第三章理想流体动力学基本方程

第三章理想流体动力学基本方程第三章理想流体动力学基本方程§ 3-1 描述流体运动的两种方法§ 3-2 迹线、流线和流管§ 3-3 连续性方程质量守恒方程§ 3-4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程§ 3-5 理想流体定常运动的伯努利方程§ 3-6 压强沿流线法向的变化§ 3-7 总流的伯努利方程§ 3-8 伯努利方程应用举例§ 3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程§ 3-10 动量方程和动量矩方程应用举例

§3-1 描述流体运动的两种方法

二、流体质点的加速度三、流动的分类　

一、欧拉法与拉格朗日法

流体质点空间点

空间点指流场中的固定位置，流体质点不断流过这些空间点。

空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。

第三章理想流体动力学基本方程

拉格朗日法 — 质点跟踪法

),,,(

),,,(

),,,(

tcbazz

tcbayy

tcbaxx

位移为基本变量

欧拉法 — 定点观察法

)(

)(

)(

x, y, z, tww

x, y, z, tvv

x, y, z, tuu

速度为基本变量

压力、密度的表达 ?压力、密度的表达 ?) , , ,(

) , , ,(

tzyx

tzyxpp

用不同的方法描述同一个流场！

3.1 描述流体运动的两种方法

dt

dwa

dt

dva

dt

dua zyx , ,

二、流体质点的加速度　

用欧拉法表示

)( , trV )ΔΔ( t, t rrVV

rΔ

t

d

d

V

tt Δ

Δlim

0Δ

V

t

tttt Δ

),()Δ,Δ(lim

0Δ

rVrrV

a


t

u

dt

du

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

dz

z

u

dt

dx

x

u

dt

dy

y

u

数学表达为复合函数对 t 求导。

——————— 对流加速度

（迁移加速度）

—加速度

—局部加速度

( 时变加速度 )

z

uw

y

uv

x

uu

t

uax

加速度有三个分量：　z

vw

y

vv

x

vu

t

vay

z

ww

y

wv

x

wu

t

waz

例如 u=(x, y, z, t)

流体质点的速度


流体质点物理量的随体导数（或物质导数）

zw

yv

xu

tdt

d

___

全导数 ___

局部导数_______________

对流导数

如：流体质点密度的时间变化率为

zw

yv

xu

tdt

d

___

全导数 ___

局部导数_______________

对流导数


对流加速度：由于截面面积变化，流体质点的速度沿流程变化。

1 2 3 x

1 2 3 x举

例

局部加速度：随着流量变化，不同时间经过同一点的流体质点速度不同。

流量随时间变化的变截面管流动


c

b

a .

..

? 0 ? 0

t

p

t

u

(1) 定常流动和非定常流动空间点上的流动参数是否随时间变化？(2) 一元流动、二元流动和三元流动

区别流动参数对自变量的依赖程度

三、流动的分类 ( 欧拉法 )

c

b

a ..

. ? 0 ? 0

t

p

t

u


（ 2 ）一元流动、二元流动和三元流动

1 2 3 x

1 2 3 x

喷管内粘性流体流动的速度分布

实际流动 u=u(x, y, z, t) 三元流动考虑平均流速 V=V(x, t) 一元流动考虑轴对称， u=u(r, x, t) 二元流动

流动参数的变化与几个空间坐标有关？


绕无限翼展的二元流动

z

x y


绕有限翼展的三元流动

z

x y


1. 迹线

流场中流体质点的运动轨迹

在流动的水面上洒一小片细木屑，木屑随水流漂流的途径就可看成是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。

一、迹线、流线与脉线

例

§3-2 迹线、流线和流管§3-2 迹线、流线和流管


ds V

2. 流线

某一瞬时在流场中标出的曲线，曲线上流体质点的速度方向与曲线的切线方向一致。

4 2 3 51

3.2 迹线、流线和流管

粘性流体绕圆柱体的平面流动

由静止开始绕过圆柱的流动。流速是很快地增加然后保持恒定。


流线特点

1. 同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，流线表示该时刻流场中质点的速度方向；

2. 流线密集程度表示速度的大小；

4. 流线不能相交和分叉，除非相交于驻点或奇点。

3. 定常流动时，流线和迹线重合；


奇点 : 点源的例子

奇点

流线特点


流线特点

驻点 : 钝体绕流的例子

驻点驻点

( 理想流体平面流动 )


3. 脉线

某一瞬时在流场中标出的曲线，曲线上所有流体质点来自同一空间位置。


c

b

a定常流动和非定常流动的流线、迹线与脉线

.

