单元 5 　杆件的承载能力计算教学目标：

1. 了解材料在轴向拉伸和压缩时的力学性质；

2. 熟练掌握轴向拉、压杆横截面上的正应力强度计算；

3. 了解连接件的强度计算；

4. 熟练掌握梁的正应力强度条件及其应用，了解提高梁抗弯强度的措施；

5. 理解压杆稳定性、临界力、柔度等的概念，了解提高压杆稳定性的一般措施。

本单元内容

连接件的强度计算 5.2

轴向拉压杆的承载能力计算 5.1

平面弯曲梁的承载能力计算 5.3

受压直杆的稳定性 5.4

5.1 　轴向拉压杆的承载能力计算

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5.1.1 　轴向拉压杆横截面上的应力

　　轴向拉压杆横截面上只有正应力且均匀分布，即

=N

A （ 5-1 ）

　　正应力分为两种，即拉应力和压应力，其正负号规定与轴力相同，与拉力对应的是拉应力，取正号；与压力对应的是压应力，取负号。

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5.1.2 　轴向拉压杆的变形

l

5.1.2.1 绝对变形

图 5.2

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b

　　轴向拉压杆的绝对变形可以用仪器测量出来，如图 5.2 所示。杆件的纵向绝对变形为 ，横向绝对变形为 。l

5.1.2 　轴向拉压杆的变形5.1.2.2 相对变形

单位长度的变形称为线应变，用 ε 表示。l

l

b

b （ 5-2 ）

　　当应力不超过材料的比例极限时，横向线应变与纵向线应变成正比且符号相反，即

（ 5-3 ）

式中 μ 称为材料的横向变形系数，又叫泊松比，是材料的三大弹性常数之一。泊松比是一个没有单位的量，其值因材料而异，可通过实验测定。

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5.1.2 　轴向拉压杆的变形

l

5.1.2.3 胡克定律　在一定范围内，正应力与线应变成正比。这就是著名的胡克定律，用式子表示为

=E （ 5-4 ）

比例系数称为材料的拉压弹性模量，其值随材料而异，可通过实验测定，其单位与应力的单位相同。　　对于发生轴向拉伸或压缩变形的等直杆，式（ 5-4 ）可改写为

Nll

EA （ 5-5 ）

l即轴向拉压杆的纵向变形　与轴力 N及杆的原长 成正比，与杆的横截面面积 A 及材料的弹性模量 E 成反比。 EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，它反映了杆件抵抗拉压变形的能力。

l

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5.1.2 　轴向拉压杆的变形　　【 5-1 】钢制变截面杆受轴向力作用如图 5.3 （ a ）所示。已知材料的弹性模量 ， AB 段杆的横截面面积 ， BC 段杆的横截面面积 ，试求：（ 1 ）杆件横截面的应力；（ 2 ）杆件的纵向总变形。

200GPaE 2

1 200mmA 22 400mmA

图 5.3

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5.1.2 　轴向拉压杆的变形

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解：（ 1 ）用截面法分别计算出杆件各段的轴力AB 段： 　 　（压）； BC 段： （拉）根据计算结果绘制出杆的轴力图如图 5.3 （ b ）所示。（ 2 ）计算杆的应力 AB 段： （压） BC 段： （拉）

（ 3 ）计算杆的纵向总变形

值为正值，表示整个杆伸长了。

1 20kNN 2 60 20 40kNN

31

11

20 10MPa 100MPa

200

N

A

32

22

40 10MPa 100MPa

400

N

A

3 31 1 2 2

1 2 3 31 2

20 10 800 40 10 10000.1mm

200 10 200 200 10 400

N l N ll l l

EA EA

l

5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

　　所谓材料的力学性质，是指材料在外力作用下所表现出来的强度和变形等方面的性能指标。材料的力学性质是通过材料的力学实验测定的。 工程中使用的材料种类很多，通常根据材料破坏时塑性变形的大小将材料分为塑性材料和脆性材料两大类，塑性材料破坏时有显著的塑性变形，低碳钢是塑性材料的典型代表；脆性材料破坏时仅有微小的塑性变形，铸铁是脆性材料的典型代表。　　金属材料的拉伸实验标准试件如图 5.4 所示，金属材料的压缩实验标准试件如图 5.5 所示。

5.1.3.1 概论

图 5.4 图 5.5

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5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

　　（ 1 ）低碳钢拉伸实验　　低碳钢拉伸时的曲线如图 5.6 所示，根据此图通常把低碳钢的拉伸过程分为四个阶段：弹性阶段（ OAB 段）、屈服阶段（ BD 段）、强化阶段（ DG 段）、颈缩阶段（ GH 段）。

