第二章 误差理论与数据处理一、测量误差的基本理论

1 、测量误差的定义：

测量误差 = 测得值 - 真值

客观真实值（未知）

1m = 1650763.73

实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同

① 约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值

③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值

如：米 --- 公制长度基准

--- 氪 -86 的 2p10-5d5 能级间跃迁在真空中的辐射波长

测量所得数据与其相应的真值之差 --- 1 ）绝对误差

x = x – x0

② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值

光在真空中 1s 时间内传播距离的 1/299792485

2 ）相对误差测量的绝对误差与被测量的真值之比

绝对误差很小

定义：

表示：百分数（ % ） --- 分子分母量纲相同

相对误差 = 100%绝对误差

真值 = 100%

x

x0

相对误差 = 100%绝对误差

测得值

= 100%x

x

例：质量 G1=50g ，误差 1=2g ；质量 G2=2kg ，误差 2=50g

1= 100% = 100% = 4% 1

G1

G1 的相对误差为 250

2= 100% = 100% = 2.5% G2

G2 的相对误差为 502000

2

--- G2 的测量效果较好

确切反映测量效果：被测量的大小不同 --- 允许的测量误差不同被测量的量值小 --- 允许的测量绝对误差也越小

2 、误差的特点普遍性 --- 所有的测量数据都存在误差 --- 不可避免的

最高基准的测量传递手段（测量仪器 / 测量方法） --- 不绝对准确① “ 米制”建议（ 18 世纪末法国科学院） --- “ 米” 定义 （ 1791年法国国会） --- 通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一 --- 铂杆“档案尺” （ 1799 年） --- 两端之间的距离 --- 第一个实物基准

长度：

“ 档案尺”变形 --- 较大误差 --- 废弃（ 1872 年米制国际会议）② 铂铱合金的 X 形尺 --- 米原器（ 1889 年第一次国际计量大会） ---

中性面上两端的二条刻线在 0C 时的长度 --- （ 1~2 ） 10-7 （复现精度）③ 自然基准（ 1960 年第十一次国际计量大会） --- 废弃米原器 ---Kr-86 的 2p10-5d5 能级间跃迁在真空中的辐射波长的 1650763.73 倍。 --- （ 0.5~1 ） 10-8 （复现精度）④ “ 米”新定义（ 1983 年第十七届国际计量大会） --- 光在真空中 1s 时间内传播距离的 1/299792485 --- 1.310-10 （复现精度）

① 减小误差的影响，提高测量精度

测量精度 --- 测量技术水平的主要标志之一精度提高受到限制 --- 测量误差的影响作出评定

② 对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）

与检测系统的组成和各组成环节有关3 、误差原因

性质、状态、条件以及被测量的种类、状态

③ 检测系统各环节所使用的材料性能和制造技术引起的误差

⑤ 检测系统各环节动力源的变化引起的误差

⑥ 检测系统器件特性变化引起的误差 --- 偏离设定值⑦ 检测环境引起的误差

⑧ 检测方法误差

⑨ 检测人员造成的误差

① 由被测对象本身引起的误差

② 因检测理论的假定产生的误差实际情况与假定情况不符

④ 组成检测系统各环节的传递特性方面产生的误差

人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）

环境条件（温度、湿度、气压等）差异 器件的性能

电流、电压、气压、液压等

检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间 方法误差

4 、误差分类按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差

① 系统误差（ System error ）由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生

按掌握程度：已知误差、未知误差

按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差 --- 有规律可循

装置、环境、动力源变化、人为因素再现性 --- 偏差（ Deviation ）理论分析 / 实验验证 --- 原因和规律 --- 减少 /消除

② 随机误差（ Random error ）因许多不确定性因素而随机发生偶然性（不明确、无规律）概率和统计性处理（无法消除 /修正）

③ 粗大误差（ Abnormal error ）检测系统各组成环节发生异常和故障等引起异常误差 --- 混为系统误差和偶然误差 --- 测量结果失去意义分离 --- 防止