.

.

两矢量方向相同

),,( dzdydxds ),,( wvuV

4. 流线的微分方程

0dsV

流线微元矢流体质点速度矢


两个矢量的矢量积等于零

0

dzdydx

wvu

k j i

dsV

0 wdyvdz

0 udzwdx0 vdxudy

t 是参变量

),,,(),,,(),,,( tzyxw

dz

tzyxv

dy

tzyxu

dx

流线的微分方程


例 . 已知不可压缩流动的速度场 u=x+t ， v=y+t ， w=

0

　求 t = ０时刻，过点（ 1, 1, 0 ）流线。

0

dz

ty

dy

tx

dx

积分得两曲面方程，其交线即流线

解 . 非定常二元流动的流线方程（ t 不参加积分）

例

题Ctytx )ln()ln(

t = ０过点 (1, 1, 0) 的流线

2

1))((

Cz

Ctytx

0

1

z

xy (1, 1 )

5. 流管和流束

在流场中通过一条封闭曲线（不是流线）上各点作流线，所组成的管状曲面称之为流管。

流体限制在流管内流动

微元流束和总流的定义？


6. 有效截面处处与流线垂直的截面称为有效截面

局部平行流的有效截面是平面

二、流量

体积流量 A

ndAVQ有效截面上

A

VdAQ


一元、不可压缩、理想流动的三个基本方程一元、不可压缩、理想流动的三个基本方程

质量守恒定律

能量守恒定律

动量守恒定律

质量守恒定律

能量守恒定律

动量守恒定律

连续性方程

伯努利方程

动量方程

连续性方程

伯努利方程

动量方程


控制面控制体的边界面控制体选定坐标系中的固定空间区域

一、系统与控制体

控制面

控制体连接管道的突然扩大段


§3-3 连续性方程质量守恒方程

A 、 V 、 —有效截面的面积、平均流速、平均密度

定常总流

不可压缩总流

VA= C

VA= C

二、定常流动中总流的连续性方程

3.3 连续性方程质量守恒方程

例 . 输水圆管截面直径 d1=0.05m ， d2=0.1m ，进口 V1=0.2 m/s ，求出口 V2及流量 Q 。

V1A1=V2A2

V2 = V1(d1/ d2)2 =0.05m/s

Q=V1A1=V1d21/4 =3.910-4m3/s

解 .