图 5.6

图中：　为材料的比例极限，　为材料的弹性极限，　为材料的屈服极限，　为材料的强度极限段 AB 为直线。 试件被拉断后，弹性变形消失，保留下来的是塑性变形，我们用塑性变形的大小来表示材料的塑性性能，衡量材料塑性性能的塑性指标主要有材料的延伸率 δ 和截面收缩率 ψ 两个：

p es

b

材料的延伸率

截面收缩率

1 100%l l

l

1 100%A A

A

（ 5-6 ）

（ 5-7 ）

5.1.3.2 四个实验

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5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

　　（ 2 ）低碳钢压缩实验　　低碳钢压缩时的 σ—ε 曲线如图 5.8 中的实线所示，图中虚线为低碳钢拉伸时的 σ—ε 曲线，二者比较可知，在屈服阶段之前（包括屈服阶段），两条曲线重合，这说明低碳钢压缩时的　、　、　都与拉伸时相同；在进入强化阶段之后，两条曲线逐渐分离，压缩时的曲线一直在上升，其原因是随着压力的不断增大，试件越压越扁，横截面面积不断增大，无法测出低碳钢压缩时的强度极限。

p e s

5.1.3.2 四个实验

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上一页图 5.8

b

　　（ 3 ）铸铁拉伸实验　　铸铁拉伸时的 σ—ε 曲线如图 5.9 所示，图中没有明显的直线部分，拉伸过程中既无屈服也无颈缩现象，在应变很小时发生突然破坏，断口垂直于试件轴线。试件拉断时的应力就是材料的强度极限　。

图 5.9

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5.1.3.2 四个实验

5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

　　（ 4 ）铸铁压缩实验　　铸铁压缩时的 σ—ε 曲线如图 5-10 所示，图中虚线为铸铁拉伸时的 σ—ε 曲线，二者对比可知，两条曲线形状相似，铸铁压缩时也无明显的直线段。只是压缩时的强度极限是拉伸时的 4～ 5倍，铸铁在压缩过程中沿与轴线成 45° 的斜截面产生裂纹，继而破坏，如图 5.10 所示。

图 5.10

5.1.3.2 四个实验

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5.1.3 　材料在轴向拉压时的力学性质

5.1.3.3 两类材料的力学性质比较

　　工程中通常根据材料的延伸率 δ 大小把材料分为两类：　　的材料为塑性材料，如低碳钢、铝、铜等；　　　的材料为脆性材料，如铸铁、混凝土、砖、石料、陶瓷等。　　通过实验可知，以低碳钢为代表的塑性材料，其抗拉和抗压强度相同，破坏前有较大的塑性变形，易于加工成形；以铸铁为代表的脆性材料，其抗压强度远高于抗拉强度，破坏前变形很小，毫无预兆地突然破坏。总的说来，塑性材料的力学性质优于脆性材料，然而脆性材料价格比较低廉，在实际工程中，要充分考虑材料的性价比，合理选用材料。

5% 5%

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5.1.4 　轴向拉压杆的强度条件及其应用

5.1.4.1 材料的极限应力和许用应力

　　材料丧失正常工作能力时的应力称为材料的极限应力，用　表示。　　塑性材料，　　　 ；脆性材料，　　　 。　　工程中把材料的极限应力除以一个大于 1 的安全因数ｎ作为构件安全正常工作的最高应力值，这个数值称为材料的许用应力，用［ σ］表示。

uu s u b

[ ] u

n

（ 5-8 ）

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5.1.4 　轴向拉压杆的强度条件及其应用

5.1.4.2 危险截面、危险点　　在构件的强度计算中，所有杆件都要以危险截面上危险点的应力制定控制条件。最大工作应力所在的点称为危险点，最大工作应力所在的截面称为危险截面。　　危险截面是根据内力图及杆横截面尺寸来判断的，危险点则是根据应力在横截面上的分布规律来判断的。对于轴向拉压杆来说，若杆件为等直杆，则最大轴力所在的截面就是危险截面；若杆件为二力杆，则面积最小的横截面就是危险截面；其它情况则需通过比较才能确定危险截面。由于轴向拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，所以危险截面上的每个点都是危险点。

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5.1.4 　轴向拉压杆的强度条件及其应用

5.1.4.2 轴向拉压干的强度条件及其作用　　轴向拉压杆的强度条件是杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即

max [ ]N

A （ 5-9 ）

　　根据强度条件可以解决强度校核、截面设计和荷载设计等三种强度计算问题。　　（ 1 ）强度校核就是在构件尺寸、所受荷载、材料的许用应力均已知的情况下，验算构件的工作应力是否满足强度要求。　　（ 2 ）截面设计就是在构件所受荷载及材料的许用应力已知的情况下，根据强度条件确定构件的横截面形状及尺寸。满足强度条件所需的构件横截面面积为 A≥N[σ]　　（ 3 ）荷载设计是指在构件的横截面面积及材料的许用应力已知的情况下，根据强度条件合理确定构件的许可荷载。满足强度条件的轴力为 N≤A [σ] ，再利用平衡条件进一步确定满足强度条件的许可荷载。

