力 学力 学

祝恒江

第二章 质点运动学 在本章的学习中，我们的主要的任务是，在中学力学的基础上，正确理解速度、加速度的瞬时性、相对性和矢量性，并结合质点的运动学方程以及速度和加速度在几种常用坐标系中的表达式，使质点力学问题从直线运动和圆周运动推广到一般曲线运动

§2.1 质点的运动学方程 质点是我们学习物理学时所遇到的第一个理想化的抽象模型，它突出了物体“具有质量”和“具有空间”这两个主要因素。一个实在的客观物体是否可以被抽象为质点，不是有其大小决定的，应根据所研究问题的性质所定。但是在任何情况下，一切物体都可以看作是质点的集合，所以研究力学问题一般都是从研究质点力学开始的。在具体学习质点的运动学方程之前，先让我们简要的复习一下质点、参照系、坐标系和时间坐标轴等概念。

§2.1质点的运动学方程（ 1 ）（参照系）参考系 研究机械运动的客观规律，实际上就是研究物体的空间位置随时间改变的变化规律。所以，我们首先遇到的问题就是如何确定物体的空间位置，以及怎样对物体空间位置随时间的变化进行科学的描述？我们都知道，对物体的运动进行描述只具有相对意义，也就是说：提到一个物体在运动，必须指明是相对那一个物体在运动，或者说在对物体的运动进行描述时，必须选择另外一个物体作为参考。我们通常把供参考用的那个物体叫做参考物，又叫参考系，并把运动的这种性质叫做运动的相对性。 例如：公路旁的一棵树，相对站在地面上的人，它是静止的，而相对坐在运动的汽车上的乘客，它却在运动，前者以地面为参考系，而树相对地面静止，所以地面上的人说该树是静止的，而后者是以运动的汽车为参考系，而树相对汽车在运动，所以车上的人说该树在运动。 “但是从哲学意义上讲，运动是绝对的，静止是相对的，所谓 坐地日行八万里，……”其含义就在于此。

§2.1质点的运动学方程（ 2 ）坐标系和时间坐标轴质点在某一位置必与一定时刻相对应，质点位置的变动也总在一定的时间间隔内发生。所以，要想对物体的运动进行科学的精确的描述，仅有参考系还是不够的，还需建立固定在参考系上的时间坐标轴和坐标系。对于一个具体问题，原则上我们可以选取不同的计时起点和不同坐标系，但是人们总是愿意选取适合本问题性质的最简单的坐标，并把坐标原点取为计时起点。

请同学们注意时间与时刻的区别，时间是描述运动必不可少的概念，而时刻之差是时间，即 时间间隔，但在有些情况下时间又指时间变量 t.

12 ttt

§2.1质点的运动学方程(3) 质点

在力学中我们把可以“忽略其形状大小”但具有一定质量的物体的合理化抽象模型成为质点。现在的问题是在什么情况下才能把我们所研究的物体抽象为质点呢？（ 1 ）平动：物体上任意一点的运动均可代表物体两种情况 整体的运动（ 2 ）物体运动所涉及的空间尺度远远大于物体本身的几何尺度 上述两种情况下均可把我们所研究的物体抽象为质点，例如：地球有公转和自转，当我们以太阳为参考系，研究地球的大小和形状对于研究地球的公转来讲，都是可以忽略不计的，即可以把地球这一庞然大物抽象为质点，同样道理，当物体仅做平动而不做转动和变形运动时，就意味着物体的形状和大小可以忽略不计。可以忽略物体的形状和大小，与不考虑（或忽略）物体的转动和变形运动，其效果是一致的。 最后，须提醒同学们注意的是：质点是一个理想模型，建立模型是物理学研究问题时经常用到的一种方法，这样做的好处在于，能突出问题的主要方向（矛盾），忽略次要因素。同学们应当了解这一概念的建立，初步掌握和理解建立物理模型的方法和意义。

§2.1质点的运动学方程 （一）质点的位置矢量与运动学方程1 、位置矢量 现在利用矢量这个数学工具就质点的一般运动建立位置矢量。质点的运

动学方程的概念。 对质点的一般运动，其运动的描述一般用矢量。首先，为了表征一个质

点在空间的位置我们在参考系上选一个固定点 O 作为参考点，质点相对于参考点的距离和方位，可以有连接点 O 点和 P 点一个矢量 r 表示，矢量 r称为质点 P 相对参考系 O 的位置矢量。（如图所示，以雷达点 δ 为参考点描述某时刻直升飞机的位置）

以 O 为原点建立直角坐标 O-xyz，位置矢量 r 在 O-xyz 中的正交分解形式为：r=xi+yj+zk (2.1.1)其中： i 、 j 、 k分别为x 、 y 、 z 轴方向的单位矢量。 x、 y 、 z称作质点的位置坐标，也可用来描述质点的位置，即 x、 y 、 z 一旦确定质点的位置也就确定了。也就是可以用 x 、 y、 z来表示位置矢量的大小和方向。

§2.1质点的运动学方程

大小： r= r

方向： cosα= ， cosβ= cosγ= 具有： cosα2+ cosβ2+ cosγ2=1当质点相对参考系运动时， x 、 y 、 z 均为时间 t 的参数，即有：x=x(t), y=y(t), z=z(t), (2.1.3)于是质点的位置矢量 r 可表示为：抽象式： r= r （ t ） = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k (2.1.2)称作质点的运动学方程，它是时间 t 的矢量参数，它给出任意时刻质点的位置，相应的称（ 2.1.3 ）成为质点运动学方程的标量形式。

§2.1质点的运动学方程

§2.1质点的运动学方程