第

十

章

直

流

电

第一节 电流密度

掌握：基尔霍夫第一定律、第二定律。

理解：电流密度、欧姆定律的微分形式。

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章

直

流

电

第一节 电流密度

一、电流和电流密度导体中含有大量的可自由移动的带电粒子，称为载流子。导体内部的载流子在无外电场作用时，作无规则的热运动，不能形成电流。若在导体两端保持一定的电势差。载流子在电场力的作用下将作定向移动形成电流。

电荷在电场作用下的定向移动形成 电流。

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章

直

流

电

第一节 电流密度

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章

直

流

电

第一节 电流密度

a.导体中必须有载流子；b.导体两端保持一定的电势差。电流的方向 习惯上规定为正电荷在电场力作用下的移动方向。

产生电流的条件：

电流的大小 用电流强度来描述。

电流强度定义为单位时间内通过导体截面积的电量。单位为安培。

dqI

dt

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章

直

流

电

第一节 电流密度

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章

直

流

电

第一节 电流密度

第

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直

流

电

第一节 电流密度

导体中电流强度的方向不随时间改变的电流为直流电。

一般情况下，只要知道通过导体的电流强度即可，但当电流通过任意形状的大块导体（容积导体）时，导体中各处的电流强度不完全相同，例如下列情况

导体中电流强度的大小和方向都不随时间改变的电流为 稳恒电流。

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十

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直

流

电

第一节 电流密度

几种典型的电流分布

粗细不均匀的金属导线

半球形接地电极附近的电流

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十

章

直

流

电

第一节 电流密度

电阻法勘探矿藏时的电流

同轴电缆中的漏电流

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十

章

直

流

电

第一节 电流密度

对于容积导体，仅有电流强度的概念是不能够确切描述导体内部各点的电流分布情况，因此我们要引入电流密度的概念。在电流强度为 I的导体内取面积元 dS,dS 的法线与所在处 E相同，通过 dS的电流强度为 dI，则电流密度为 J

dSn,E

dIJ

dS

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十

章

直

流

电

第一节 电流密度

电流密度的另一表达式设导体中存在一种正电荷的载流子， n表示导体中单位体积内的载流子数目， Z表示载流子的价数， v表示载流子运动的速度，则在 dt时间内通过 dS的电量 dQ 为

dQ Zen vdt dS

dQdI Zenv dS

dt

dIJ Zenv

dS

eJ v

ρe

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直

流

电

第一节 电流密度

二、金属与电解质的导电性金属导体中的电流是由大量自由电子的定向漂移运动形成的。导体中电流密度的大小为

J nev电解质溶液中的载流子是正、负离子。当有外电场作用时，正、负离子将分别沿电场方向和逆电场方向移动，形成电流。溶液中电流密度为

( )J Zen E

正离子迁移率

负离子迁移率

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十

章

直

流

电

第一节 电流密度

三、欧姆定律的微分形式欧姆定律的形式

UI

R

欧姆

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十

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直

流

电

第一节 电流密度

第

十

章

直

流

电

第一节 电流密度

导体的电阻除和温度、导体的材料有关外，还和导体的几何形状有关

ρ 称为电阻率，单位是欧姆 · 米（Ω·m）

LR

S

γ=1/ρ 称为电导率，单位是西门子每米（ S·m-

1 ）

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直

流

电

第一节 电流密度

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直

流

电

第一节 电流密度

在容积导体中，沿电流方向取长度为 dl，底面积为 dS的圆柱体元，两端的电势分别为 U和 U+dU 通过圆柱体元的电流强度为

( )U U dUdI

R

ds dl

U

U+dUdIdU

R

1 dUdS

dl

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十

章

直

流

电

第一节 电流密度

欧姆定律的微分形式

1 dUdI dS

dl

1dI dU

dS dl

J E

EJ E

导体中任一点的电流密度与该处的电场强度成正比。

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

分析简单电路，应用欧姆定律即可，但对复杂电路必须应用基尔霍夫定律。

在学习基尔霍夫定律前先要了解几个基本概念：

在电子电路中，两个以上的有电源的支路组成的多回路电路，运用电阻串、并联的方法不能将它简化成一个单回路电路，这种电路称为 复杂电路。

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

由一个或几个元件首尾相接构成的无分支电路称为一个支路。

在同一支路内，流过所有元件的电流相 等。

R1 R2R3

E1 E2

A

B

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

三条或三条以上支路汇聚的点称为节点。

节点

如图： 再看这个电路：

R1R2

R3

E1 E2

A

B

E F

D C

A、 B点是节点C、 D、 E、 F点不是节点

A

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

任意的闭合电路 叫回路。3

R1 R2 R3

E1 E21 2

注意：

因此，把内部不包含其它电路的 回路称为网孔。

这 3个回路中，回路 1和回路 2内部不包含其它电路， 而回路 3内部却包含了回路 1和回路 2。

在任一电路的任一节点上，电流的 代数和等于零。

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十

章

直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

一、基尔霍夫第一定律

电路中任意一个节点上，在任一时 刻，流入节点的电流 之和，等于流出节点的电流 之和。

I1 + I3 = I2 + I4 + I5

Σ 流入 = Σ 流出

I1+ (-I2) + I3 + (-I4) + (-I5) = 0

ΣIi=0

移项

得

对于节点 A，一共有五个电流 经过： A

I1 I2

I3

I4

I5

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章

直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

流入节点的电流为正，流 出节点的电流为负列方程时可以先任意假设电流方向，当 计算结果为正时，说明电流的 实际方向和假设的一致；若计算结果为负，则方向相反。对于有 n个节点的复杂电路只有（ n-1 ）个方程是独立的