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5.1.4 　轴向拉压杆的强度条件及其应用

　　【例 5-2 】三角架如图 5.11 （ a ）所示， AB 杆为圆截面钢杆， ，材料的许用应力　　　　　； AC 杆为方截面木杆，材料的许用应力 ，荷载 ，各杆自重忽略不计。试校核 AB 杆的强度，并确定AC 杆的截面边长。

30mmd 1[ ] 160MPa

2[ ] 6MPa 60kNF

图 5.11

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5.1.4.2 轴向拉压干的强度条件及其作用

5.1.4 　轴向拉压杆的强度条件及其应用

（ 3 ）确定杆截面边长

又因　　　，所以　　　　　　　　　　，取318.03 10 134.3mma 2ACA a 140mma

32 3 2

2

108.2 10mm 18.03 10 mm

[ ] 6AC

AC

NA

所以杆满足强度要求。

（ 2 ）校核杆的强度3

12

490 10 MPa 127.38MPa<[ ] 160MPa

3.14 30AB

ABAB

N

A

　　解：（ 1 ）计算各杆的轴力　　依据题意可知 AB 杆、 AC 杆均为二力杆，用截面将杆 AB 、 AC截断并选取结点 A 为研究对象，画出结点 A 的受力图，建立平面直角坐标系如图 5.11 （ b ）所示。

0Y sin 0ACN F 2 22 3

60 108.2kNsin 2AC

FN

（压）

0X cos 0AB ACN N 2 2

3cos (108.2) 90kN

2 3AB ACN N

（拉）

，

，，

，

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5.1.4.2 轴向拉压干的强度条件及其作用

5.1.5 轴向拉压杆在工程中的应用及其注意事项

　　在土木工程中桁架是大跨度结构的常用形式之一，如房屋的屋架、桥梁、电视信号发射塔、塔吊等都是桁架结构，屋架简化后的计算简图如图 5.12 所示，显然在结点荷载作用下，桁架结构中的所有杆均为链杆，即桁架结构中的各杆都是轴向拉杆（或压杆）。　　日常生活及工程实际中常用的三角架如图 5.13 所示，在图 5.13 （ a ）中荷载作用在结点 A 上， AB 杆为轴向拉杆， AC 杆为轴向压杆；在图 5.13 （ b ）中，荷载作用在 AB 杆上， AB 杆为梁式杆， AC 杆为轴向压杆。

图 5.12 图 5.13返回

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5.1.5 轴向拉压杆在工程中的应用及其注意事项

　　由于杆件外形的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。应力集中会严重降低脆性材料构件的承载能力，使其发生局部断裂，很快导致整个构件的破坏。因此，必须考虑应力集中对脆性材料构件强度的影响。　　为了避免和减小应力集中对杆件的不利影响，在设计时应尽量使杆件外形平缓光滑，不使杆件截面发生突然变化。当杆件上必须开有孔洞或槽口时，应尽量将孔洞置于低应力区内。

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5.2 　连接件的强度计算

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5.2 　连接件的强度计算　　从铆钉连接的受力和变形情况可知，铆钉连接破坏的可能性有三种：铆钉沿剪切面发生剪切破坏；铆钉或钢板在挤压面上发生挤压破坏；钢板在连接处因受铆钉孔影响导致强度不足发生轴向拉伸破坏。为了保证连接的安全可靠，必须对连接件进行强度计算，连接件的强度计算一般包括剪切强度计算、挤压强度计算和轴向拉压强度计算三项内容。在工程设计中，通常采用实用计算法对连接件进行强度计算： 　　（ 1 ）剪切强度计算　　剪切面上各点与剪力 V 对应的应力称为剪应力，用 τ 表示，在实用计算法中则假设剪应力在剪切面上是均匀分布的，即

V

A （ 5-10 ）

　　连接件的剪切强度条件是连接件的工作剪应力不能超过材料的许用剪应力，即 [ ]

V

A （ 5-11 ）

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5.2 　连接件的强度计算　 （ 2）挤压强度计算　 挤压面上的正应力称为挤压应力 　 　，用 表示。在实用计算法中则

假设挤压应力在计算挤压面上是均匀分布的，即bs

bsbs

bs

F

A （ 5-1

2 ）

　 连接件的挤压强度条件是 　 　　 　挤压应力不能超过许可挤压应力 ，即[ ]bs

[ ]bsbs bs

bs

F

A （ 5-1

3 ）

　　（ 3 ）轴向拉压强度计算　　由于钢板上打了铆钉孔，原有的横截面面积减小了，所以必须对其轴向拉压强度进行校核，其计算过程与前面介绍过的轴向拉压杆强度计算完全一样

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5.3 　平面弯曲梁的承载能力计算

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5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力　　梁发生平面弯曲变形时，其横截面上各点一般也同时存在有两种应力，即剪应力 τ 和正应力 σ ，与剪力对应的是剪应力，与弯矩对应的是正应力。　　（ 1 ）中性轴　　梁内既不拉伸也不压缩、长度不变的层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如图 5.17 所示。中性轴通过横截面的形心并与横截面的竖向对称轴垂直。

