习题举例 ex 1. 试求所有与下列矩阵 j 可交换的矩阵 :
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习题举例 Ex 1. 试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩阵 :. Ex .2 设 A,B 是 ｎ 阶矩阵 , A 2 ＝ A,B 2 ＝ B, ( A ＋ B ) 2 ＝ A ＋ B , 证明 AB ＝ O . Pro :∵ A ＋ B ＝ ( A ＋ B ) 2 ＝ A 2 ＋ AB ＋ BA ＋ B 2 ＝ A ＋ AB ＋ BA ＋ B ∴ AB ＋ BA ＝ 0, AB ＝－ BA . 又∵ AB － BA ＝ A 2 B － BA 2 ＝ A ( － BA ) － BA 2 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
习题举例Ex1. 试求所有与下列矩阵 J 可交换的矩
阵 :
0000
1000
0100
0010
.3
;
000
100
010
.2;10
11.1
J
JJ
则
可交换得矩阵为解：设与 ,AJ
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M
cabaa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
132312
323121
332211
333231
232221
3231
2221
1211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
,
0
0000
0
0
000
100
010
000
100
010
即
.
00
0
000
100
01 0
J
a
ba
cba
M可交换的矩阵
与所以
•Ex.2 设 A,B 是ｎ阶矩阵 ,A2 ＝ A,B2 ＝ B,(A＋ B)2 ＝ A ＋ B, 证明 AB ＝ O .
Pro: ∵ A ＋ B ＝ (A ＋ B)2 ＝ A2 ＋ AB ＋ BA＋ B2 ＝ A ＋ AB ＋ BA ＋ B ∴ AB ＋ BA ＝ 0, AB ＝－ BA. 又∵ AB － BA ＝ A2B － BA2 ＝ A( － BA)－ BA2
＝－ (AB ＋ BA)A ＝ O 2∴ AB ＝O. 得证 . 注意 : 矩阵的乘法不满足交换律 , 本题实际上是证明 , 在给定的条件下 AB ＝ BA
•Ex.3 设Ａ为反对称矩阵 , Ｂ为对称阵 ,试证ＡＢ－ＢＡ为对称阵 .
Pro. ∵ Ａ＝－Ａ＇ Ｂ＝Ｂ＇ ∴ （ＡＢ－ＢＡ） ＇ ＝（ＡＢ） ＇ －（ＢＡ） ＇ ＝Ｂ＇Ａ＇ －Ａ＇Ｂ＇ ＝－ＢＡ＋ＡＢ ＝ＡＢ－ＢＡ . The end
Ex.4: 设 A 为ｒ列矩阵 ,且秩 A＝ｒ ,B 为ｒ阶矩阵 .证明 :若 AB ＝ O，则 B＝ O. Pro. 此时Ｂ的每一列都是齐次线性方程组ＡＸ＝ O 的解 , 但秩Ａ＝ｒ＝未知量的个数 ,所以Ａ X＝ O 只有零解 . 从而Ｂ的每一列均为０ ,即Ｂ＝ O. 注意 : AB ＝ O 等价于 A 与 B 的每一列的乘积为 O. 并把 AB ＝ O 与 AX ＝ O 联系起来 .
Ex5. 设 A 为ｎ阶实矩阵 , 证明 : tr(AA ＇ ) ＝ 0 等价于 A＝ O.
Pro. 充分性显然 , 因为 AA ＇＝ O.
The end.
0
,,2,1,,00)(
0
**
**
**
:
1 1
2
1
2
1
22
1
21
A
njiaaAATr
a
a
a
AA
ij
n
k
n
iik
n
knk
n
kk
n
kk
从而
有
由于必要性
Ex6 ：对任意 n 阶矩阵 A 和 B ，都有 AB － BA≠E
EBA-ABC ,)(
(
0)(
)(
,
1 11 11
从而而和为零）的主对角线上的元素之
证：设
nETr
C
abbacCTr
cBAABC
bBaA
n
kik
n
iki
n
kjk
n
jkj
n
kkk
nnij
nnijnnij
记住 : AB 的迹与 BA 的迹相同
Ex7 ：设 A 与 B 都是 n 阶矩阵，若 AB 可逆，则A 与 B 也可逆。
.))(
,
,
0||,0||
0||||||
ABnBA
111
ABAB
ABBA
BA
BA
BAAB
且
也可逆，可逆，则（反之也对：若都可逆。即
从而有
可逆阶方阵，是，证明：由于
由于 AB=E 可逆 , A 与 B 均可逆 , 设 A 的逆矩阵为 A-1, 则有
由逆矩阵的唯一性知 ,A 和 B 互为逆矩阵 . 设 P,Q,G 为 n 阶方阵 , 若 PQG=E, 则一定有 ( ).A. PGQ=E ; B. QGP=E ;C. QPG=E ; D. GPQ=E.
