Ⅷ. 삼 각 비

1. 삼 각 비1. 삼 각 비

2. 삼각비의 활용2. 삼각비의 활용

1. 삼각비

1. 삼각비의 뜻

2. 삼각비의 값

3. 삼각비 사이의 관계

1. 삼각비의 뜻

c

a Asin)1(

c

bcos A)2(

b

atan A)3(

오른쪽 그림과 같이 C = 900 인 직각삼각형 ABC 에서 A

CB

c

b

a

직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각의 크기가 정해지면

어느 두 변의 길이의 비는 직각삼각형의 크기에 관계

없이 항상 일정하다 .

삼 각 비 의 뜻 Ⅰ삼 각 비 의 뜻 Ⅰ

요점요점

2. 삼각비의 암기법

( 빗변 )( 높이 ) Asin

( 빗변 )( 밑변 ) Acos

( 밑변 )( 높이 ) Atan

삼각비에서 sin, cos, tan 는 각각 sine, cosine, tanrnt의

약자이고 , A 는 A 의 크기를 나타낸다 .

A

빗변높이

A

빗변

밑변 A

높이

밑변

삼 각 비 의 뜻 Ⅱ삼 각 비 의 뜻 Ⅱ

요점요점

문제 ) 오른쪽 그림과 같은 △ ABC 에서 sin B + cos B 의 값은 ?

A C

10

B

8

106

AB

BCcosB

10

8

AB

ACsinB

풀이 ) △ ABC 에서 피타고라스 정리에 의하여 6BC

※ 활 용 예 제

57 sin B + cos B =

0 30 45 60 90A삼각비

sinA

cosA

tanA

1. 특수각의 삼각비의 값

021

22

23

1

123

22

21

33 1 3

1

12

450

450

1

600

300

32

삼 각 비 의 값 Ⅰ삼 각 비 의 값 Ⅰ

요점요점 ① 직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비는 1 : 1 : 이다 .② 한 예각의 크기가 600 인 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 는 1 : : 2 이다 .

2

3

0

0

문제 ) 다음을 계산하시오 .

1) sin 60° sin 90 ° - cos 60 ° cos 90 °

2) sin2 60 ° + tan2 60 ° sin2 90 °

23

021

123

( )준식

4

153

4

3

1)3( 222

)23

(

( )준식

※ 활 용 예 제

풀이 )

2. 임의의 예각에 대한 삼각비의 값

cos 20 ° 의 값은 삼각비의 표에서 20° 의 행과 cos 의 열이

만나는 것의 값 이다 .

반지름의 길이가 1 인 4 분원에서

OBOA

OBx cos)2(

cos x

OBOA

ABx sin)1(

sin x

CDOC

CD

OB

ABx tan)3(

tan x

삼 각 비 의 값 Ⅱ삼 각 비 의 값 Ⅱ

요점요점

문제 ) 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1 인 사분원에서

tan x 를 나타내는 선분은 ?

CD1

CD

OD

CD

OB

ABtan x

※ 활 용 예 제

풀이 )

cosBAcosA sin )(900

sinBAsincosA )(900

tanBtantanA

1

A)(90

1

o

(1) 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 ABC 에서

A

CB

c

b

a

A + B = 900 일 때 , A 와 B 를 서로 다른 각의

여각 이라고 한다 .

(1) 여각의 삼각비(1) 여각의 삼각비

삼각비 사이의 관계 Ⅰ삼각비 사이의 관계 Ⅰ

요점요점

cosA

sinAtanA

(2) 세 삼각비 사이의 관계 (3) 사인과 코사인 사이의 관계

1 AcosAsin 22

(4) 삼각비의 값의 변화

x 가 0º 에서 900 까지 변할 때

(1) sin x 의 값은 0 에서 1 까지 증가한다 .

(2) cos x 의 값은 1 에서 0 까지 감소한다 .

1

450 900 x

y

y=tan x

y=sin x

y=cos x

tan x 의 값은 0 부터 증가하므로 tan 900 의 값은

정할 수 없다 .

삼각비 사이의 관계 Ⅱ삼각비 사이의 관계 Ⅱ

요점요점

1Acos)135

( 22

문제 ) sin A = 일 때 cos A 의 값을 구하여 보자 .

( 단 , 0 < A < 90 )135

169144

16925

1Acos2

1312

cosA

※ 활 용 예 제

풀이 )

2. 삼각비의 활용

1. 거리 재기

2. 도형의 넓이

1. 직각삼각형의 변의 길이

sinA

accsinA,a 이므로

c

a Asin

cosA

bcccosA,b 이므로

c

b Acos

직각삼각형에서는 한 변과 한 각의 크기를 알면 삼각비의 값을 이용하여 나머지 두 변의 길이를 알 수 있다 .

tanA

acbtanA,a 이므로

b

aan At

C = 900 인 직각삼각형 ABC 에서

B

A

C

c

b

a

거 리 재 기거 리 재 기

요점요점

2

1

x

2sin30 0

문제 ) 오른쪽 그림에서 x 와 y 의 값을 각각 구하여 보자 .

3

1

y

2tan30 0 32 y

300

x

y

2

4 x

※ 활 용 예 제

풀이 )

1. 삼각형의 넓이

bcsinA2

1S

삼각비를 이용하여 삼각형 , 사각형의 넓이를 구할 수 있다 .

ABC 에서 두 변과 그 끼인각을 알 때

A

C

B

ba

ch

s

도 형 의 넓 이 Ⅰ도 형 의 넓 이 Ⅰ

요점요점

( 풀이 )

600 이고 AB = AC 이므로

△ ABC 는 정삼각형이다 .

즉 A =600 2

31010

2

1

sin6010102

1ΔABC 0

)(cm325 2

문제 ) 다음 도형의 넓이를 구하시오 .

600

A

10cm10cm

HB C

※ 활 용 예 제

3. 일반사각형의 넓이

sinxabS

삼각비를 이용하여 삼각형 , 사각형의 넓이를 구할 수 있다 .

아래 그림의 평행사변형의넓이 S 는

A

CB

D

xa

b

2. 평행사변형의 넓이

아래 그림의 사각형 ABCD의 넓이 S 는A

x

B C

D

a

b

sinxabS2

1

도 형 의 넓 이 Ⅱ도 형 의 넓 이 Ⅱ

요점요점

( 풀이 )

2

32030

2

1

sin60 BDAC2

1ABCD 0

문제 ) 다음 아래 그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각

20cm, 30cm 이고 , 두 대각선이 이루는 각의 크기가

60 인 �ABCD 의 넓이를 구하시오 .

)(cm3150 2

A

600

B C

D

30cm

20cm

※ 활 용 예 제