由不可压缩流动连续性条件　

A1 V1 A2 V2

例

题得

dxdy

dzA B

三、微分形式的连续性方程式

dt 时间内，经过 y 方向两微元面净流入的质量

wvu ,,,

dxdzdydtvy

)(

微元控制体

2

)( dy

y

vv

2

)( dy

y

vv

dt 时间内，经过控制面净流入控制体的质量

dxdzdydtvy

)(

dydzdxdtux

)(

dxdydzdtwz

)(

dt 时间内，控制体内密度变化引起的质量增加

dxdydzdtt

dxdydzdxdydzdtt

)(

连续性条件：控制体内质量增长率 =净流入质量流量


可压缩流体非定常流动的连续性方程

0)()()(

z

w

y

v

x

u

t

0

)()()(

z

w

y

v

x

u

t

可压缩流体定常流动的连续性方程

0)()()(

z

w

y

v

x

u 0

)()()(

z

w

y

v

x

u

不可压缩流体流动的连续性方程

0)(

z

w

y

v

x

u

dt

d 0)(

z

w

y

v

x

u

dt

d 0

z

w

y

v

x

u0

z

w

y

v

x

u


dyyx

xym222

22

)(2

由 y =0, v=0 得 f (x)=0

用极坐标表示

解

222 yx

xmu

0

y

v

x

u

由不可压缩条件

积分求出 y 方向速度分量

dyx

uv

，在 x 轴各点 v

=0 。求 y 方向速度分量及通过任一围绕原点的圆的流量Q 。 m 为常数。

例 . 已知平面不可压缩流动

例

题

)(xf

222 yx

ymv

过任一绕原点圆的流量 Q=m

222 yx

ymv

0 ,2

V

r

mVr

y vr

x

点源流

一、欧拉运动方程

§3-4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程

运动的理想流体，加速度可以不等于零

理想流体

静止流体

（流体微团无相对运动）

（ =0 ）

比较静止流体和运动的理想流体

表面应力只有压强

表面应力只有压强

，切应力为零

，切应力为零

二、积分形式的动量方程二、积分形式的动量方程


欧拉平衡方程

2

dy

y

pp

2

dy

y

pp

dxdy

dz

f

a

A B

流体微团的受力分析

y 方向的表面力

在形心 M （ x 、 y 、 z ）定义 p 、 f、 u 、 a

欧拉运动方程

理想流体运动微分方程

01

z

pf z

01

y

pf y

01

x

pf x dt

du

dt

dv

dt

dw

3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程

动量定理

F

A A

dApddAdt

nfnVV

V)(

)(

二、积分形式的动量方程

FV )(mdt

d系统的动量定理

mV — 质点或系统的总动量 F — 质点或系统受到的外力

FVddt

d

控制体动量方程（无粘性力）

A

mV

定常流动经过控制面的

动量流量积分形式的动量方程


A A

n dApddAV

nfV

理想流体、定常流动

积分形式的动量方程 — 控制体体积 A — 控制体表面积

经过控制面的动量流量


曲率半径

微团速度

§3-5 理想流体定常运动的伯努利方程

r

Var

2

dt

dVas

定常流动，迹线与流线重合1. 在自然坐标下分解加速度2. 沿流线积分运动方程

s

VV

t

Vas


一、理想流体沿流线的伯努利方程

2. 沿流线积分运动方程

cosgf s s

zg

s

pf

s

VV

t

Vs

1

欧拉运动方程欧拉运动方程

不可压缩，定常流动，重力场

01

s

p

s

zg

s

VV

方程可写为 0)2

(2

Vp

gzs

沿流线积分得伯努利方程 Cg

V

g

pz

2

2

3-5. 理想流体定常运动的伯努利方程