图 5.17

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5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力

　　公式（ 5-14 ）表明：平面弯曲梁横截面上各点的正应力与所在截面的弯矩成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比；正应力沿截面高度方向成直线规律分布，中性轴上正应力等于零，离中性轴愈远正应力愈大，在离中性轴最远的上、下边缘分别达到最大拉应力或最大压应力，如图 5. 18 所示。

图 5. 18返回

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　　（ 2 ）梁横截面上的正应力　　平面弯曲分为纯弯曲和横力弯曲两种，剪力等于零的弯曲称为纯弯曲，剪力不等于零的弯曲称为横力弯曲（又叫剪切弯曲）。

梁横截面上各点的正应力计算公式为 z

My

I

（ 5-14 ）

5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力

　　利用公式（ 5-14 ）计算横截面上各点的正应力时，应分为大小的计算和拉压的判断两个阶段，首先是把 M 和 y均用绝对值代入公式计算出正应力的大小，至于正应力的拉压判断则是根据弯矩M 的正负和所求应力点的位置来直接判断：当 M ＞ 0 时，中性轴以上区域各点均为压应力，中性轴以下区域各点均为拉应力；当 M ＜ 0 时，中性轴以上区域各点均为拉应力，中性轴以下区域各点均为压应力。

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　　【例 5-4 】 矩形截面悬臂梁如图 5.19 所示，试计算截面C 上 a 、 b 、 c 三点的正应力。

5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力

图 5.19

3 38 4200 300

4.5 10 mm12 12z

bhI

② 　　　　计算惯性矩

　　　　

30 1 30kN mCM C解：① 　计算 截面的弯矩。 （下部受拉）

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　 　 ③计算正应力　 　 　　　 　　 　由图可知 、 、三点到中性轴的距离分别为　　　　　　　　　代入公式（ 5-14 ）得：

150mmay 90mmby

6

8

30 10150 10MPa

4.5 10C

a az

My

I

6

8

30 1090 6MPa

4.5 10C

b bz

My

I

0Cc c

z

My

I

　　　（压应力）　　　　　

　（拉应力）　　　　　　　

，，

，a b c

0cy

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5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力

5.3.1 　平面弯曲梁横截面上的应力　　（ 3 ）梁横截面上的剪应力　　梁横截面上各点的剪应力计算公式为

*z

z

V S

I b

（ 5-15 ）

　　使用公式（ 5-15 ）计算时各量均以绝对值代入公式计算出剪应力的大小，剪应力的方向根据剪力的方向啦来确定。　　由公式（ 5-15 ）可知，在横截面的上、下边缘各点剪应力为零，中性轴上各点的剪应力最大。工程中常用的矩形截面梁横截面上剪应力分布规律如图 5.20 （ b ）所示。

图 5.20 返回下一页

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5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

　　（ 1 ）梁上的最大正应力　　产生最大正应力的截面称为危险截面，对于等直梁，最大弯矩所在的截面就是危险截面；危险截面上的最大正应力所在的点称为危险点，它发生在危险截面的上、下边缘处。　　 1 ）对于中性轴是截面对称轴的梁　　此类梁上的最大拉应力　　和最大压应力　　相等，其值为maxt maxc

max maxmax max max maxt c

z z

M My

I W （ 5-16 ）

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b 、高为 h 的矩形截面　　　　，直径为 d 的圆形截面　　　　，各

衡量截面抗弯能力的一个几何量，其常用单位为　　和　。宽为

　　式中　　　　称为抗弯截面系数（又称抗弯截面模量），它是max

zz

IW

y

3mm 3m2

6z

bhW

3

32z

dW

种型钢截面的抗弯截面系数可从型钢表中查得。

　　 2 ）对于中性轴不是截面对称轴的梁　　此类梁上的最大拉应力　　和最大压应力　　不相等，需要分别计算最大正弯矩和最大负弯矩所在截面的最大拉应力和最大压应力，最后通过比较才能确定梁上的最大拉应力和最大压应力的数值和位置。

maxt maxc

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5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

　　（ 2 ）梁的正应力强度条件　　　　 1 ）当材料的抗拉和抗压能力相同时，即 [σt]=[σc]=[σ] ，则梁的正应力强度条件为　 σmax=Mmax/ WZ ≤[σ] 　　　　　（ 5-17 ）　　　　 2 ）当材料的抗拉和抗压能力不同时，即 [σt] ≠[σc] ，则梁的正应力强度条件为 　　 σtmax=Mtmax/ WZ1 ≤[σt]　　 σcmax=Mcmax/ WZ2 ≤[σc] （ 5-18 ）

