第四章 流体动力学分析基础 § 4.1 系统与控制体§ 4.2 雷诺输运定理§ 4.3 流动的连续性方程§ 4.4 理想流体的能量方程§ 4.5 不可压理想流体一维流动的伯努利方程及其应用§ 4.6 动量定理§ 4.7 角动量定理§ 4.8 微分形式的守恒方程§ 4.9 定常欧拉运动微分方程的积分求解

质量守恒

( )

dd 0

d tt

§4.3 流体流动的连续性方程 一、连续性方程（质量守恒定律）

拉格朗日方法 :

欧拉方法 :

( )

d d 0S

V n St

����������������������������

特定条件下的连续性方程 一维定常流动 :

不可压缩流体 :

u A5A

例 : 求当活塞以速度 u 运动时 , 气缸出口处的流体的速度 .( 假设流体为不可压流体 )

j

n

例、塞车“激波”面的传播速度

已知：被堵塞路段上车流速度为零，车流密度为（辆 / 米），未堵塞路段上车辆速度为 u ，车流密度为 （辆 / 米），求堵塞路段与未堵塞路段交界面（塞车激波面）的传播速度 U 。

u u u u

U

x

y

1

2

例、已知：板 1 的运动速度为 U ，板 2 静止，求两

块板间流体的流动速度。

h

流体型反共振隔振器

外壳浮体

H h wL

粘性流体

浮体以速度 U 运动时 , 浮体与外壳间流体的运动速度为多大 ?

对有限控制体积成立的积分形式的能量方程为

se 为单位质量流体储存能

为外界单位时间输入控制体的传热；Q

为外界对控制体所做功，一般指作用在控制面表面力单位时间所做的功

W

2

2s u

ve e gz

根据热力学第一定律 : dE

Q Wdt

4.4 理想流体的能量方程

d + d =s se e V n S Q Wt

����������������������������

机械能守恒 :

流动定常

2 2

( )

( )d ( ) d2 2S

V Vgz gz V n S W

t

����������������������������

2

( )

( ) d2S

Vgz V n S W

����������������������������

§4.5 理想流体一维流动的伯努利方程

机械能守恒 :

2 22 1

2 2 2 2 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2

( ) ( )2 2

V VA V gz AV gz

p V A p V A

伯努利方程 :

2 22 2 1 1

2 12 12 2

V p V pgz gz

2

2

V pgz C

总水头 对单位重量流体，伯努利方程为 H

g

Vpz

2

2

理想流体沿流线的总水头

第一项为位置水头

第二项为压力水头

这二项之和为静水头。

第三项 为速度水头，或称为动压头。

三项之和称为总水头

伯努里方程的应用一、皮托管（ Pitot pipe ）皮托管测流速，伯努里方程 .

１．测量河水流速

2( )

2

B A B

gV p p

gh

２ . 测量封闭管道内流体的流速

2

2 v

p pv g

gh

2 2 v

p pv g gh

考虑粘性：

[ 例 ] 毕托测速管

已知 : 设毕托管正前方的流速保持为 v, 静压强为 p, 流体密度为 ρ,U 形管中液体密度 ρm . 求：用液位差 Δh 表示流速v 。

21( )

2m g h v

( 1) 2mv g h

粘性修正 :

[ 例 ] 文德利流量计已知 : 文德利管如图所示设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件，截面为 A1 、 A2 ，流体密度为ρ. 求：管内流量 Q

2 21 1 2 2

1 22 2

V p V pgz gz

hgVV m

)1(

2

21

22

12 1

2

AV V

A

1 2V g h 2

21 2

( / ) 1

( / ) 1m

A A

[ 例 ] 小孔出流

已知 : 图示一敞口贮水箱 ,孔与液面的垂直距离为 h( 淹深 ).设水位保持不变 .

