอีกก็จะเกิดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปใหมอีก ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เกิดขึ้นทั้งหมด

33. รูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งยาวดานละ 1 นิ้ว ถาแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาอีกรูปหนึ่ง แลวแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่สองวนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่สาม ทําเชนนี้เร่ือย ๆ ไปไมส้ินสุด จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาทุกรูปที่สรางได

34. ภายในรูปครึ่งวงกลมมีรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมุมฉากบรรจุอยู และภายในรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมุมฉาก จะมีรูปครึ่งวงกลมบรรจุอยูภายใน เปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ไมส้ินสุด ถากําหนดใหรัศมีของรูปคร่ึงวงกลมนอกรูปนอกสุดเทากับ 1 นิ้ว จงหาความยาวของสวนโคงทั้งหมด

35. แมลงตัวหนึ่งซึ่งมีขนาดเล็กมากอยูที่จุด ( )0,0 บนพิกัดระนาบ xy แลวเดินไปทางขวา 1 หนวย ถึงจุด ( )0,1 แลวเดินเลี้ยวซายไป 5.0 หนวย ถึงจุด ( )5.0,1 และตอไปทุก ๆ คร้ังของการเดินทางจะเดินเลี้ยวซาย แลวเดินเปนระยะครึ่งเทาของการเดินทางครั้งกอนเสมอ ถาแมลงตัวนี้เดินไปเรื่อย ๆ จะเดินเขาใกลจุดใด


29

คําตอบแบบฝกหัด

1. ก. ลูเขาสู25 ข. ลูเขาสู

21

ค. ลูออก ง. ลูเขาสู37

จ. ลูเขาสู1 ฉ. ลูเขาสู41

2. ลูเขาสู41 3. ลูเขาสู

74

4. ลูเขาสู98 5. ลูเขาสู6

6. ลูออก 7. ลูออก


31


61


3448

14. ลูเขาสู e−π

π 15. ลูเขาสู31

−

16. ลูออก 17. ลูเขาสู 4


217

20. ลูเขาสู 91

21. 94 22.

99532

23. 1111869 24.

999234

25. 28


30

30. 22 >∪−< xx หรือ 2>x มีผลบวก xx −

= 2

1

31. ∞<<∞− x มีผลบวก x

xsin2

sin2+

=

32. 12

24−p หนวย

33. 6 นิ้ว

34. 12

2−π นิ้ว

35. ( )4.0,8.0

บทที่ 3 อนุกรมอนันต์

Documents

uk

u1

ar

lim

gt

lt