西南科技大学网络教育课

程

3 - 1

第 3 章 区间估计 区间估计的背景 :

.,

,

,,

,

.,]ˆ

,ˆ[,

ˆ

这就是区间估计数的真值大的概率包含参并且说明这个区间以多一个区间这就需要给出靠性程度有时还需要知道它的可值的一个估计点估计仅仅给出了参数有类似的问题

对于参数的估计也一定落入这个区间内量也就是说给出一个区间这个近似值的误差

给出在工程技术上还要同时得到它的一个近似值通过测量和计算如某工件的长度对于一个量

a a

a

,a

, a,

西南科技大学网络教育课

程

3 - 2

3.1 置信区间与置信限

称为置信度。　信上限，

的置信下限和置分别称为置信度为和间，

的置信区的置信度为是　则称随机区间

　 满足

　 和　，统计量　

，若对于给定值知参数式已知，但其中含有未的形的分布函数设总体

1

1ˆˆ

1)ˆ ,ˆ(

1}ˆˆ{P

:)X,,X,X(ˆˆ

)X,,X,X(ˆˆ)10(

);x(FX

21

21

21

n2122

n2111

西南科技大学网络教育课

程

3 - 3

注：

的真值。个包含个观察值中有的

粗略地说，在随机区间的真值。的概率包含以

　，说明，则置信度为。如取为

的概率的真值时，这个区间包含当置信度为含。数的真值，有的则不包这些区间中有的包含参。在样本值对应不同的区间它是随机区间，不同的

区间，置信区间不同于一般的

95100)ˆ,ˆ(

95.0

)ˆ,ˆ(95.005.01

1

21

21

西南科技大学网络教育课

程

3 - 4

的置信区间。的置信度为求样本

的是来自设未知已知设总体例

1,

XX,, X,X ,

, ),,N(~X .1

n21

22

的置信区间：的一个置信度为故我们得到

　 　

，即　分位点的定义，有

上数，按标准正态分布的且不依赖于任何其它参

，的无偏估计，及是　解 因

1

.1}zn

Xzn

X{P

1}z|n

X{|P

)1,0(N~n

XX

2/2/

2

2u

2u

2u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 5

注 : 10.(4.71, 5.69) 已不是一个随机区间 , 但仍称它为置信度为 0.95 的置信区间 , 其直观含义是：若反复抽样多次 , 每个样本值 (n =16) 均确定一个区间 , 在这么多的区间中 , 包含的约占 95%, 不包含的约占 5% 。现抽样得到的区间 (4.71, 5.69) 属于那些包含的区间的可信度为 95%, 或“该区间包含”这一事实的可信度为 95% .

).69.5 ,71.4(

20.5x

)49.0X()1696.1X(95.0

16n ,196.1z

05.0)zn

X(

)zn

X ,zn

X(

2/

2/

2/2/

则得，本均值的观察值若由一个样本值算得样

。　的区间：度为

，于是可得一个置信，若则有

，。如取　或记为

　 　 　

2u

2u 2u

2u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 6

置信区间最短。取双侧分位点时分布　 或分布对称的随机变量如正态　 对于密度函数为单峰

一般地置信区间越短越好置信度相同时　 显然区间可以有各种不同的置信对于同一未知参数

,,t

, , , ,

, , 30

的置信区间。　 度为

的置信也是　 可得

如在上例中，若取置信区间是不唯一的。

95.0

)zn

X,zn

X(

,95.0}zn

Xz{P

2

04.001.0

01.004.0

0

01.0u04.0u

04.0u01.0u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 7

求置信区间的一般步骤 :

1. 设法构造一个随机变量 Z=Z(X1, X2, …, Xn;), 除了参数外 , Z 不包含其他任何未知参数 , Z 的分布已知 ( 或可求出 ), 并且不依赖于参数 , 也不依赖于其他任何未知参数。

1}b);X,,X,X(Za{P

,b,a,1.2

n21

使得求出对于给定的置信度

.