Ex8 ：设 A 与 B 都是 n 阶矩阵，若 AB ＝E ，则 A 和 B 互为逆矩阵。
11 AABAEBB
分析
.,
,,
,,
),
(,.
,
1
111
1
交换律因为矩阵的乘法不满足而不能右乘
即
得乘这时将方程两边同时左程
方可逆时才可解这个矩阵只有程可以不写出这个过是否可逆要先考察例如解关系
的位置应注意已知矩阵与解矩阵方程时
A
BAXBAAXA
A
A
ABAX
X
.
,,,
均为可逆矩阵、其中解矩阵方程
BA
CAXBBXABAX
矩阵方程 解
BAX 1
BAX 1
BCAX 11
BAX
BXA
CAXB
Ex.9 解矩阵方程 ＡＸＢ＝Ｃ , 其中Ａ ,Ｂ可逆 , 且 ,
解：由题设 , 知Ｘ＝Ａ -1 ＣＢ -1. 以下用初等变换求Ｘ . 先求Ａ -1 Ｃ . ( Ａ , Ｃ )= ＝ →
→
由此得 Ａ -1 Ｃ＝
再用列初等变换求 ( Ａ -1 Ｃ ) Ｂ -1 1
∴ Ｘ＝Ａ -1 ＣＢ -1
＝
注 : 也可用公式法先求 , Ａ和Ｂ的逆矩阵 , 然后作乘法运算 . 不过 , 如果是用 初等变换的话 , 就不必先求逆 , 再相乘 , 而是如上所述 , 一气呵成好
Ex10: 设 A 为 3 阶方阵 , 且
27
16||
3
4
3
4
23
22
3
1A2A3
4
1||,:
.A2A3,A,2
1
3
3
11
2
1
AA
AAAA
AAEAAA
AA
解
求的伴随矩阵是
EABBAAAABBABAB
ABABBA
AARAAn
AnAR
AAAA
AA
A
AA
AAEAAAA
n
n
||||)(
.)(,n,.2
.0||,1)(,0,1)A(R
0||,0A,1)(
,0|A|
||)(,||
)(,||
,A,A,0|A|
,||||,||,.1
****
***
**
2*11
1
有阶方阵时均为
若
若
时当
且均可逆时当
有为方阵时
Ex.11 设Ａ是实对称矩阵 , Ｂ是实反对称矩阵 , 且Ａ B=BA, A-B 可逆 . 求证 A+B 可逆 , 且有
111 ]))([(]))([( BABABABA
))((
)())((
,BA,
)(
,:Pr
22
BABA
BAABBABABA
BA
BABABABA
BBAAo
还有也可逆可逆由于
且有可逆从而 ,
))()(()(
))()(()(
))(()(])[(
))((]))([(
11
11
11
11
BA
EBABABABA
BABABABA
BABABABA
BABABABA
111 ]))([(]))([( BABABABA
Ex12: 证明一个 n 阶方阵 A 的秩≤ 1, 必要且只要 A 可以表为一个 n×1 矩阵和 1×n 矩阵
的乘积 .
n
n
bbb
a
a
a
,,,n,
,1A,1)A(R
,00A,0)A(R:
21
2
1
n11n
个列向量可表示为则一个非零向量
为其中的设的列向量的秩为若
结论成立显然若证明
.1,A)(),(
,A
212
1
21
22212
12111
212
1
命题得证秩则反之
从而
n
n
nnnn
n
n
n
n
bbb
a
a
a
A
bababa
bababa
bababa
bbb
a
a
a
Ex13: 一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和 .
.1r
,,2,1,1)(
)(00
0
,00
0,
,rA:
2211
2211
11
的矩阵之和个秩为可表示为即
显然
即
使得可逆矩阵
从而存在的矩阵为任意秩为设证明
A
rkQPER
QPEQPEQPE
QEEEPQE
PA
EAQPQP
kk
rr
rrr
r
我们已知 :对任意矩阵 A,B, 有 R(A+B) ≤R(A)+R(B); R(AB)≤min{R(A),R(B)}; 对 n 阶方阵 A,B;如果 AB=0, 有 R(A)+R(B)≤n;若 P,Q 是可逆矩阵 , 在矩阵可乘的情况下 ,有R(PA)=R(A)=R(AQ)=R(PAQ)
对 n 阶方阵 A 还有 :若 A2=E, 则有 R(A+E)+R(A-E)=n若 A2=A, 则有 R(A)+R(A-E)=n设 As×n,Bn×m, 恒有 R(AB)≥R(A)+R(B)-n
Ex.14 设 Ａ ,Ｂ为 n 阶矩阵 .
