第三节应用广泛的数表 矩阵

主要内容：

一、矩阵的概念与运算

二、逆矩阵

三、矩阵的应用

矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯

利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.

但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的《九章

算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提

出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列

成一个长方形的形状. 在欧洲，运用这种方法

来解线性方程组，比我国要晚2000多年.

线性方程组

的解取决于

n,,,ibi

21常数项

1、矩阵概念的引入及定义

一、矩阵的概念与运算

,,,2,1, njiaij 系数

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

n n nn n

a a a b

a a a b

a a a b

对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.

线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1

2

n

n

nn

a

a

a

12

22

2n

a

a

a

11

21

1n

a

a

a

1

2

n

b

b

b

定义 （矩阵）

由 个数（元素）排成的 m行 n 列的数表

nm njmiaij ,,2,1;,,2,1

m×n矩阵.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

简记为 ( ) .m n mi nj

aA A

矩阵的第i

行第j列元素

, 称为 m行n列矩阵，也称为

如：1 0 3 5

9 6 4 3

是一个 矩阵,42

13 6 0

2 2 2

2 2 2

是一个 矩阵,33

1

2

4

是一个 矩阵.13

3 阶方阵,行数=列数 方阵

n阶方阵A=(aij)构成的行列式,记作det A .

注意：矩阵与行列式有本质的区别，行列式

是一个数，它的行数和列数相等.而矩阵仅是

一个数表，它的行数和列数可以不同.

定义 下述三种变换称为矩阵的行初等变换

1（）交换矩阵的两行；

2 ;（ ）用非零数乘以矩阵某一行的每一个元素

用消元法解线性方程组所施行的初等变

换移植到矩阵，就得到矩阵的初等变换.

3

.

（ ）用数乘矩阵某一行每个元素后加到另一

行对应的元素上

11 12 21 22

21 22 11 12

a a a a

a a a a

两行交换如：

21 0 2 1 0 2

:3 4 1 6 8 2

第二行如

2

2 0 2 0

: 1 3 1 3

5 1 7 5

第二行 第三行如

对应元素相加

2、矩阵的运算

定义（加法）

设有两个 矩阵A与 B 的和记作 A+ B .

nm ( ), ( ),ij ij

A a B b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a bA B

a b a b a b

说明: 只有当两个矩阵的行数、列数分

别相等时，才能进行加法运算.

例1

13 11 4

7 4 4 .

6 8 9

12 1 3 8 5 9

1 6 9 5 0 4

3 3 6 2 8 1

12 3 5 1 8 9

1 9 0 6 5 4

3 6 8 3 2 1

矩阵加法的运算规律：

2 ;A B B A （ ）交换律：

1 ( );A B C A B C （）结合律：( )

(3) ;A O A 4 ( ) .A A O （ ）

元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零

矩阵记作 或 .

nm

nmo o

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a

a

Aa

a a

( ),ij

a

.AA 称为矩阵 的负矩阵

( ) ,ij m n

k A a kA

数 与矩阵 的乘积记作 规定为

11 12 1

21 22 2

1 2

.

n

n

m m mn

k k k

k k kk

k

a a a

a a aA

a ak ka

( ).A B A B 定义 (减 法 )

定义 （数与矩阵相乘）

设A，B 为m×n 矩阵，k，l 为数

数乘矩阵的运算规律:

3 .kl A k lA（）（ ） （ ）

1 ;k l A kA lA （）（ ）

2 ;k A B kA kB （ ）（ ）

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

k k k

k k kk

k k k

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

n

a a a

a a a

k k k

k k kk

k k k

A A

a

k

a a

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

n n nn

a a a

ak k kk

a aA

a

kA

a a

A kAk 要注意 ，

2 ,

2

A X B A

A X A B A

解 将 两边加

3 1 2 7 5 2,

1 5 0 0 1 4A B

已知

且A+2X = B，求X.

例2

7 5 2 3 1 21 1( )

2 2 0 1 4 1 5 0

2 3 24 6 41

.12 1 4 4 2 2

2

X B A

12 ( ).

2X B A X B A

2A A X B A

2 3

1 2 2,

4 5 8A

T

3 2

1 4

2 5 .

2 8

A

1 2

18 6 ,B

T

2 1

18.