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（ 3 ）梁的正应力强度计算　　 1 ）强度校核　　在已知梁的材料、横截面形状与尺寸和所受荷载的情况下，检验梁的最大正应力是否满足强度条件。　　 2 ）截面设计　　在已知梁的材料和所受荷载的情况下，根据梁的正应力强度条件，先计算出所需的抗弯截面系数 WZ≥Mmax/[σ] ，再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。　　 3 ）确定许可荷载　　在已知梁的材料和截面形状与尺寸的情况下，根据梁的正应力强度条件，先计算出梁所能承受的最大弯矩Mmax≤WZ[σ] ，再由Mmax 与荷载之间的关系进一步计算出许可荷载。

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

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　　【例 5-5 】 如图 5.21 （ a ）所示的简支梁采用 36bI字钢制成，梁所受的均布荷载　　　　　，梁的跨度　　　，梁的自重不计，型钢的许用应力　　　　　　，试校核该梁的正应力强度。

15kN mq 8ml [ ] 160MPa

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

图 5.21

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解：（ 1 ）绘制梁的Ｍ图如图 5.21 （ b ）所示，由图可知，梁上最大弯矩为

2 2

max

15 8120kN m

8 8

qlM

（ 2 ）查型钢表得： 36bI字钢的 （ 3 ）计算梁的最大正应力并校核梁的正应力强度

经校核可知该梁满足正应力强度要求。

6max

max 3

120 10130.58MPa [ ] 160MPa

919 10z

M

W

3919cmzW

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5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

　 【例 5-6 　】 T型截面铸铁梁如图 5.22（ a）所示，已知铸铁的许用　 　 　 　 　 　拉应力 ，许用压应力　　 　 ，试校核该梁的正应力强

度。[ ] 36MPat [ ] 90MPac

图 5.22

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解：（ 1 ）绘制梁的弯矩图如图 5.22 （ b ）所示，由Ｍ图可知最大正弯矩在截面 G 上，　　　 　；最大负弯矩在截面上，　 　　　。

10kN mGM 20kN mBM

　　（ 2 ）确定截面形心的位置及截面对中性轴的惯性矩　　取截面下边界为参考坐标轴ｚ，确定截面的形心的Ｃ位置如图 5.22 （ c ）所示。

( ) 30 170 85 30 200 185139mm

30 170 30 200i Ci

Ci

A yy

A

截面对中性轴的惯性矩为3 3

2 2 6 430 170 200 30( 30 170 54 ) ( 200 30 46 ) 40.3 10 mm

12 12i

z zI I

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

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　　（ 3 ）校核梁的正应力强度　　①梁上的最大压应力可能发生的位置是 B 截面的下边缘各点和 G 截面的上边缘各点 6

max 1 6

6

max 2 6

max max

20 10139 69MPa

40.3 10

10 1061 15.1MPa

40.3 10

69 [ ] 90MPa

B Bc

z

G Gc

z

Bc c c

My

I

My

I

MPa

　　②梁上的最大拉应力可能发生的位置是截面的上边缘各点和截面的下边缘各点 6

max 2 6

6

max 1 6

max max

20 1061 30.3MPa

40.3 10

10 10139 34.5MPa

40.3 10

34.5 [ ] 36MPa

B Bt

z

G Gt

z

Gt t t

My

I

My

I

MPa

所以该梁满足正应力强度要求。

5.3.2 　平面弯曲梁的正应力强度计算

5.3.3 平面弯曲梁的剪应力强度计算

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　　（ 1 ）梁上的最大剪应力　　等直梁的最大剪应力产生在剪力最大的横截面的中性轴上，其计算公式为 *

max maxmax

z

z

V S

I b

（ 5-19 ）

1 ）矩形截面梁上的最大剪应力为max

max

3

2

V

A

2 ）圆形截面梁上的最大剪应力为max

max

4

3

V

A

3 ） I字形截面梁上的最大剪应力为max

max

V

A

腹

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（ 2 ）梁的剪应力强度条件及其强度计算说明梁的剪应力强度条件为

*max max

max [ ]z

z

V S

I b

　　根据梁的剪应力强度条件，可进行三种强度计算：强度校核、截面设计和确定许可荷载。

　　在梁的强度计算中，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件，但在一般情况下，梁的强度计算是由正应力强度条件控制的。因此，在工程中通常是先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后再对剪应力强度条件进行校核。

（ 5-20 ）

5.3.3 平面弯曲梁的剪应力强度计算

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

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　　（ 1 ）平面弯曲梁的变形描述　　当荷载作用在梁的纵向对称平面内时，梁就会发生平面弯曲

变形，梁的轴线由直线弯曲成一条光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线，如图 5.23 所示。

