概率论与概率论与数理统计数理统计

高教自考复习高教自考复习总第十四讲总第十四讲

提纲回顾与展望回顾与展望概率论的基础概率论的基础随机变量的基础随机变量的基础数字特征数字特征计算技巧计算技巧

回顾与展望学了概率论与数理统计两大学了概率论与数理统计两大块块 ;;查一查微积分、集合、计算查一查微积分、集合、计算方面的基础是否扎实；方面的基础是否扎实；分析和解决随机现象中问题分析和解决随机现象中问题的能力；的能力；考试是能力的综合测试；考试是能力的综合测试；理论联系实际的重要。理论联系实际的重要。

概率论要掌握的基础知识集合论集合论排列组合排列组合基本微积分基本微积分计算技术计算技术

概率的基本概念事件事件随机事件随机事件不可能事件不可能事件必然事件必然事件包含包含相等相等

交与并交与并不相容不相容 (( 互斥互斥 ))

对立对立 (( 互补互补 ))

独立独立00 概率事件概率事件11 概率事件概率事件

概率的基本公式

BABA,BABA:

)A(P)A|B(P)B(P)B|A(P)AB(P

)A(P

)AB(P)A|B(P,

)B(P

)AB(P)B|A(P

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

1)(P,0)(P),A(P1)A(P

注意

概率论部分概率论部分离散型的分布列为则要求 :1. pk≥0

2. ∑pk=1

而 Eξ= ∑xk pk( 要求绝对收敛 .)

Eξ2= ∑xk2 pk

Dξ= Eξ2－ (Eξ) 2

xk x1 x2 … xn

pk=P(ξ =xk) p1 p2 … pn

概率论部分概率论部分连续型的概率密度函数为 p(x),

则要求 :1. p(x)≥0

2.∫p(x)dx=1

而 Eξ=∫xp(x)dx( 要求绝对收敛 )

Eξ2=∫x2p(x)dx

Dξ= Eξ2－ (Eξ) 2

随机变量随机现象量化为一个变量，叫随随机现象量化为一个变量，叫随机变量机变量 ;;

类型：离散型与连续型；类型：离散型与连续型；分布函数及其性质：分布函数及其性质：离散型的分布列及性质；离散型的分布列及性质；连续型的概率密度函数及性质；连续型的概率密度函数及性质；重要的几类随机变量。重要的几类随机变量。

随机向量随机现象作为整体量化为几个变量，随机现象作为整体量化为几个变量，叫随机向量叫随机向量 ;;

类型：离散型与连续型类型：离散型与连续型 ;;

联合分布函数与边际分布函数联合分布函数与边际分布函数 ;;

离散型的联合分布列与边际分布列离散型的联合分布列与边际分布列 ;;

连续型的联合概率密度函数与边际连续型的联合概率密度函数与边际概率密度函数。概率密度函数。

概率论部分概率论部分数字特征的性质：1.E(aξ+b)=aE(ξ)+b2.E(ξ±η)=E(ξ)±E(η)3.E(ξ*η)=E(ξ)*E(η)?4.D(aξ+b)=a22D(ξ)5.D(ξ±η)=D(ξ)++D(η)?6.D(ξ*η)=D(ξ)*D(η)????

数字特征离散型用求和：离散型用求和：

连续型用积分：连续型用积分：

（都要求绝对收敛。）（都要求绝对收敛。）要掌握基本级数求和公式及基本积分要掌握基本级数求和公式及基本积分公式。公式。

k

kkpxE

dx)x(xpE

练习1)1) 如如 AABB ，，则则A∪B=A∪B=

A∩B=A∩B=

P(A∪B)=P(A∪B)=

P(A∩B)=P(A∩B)=

P(B-A)=P(B-A)=

P(A-B)=P(A-B)=

BB

AA

P(B)P(B)

P(A)P(A)

P(B)- P(A)P(B)- P(A)

00

2)2) 如如 P(A)=0,BP(A)=0,B为任意事件，则为任意事件，则P(AP(A∪∪B)=B)=

P(AP(A∩∩B)=B)=

AA 与与 BB 独立吗？独立吗？

P(B)P(B)