6B

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 2

T

1

n m

n m

m m n n mm mn n n mn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

T

( )

.

ij m nA

A

a

A

行列互换 把矩阵 的 得到的矩阵，

称为 的转置矩阵，记作

定义

转置矩阵的运算性质:

T T(1) ( ) ;A A

T T T(2)( ) ;A B A B

T T(3)( ) .kA kA

矩阵乘法的引入

例如，

某学校印刷厂印刷甲、乙、丙三种练习册，一、二月生产与销售情况如下表：

甲种 乙种 丙种

一月

二月

1000 5000 2000

1500 3000 4000

种 类月 份

成本价（元） 销售价（元）

甲种

乙种

丙种

1.2 2

1.4 2. 2

1.5 2. 4

种 类

价 格

1000 1.2+5000 1.4+2000 1.5 1000 2+5000 2.2+2000 2.4

1500 1.2+3000 1.4+4000 1.5 1500 2+3000 2.2+4000 2.4C

成本价 销售价

一月

二月

1000×1.2+5000×1.4 1000×2+5000×2.2

+2000×1.5 +2000×2.4

1500×1.2+3000×1.4 1500×2+3000×2.2

+4000×1.5 +4000×2.4

月份销售额

一、二月份的成本价与销售价总额对照表

如果用矩阵表示三个表格：

11200 17800.

12000 19200

1.2 21000 5000 2000

, 1.4 2.2 ,1500 3000 4000

1.5 2.4

A B

定义 （矩阵与矩阵相乘）

1 1 2 2j j j jn ni i i ic a b a b a b

1,2, , ; 1,2, ,i jm p

注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵

的行数时，两个矩阵才能相乘.

n

n

( ) , ( ) ,

( )

pm

m p

ni nk kj

ijm

A a B b

A B A B AB

p C c

设 是两个矩阵 其中

的列数等于 的行数. 与 的乘积 是一个

行 列的矩阵 ，其中

2 3

3 3

1 2 31 6 8

3 2 16 0 1

5 8 9

乘法无意义

1

1

2

2( )

j

j

ij

p

i i p

j

iAB Ca a

ba

b

c

b

pjb

2 jb

1 jb

ipa

2ia

1ia

+ + +

第 j 列第 i 行

2 1

2 2 2 1

2 4 24

1 2 3C

例

2 2 4 ( 3) 16

1 2 2 ( 3) 4

16

4

ijc

=

例4 1 0 1 2

1 1 3 0

0 5 1 4

A

，

0 3 4

1 2 1.

3 1 1

1 2 1

B AB

， 求

解3 4

( )ij

A a

4 3( )

ijB b

3 3( ) .

ijC c

0 3 41 0 1 2

1 2 11 1 3 0

3 1 10 5 1 4

1 2 1

C AB

3 3

.

5 6 7

10 2 6

2 17 10

34 4 4 43( ) ( )

.

ij ijBA b a D

AB BA

注:1)这说明矩阵的乘法不满足交换

律,这与实数运算：ab =ba 不同.

2) AB = O，但A≠O，B ≠ O.

这与实数运算：

若a b= 0，则a，b中至少有一个等于0,

截然不同.

2 4 2 4,

3 6 1 2

2 4 2 4 0 0

3 6 1 2 0 0

A B

AB

1 0, ,

0 0

0 1 0 1, ,

0 0 0 0

0 1

2

0

10

1

1B

BA C

A C

A

如：

3) AB =AC，且A≠ O ，并不能推出 B = C.

, .A AC CB B 但

矩阵乘法的运算规律:

(1) ;AB C A BC

(2) ,A B C AB AC

;A B C AC BC

(3) ;k kAB A B A Bk

T T T(4) ( ) .B BA A

,nn m n m mm nnm

E A A A E A

单位矩阵左乘矩阵 A、右乘矩阵A的结果仍是原矩阵 A.

单位矩阵在矩阵乘法中相似于1在数乘法中的作用.

1 0

1 0 0

0 1 0.

0 0 1

nE n

主对角线上元素全为 ，其余元素全为 的方阵

，称为 阶

定

单位矩阵

义

0

0

,111 aaaa

在数的运算中，当数 时，0a 有

1 11,a a a

a

是 的倒数，

在矩阵的运算中，

单位阵E相当于数的乘法运算中的1，在矩阵

运算中也可引入与数类似的倒数运算.

,AE EA A 由于 这表明

定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩

阵 B ，使得 AB = BA = E ，则说矩阵 A 是可

逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵.