　　弯曲变形的梁上每个横截面都发生了移动和转动，因为梁上各横截面沿轴线方向的线位移很微小，可忽略不计，所以通常用如下两个位移量来描述梁的变形：挠度和转角。

图 5.23

　　（ 2 ）平面弯曲梁的变形计算　　 1 ）梁的挠曲线方程　　一般来说，梁的挠度 y 和转角 θ都随截面位置 x 的变化而变化，它们都是截面位置的函数，　　　　称为梁的挠曲线方程，　　　　称为梁的转角方程。　　由平面假设和小变形条件可知梁的挠度与转角的关系为：

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( )y f x ( )x

tandy

ydx

　　 2 ）梁的挠曲线近似微分方程 　　略去了剪力对梁弯曲变形的影响，并且在推导过程中略去了高阶微量，利用力学及数学知识可推导出梁的挠曲线近似微分方程为

2

2

( )d y M x

dx EI

　　求解这一微分方程，就可以得到梁的挠曲线方程，从而可求得梁上任一横截面的挠度和转角。

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

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　　 3 ）平面弯曲梁的变形计算　　工程中计算梁变形的方法很多，在材料力学中计算梁变形的方法主要有积分法和叠加法两种，其中积分法是最基本的方法，叠加法是较为简便的实用方法。　　对于小变形及线弹性材料来说，梁的挠度和转角都与梁上的荷载成线性关系，满足叠加法的适用条件。所以，当梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的挠度（或转角）等于各个荷载单独作用时梁在该截面处的挠度（或转角）的代数和。

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

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　　【例 5-7 】 简支梁受荷载作用如图 5.24 （ a ）所示，已知梁 EI 的为常数，试用叠加法计算梁中点 C 的挠度和两端截面 A 、 B 的转角。

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

图 5.24

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　　解：①梁的变形是均布荷载和集中力偶共同作用引起的，把梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图 5.24 （ b ）、（ c ）所示。②查表可知

　　梁在均布荷载单独作用下 4

384Cq

qly

EI

3

24Aq

ql

EI

3

24Bq

ql

EI ， ，

梁在集中力偶单独作用下2

16Cm

mly

EI

3Am

ml

EI

6Bm

ml

EI ， ，

③根据叠加原理可得4 2

3

3

384 16

24 3

24 6

C Cq Cm

A Aq Am

B Bq Bm

ql mly y y

EI EI

ql ml

EI EI

ql ml

EI EI

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

　　（ 3 ）梁的刚度条件　　在实际工程中，根据强度条件对梁进行设计后，常常还要对梁进行刚度校核，即核查梁的位移是否在规定的范围内。在土建工程中通常只校核梁的挠度，其许用值通常以最大挠度　与梁跨度　的比值作为标准。梁的刚度条件可表示为

f l

[ ]f f

l l （ 5-22 ）

5.3.4 平面弯曲梁的变形和刚度条件

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5.3.5 　提高梁承载能力的措施

　　 1 、选择合理的截面形状　　　　（ 1 ）、选择抗弯截面模量 WZ 与截面面积 A 比值高的截面　　从这个角度来看，工字形、箱形、槽形等形状就属于合理的截面形状。因此，工程中常采用工字形、槽型、箱型截面梁。　　　　（ 2 ）、根据材料的特性选择截面　　对于抗拉和抗压强度相等的塑性材料，可采用对称于中性轴的截面，如矩形、圆形、工字形等截面。对脆性材料来说，由于其抗拉强度远低于抗压强度，应采用不对称于中性轴的截面，使梁的形心靠近受拉的一侧，这样最大拉应力小于最大压应力，可以充分发挥脆性材料的作用，从而提高梁的承载能力

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5.3.5 　提高梁承载能力的措施　　（ 3 ）采用变截面梁

　　横截面沿轴线变化的梁称为变截面梁。　　理想的变截面梁是等强度梁，也就是使梁上各横截面的最大工作应力相等，且接近材料的许用应力。工程上常采用让梁的截面尺寸随弯矩大小同步变化且形状简单而接近等强度梁的变截面梁，来代替理论上的等强度梁，如图 5.26 （ a ） ~ （ c ）所示。

图 5.26

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5.3.5 　提高梁承载能力的措施　　 2 、 合理安排梁的受力情况　　最大弯矩值不仅与荷载的大小有关，而且与荷载的作用位置和作用方式有关。在满足使用要求的前提下，合理地调整荷载的作用方式，可以有效地降低梁的最大弯矩、减小梁的变形。其具体做法是应尽量将荷载分散或使荷载靠近支座，如图 5.27 所示。

图 5.27返回

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5.3.5 　提高梁承载能力的措施

　　 3 、合理设置支座　　由于梁的最大弯矩及最大挠度与梁的跨度有关，所以减小梁的跨度可以降低梁的最大弯矩、减小梁的最大挠度。减小梁跨度的方式有两种，一种是将梁的支座适当内移，如图 5. 28 （ b ）所示；另一种是增加支座，如图 5.28 （ c ）所示。