)b,a;X,,X,X(ˆ)b,a;X,,X,X(ˆ

b);X,,X,X(Za .3

n212n211

n21

的置信区间这样就得到了

解得由不等式

西南科技大学网络教育课

程

3 - 8

3.2 单参数分布族的置信区间.X,X,X),,(N~X 21

2 是一个样本设总体 n ,

例 2. 有一大批糖果，现从中随机地取 16 袋，称得重量如下：

设袋装糖果的重量近似地服从 分布，试求：总体均值 μ 的置信度为 0.95 的置信区间。

506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496

)6,( 2N

).zn

X(

11n

XZ

.1

2/

2

　置信区间：

的的置信度为可得，由例选取

的置信区间。已知时，求当

U

2u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 9

2)1(

)1(

1

,)1(~1.3.1,)1(

.2

22,2

2

2

2

2

2

nSn

P

nZSn

Z

，注意到给定的置信度于任何未知参数。对于

不依赖知由定理考虑

的置信区间：求

96.1

16

675.5031 2

un

X置信区间为的

2

)1()1(

1

)1()1(

221,2

2

221,2

2

nSn

P

nSn

P

)1(22/ n)1(2

2/1 n

2

2

西南科技大学网络教育课

程

3 - 10

).)1n(

S1n

)1n(

S1n(

1

))1n(

S)1n(

)1n(

S)1n((

1

1)}1n(S)1n(

)1n({P

22/1

22/

22/1

2

22/

2

2

22/2

22

2/1

　，

的置信区间为的置信度为而

　，

的置信区间为的置信度为

故有

西南科技大学网络教育课

程

3 - 11

.60.958.4262.6

2022.615

488.27

2022.615

2022.6s

,262.6)15(,488.27)15(

.151n975.02/1025.02/2

975.02

025.0

　，　，即　，

的置信区间为，故得所求的标准差　又

　　查表得

，　，　解 现在

的知信区间。的置信度为中总体标准差求例例 95.02 3.

3.3 存在讨厌参数时的置信区间 在参数估计中。可能不仅有待估参数，而且有其他参数，通常称为“讨厌参数”或“多余参数”，在此仅对正态总体进行讨论。

西南科技大学网络教育课

程

3 - 12

，不依赖于任何未知参数～而

变量的无偏估计，构造随机是未知，考虑因解：

的置信区间。未知时，求当～设总体

)1(,

),(.1222

22

ntZnS

XZ

S

NX

.)1(

1

2

ntn

SX

的置信区间：为的置信度可得

1)1()1( 22 ntnS

XntP有

2

2

)1(t 2/ n )1(t 2/ n

西南科技大学网络教育课

程

3 - 13

。，　，即　区间为

的置信的置信度为　 由上式得均值

，　，由给出的数据算得，，，　解 这里

1.5074.5001315.216

2022.675.503

95.0.2022.6s

75.503x1315.2)15(t

151n025.02/95.01

025.0

例 4. 有一大批糖果，现从中随机地取 16 袋称得重量如下：

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值 μ 的置信度为 0.95 的置信区间。

514 505 493 496 506 502 509 496506 508 499 503 504 510 497 512

西南科技大学网络教育课

程

3 - 14

. 2

) 1 ( ) 1 (

, 1 1

) 2 (

1

). 2 ( ~

1 1

,

, , . 3

2

2 1

2 2 2

2 1 1 2

2 1

2 1 2 /

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1 2 2 2

2 2 1

p p p

p

p

S S n n

S n S n S

n n

S n n t Y X

n n t

n n

S

Y X

， 此处　

的置信区间为 的置信度为 从而可知

） （ ） （

此时： 的置信区间

求 未知时 但

的近似置信区间。的置信度为

　来作为　可用

则即可实用上一般大于都很大和此时只要

的置信区间求均未知时和当

1

nSnSzYX

),50(nn

, .2

212221

212/

21

2122

21

2u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 15

等，由假设两总体的方差相样本是相互独立的。又别来自两个总体的按实际情况，可认为分解 :

的置信区间。 的置信度为 总体均值差

两 为它们的方差相等。求 布，且由生产过程可认

服从正态分 。假设两总体都近似地

。标准差 口速度的平均值为

发，得到枪 型子弹 ，随机地取 差

，标准 均值 发，得到枪口速度的平

型子弹 地取 子弹的枪口速度，随机

两种型号步枪 ， 为比较 例

95 . 0 -

(m/s) 20 . 1 s

) m/s ( 496 x

20 II (m/s) 10 . 1 s

) m/s ( 500 x 10

I

II I . 5

2 1

2

2

1

1

西南科技大学网络教育课

程

3 - 16

).93.4,07.3(

)93.04()20/110/1)28(t(

95.0

1688.1

28/)20.11910.19(0484.2)28(t

025.021

21

222025.0

即

，

的置信区间是度为

的置信，所求的两总体均值差故

，，

p

p

p

Sxx

S

S

，，，，于均值差的置信区间。由种情况求但数值未知，故可由第

282nn20n10n95.01

3

2121

本题中的置信下限大于零，在实际中可认为 μ1 比 μ2 大。说明：

西南科技大学网络教育课

程

3 - 17

4. 两个总体方差比的置信区间 :

数，由此得且不依赖于任何未知参

　 　

分布的定义知由相互独立，与且由假设知

情况，由于未知的仅讨论总体均值

),1n,1n(F~

)1n(S)1n(

)1n(S)1n(

S

S

F

S)1n(S)1n(

),1n(~S)1n(

),1n(~S)1n(

,

21

222

222

121

211

22

22

21

21

22

222

21

211

222

2222

122

1211

21

～～

～

西南科技大学网络教育课

程

3 - 18

).)1n,1n(F

1

S

S ,

)1n,1n(F

1

S

S(

1

1})1n,1n(F

1

S

S

)1n,1n(F

1

S

S{P

1)}1n,1n(F

S

S)1n,1n(F{P

21

21

22

21

21

2

22

21

22

21

21

21

22

21

22

21

21

2

22

21

21

2

22

22

21

21

21

21

　 　

的置信区间为的一个置信度为于是得到

　，　 　 　 　 　 　

　即有

，　 　 　 　 　

西南科技大学网络教育课

程

3 - 19

,59.2)12,17(F)1n,1n(F,10.0

,29.0s,13n,34.0s,18n:

05.0212/

222

211

现在解

的置信区间。

的置信度为均未知，试求方差比

，这里和布的内径分别服从正态分

生产的管子、机器设机器设两样本相互独立，且

。只，测得样本方差生产的管子机器

；抽取只，测得样本方差产的管子

生取机器的钢管的内径，随机抽生产和机器研究由机器例

90.0

)2,1i(,

),(N),(N

BA

)mm(29.0s13B

)mm(34.0s18

A

BA .5

22

21

2ii

222

211

222

221

例 6.