证明 :秩Ａ＝秩Ｂ 的充要条件是存在可逆矩阵 Ｐ ,Ｑ , 使ＰＡＱ＝Ｂ .
Pro. 充分性 :
若存在ｎ阶可逆矩阵Ｐ ,Ｑ ,
使 ＰＡＱ＝Ｂ , 则
秩 (ＰＡＱ )＝秩 (ＡＱ )＝秩Ａ ,
即 秩Ａ＝秩Ｂ .
必要性 设秩Ａ＝秩Ｂ＝ r, 则存在可逆矩阵，
存在可逆矩阵 Ｐ ,Ｑ , 使 ＰＡＱ＝Ｂ .
PBQQAQPPBQPQP
EQPQP
EAQPQP
r
r
1212
122211
2222
1111
BA
00
0B,,
,00
0,,
，＝
，从而有使得
同理有使得
1
1
||,||||||||
||0|A
,0||0
.||:15.
nn
n
AAAAAAA
EAAA
AA
AAEx
得
时，由当
由于分析：
证明
0)(1)(R0AA
)2(||)(
A
AAAA
||||)(
)2(||)(:
516
2
1
1
2
208
AA
nAAA
EAEAAA
nAAA
PEx
n
n
n
，，则＝不可逆，若
；
＝）也可逆，且（可逆，若
分析：由于
证明
－
: , DBA 对分块矩阵均可逆、设
;,)1(1
1111
BOBCAA
DBO
CAD 则设
.,)2(111
11
BCAA
BOD
OB
ACD 则设
.0
)1(111
11
BACB
OABC
A
.:)2(
;)1(
.
,,
,
,,,,,
1
1
1
BACDADC
BA
XYZ
EO
BAEZ
DC
BAY
EAC
OEX
nE
AnDCBA
证明
求乘积
并且阶单位阵是
是非奇异的阶方阵都是设Ex17
解 （１）根据分块矩阵的乘法，得
EO
BAE
DC
BA
EAC
OEXYZ
1
1
EO
BAE
BACDO
BA 1
1
.1
BACDO
OA
（２）由（１）可得
,11
BACDABACDO
OAXYZ
,ZYXXYZ
,1 ZX而
.1BACDADC
BA
第四章 测试题
一、填空题 ( 每小题 4 分，共 32 分 ) ．
AA
AAnA
154
1det
,3
1det,,.1
1
则为其伴随矩阵阶方阵为设
t
OABtBOA 则且阶方阵设 ,,
353
42
531
,3.2
13 ,.3 AEA 则已知
1
008
050
200
.4 AA 的逆矩阵矩阵
1
3112
5221
0011
0012
4.5
AA
A
的逆矩阵则
阶矩阵设
1
2 ,032.6
A
EAAAn 则满足方程阶矩阵若
AAAA 32,1,.7 1且为三阶矩阵设
nAA 则设 ,
400
010
003
.8
. , ,
, , A )6( 2
并求其逆可逆证明且阶方阵均为、设分二、
AB
EABBnB
四、 (8 分 ) 解下列矩阵方程．
.
021
102
341
010
100
001
100
001
010
X
五、 ( 每小题 5 分，共 20 分 ) 求下列矩阵．
,23
121
n
;2,1
3
1
2
2
.
,, )6(
可逆证明且阶实方阵设分三、 AAAOAn T
;
5100
1310
1121
lim3
n
n
六、 (6 分 ) 设 求 ．,2,
321
011
324
BAABA
七、 ( 每小题 3 分 , 共 6 分 ) 设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ，证明：A
;0,01 AA 则若 .21 n
AA
.
100
010
101
4
n
A
B
n A
八、 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 求下列矩阵的逆矩阵．
;
10000
21000
00200
00031
00011
A .
11332
23210
10101
00082
00031
B
其中求设 ., 111 ABAPP 九、 (6 分 )
.20
01,
11
41
BP
;
0081
0510
2100
.4 ;.3 ;4.2 ;31.1 2
Atn一、
;
31613431
0212521
0010
002121
.5 1
A
;23
1.6 EA
测试题答案
.
400
010
003
.8 ;125.7
n
n
.32
1
211 AE
BEEBA 二、
.
201
431
012
X四、
;
,23
12 ,
23
12.1
为奇数
为偶数五、
n
nEn
;
63
21
42
.2
;
000
000
000
.3
.
100
010
01
.4
n
.
9122
692
683
B六、
;
10000
21000
002100
0004141
0004143
.1
八、
.
21616712112
03132673
2161611272
000211
000234
.2
.684683
27322731
九、