图 5.28

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5.4 　受压直杆的稳定性

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5.4.1 　压杆稳定的概念　　发现问题：按照如图 5.29 所示的装置进行实验，取两根宽 26.7mm ，厚 15.4mm 的矩形截面木杆件，其中一根长 150mm ，另一根长 700mm ，让它们同时承受轴向压力的作用，。我们让力 F由零开始缓慢增加，在实验过程中我们看到：在力 F达到 2200N 时长杆突然发生弯曲，并且弯曲变形急剧增大，很快就折断了；而短杆在力 F达到 11.5kN 时才破坏。

　　思考问题：从强度角度来讲，两根杆的材料、截面都相同，它们所能承受的轴向压力也应该相同，也就是说两根杆件应该同时破坏，为什么长杆比短杆先破坏，而且长杆的承载能力比短杆小这么多呢？

图 5.29

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5.4.1.1问题的提出

5.4.1 　压杆稳定的概念

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　　其实这样的问题我们的力学及结构方面的专家在很多年前就发现了，并对此问题进行了大量的分析和研究，得出的结论是：长杆比短杆先破坏的原因不是长杆的抗压强度不够造成的，而是长杆在受力过程中突然发生了变形形式的转换（由轴向压缩转换成了弯曲变形），其真正原因是细长压杆丧失了保持其原有直线形式平衡状态的能力。　　为了很好地研究并解决这一问题，我们的专家提出了稳定性的概念，并定义：轴向压杆保持其原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。上述实验中的长杆在一定轴向压力作用下不能保持其原有直线平衡状态而突然弯曲的现象称为压杆丧失稳定性，简称失稳。

5.4.1.2 压杆稳定的概念

5.4.1 　压杆稳定的概念

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　　轴向压杆的平衡状态可以分为三种：稳定的平衡状态如图 5.32 （ c ）所示、不稳定的平衡状态如图 5.32 （ e ）所示、临界平衡状态如图 5.32 （ d ）所示。　　压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力称为压杆的临界力，用 Fcr 表示。

图 5.32　　解决压杆稳定问题的关键就是要首先确定压杆的临界力 Fcr，然后在使用时控制压杆所受的轴向压力小于其临界力 Fcr。

5.4.1.3 轴向压杆的三种平衡状态

5.4.2 　压杆的临界力、临界应力计算

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5.4.2.1 柔　度

　　柔度又称为长细比，用 λ表示，柔度是压杆稳定问题中一个极为重要的概念，我们定义

l

i

（ 5-23 ）

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5.4.2 　压杆的临界力、临界应力计算

5.4.2.2 临界力、临界应力的计算

　　根据压杆柔度的大小，通常把压杆分为大柔度杆、中等柔度杆和小柔度杆。　　（ 1 ）大柔度杆　　柔度　　　　　的压杆称为大柔度杆，又叫细p

p

E

长杆，其临界力、临界应力用欧拉公式计算。计算临界力的欧拉公式为

2

2( )cr

EIF

l

（ 5-24 ）

计算压杆临界应力的欧拉公式为 2

2cr

cr

F E

A

（ 5-25 ）

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5.4.2 　压杆的临界力、临界应力计算

5.4.2.2 临界力、临界应力的计算

　　（ 2 ）中等柔度杆　　柔度 s

p s

a

b

的压杆称为中等柔度杆，又叫中长杆

或一般杆，中等柔度杆的临界应力用经验公式计算，目前常用的经验公式有直线型经验公式和抛物线型经验公式两种，本书只给出直线型经验公式：

cr a b （ 5-26 ）

式中 a 、 b—— 与材料性质有关的常数。 　　（ 3 ）小柔度杆　　柔度　　　的压杆称为小柔度杆，又叫短粗杆。小柔度杆受压时不会出现失稳弯曲现象，也就是说小柔度杆不存在失稳问题，其临界应力就是屈服极限，应按强度问题处理，即按强度条件进行设计和计算。

s

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5.4.2 　压杆的临界力、临界应力计算

5.4.2.2 临界力、临界应力的计算　　【例 5-8 】两端铰支的轴心受压直杆，杆长 l=800mm ，杆横截面为圆形，直径 d=16mm ，材料为钢 Q235 ， E=200GPa ， ，试计算该杆的临界力和临界应力。

