量纲分析建模一、单位与量

1、单位

数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有

相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含

如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关

注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问

题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量

的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度

是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。

如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确

定义：一组物理

量，若彼此相

互独立，且其

它物理量均是

这些物理量的

合乎某种规律

的组合，则称

这些物理量为

基本物理量。

物理量 量纲 单位 符号

长度 L 米 m

质量 M 千克 kg

时间 T 秒 s

电流强度 I 安培 A

温度 开尔文 K

光强 J 坎得拉 cd

物质的量 N 摩尔 mol

基本量信息表

Θ

2、基本物理

.系统运动问题都是MLT

，TLM 三个基本量纲涉及许多物理问题的研究只 ,,

示成任一物理量的量纲可表系统中在 ，MLT

7654321 ααααααα NJITMLQ Θ=

3、量

.系统我们称这样的问题为MLT

定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的

量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，

因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成

cba TLMQ =

1−LT速度2−LT加速度

2−MLT力22 −TML、 功能量

32 −TML功率1−T频率

21 −− TML压强

系统中各物理量的量纲在MLTM质量

T时间L长度

2−MT表面张力

3−ML密度

22 −TML转矩

1−MLT动量

22 −TML熵

22 −− TML比重12 −TML角动量

22 −TML热量

2ML转动惯量

1−T角速度2−T角加速度

11 −− TML粘性

4、量纲与单位的关系

1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。

2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。

)./(),/()/(,1

hkmskmsmLT

还可以是也可以是

但其单位可以是如速度的量纲是 −

3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度

4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。

二、量纲齐次性定理

.0),,(

0),,,(,

),,2,1( ),,( 0

, ,,][A

),2,1( ][

,, ,)(,,0),,(,,,

21

211

21

1

2121

2121

等价

与且个相互独立的无量纲量为则

个基础解为的

若齐次线性方程组维向量对其秩为称为量纲矩阵矩阵

的量纲可表为是基本量纲

理定律是与量纲选取无关的物个物理量是设

=

=−=

−==

−=

=

==

≤

=

−=

×

=

∏

∏

m

rm

m

j

yjk

Tkmkkk

mnij

n

ii

mn

mm

qqqf

Frmq

rmkyyyyrmAy

ymra

mjXq

qqqmnXXXqqqfmqqq

kj

ij

ππππ

α

定

分析及符号：单摆运动是指用细线悬挂的小球离开其平衡位

置后在重力的作用下所做的平面往复运动。与运动过程

相关的主要因素有：

三、建模实例

例子.：建模描述单摆的运动周期

运动周期

摆线长度

摆球质量

重力加速度

单摆的振幅

tlm

g

θ

θ

模型假设：

1、小球运动过程中不考虑空气阻力。

2、忽略地球自转对单摆运动的影响。

3、摆线是刚体，在单摆运动过程中不发生形变。

4、忽略摆轴处的摩擦力影响。

建立模型：我们先找到在问题分析中所提各物理量的量纲，它们分别

为： .1][ ,][ ,][ ,][ ,][ 2 ===== − θLTgMmLlTt

单摆运动的规律必可表示为 0),,,,( =θgmltF由于等式右端是无量纲量，所以等式左端的项应具有形式

πθααααα =54321 gmlt.表示无量纲量式中π

1)(][ 53424154321 22 === +−− ααααααααααα θθπ MLTLTMLT

于是有

θππ === −2

212

1 lgtglt

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===+=−

55

ααααααα

0002

3

32

41

该方程组的基础解系为： TT )1,0,0,0,0(,)0,1,0,1,2( 21 =−= ηη

于是有模

即 0),(),,,,( 21 == ππθ f0gmltF 等价于

gltkf )(),(),( 2121 θλππππ == 则有存在隐函数若

。， 定了该问题的模型就完全确若能确定 )(θλ

)( 定理定理量纲齐次性定理 −π，Buckingham

，xxxF n 是量纲齐次的方程 0),,,( 21 = 当且仅当它可表示成

0),,,( 21 =mf πππ

.,,2,1 为无量纲常数其中各 mii =π

.的幂指乘积均是各这里各 ii xπ

nan

aa xxx 11211211 =π

:例如

.:2 在管道内的稳定流动描述不可压缩粘性流体例

.1: 缩流体粘性均匀且不可压假设 、

相关因素： l管道长 v流速 ρ流体的密度

p管道两端的压强 µ粘性系数 g重力加速度

因素的量纲： ][ Ll =

齐次关系：1L][ απ =

.、2 力可以不计管道壁与流体间的磨擦

5436542654321 22-3 TL ααααααααααααα ++−−−+−−−+= M000TL M=

1][ −= LTv 3][ −= MLρ21][ −−= TMLp11][ −−= TMLµ2][ −= LTg

2)LT( -1 α 33 α）（ −ML 4)( 21 α−− TML 5)( 11 α−− TML 6)( 2 α−LT

方程组由此得一六个未知量的

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=++=+−−−+

022 - 0

03

6542

543

654321

ααααααα

αααααα

100

010

001

6

5

4

，，，

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ααα

令

,:

121 pv −−= ρπ

为的三个无量纲乘积分别于是与这六个参数有关

( )( )( ) 100021

010111 001120

T

3

2

T1

−=−−−=

−−=

eee

T得基础解系

,1112 µρπ −−−= vl glv 2

3 −=π0),,,,,( =gpvlF， µρ规律依据量纲齐次性原理

.0),,( 321 =πππf等价于

，p 量表示流动规律的结果变我们用流动中的压强

.),,( 321 即则可等价地写出 πππ h=

1 1 -3 -1 -1 10 0 1 1 1 0 0 -1 0 -2 -1 -2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