按变化速度：静态误差、动态误差

5 、检测精度--- 检测系统的基本内容不同场合 --- 检测精度要求不同

例：服装裁剪（身长 /胸围） --- 半厘米；发动机活塞直径 --- 微米级精度高 --- 系统复杂 --- 造价高

--- 系统误差大小的反映

坐标原点 --- 真值点的位置

按误差原因：

点 --- 多次测量结果

① 正确度：表征测量结果接近真值的程度

② 精密度：反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）--- 表示随机误差的大小

③ 准确度：表征测量结果与真值之间的一致程度--- 系统误差和随机误差的综合反映

例：

6 、确定测量误差的方法

1 ）逐项分析法与被测对象有关的专业知识 --- 物理过程、数学手段

对测量中可能产生的误差进行分析、逐项计算出其值，并对其中主要项目按照误差性质的不同，用不同的方法综合成总的测量误差极限

最严重情况 --- 结果和实际差别 --- 误差极限偏大

2 ）实验统计法

综合使用，互相补充、相互验证

利用实际测量数据估算 --- 反映各种因素的实际综合作用

反映出各种误差成分在总误差中所占的比重--- 产生误差的主要原因 --- 减小误差应主要采取的措施

应用数理统计的方法对在实际条件下所获得的测量数据进行分析处理，确定其最可靠的测量结果和估算其测量误差的极限

适用：① 一般测量

适用： ① 拟定测量方案 ② 研究新的测量方法、设计新的测量装置和系统

② 对测量方法和测量仪器的实际精度进行估算和校验

1 、系统误差的消除

② 测量方法 --- 避免出现系统误差

--- 防止系统误差出现的最基本办法

数据处理 --- 被测量的估计值 --- 可信程度（评定）

① 找出规律 --- 修正值

2 ）引入修正值进行校正

3 ）检测方法上消除或减小

--- 现有仪器设备取得更好的效果（提高测量准确度）

1 ）分析系统误差产生的原因

二、数据处理的一般方法

--- 已出现的系统误差理论分析 /专门的实验研究 --- 系统误差的具体数值和变化规律--- 确定修正值（温度、湿度、频率修正等）

测量前 --- 对可能产生的误差因素进行分析，采取相应措施

--- 修正表格、修正曲线、修正公式 --- 按规律校正

--- 实际测量中，采取有效的测量方法

② 抵消法

例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差

引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变① 换位法 /替代法

--- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消

a ） X 与 P左右交换 --- 两次测量的平均值 --- 消除系统误差

被测物 ---X ；平衡物 --- T ；砝码 --- P

改变测量条件（如方向） --- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差

例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动） --- 系统误差

--- 异号相消法

b ） T 与 X 平衡

TL

LX

1

2 TL

LP

1

2

测量结果

P 与 T 平衡

已知量替换被测量

正反两个方向对准标志线ad ad ' 2/)( 'dda 顺时针 --- 逆时针 --- 正确值 ---

换位 /替代法

不含系统误差－ a ，空程引起误差－

③ 差动法被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用--- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减

抑制干扰 提高灵敏度和线性度

作用：

④ 比值补偿法利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消

例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化

综合：

两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为 ½周期（克服随时间周期变化因素的影响）

有影响的因素 --- 定值 / 较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值

测量 --- ½ 变化周期

传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断 /删除无用频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度

措施 --- 恒温、稳压或稳频

1 ）判别方法① 物理判别法

--- 人为因素（读错、记录错、操作错）

② 统计判别法 --- 整个测量完毕之后

2 、粗大误差的减少办法和剔除准则

2 ）剔除准则 ① 拉依达准则（ 3 准则）

② 肖维勒准则

③ 格拉布斯准则

显然与事实不符 --- 歪曲测量结果 --- 主观避免 --- 剔除（发现）

--- 测量过程中

--- 不符合实验条件 / 环境突变（突然振动、电磁干扰等）

统计方法处理数据 --- 超过误差限 --- 判为坏值 --- 剔除

随机误差在一定的置信概率下的确定置信限

测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> 3 --- 坏值 --- 剔除

测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> n --- 坏值 --- 剔除 n --- 肖维勒系数（查表确定）

测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> (,n) --- 坏值 --- 剔除 (,n) --- 查表确定

