通化市九中 姜虹

二四象限

一三象限

函数 正比例函数 反比例函数解析式

图象形状

K>0

K<0

位置增减性

位置

增减性

y=kx ( k≠0 ) ( k 是常数 ,k≠0 )y = xk

直线 双曲线

y 随 x 的增大而增大

一三象限

y 随 x 的增大而减小

二四象限

y 随 x 的增大而减小

y 随 x 的增大而增大

填表分析正比例函数和反比例函数的区别

解：把把 y y =2=2 代入代入 y = x

例： 正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是 2 ，（ 1 ）求 x =-3 时，反比例函数 y 的值？

x

ky

（ 2 ）当 -3<x<-1 时，反比例函数 y 的取值范围。

∴∴ x x == 22

∴交点 A （ 2, 2 ）把把 A （ 2,2 ）代入代入

得 k=xy=4

∴ 当 x =-3 时

x

ky

xy

4

3

4y

正比例函数 y=x的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是 2 ， x

ky

（ 2 ）当 -3<x<-1 时，反比例函数 y 的取值范围。解 : 当 x =-3 时

当 x =-1 时 y=-4

∵k=4 ＞ 0

∴y 随 x 的增大而减小

∴-4 ＜ y ＜ 3

4

3

4y

2.2. 如图：一次函数如图：一次函数 y=ax+by=ax+b 的图象与反比例函数的图象与反比例函数

y= y= 交于交于 M M （ 2 ， m ） 、、 N N （（ -1-1 ，， -4-4 ））两两点点

（（ 11 ）求反比例函数和一次函数的解析式；）求反比例函数和一次函数的解析式；

（（ 22 ）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的值的 xx 的取值范围。的取值范围。

kx

yy

xx

NN （（ -1-1 ，， --44 ））

MM （（ 22 ，，mm ））

（ -3,2 ）

（ 2 ， -4 ）

如图，根据图像写出反比例函数大于

一次函数的值的 x 的取值范围

1 、（ 1 ）如图，在反比例函数的图象上任取一点 P ，过 P 点作 x 轴和 y轴的垂线，垂足分别是 N 、 M ，那么四边形 ONPM 是什么形？它的面积是多少？⊿ OPN 的面积是多少？

（ 2 ）若解析式是 ，你刚刚作出的图形面积是多少？

（ 3 ）若解析式变成 时呢？

PM

NOx

y

xy

6-

xy

6

x

ky

),( pp yx

归纳总结：

反比例函数 上一点 P （ x0 ， y0 ），过

点 P 作 PA y⊥ 轴， PB X⊥ 轴，垂足分别为A 、 B ，则四边形 AOBP 的面积为 ；

且 S AOP△ S BOP△ 。

ky

x

k

2

k=

反比例函数比例系数 K 的几何意义

例题：例题： 如图，点 A 在函数的图象上，S ABC△ =4 ，求此反比例函数的解析式？

A

解： 设反比例函数为 ，设反比例函数为 ， )0( kx

ky

kxyS ABC 2

1

2

14

8 xyk又∵图象在第二象限

∴ 函数为函数为x

y8

B

∴ 8k

知识运用• 1 、已知正比例函数 y=kx 和反比例函数

的图象都过点 A （ m ， 1 ），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．

如图 :A 、 C 是函数 的图象上任意两点，x1

y

A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2

D.S1 和 S2 的大小关系不能确定 .

C

A

B

o

y

x

C DD

S1

S2

___.,S 的面Rt,S 的面RtD.垂足

,的垂C 作 yB.垂足, 的垂A 作 x

2

2ΔOCD

1ΔAOB

则积为积为记为

线轴过为线轴过

B

A1o

y

x

A

C

B1 C1

如图，在反比例函数 （ x ＞ 0 ）的图象上，有点 P1 ， P2 ， P3 ， P4 ，它们的横坐标依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，分别过这些点作 x轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1 ， S2 ， S3 ，S4 ，则 S1 ＋ S2 ＋ S3 ＋ S4 ＝ ________ ．

结束寄语•函数来自现实生活 , 函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型 .

•函数的思想是一种重要的数学思想 , 它是刻画两个变量之间关系的重要手段 .

下课了 !

• 如 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与反比例函数的图象交于 A （－ 2 ，1 ）、 B （ 1 ， n ）两点

• （ 1 ）求反比例函数和一次函数的解析式• （ 2 ）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围

• 分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出 n 的值，最后再由 A 、 B 两点坐标求出一次函数解析式 y＝－ x － 1 ，第（ 2 ）问根据图象可得 x 的取值范围 x ＜－ 2 或 0 ＜ x ＜ 1 ，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。

P

Do

y

x

1. 如图 ,点 P是反比例函数 图象上的一点 ,PD⊥x轴于 D.则△ POD 的面积为 .

xy

2

(m,n)

1

S△POD = 　 OD·PD　　 = 　　　 =

2

1

21 nm

k21

一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A （ 2,2 ）， B （ -1 ，m ）， 求一次函数的解析式？

练习：

xy

4

2. 如图 ,点 P是反比例函数图象上的一点 ,过点 P分别向 x轴、 y轴作垂线 ,若阴影部分面积为 3,则这个反比例函数的

关系式是 .x

y

oM

Npx3

y

A.__,,,

,,,,,

,,,,

,,,)0(1

,.8

321

111

111

则有面积分别为的记边结

三点轴于交轴引垂线经过三点分别向

的图像上有三点在如图

SSS

OCCOBBOAAOCOBOA

CBAxx

CBAxx

y

A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3 B

A1o

y

x

A

C

B1 C1

S1

S3S2