反 三 角 函 数

——反正弦函数

一、设问引入

问题一、若 ， xx 则,2

1sin

6

52

6

12 kk 或

xx 则,3

1sin若 。

问题二、若 ，则 ，82 x x 3

32 x x若 ，则 。3log2

yxay ax log xy alog习惯写成

为什么？

函数存在反函数应具备什么条件？

加上什么条件，使得函数 有反函数？2xy 问题三、函数 有反函数吗？2xy

函数的自变量和因变量是一一对应的

xy sin问题四、正弦函数 有反函数吗？

补充什么条件，可以使得正弦函数有反函数？

二、引入课题

其中定义域是 ，值域是 。

x y

1 、定义：函数 的反函数叫做反正弦函数，记

作 。

习惯上用字母 表示自变量，用 表示函数，所以反正弦函数可以写

成 ，

])2,2

[(sin

xxy

yx arcsin

xy arcsin ]1,1[ ]2,2

[

2 、符号 的意义 ： arcsin

（ 1 ）当 时， 有意义；]1,1[x xarcsin

（ 2 ） 是一个记号，表示属于 的唯一

确定的一个角（弧度数）；

xarcsin ]2,2

[

]2,2

[arcsin

x

)sin(arcsin x ]1,1[x（ 3 ） ，其中 ，x

注：若 （ 中的唯一角）；。

xx 则,3

1sin ]

2,2

[

3

1arcsin

2

1arcsin

6

3 、反正弦函数的性质 ：

① 定义域是 ，值域是 ，]1,1[ ]2,2

[

反正弦函数 的对应法则与正弦函数 ,

的对应法则互逆；

xy arcsin xy sin

]2,2

[

x

② 反正弦函数 的图像就是正弦函数

在 上的图像关于直线 对称的图像；

xy arcsin xy sin

]2,2

[

xy

③ 在区间 上单调递增 ;]1,1[

④ 奇函数 ;

⑤ 最值：当 时， 取最小值 ；当 时， 取最大值 。1x 1xy y2

2

三、例题精选例 1 求下列反正弦函数值：

（ 1 ）2

2arcsin （ 2 ） )

2

3arcsin(

（ 3 ） )1arcsin(

【答案】 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）4

3

2

【思考】课后练习 2 （ 1 ） 有意义吗，为什么？2arcsin

例 2 求下列各式的值：

（ 1 ） ； （ 2 ）)3

2sin(arcsin ))

2

1(sin(arcsin

【答案】（ 1 ） （ 2 ）3

2

2

1

【思考】 课后练习 2 （ 2 ） 是否成立，为什么？2

5)

2

5sin(arcsin

例 3 求下列各式的值：

（ 1 ） （ 2 ）

（ 3 ） （ 4 ）

)2

3tan(arcsin )

5

4cos(arcsin

]1,1[),cos(arcsin xx )5

3arcsin2sin(

（ 2 ）

33

tan)2

3(arcsintan

【答案】（ 1 ） 。

设 ，则 。 由 ，得 ，所以 。

5

4arcsin

5

4sin

]2,2

[ 0cos

5

3cos)

5

4cos(arcsin

（ 3 ） （ 4 ）21 x25

24

例 4 求下列各式的值：

(1) (2))4

arcsin(sin

)3

2arcsin(sin

【答案】（ 1 ） （ 2 ）4

3

【思考】 . )arcsin(sin x

【答案】设 ，则 （ ，所以注意 的范围）

)arcsin(sin x xsinsin

]2,2

[ x