计算算术平均值 x 剩余误差 均方误差 剔除坏值

--- 随时发现，随时剔除 --- 重新测量

3 、随机误差的分析处理 --- 统计方法

正态分布（高斯分布） --- 大多数；

其它 --- 正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、 分布、

分布等

1 ）分布：均匀分布 --- 量化误差、舍入误差；

N 次测量结果 --- xi ( i =1, 2, …, N )

222

2

2

2)(

he

heP

概率密度函数

dedPF

2

2

2

2

1)()(

概率分布函数

)(P

误差 = x - x0

均方根误差 / 标准误差

n

n

ii

1

2

① 对称性2 ）特点 :

② 有界性

③ 抵偿性

④ 单峰性

--- 可正可负 --- 绝对值相等的正负误差出现的机会相等 P() - 曲线对称于纵轴

--- 绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下）绝对值很大的误差几乎不出现

--- 测量次数 n ∞ 时（相同条件下）全体随机函数的代数和 0

1lim

n

ii

n

--- 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大） =0 处随机误差概率密度有最大值

数学期望（ Expectation ） --- 真值 x0

标准偏差（ Standard deviation ） --- 测量精密度的标志

3 ）特征量：

-K K

h --- 精密度指数

2

1h

数学期望 --- 标准偏差

样本平均 --- 随机变量 --- 数学期望、标准偏差

nx

--- 估计值 s

样本平均 x 的标准偏差 --- 单次测量标准偏差的 n/1

n

sx

^

真值 x0x估计 ^

x

样本中各测量数据相对样本平均的分散程度 --- 样本标准偏差 s

1

)( 2

1

n

xxs

n

ii

--- 总体标准偏差 的无偏估计 ^

s

算术平均（ Mean value ）n

xx

n

ii

1 样本平均 --- 的无偏估计

总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替估计（ Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（ ^ ）

同一被测量 n 次测量 xi （ i =1 ， 2 ，…， n ） --- 样本

真值 x --- 可靠 --- 多次测量提高精密度

4 、误差综合1）系统误差的合成① 已定系统误差 --- 大小和正负已知

2）随机误差的合成

② 间接测量随机误差的合成

② 未定系统误差 --- 难以知道或不能确切掌握大小和正负 --- 极限范围 e

--- 代数和 --- 校正消除

--- 不确定度代数相加法、方和根法、广义方和根法

① 间接测量平均值的计算xi （ i =1,2,…,m ） --- 直接测量量

y --- 间接测量量y = f （ x1 ， x2 ，…， xm ） --- xi 的单值函数

y = f （ x1 ， x2 ，…， xm ）

2

1

2

ix

m

i iy x

y

--- 各直接测量量互不相关③ 不等精密度测量

“权” --- 比重的大小（信赖度高 --- 比重大）加权算术平均值

m

ii

m

iii

W

xWx

1

1^

m

ii

ixx

W

Wi

1

^

)...)(1(

...

21

2222

211

^

m

mmx WWWm

PWPWPW

加权算术平均值的均方根误差

^^

22

^

11 xxPxxPxxP mm ，，均方根误差 剩余误差

5 、测量结果的表示方法① 多次测量结果的表示

测量结果 = 样本平均值 不确定度

② 单次测量结果的表示

-- 消除系统误差、剔除粗大误差随机误差数据处理 --- 被测量真值的取值范围（概率）

不确定度（ Uncertainty ）测量可以置信的限度 --- K

K ---置信系数（ K=1, 2, 3等）

直接测量n

sxxx

x

^

概率 --- 置信概率

正态分布 ），n

sx

n

sx (

68.27%

），n

sx

n

sx

22(

95.45%

），n

sx

n

sx

33(

99.73%

事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、检测器具说明书中给出的误差限 --- 标准偏差的估计值

-K K

6 、数据的有效数字及舍入规则1）数据有效数字 --- 位数：

不确定度 --- 一位到二位

2）数字的舍入规则

如：测量结果 l =4.2958mm ，极限误差 lim=0.015mm

一般数据 --- 按有效数字取舍数据的位数l =4.296mm

--- “ 四舍六入五凑双”