符号法则：

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

对于这个复杂电路只有 2个节点，只有一个方程是独立的

A

B

C2R

2 2, iR

1I

1R

3R 2I

3I3 3, iR

4 4, iR

4R

D

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

二、基尔霍夫第二定律沿任一闭合回路绕行一周，电势 降落的代数和等于零。

0i i iI R

A

B

C2R

2 2, iR

1I

1R

3R 2I

3I3 3, iR

4 4, iR

4R

D

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十

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

符号法则：应用定律时，首先要假设一个绕行方向，当电阻中电流方向与 其相同时，电势 降落为 +IR，相反时，电势 降落为 -IR； ε的正方向与其相反时，电势 降落为 +ε，相同时，电势降落为 -ε。 ε的正方向为负极指向正极。基尔霍夫第二定律能 提供的独立回路方程数 l等于电路支路数 m与独立节点数 (n-1)的差，即 l=m-(n-1)

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章

直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

第

十

章

直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

应用基尔霍夫定律时的注意事项：

(1)如果电路中有 n个节点，那么只有 (n-1)个相互独立的节点电流方 程。

(2) 新选定的回路中，至少应有一段电路是 已选过回路中未曾出现过的。

(3) 独立方程的个数应等于未知数的个数。

(4)每一电路上电流的方向可以任意 假定，解出的结果若为负，则说明电流的方向与 假定的相反；为正，方向相同。

第

十

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

求解复杂电路的 步骤：

1、假定各支路电流的正方向和 回路的绕行方向；

2、列 (n-1)个节点电流方 程；

3、列 个独立回路的电压方程；

4、对 (n-1+ )个联立方程求解；

5、根据所得电流 值的正负，判断各支路电流的实 际方向。

l

l

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章

直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

3. 基尔霍夫方程组的应用例 1：惠斯通电桥

, iR

A

B

CADR1I

R

0R

2I

3I

xR

D 4I

5I DCR

KI

G

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

, iR

A

B

CADR1I

R

0R

2I

3I

xR

D 4I

5I DCR

KI

G

应用基尔霍夫第一定律， 得节点电流方 程组节点 A 1 2 0I I I

节点 B 1 3 5 0I I I 节点 D 5 2 4 0I I I

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

, iR

A

B

CADR1I

R

0R

2I

3I

xR

D 4I

5I DCR

KI

G

应用基尔霍夫第二定律， 得回路电压方程组回路 ADCKA： 2 4 ( ) 0AD DC iI R I R I R R

回路 ABGDA：1 5 2 0x G ADI R I R I R

回路 BCDGB： 3 0 4 5 0CD GI R I R I R

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流

电

第二节 基尔霍夫定律

, iR

A

B

CADR1I

R

0R

2I

3I

xR

D 4I

5I DCR

KI

G

联立上面六个方程，可以得到各电流。 根据电流结果的正负判断电流 实际方向。实验时，调节 D 的位置，使 G 中电流为 零，电桥平衡，此时 D 移动至 O 的位置。

1 3 2 4,I I I I

1 2x AOI R I R

1 0 2 OCI R I R

代入回路方程

0AO

xOC

RR R

R

O

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

例 2：如图表示把两个无内阻的直流电源并联 起来给一个负载供电，设 已知电源的电动势以 及各个电阻的阻 值，试求每一电源所 供给的电流 I1

、 I2以及通过负载的电流 I。1R1

BA

R2

R

I1

I2

I

1

2

3

2

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律1R1

BA

R2

R

I1

I2

I

1

2

3

2

1 2 0I I I －

解：利用基尔霍夫定律来解这个问题时，可先根据基尔霍夫第一定律（节点定律）列出电流方 程，对节点 A：

为了求出各未知电流，还 需要两个方程，这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律（ 回路定律）列出

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直

流

电

第二节 基尔霍夫定律

1R1

BA

R2

R

I1

I2

I

1

2

3

2

1 1 2 2 2 1 0I R I R －

2 2 2 0I R IR

对这三个方程联立求解对回路 B2A3B

2 1 21

1 2 1 2

( )R R RI

R R R R R R

1 1 22

1 2 1 2

( )R R RI

R R R R R R

对回路 B1A2B

2 1 1 2

1 2 1 2

R RI

R R R R R R

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流

电

第二节 基尔霍夫定律

1R1

BA

R2

R

I1

I2

I

1

2

3

2

这三个电流都是正的，表 明图中所假定的电流方向与实际的电流方向一 致，这时两电源都向负载供电。