00

√√

单项选择题*设 P(A)=0， B 为任一事件，则 ___;①A= A② B③A与 B 相互独立 ④ A与 B 互不相容

*A、 B 为任意两个事件，若 A、 B 之积为不可能事件，则称 ____;

①A与 B 相互独立 ②A与 B 互不相容 ③A与 B 互为对立事件 ④A与 B 为样本空间的一个剖分

* 设 A 、 B 两 事 件 互 不 相容， 0<P(A)=p<1 ， 0<P(B)=q<1 ，则推不出结论 ___ ； ① P(A|B)=0 ②③ ④

* 设随机变量的分布列为 -2 0 2 ，则 E(3 2+5) = ___;

p 0.4 0.3 0.3

① 13 13.2②③ 13.4 13.6④

单项选择题0)BA(P

p)BA(P 1)BA(P

单选题单选题* 设 A ， B 为两事件， AB ，则不能推出结论 ____

①P(AB)=P(A) P(AUB)=P(B)②③P(AB)=P(A)-P(B) P(AB)=P(B)-P(A)④* 设离散型随机变量的分布列为其分布函数为 F(x),则 F(3/2)=___

① 0.1 0.3 0.6 1.0② ③ ④* 随机变量 ξ 的概率密度函数为 p(x)=

(-∞<x<+∞), 则常数 C=___

① 1/π 2/π π π/2② ③ ④

ξ -1 0 1 2p 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4

2x1

C

单选题单选题* 随机变量 ξ 的概率密度函数为

p(x)=

则 ξ 的数学期望 E ξ=____

① 1/2 1 2 4② ③ ④

*设 ξ~P(λ)(λ>0) ，则 D(ξ)/E(ξ)=____

① 1 λ 1/ λ λ② ③ ④ 2

* 随机变量 ξ~P(2) ，则 Eξ2=____

① 2 4 6 8② ③ ④

其它0

]2,0[x2

1

单选题单选题* 随机变量 ξ和 η 的概率密度函数分别为

pξ(x)= pη(y)=

若 ξ和 η 相互独立，则数学期望 E(ξη)=____

① 1 1/2 1/3 1/4② ③ ④

* 设随机变量 ξ的 E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2, 用切比雪夫不等式估计 P(|ξ- μ|≤3σ)____

≤① 1/9 ≤8/9 ≤80/81 ≥8/9② ③ ④

其它0

1x01

0y0

0ye2 y2

切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式 随机变量的随机变量的 ξξ 方差存在，方差存在， εε>0:>0:

2

2

D1)|E(|P

D)|E(|P

或

例题例题 一枚硬币抛了一枚硬币抛了 10001000 次，估计正面次次，估计正面次

数在数在 [400[400 ，， 600]600] 中的概率；中的概率； 设设 ξ~N(12,9),ξ~N(12,9), 是否有是否有

P(6≤ξ≤18)≥0.75P(6≤ξ≤18)≥0.75 一批产品中优质品占一半，从中有一批产品中优质品占一半，从中有

放回地抽取，问在放回地抽取，问在 100100 次抽取中优次抽取中优质品的件数不超过质品的件数不超过 4545 的概率约为多的概率约为多少？超过少？超过 6060 件的概率约等于多少？件的概率约等于多少？

单项选择题单项选择题

单项选择题１单项选择题１ .. ＡＡ∴ 选Ａ

11

1x

2

1dx

2

1dx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x12

1)x(p

1

11

1

1

1

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＢＢ∴ 不选Ｂ

41

1x2dx2dx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x12)x(p

1

11

1

1

1

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＣＣ∴ 不选Ｃ

01

1

2

xxdxdx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

.)x(p

0

1x1x)x(p

21

11

1

1

1

再

不是非负的首先

其它

3

2

1

1

3

xdxxdx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x1x)x(p

31

1

2

1

1

1

1

2

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＤＤ∴ 不选Ｄ

.4D

)4,1(N~,4,1

e22

1)x(f

2

8

)1x( 2

单项选择题２单项选择题２

∴ 选Ｃ

单项选择题３单项选择题３

Ａ：至少击中一次；Ｂ：至多击中一次；∴选 B

Ｃ：恰好击中一次；Ｄ：三次皆不中。

单项选择题４单项选择题４ＦＹ (y)=P(Y≤y)

=P(X≤+∞,Y≤y)