其系数矩阵为

22 3( , ).p v hρ π π=

量纲分析法建模的工作步骤

一、找出含目标因素在内的各主要相关因素。

二、写出含目标因素在内的各主要相关因素的量纲积。

。

、 i

常数该表达式的指数为待定量纲表达式

的纲量各主要相关因素的无量写出含目标因素在内的三

π

并求基础解系到齐次线性方程组利用量纲齐次性原理得四 ，、

的表达式各依据各基础解分别写出五 i、 π

.0),,,( 21 ikf、 ππππ 中解出含有目标因素的在六 =

:必须遵循的两个原则

..1 因素的多少要适中的目的因素的选择要紧扣建模 ，

..2 中一个只允许结果变量出现在基础解系的选择要保证 iπ

烤火鸡:问题 分钟每磅烤烤炉设置到烤火鸡的规则定为 20400: F，°

？这条规则合理吗

:因素 ,t烘烤时间 ,l火鸡的尺寸 ,mT∆烤鸡与烤炉的温差

,cT∆熟肉与烤炉的温差 k烤鸡的热传导系数

( )长度温度

时间面积能量 ×=k

变量

量纲

mT∆cT∆ k l t

21 −− TML 21 −− TML 12 −TL L T

问题1 不允许缺货的存贮模型

配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

问题分析若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准备费5000元，每天费用5000元；

若10天生产一次，每次1000件，存贮费900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；

若50天生产一次，每次5000件，存贮费4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元；

寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。

模型假设

1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；

2 产品每日的需求量为常数 r ；

3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；

4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量

降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即

不允许缺货。

模型建立

总费用与变量的关系

总费用=生产准备费+存贮费

存贮费=存贮单价*存贮量

存贮量=？

设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件，

存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，

直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。

ot

q

Q

T

rA

不允许缺货模型的存贮量q(t)

存贮量的计算

一个周期内存贮量 dttqT

∫0 )(

一个周期内存贮费 dttqcT

∫02 )(

2QT

= (A的面积)

一个周期的总费用

dttqccCT

∫+=021 )(

22

2

2121rTccQTcc +=+=

每天平均费用22

1 rTcTc

TCTC +==)(

2 2

1 rTcTcTCT +=)(min满足求

模型求解

用微分法 0222

1 =+−=′ rcTcTC )(

rccT2

12=

2

12c

rcrTQ ==

每天平均最小费用 rccC 212=

著名的经济订货批量公式（EOQ公式）。

思考

1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费

用），在什么情况下才可以不考虑它？

2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，如

果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，

如何建模？

结果解释

rccT2

12=

2

12c

rcrTQ == rccC 212=

当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。

rccT2

12= rccC 212=

100010 10015000 21

=====

CTrcc

，得当 ,,,

这里得到的费用C与前面计算得950元有微

小差别，你能解释吗？

在本例中

敏感性分析

讨论参数 rcc ,, 21 有微小变化时对生产周期T 影响。

由相对变化量衡量对参数的敏感程度。

T 对c1 的敏感程度记为 ),( 1cTS

111 cc

TTcTS∆∆

=),(Tc

dcdT 1

1

≈Tc

rccrc 1

2

1

2

2

2

21

⋅=21

=

21

2 −=),( cTS21

−=),( rTS

意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ；

而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；

日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。

21

1 =),( cTS21

2 −=),( cTS21

−=),( rTS

当 rcc ,, 21 有微小变化对生产周期影响不太大。

模型假设

1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；

2 产品每日的需求量为常数 r ；

3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；

4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺

货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需

在下次生产（订货）时补足。

问题2 允许缺货的存贮模型

模型建立

总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费

存贮费=存贮单价*存贮量

缺货损失费=缺货单价*缺货量

存贮量=？，缺货量=？

因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，

q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如

图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。

ot

q

Q

T

rA

允许缺货模型的存贮量q(t)

RT1 B

一个周期内缺货损失费

一个周期内存贮费 dttqcT

∫1

02 )(2

12

QTc=

一个周期的总费用

rQrTc

rQccC

22

2

3

2

21)( −

++=

每天平均费用

dttqcT

T∫ 13 )(

21

3))(( TTQrTc −−

=

rQrTc

2

2

3)( −

=

rQc2

2

2=

rTQrTc

rTQc

TcQTC

22

2

3

2

21 )(),( −

++=

满足求 QT ,

模型求解

用微分法令

3

32

2

12c

ccrc

cT +⋅=′

32

3

2

12cc

cc

rcQ+

⋅=′

每天平均最小费用 ),( QTCC ′′=

rTQrTc

rTQc

TcQTC

22

2

3

2

21 )(),(min −

++=

0 0 =∂

∂=

∂∂

QQTC

TQTC ),(,),(

每个周期的供货量 TrR ′=

3

32

2

12c

ccrc

crR +⋅=

3

32

ccc +

=λ

与不允许缺货模型相比较，有

QRQQTT λλλ ==′=′ ,/,

QRQQTT λλλ ==′=′ ,/,

结果解释

QRQQTT ><′>′> 1 ,,,λ 即允许缺货时，

周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。

2）缺货损失费愈大， 愈小， 愈接近 ，

愈接近 。

1）

λ T ′ T RQ ,′

Q

3

32

ccc +

=λ

3） ，时，当 13 →∞→ λc QRQQTT →→′→′ ,,

不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。