西南科技大学网络教育课

程

3 - 20

两者没有显著差别。

在实际中我们认为的置信区间包含由于

　，　 　 　即　，　 　

的置信区间为的一个置信度为于是可得

22

21

22

21

22

21

,,1

).79.245.0( )38.229.0

34.0

59.2

1

29.0

34.0(

90.0

,38.2

1

)17,12(F

1

)12,17(F)12,17(F

05.0

95.02/1

西南科技大学网络教育课

程

3 - 21

3.4 渐近置信区间

在本节中，介绍利用统计量的相合渐近正态性来构造渐近置信区间的方法。

,1)ˆˆ(

ˆˆ

,1)ˆˆ(lim

]ˆ,ˆ[,1

21

21

21

21

nn

nn

nnn

nn

P

nn

P

充分大时，代表样本容量，当下标中的、其中

满足置信区间对给定的置信水平

的置信区间。的渐近水平称为因此 1]ˆ,ˆ[ 21 nn

西南科技大学网络教育课

程

3 - 22

，代替的一个相合估计，另外再用代替所以用

正态分布，均方差渐近地服从标准减去它的数学期望除以是相合渐近正态估计，很大时，估计量只要样本容量

，型还是连续型随机变量也即是说，无论是离散

nn

n

ˆˆ

ˆ

.)ˆ,ˆ(ˆˆˆ,

ˆˆ

1

ˆˆ,ˆˆ

1

)ˆ,ˆ(ˆ

22

22

nnnn

nnnn

nnnn

un

un

uu

其中

的渐近置信区间：另一种形式的水平

的渐近置信区间：到水平代入上述区间，得将

西南科技大学网络教育课

程

3 - 23

为单位信息阵。）（）（

的场合。的对角元，在样本为对应于参数的）（为信息阵的逆矩阵）（

）（则

估计，的），（为）（设对双参数，

,,ˆ,ˆˆ

..

,,

ˆ,ˆˆ

ˆ,ˆ

21

1

21

II

dii

II

I

ML

nnnn

nn

nnnn

nn

的对角元。的对应于），的逆矩阵）， (( 1II

当信息阵的函数形式难以求得时，还可以用对数似然函数关于参数的负二阶偏导数（阵）在 ML 估计的值代替信息阵。

西南科技大学网络教育课

程

3 - 24

例 3.4.1 ( 见教材 P121)

1)1(

)(

)1()ˆ()ˆ(ˆ

1)()(

.10,),1(~

22 upp

pXnuP

n

pppVarppEXp

pXVarpXE

pBX

有

分布即

n

XXuX

n

XXuX

p

)1(,

)1(

:1

22

渐近置信区间为的

西南科技大学网络教育课

程

3 - 25

例 3.4.2 ( 见教材 P122)

对韦布尔分布在例 2.4.3 中

221

1121

1222121122211

1

2221

1211 )(

aH

hh

hhhhhhH

hh

hhH

的元素对角元为

的阵对应于参数负二阶偏导矩阵的逆矩

22

211221222111122

ˆˆ,ˆˆ

1

)()(

uu

hhhhhhh

nnnn

渐近置信区间为：的由此可得

西南科技大学网络教育课

程

3 - 26

3.

.S,YS,X

),(N

Y,...,Y,Y),(N

X,...,X,X

22

21

222

n21211

n21

2

1

和样本均值、方差分别为

相互独立。并设的样本，且这两组样本体

是来自第二个总的样本；总体

是来自第一个设

)nn,(N~YX

)n/,(N~Y),n/,(N~X

Y,X,

YX,,Y,X

, .1

2221

2121

22221

211

2121

2122

21

得

的独立性以及由偏估计

的无也是故的无偏估计分别为

的置信区间求已知时和当

),1,0(N~nn

)(YX

2221

21

21

或

).nnYX(

1

2221

212/

21

z

的置信区间的一个置信度为即可得到

2u

西南科技大学网络教育课

程

3 - 27

第 3 章结束

. 2

) 1 ( ) 1 (

, 1 1

) 2 (

1

). 2 ( ~

1 1

,

, , . 2

2

2 1

2 2 2

2 1 1 2

2 1

2 1 2 /

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1 2 2 2

2 2 1

p p p

p

p

S S n n

S n S n S

n n

S n n t Y X

n n t

n n

S

Y X

， 此处　

的置信区间为 的置信度为 从而可知

） （ ） （

此时： 的置信区间

求 未知时 但

～

西南科技大学网络教育课

程

3 - 28