加减运算 --- 小数点后位数最少的数据

一般数据精度数据（标准差、极限误差）

数据：最末一位取与不确定度末位同一量级

按书写数字 --- 数据误差（半个单位以内） 如： 2.38 （ 0.005 ）， 0.082 （ 0.0005 ）

--- “只入不舍” 如：极限误差 0.22 0.3 （一位有效数字）

3）数字运算规则

乘除运算 --- 有效数字位数最少的数据4.286 + 1.32 - 0.4563 = 5.1497

5.15

462.8×0.64 1.22 = 242.78033

2.4×102

7 、最小二乘原理及其应用1）最小二乘法原理

2）回归分析 --- 数理统计方法 --- 目标变量与自变量 --- 函数关系相关关系 --- 不能由自变量的数值精确的求得目标变量数据处理 数学表达式

n 次重复测量（ x1, x2, …, xn ）

最佳估计 ^

OPTx OPTxxv ii

^

残差 平方和最小

min

2^2 )(^^ SxxvS OPT

OPT iixx

--- 残差平方和最小

ixnx OPT

1^

应用：实验数据的处理、经验公式的求得、因素分析、产品质量控制、系统模型建立

(x1,y1), (x2,y2),…,(xn ,yn)

* **

**

*

数学模型：直线、抛物线、双曲线、幂函数

实验数据：y = f (x)

最小二乘法 最佳函数关系式*

x

y

),...,2,1(

...)( 2210

mj

xaxaxaxaaxfy jj

mm

拟和曲线

残差

),...,,,( 10 miii aaaxfyv

),...,2,1(

)],...,,,([ 210

2

ni

aaaxfyvs miii

残差平方和

残差平方和最小

0

ja

s),...,1,0(0)(

1 0

mjxxay ji

n

i

m

k

kiki

或

m+1个方程 m+1 个未知数（ a0,a1,…,am ）

3）回归方程的方差分析与显著性检验

y =f (x) 一次函数 --- 线性关系

xaaxfy 10)(

0

ja

s

iiii

ii

yxxaxa

yxana2

10

10

221

22

2

0

)(

)(

ii

iiii

ii

iiiii

xxn

yxyxna

xxn

yxxyxa

显著性检验 --- 自变量和因变量之间的关系与实际是否相符方差分析 --- 求解 /预报因变量的值的精度如何

总的离差平方和

① 方差分析n 个测量值（ y1, y2, …, yn ）之间的差异 --- 变差

i

i yy 2_

)(

第 i 个测量值 测量值的平均值

回归直线精度 --- 剩余方差

① 自变量 x 取值不同造成因变量 y 的变化② 实验误差等因素的影响

i

iii

ii yyyyy 2^

2_^

)()(估计值

U 回归平方和 Q 剩余平方和

Q

Q

2

剩余平方和 Q的自由度

（的自由度） --- n-1

U （ U 的自由度） --- 1

Q （ Q 的自由度） --- n-2

测量点数 --- n ：

② 显著性检验表示： U 和 Q 的相对大小U 大 Q 小（比值大） --- y 与 x 的线性关系密切 显著性 --- F （统计量）

Q

U

Q

UF

/

/ F 分布

偶然误差的分布形式 --- Fa ( v1, v2 )

v1 --- 分母自由度 v2 --- 分子自由度F 大于 Fa ( v1, v2 ) 的概率为 a

F 分布表显著水平： a ＝ 0.01 、 a ＝ 0.05 、 a ＝ 0.1

F >F0.01 ( v1, v2 ) 高度显著F0.05 ( v1, v2 ) <=F <=F0.01 ( v1, v2 ) 显著（ 0.05 水平上）F <=F0.1 ( v1, v2 ) 不显著

三、检测系统构成

信息获取 转换 显示和处理（信号检出部分） （信号变换部分） （分析处理部分、

通信接口及总线）

智能电子警察监测系统

号

图像分辨率 700x560

真彩色 16Mbit

CCD镜头最低照度 <0.4 lux

镜头分辨率 >560 线焦距 12～ 48mm

记录模式 3张 /每车存储图像容量 >14000张电源功率 <250W

供电电压 220VAC 50Hz

车型类别 5 种超速检测 10-200 公里 / 小时

技术指标

今日作业

无