Cg

V

g

pz

2

2

沿流线单位重量流体的机械能守恒

应用条件理想、

沿流线适用重力流体、不可压缩、定常、

物理意义

（无旋流动，伯努利方程在全流场适用）

二、伯努利方程的意义


Cg

pz

由伯努利方程

由连续性条件

几何意义

34 pp 32 pp

g

V

2

22

g

p

2

g

V

2

23

g

V

2

24

g

p

3

g

p

4

p= ？

CVA

H Cg

V

g

pz

2

2

H

01234 VVVV

沿流线单位重量流体的总能头守恒


§3-6 压强沿流线法向的变化

流线法向的运动方程

r

pf

r

Vr

12

质量力为重力cosgfr

r

zg

r

Var

2

缓变流（曲率很小）沿流线法向的压强分布

Cg

pz


常数 2

g

u

g

pz

g

u

g

pz

2

2

222

2

2

11

1

2211 dAudAudQ

微元流束的连续性条件

微元流束的伯努利方程

1 2

u1

dA1 dA2

1 2 u2

2

1

由微元流束的伯努利方程导出总流的伯努利方程（能量关系式）

) (gd Q dQg) (

§3-7 总流的伯努利方程

代平均值常数 1 代平均值

在两个缓变流截面上积分

∫ A1

∫ A2

g

VQ

g

pzQ

g

VQ

g

pzQ

2g)(g

2g)(g

2222

2

2111

1

在总流的两个缓变流截面上积分得

g

V

g

pz

g

V

g

pz

22

2222

2

2211

1

理想流体总流的伯努利方程

— 动能修正系数


应用条件

(四 ) 选定基准面和压强度量标准

( 三 ) 在缓变流截面的同一点取压强、位置值

( 二 ) 两截面处为缓变流

( 一 ) 理想、不可压缩、重力流、定常流动

g

V

g

pz

g

V

g

pz

22

2222

2

2111

1

3.7 总流的伯努利方程

二、文丘里流量计三、虹吸管出流

一、皮托管测量流速ghV 2

PB 静压

V

PA 总压

§3-8 伯努利方程应用举例§3-8 伯努利方程应用举例

理想、不可压缩、重力流体、定常流动、沿流线（或沿总流的两个缓变流截面）


g

V

g

pz

g

V

g

pz BB

BA

A

A

22

22

)(22

g

ppzzgVV BA

BAB A

B A

皮托管测速原理

（ 1 ）用伯努利方程求速度与压强的关系

pA 总压pB 静压

0AV

3.8 伯努利方程应用举例

)(2g

ppzzgV BA

BAB

)1(2

ghVB

B

———— z=0

ghppzzg BABA )'()()(

AA gzp

速度修正系数

（ 2 ）测量静压强差

A

Bp )( hzg B gh'等压面上两点的静压强

代入测速公式


二、文丘里流量计

已知管径和密度，由两截面压差求流量

=1

g

V

g

pz

g

V

g

pz

22

2

22

2

11

21

联立求解总流的两个方程

2211 AVAV

2

2

112 )(

d

dVV

(1) 连续性条件

g

ppzz

d

d

g

V

21

214

1

2

2

))(1(2

2

(2) 总流伯努利方程

4

1

2

2121

2

)(1

)(2

dd

gpp

zzgV


缓变流截面和测压管内有

即

(3) 测压管给出压强水头和位置水头差

用速度公式

4

1

2

21212

2

)(1

)(2

4dd

gpp

zzgd

Q

Cgpz /

gzppx 11

ghghzppx )( 22

hg

ppzz

2121

4

1

2

22

)(1

)1(2

4d

d

ghd

Q


H=4cmL=24cm

三、虹吸管出流等直径虹吸管出流，忽略粘性影响。求：（ 1 ）出口断面流速；（ 2 ）管内最大真空度。

=1

（ 1 ）在缓变流截面1 、 2列伯努利方程

解 .