1.A A

的逆矩阵记作 , .A B是互逆的

二、逆矩阵

例5 设 1 1 1 2 1 2, ,

1 1 1 2 1 2A B

,EBAAB

.B A 是 的逆矩阵

注：

若A是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.

定理 矩阵A可逆的充要条件是 det A≠0 .

0A

1 0 1

2 1 0

3 2 5

9 A

证明 是可逆矩阵，并求例 其逆矩阵.

[ A, E ] ～[ E, A－1 ]

1 0 1

det 2 1 0 2 0 .

3 2 5

A A

由于 = ， 可逆解

3

1

1 0 1 1 0 0

2 13 0 0 1 0

3 2 5 0 0 1

3

.

6 A E

A

作一 矩阵 ，

对其施行行初等变换，将左半部分化成 阶单位矩阵，

则右半部 变换为

行 列

分

2

1 0 1 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 0 2 7 2 1

第二行乘（ ）

加到第三行

2 3

1 0 1 1 0 0

0 1 2 2 1 0

0 2 2 3 0 1

第一行乘（ ），后

分别加到第二、三行上

1 0 1 1 0 0

0 1 0 5 1 1

0 0 2 7 2 1

第三行加到第二行

1)

5 11 0 0 12 2

0 1 0 5 1 1

7 10 0 1 12 2

第三行乘（

加到第一行

1

5 112 2

5 1 1

7 112 2

A

．

1

2

1 0 1 1 0 0

0 1 0 5 1 1

7 10 0 1 12 2

第三行乘

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 1,

4 2 5 4,

2 4

10

0.

x x x

x x x

x x x

解例 线性方程组

解 由方程组的系数与常数项构成的矩阵

称作增广矩阵：

2

4

2

通过例题介绍利用矩阵的工具解线性方

程组的两种方法.

1

4

0

3

5

4

1

2

1

三、矩阵的应用

用消元法解方程组的过程就是对方程

组的增广矩阵施行行初等变换的过程.

下面对增广矩阵施行行初等变换：

2

1

2 1 3 1 2 1 3 1

4 2 5 4 0 0 1 2

2 1 4 0 0 0 1 1

第一行（ ）加到第二行

第一行（ ）加到第三行

2 1 3 1

0 0 1 2

0 0 0 1

第二行

加到第三行

1 2 3

3

2 3

0

2,

.1

1,x x x

x

与原方程组同解，

2 1 3 1

0 0 1 2

0 0 0 1

对应的方程组是

.第三个方程为矛盾方程， 以原方程组无解所

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 3 4 5

1 2 3 4 5

2,

2 3 3 0,

2 2 6 6,

5 3 4.

1

4 3

1

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

例 解方程组

2 1 4

2 3 4

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2

2 3 1 1 3 0 0 1 1 1 5 4

1 0 2 2 6 6 0 1 1 1 5 4

4 5 3 3 1 4 0 1 1 1 5 4

第1行乘 、 、

分别加到第 、、行

解 对方程组的增广矩阵施行初等变换

2 3

2 1 4

1 1 1 1 1 2

0 1 1 1 5 4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

第 行加到第 行

第 行乘- 加到第 行

2 1 1

1 0 2 2 6 6

0 1 1 1 5 4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

第 行乘- 加到第 行

1 3 4 5

2 3 4 5

1 3 4 5

2 3 4 5

2 2 6 6,

5 4.

2 2 6 6,

5 4.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

原方程组与 同解,

与上方程组等价的是：

3 4 5 1 2

.

x x x x x 当 、 、 任意取值，可求出 、 ，从

有无

而说

明原 程组 穷多组解方

1 1 1 1 1 2

0 1 1 1 5 4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 3

1 2

1 2 3

2,

2 1,

3 .

2

5

1

2 0

x x

x x

x x x

解方程组 例

1

1 1 1

9 A AX B A

A AX A B X A B

由例 知 是可逆矩阵，对 ，两边 ，左乘

1

2

3

1 0 1 2

2 1 0 1

3 2 5 0

A

x

x

x

A

B

B

X

X

解 矩阵方程 方程组可写成

， ，

　

其中 .

5 11 2 62 2

5 1 1 1 11 .

7 1 0 812 2

X

1

5 112 2

5 1 1

7 112 2

A

课后作业

习题 八 (p248-249)

1(1)， 2(1)， 4