=F(+∞,y)∴选Ｄ

单项选择题单项选择题

单项选择

单项选择

题题

单项选择题单项选择题

填空题填空题

填空题填空题

填空题

填空题

填空题填空题

简答题简答题

简答题简答题

计算题计算题

计算题计算题

综合应用题综合应用题

20012001 年秋试题选年秋试题选* 设 ~B(10,1/3) ，则 D()/E()=___;

① 1/3 2/3②

③ 1 10/3④

* 设 ~N(,2) ，以下结论错误的是 ___;

① P{-2<<+2} 与，无关 ② P{<}=1/2

③ E(-)=0 D(④ -)=0

20012001 年秋试题选年秋试题选* 设 ~P(2) ，则有 ___ 成立；

① D(2-3)=1 D(2② -3)=5

③ D(2-3)=7 D(2④ -3)=8

*ξ， η 同分布 N（， 2），且相互独立，下面各式不成立的是 ___;

① E(2-2η)=0 E(2② +2η)=4E()

③ D(2-2η)=7 ④ 与 η 不相关

20012001 年秋试题选年秋试题选计算题：* 设随机变量的分布函数为

F(x)=

求：⑴常数 A；⑵的密度函数p(x)；⑶ P{1}

0x0

0xe)x1(A x

20012001 年秋试题选年秋试题选计算题：* 若甲盒中装有三个白球，二个黑球，

乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。⑴求从乙盒中取得一个白球的概率；⑵若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

20012001 年秋试题选年秋试题选综合应用题：* 袋中有 2 只白球， 3 只黑球，现进行无

放回地摸球，定义：

= ,η= ,

求⑴ (ξ,η) 的联合分布；⑵ ξ,η 的边际

分布；⑶ ξ,η 是否相互独立。

第一次摸出黑球第一次摸出白球

0

1

第二次摸出黑球第二次摸出白球

0

1

20012001 年秋试题选年秋试题选简答题* 设随机变量 ~N（， 2），问 k

取何值时 P{≤+k}=0.5 ；* 设总体服从普阿松（ Poisson ）分

布， P{X=k}=

其中 λ>0 为未知参数 ,X1,X2,…, Xn

为样本， ，则 2 为 2λ 的矩估计，对不对？

,...),2,1,0k(e!k

k

n

1iiX

n

1X X

20012001 年秋试题选年秋试题选*设 X1， X2 …， ， Xn 为总体 X~N(， 2)

的一个样本，分别为样本均值和样本方差，则服从参数为 n-1的 t 分布的统计量是 ___;

　①　　　　　　　②

　③　　　　　　　④

2n

1ii

2n

n

1ii )XX(

n

1SX

n

1X

和

)( Xn

nS

Xn )(

)(1 Xn

nS

Xn )(1

20012001 年秋试题选年秋试题选* 设总体 X 服从 [0,θ] 区间上的均匀分布 ,

其中 θ>0 为未知参数 ,X1,X2,…， Xn 为样本，若 为 θ 的极大似然估计量，则 ___;

① ②③ 对任意 n,

④( X1， X2 …， ， Xn) 的不含任何未知参数的函数

n

iiXn 1

1

1}0{1

nXPn

ii

为似然方程的解

20012001 年秋试题选年秋试题选* 设总体 X 服从正态分布 N(,2), 其中与 2 均为未知参数 ,X1,X2,…, Xn

为样本 , 记则 2 的置信水平为 0.90 的置信区间是 ___;

① ②

③ ④

,)(11 2

1

2

1

n

iin

n

ii XX

nSX

nX 和

))1n(

S)1n(,

)1n(

S)1n((

295.0

2

205.0

2

)

)1n(

S)1n(,

)1n(

S)1n((

290.0

2

210.0

2

))n(

nS,

)n(

nS(

295.0

2

205.0

2

)

)n(

nS,

)n(

nS(

290.0

2

210.0

2

20012001 年秋试题选年秋试题选** 假设检验时，若增大样本容量，则假设检验时，若增大样本容量，则

犯两类错误的概率犯两类错误的概率 ______ 。。

①① 都增大都增大 ②都减小 ②都减小

③③ 都不变都不变 ④一个增大 ④一个增大 ,, 一个减小一个减小