g

V

g

pz

g

V

g

pz

22

2

22

2

11

21

0 , 121 Vppp a

smV /98.12

已知

得p、 z 用统一的基准度量


（ 2 ）在缓变流截面 1 、 A列伯努利方程

)(2 1

22 zzg

Vpp AaA

g

V

g

pz

g

V

g

pz AA

A 22

22

11

1

得

smVVA /98.12

由安装虹吸管的限制：管内最高点压强高于液体汽化压

真空度2/33.2 mkNppp Aav

H=4cmL=24cm


§3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程

在相对坐标系内的定常运动

s

pr

s

VV

1

cos2

coss

r

替换

方程写为可积形式

0)2

1

2( 22

2

p

rV

s

相对速度

离心力

不计重力

匀角速度旋转


沿流线积分得

Cp

rV

222

2

1

2

沿流线积分得

g

V

g

p

g

rr

g

V

g

p

22

)(

2

222

21

22

2211

设 H 为总水头

2

21

22

2

1 2

)(H

g

RRH

H1> H2 流体对叶轮做功

H2 > H1 叶轮对流体做功

若 1 、 2 为由外向内：

3.9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程

若 1 、 2 为由内向外：

动量定理动量定理

流体系统的动量定理控制体的动量方程一、不可压缩流体一元定常流动的动量方程二、不可压缩流体一元定常流动的动量矩方程三、动量方程和动量矩方程的应用

§3-10 动量方程和动量矩方程应用举例

FVddt

d


A A

n dApddAV

nfV

（理想流体、定常流动）

物理意义单位时间内净流出控制体的动量等于作用在控制体上的合外力

1. 积分形式的动量方程

控制体控制面控制面

一、不可压缩流体一元定常流动的动量方程一、不可压缩流体一元定常流动的动量方程

3.10 动量方程和动量矩方程应用举例

控制面上的动量交换（一元流动） 2 1 1

2

流管中的定常流动

控制面

控制体控制体


2. 不可压缩一元定常流动的动量方程

用平均速度表示动量流量1111122222 )()( VV AVAV

11112222 VV QQ

V 有效截面平均速度矢量动量修正系数

1AA

dAVdAV nn VV 2

单位时间内通过控制面净流出的动量


不可压缩一元定常流动的动量方程

iQ FVV 12 )( 12

动量方程是矢量方程 !

净流出控制体的动量流量

作用在控制体上的合外力


例 1 水平面内的水管弯头，入口截面平均压强 p1=

6.80104N/m2 , V1=1.5m/s ，求支持水管的水平力 F 。

p1

d1=0.15md2=0.075my

x

例

题

三、动量方程和动量矩方程的应用三、动量方程和动量矩方程的应用


例

题

y

x

解 . 第一步选定控制面，找出全部外力，写出

(Q

yFApVQ 222 )0(

222

111

QVApF

QVApF

y

x

动量方程的投影方程

即

11Ap xF )1V0

x 方向

y 方向

已知 p1, V1 , d1, d2

iQ FVV 12 )( 12

1

p1=6.8104Pa, V1=1.5m/s

d1= 0.15m, d2= 0.075m

例

题

y

x

第三步由伯努利方程求 p2

Fx=1241.4 NFy= 534.1 N

2

22

2112

/9.84

)(2

mkN

VVpp

第二步由连续性方程求 V2 和 Q

smd

dVV /6)( 2

2

112

smd

VQ /0265.04

32

11

222

111

QVApF

QVApF

y

x

求得支持力为


x y

P

例 2 已知平面射流速度 V0 、流量 Q0 和射流与平板交角，求平板受到的冲击力 P 和分流的流量 .

有自由射流的问题：（ 1 ）射流问题一般不计重力影响；（ 2 ）缓变流截面为大气压强 ;

（ 3 ）各缓变流截面的平均速度相等。

例

题

x y

P

22VQ

平板仅在法向受力

板面

dApp a nP )(

11VQ P 00VQ 0控制面

dApan

例

题

解 . 第一步选定控制面，列动量方程解 . 第一步选定控制面，列动量方程

（ 1 ）在板的垂直方向投影

（ 2 ）在板的平行方向投影0cos00 VQ

PVQ sin00 sin00VQP

cos002211 VQVQVQ )22VQ11( VQ

1


第三步补充连续性方程求分流量第三步补充连续性方程求分流量 021 QQQ

02 2

cos1QQ

01 2

cos1QQ

cos021 QQQ

021 VVV

第二步补充伯努利方程求流速第二步补充伯努利方程求流速 sin00VQP cos002211 VQVQVQ

例

题

x y

P


多个缓变流截面的分流问题：（ 1 ）用连续性条件；（ 2 ）每一对缓变流截面建立一个伯努利方程；（ 3 ）动量流量为矢量和。

绝对速度

例 3 已知 U 、 V0 、 Q0 和，求射流对匀速运动平板的作用力 F 和功率 P （在相对运动坐标系中解动量方程

）。

水流相对速度 V= V 0 - U

经过控制面的流量 Q =?

在相对坐标系内射流为定常流动：

控制体例

题

取 y 轴垂直于平板，动量方程在 y 方向投影0

VAQ

UVV 0

代入动量方程

)sin( QV F

0

00 )(

V

QUV

sin)(

0

20

0 V

UVQF

例

题

射流功率 2

0

20

0 sin)(

sinP UV

UVQFU


习题（一） 3-1

3-3


习题（二） 3-9

3-13

习题（三） 3-14

3-15

习题（四） 3-19

3-22

习题（五） 3-23

3-30

第三章 理想流体动力学基本方程

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第三章理想流体动力学基本方程