123p

1 800200 123

4 p

l

i

解：（ 1 ）计算柔度 λ圆截面 4

64

dI

2

4

dA

164mm

4 4

I di

A， ，

压杆两端铰支时 1

说明压杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算临界应力。

　　（ 2 ）计算临界应力和临界力2 2 3

2 2

3.14 200 1049.35MPa

200

cr

E

23.14 1649.35 9917.38N

4cr crF A

5.4.3 　压杆的稳定性计算

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5.4.3.1 压杆的稳定条件

　　压杆的稳定条件为：压杆的工作应力不超过压杆的稳定许用应力 [ 　　 ] ，即 st

[ ]st

N

A （ 5-27 ）

5.4.3 　压杆的稳定性计算

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　　引入折减系数进行压杆稳定计算的方法称为折减系数法。　　折减系数法的稳定条件为：

[ ]N

A （ 5-28 ）

5.4.3.2折减系数法

5.4.3 　压杆的稳定性计算

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5.4.3.2折减系数法　　根据压杆的稳定条件，可以进行压杆稳定方面的三种计算，分别是稳定性校核、截面设计和确定许可荷载。　　【例 5-9 】 有一个圆形截面木柱，高为 3m ，直径 d=240mm ，两端铰支，承受的轴向压力 F=60kN ，材料的许用应力　　　　　　，试校核该柱的稳定性。

[ ] 6MPa

解：（ 1 ）计算柔度 λ 圆截面的惯性半径 240

60mm4 4

d

i

压杆两端铰支时　　　，所以压杆的柔度 1 1 3000

5060

l

i

（ 2 ）查表 4-2并采用直线插入法可得： 0.740 （ 3 ）稳定校核

3

2

60 101.33MPa [ ] 0.740 6 4.44MPa

3.14 2404

N

A

所以该木柱满足稳定性要求。

5.4.4 　提高压杆稳定性的措施

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　　（ 1 ） 减小压杆的长度　　（ 2 ） 选择合理的截面形状　　柔度与惯性半径成反比，因此要提高压杆的稳定性，应尽量增 I

A　　较大的，即在横截大。所以要选择合理的截面形状，就是选择

面面积相同的条件下惯性矩愈大愈合理，例如选用如图 5.34 所示空心截面或组合截面等。

（ 3 ） 增强压杆的两端约束

（ 4 ） 合理选择材料

图 5.34

知识拓展　组合变形的计算说明　　（ 1 ）组合变形的概念　　包含有两个或两个以上的基本变形的变形称为组合变形。　　（ 2 ）组合变形的研究方法　　在材料服从虎克定律和小变形的条件下，研究组合变形的基本方法是叠加法。叠加法研究组合变形的基本过程是：先对构件所受的荷载进行简化或分解，使构件在简化或分解后的每一个荷载作用下只产生一个基本变形，分别计算出构件在每一个基本变形下的内力、应力、变形，然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，确定构件的危险截面、危险点的位置，计算出构件在组合变形时的最大应力，最后进行强度计算。　　（ 3 ）工程中常见的组合变形简介　　 1 ）斜弯曲　　当外力作用平面通过梁的轴线、而不与梁的纵向对称平面重合时，梁变形后的挠曲线不在外力作用平面内的弯曲称为斜弯曲。例如屋架上的檩条承受的荷载如图 5.38 所示，将荷载 q沿 y 轴和 z轴分解后可知，檩条的变形是由两个相互垂直的平面弯曲组合而成的。 返回

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知识拓展　组合变形的计算说明　　 2 ）拉（或压）弯组合变形　　情况一：横向力与轴向力共同作用　　杆件承受横向力和轴向力共同作用时，杆件将同时发生轴向拉伸（或压缩）与平面弯曲两种变形，这种变形称为拉（或压）弯组合变形。如图 5.35 所示，烟囱的变形就属于压弯组合变形，烟囱除在自重作用下发生轴向压缩变形外，还将因水平方向的风荷载作用而发生平面弯曲变形。

图 5.35

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知识拓展　组合变形的计算说明　　情况二：偏心压缩（拉伸）　　直杆受到作用线与杆的轴线平行但不重合的外力作用时所发生的变形称为偏心压缩（或拉伸）。如图 5. 36 所示，工业厂房中的单侧牛腿柱的变形就属于偏心压缩变形，根据力的平移原理，将偏心力 F 平移到轴线处得到一个轴向压力　和力偶矩　　　　的力偶，它们分别引起轴向压缩和平面弯曲两种基本变形。可见，偏心压缩问题实际上就是压弯组合变形问题。

F m F e

图 5. 36 返回下一页

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知识拓展　组合变形的计算说明　　 3 ）弯扭组合变形　　工程中单纯发生扭转变形的杆件是很少的，一般都是除了发生扭转变形外，还经常伴随有弯曲变形发生，这样的变形称为弯扭组合变形。如图 5.37 所示的圆轴曲柄， C端受集中力 F 作用，要研究圆轴的变形，把力 F 平移到点 B 后不难看出，圆轴 AB 在力偶矩　　 的力偶作用下产生扭转变形，在力 F 作用下发生平面弯曲变形。

m F a

图 5.37

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