求： (1) 出流速度 v ，

(2) 出流流量Q 。

1 22 ( ) 2v g z z gh

1

2

eA

A 缩颈系数 :

小孔出流量 : 2eQ vA v A A gh

空化现象

随着流速增大 , 压强减少 , 可能出现空化现象

h

ap

ev

ap

1h

1 1

2212ev gh

例：液体由虹吸管流出，保持 h1 不变，改变 h’ ，当 h’ 足够大时流动将中断，试确定 h’ 的最大值。已知液体的饱和压强（蒸汽压强）为 pv ，不考虑流体的粘性影响。

3 ev v

3

2

max 2a v ep p v

hg g g

max 1a vp p

h hg

出口流速 :

最高点流速 :

沿程有机械能损失的伯努利方程

2

221 1 2

1 2 1 22 2 w

Vp V pz z h

g g

1 2 :wh 流动中损失的水头

离心泵装置示意图

【例 】 有一离心水泵装置如图所示。已知该泵的输水量Qv=60m3/h ，吸水管内径 d=150mm ，吸水管路的总水头损失

hw=0.5mHO2 ，水泵入口 2—

2 处，真空表读数为450mmHg ，若吸水池的面积足够大，试求此时泵的吸水高度

Hg 为多少 ?

【解 】 选取吸水池液面 l—1 和泵进口截面 2—2 这两个缓变流截面列伯努利方程，并以 1—1 为基准面，则得

2 2a 1 2 2

w02 2g

p V p Vh h

g g g g

2 2 2

4 4 600.94( / )

3600 3.14 0.15Vq

V m sd

45.01330002 app

2p

22

w

133000 0.45

2

5.56( )

g

Vh h

g g

m

将 V2 和 p2 代入上式可得

为泵吸入口截面 2—2 处的绝对压强，其值为

因为吸水池面积足够大，故 V1=0 。并且

§4.6 动量方程

( )

t

dVd F

dt

����������������������������

拉格朗日方法：

欧拉方法：

( ) d

SVd VV n S F

t

����������������������������������������������������������������������

控制体内动量的变化率

流入或流出控制体的动量

作用在控制体上的合力

拉格朗日方法：

欧拉方法：

拉格朗日方法：

欧拉方法：

拉格朗日方法：

定常流动动量方程分量形式：

xu V ndS F

����������������������������

y

v V ndA F

����������������������������

zw V ndA F

����������������������������

离散化形式：( ) ( )out in xQu Qu F

( ) ( )out in yQv Qv F

( ) ( )out in zQw Qw F

例 ：已知矩形平板闸下出流， B=6m, H=5m, hc=1m,

Q=30m3/s 不计水头损失。求水流对闸门的推力

z

P0

Pc

0

0

H

R

hc

c

c

xO

2 20

1 1( )

2 2 c cR gH B gh B Q V V

例 ：已知水平放置弯管 p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm

d2=100mm a = 450 ， 不计水头损失。

求 : 水流作用于弯管上的力 。

ap1

1

1

2

2

p2

x

y

2 16 / ,V m s 30.126 / ,Q m s 2 22( )p kpa

2 1 1 1 2 2( cos ) cos xQ V a V p A p A a R

2 2 2sin sin yQV a p A a R Rx= -2.328(kN) Ry=1.303(kN)

§ 4.7 动量矩定理及其应用

拉格朗日方法：

欧拉方法：

控制体内动量矩的变化率

流入或流出控制体的动量矩

作用在控制体上的合力矩

拉格朗日方法：

欧拉方法：

拉格朗日方法：

( ) do o oS

r Vd r VV n S Mt

��������������������������������������������������������������������������������������������������

欧拉方法：

( ) o ot

dr Vd M

dt

������������������������������������������

V

R R

Vω

例： 图示为一洒水器 , 流量为 2Q 的水以速度 V 由转轴流入转臂 , 喷嘴与圆周切线的夹角为 , 喷嘴面积为 A,不计损失 , 转臂半径为 R，所受外力矩为零。

试求 : 洒水器的旋转角速度 。

2d ( )d d 0o o r zr u r re V e r et t t

������������������������������������������������������������������������������������

22 ( cos ) 0Q VR R cosV

R

旋转叶轮机械的动量矩方程 :

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1cos cos

M Q r v r v

Q r v rv

＝

§4.8 微分形式的守恒方程 一 . 流体流动的连续性方程

0CV CS

d V ndAt

����������������������������

[ ( )] 0CV

V dVt

0)(

Vt

二 . 理想流体的运动微分方程

1 ( )

VV V f p

t

dV

f pdt

��������������

三 . 不可压缩粘性流体的运动微分程

21 ( )

VV V f p V

t

��������������

.肆 边界条件

壁面条件 :

理想流体

粘性流体

速度入口 :

压力入口 :

0V n ����������������������������

0V ��������������

V U����������������������������

0p p