第八章 测量误差基本理论§8.1 测量误差的概念

一、误差产生的原因

1 、仪器因素 由于受到测量仪器精确度、仪器结构不完善的限制，使得测量误差受到一定的影响。2 、人为因素 由于受观测者的感觉器官的鉴别能力的影响，使得在对仪器进行对中、整平、照准、读数、观测者技能的熟练程度等方面均会产生误差。3 、外界因素 由于测量时所处的外界环境中的空气温度、压力、风力、日光照射、大气折光、烟尘等客观因素的不断变化，必将使测量结果产生误差。

二、测量误差的分类

1 、偶然误差在相同的观测条件下，对某一量进行多次观测，若其误差出现的符号及数值的大小都不相同，从表面上看没有任何规律。2 、系统误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，若其误差在符号和数值上都相同，或按一定规律变化。3 、粗差亦称错误，是由于观测者使用的仪器不合格、观测者的疏忽大意或外界条件发生意外变动引起的错误。

§ 8.2 误差的特性

一、偶然误差特性

1 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然

误差是有界的；

2 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的频率大；

3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相同；

4 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值（算术平均值）趋于

零，即偶然误差具有低偿性。

0......

limlim 21

nn n

n

n

二、系统误差特性

1 、特性：累积性、规律性

2 、消除：

1 ）、测量系统误差的大小，并对观测值进行改正；

2 ）、采用对称测量法；

3 ）、检校仪器。

§ 8.3 评定精度的标准

一、中误差

1

][

... 222

21

n

vv

nnm n

1 、定义：相同观测条件下，一组同精度观测值的真误差的平方和的算术平均值的平方根。2 、公式：

次序 观测值 算术平均值 改正值1 248.13

248.10-0.03

2 248.08 +0.023 248.20 -0.104 247.93 +0.125 248.17 -0.076 248.04 +0.06

3 、实例

m

n

vvm 083.0

1

二、极限误差

1 、定义：由偶然误差的第一个特性可知，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值被称为极限误差

由于观测的次数有限，则出现绝对值大于 3 倍中误差的机率会极小，故通常以 2 倍中误差作为偶然误差的极限，称之为允许误差或极限误差

%7.99997.0

%4.95954.0

%3.68683.0

mP

mP

mP

m2允

三、相对误差

1 、定义 相对误差是中误差与观测值之比。2 、公式：

Mk 1

§ 8.4 误差传播定律

观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的规律。

一、定义

nxxxfZ ,...,, 21二、公式

nn

dxx

fdx

x

fdx

x

fdZ

...22

11

nn

xx

fx

x

fx

x

fZ

...22

11

nnnn

n

n

xxx

f

x

fxx

x

f

x

fxx

x

f

x

f

N

N

x

x

f

N

x

x

f

N

x

x

f

N

Z

11

3131

2121

2222

2

2

21

2

1

2

...2

...

jiN

xx

x

f

x

f ji

n

0lim

21

2

2

2

2

2

2

2

1

22 ...

21 nxn

xx mx

fm

x

fm

x

fm

函数 函数表达式 误差传播定律

倍数 Z=km

和差

线性

均值 ( 为等精度观测 )

222xZ mkm

nxxxZ 212222

21 nxxxZ mmmm

nxkxkxkZ 12111 222

21

2

21 nxnxxZ mkmkmkm

nxn

xn

xnn

xZ

11121 nmm xZ

22

几种函数的误差传播公式

§ 8.5 不同精度观测值的直接平差

一、权的概念

1 、权的定义 中误差与任意大于零的实数的比值。2 、公式

3 、权的性质①权与中误差均是用来衡量观测值精度的指示，但中误差是绝对性数值，表示观测值的绝对精度；权是相对性数值，表示观测值的相对精度；②权与中误差的平方成反比，中误差越小，其权越大，表示观测值越可靠，精度越高；③由于权是一个相对数值，对于单一观测值而言，权无意义；④权衡取正值，权的大小是随 C 值的不同而异，但其比例关系不变；⑤在同一问题中只能选定一个 C 值，否则就破坏了权之间的比例关系。

2i

im

CP

二、测量中确定权的方法

1 、同精度观测值算术平均值的权

2 、权在水准测量中的应用

3 、权在距离丈量中的应用

n

nm

CP

mC

L

2

2令：

ii L

Cp

S

C

mP

s

i 2

三、不同精度观测值的最或是值（加权算术平均值）计算

P

PL

PPP

LPLPLPL

n

nn

...

...

21

2211

设对某量进行了 n 次不同精度观测，观测值为 , 其对应的权为 ，则可取加权平均值为该量的最或是值，即

Llv ii

LPlPvP iiiii

0 LPPlPV

四、不同精度观测的精度评定

1 、最或是值的中误差

n

n lP

Pl

P

Pl

P

P

P

PLL ...2

21

1

)...(

1 2222

22

21

212

2nn mPmPmP

PM

1m2

2

i

im

P

PP

P

P

P

P

PM n

22

22

222

212 ...

PM

2 、单位权观测值中误差

22

222

2

211

2

nnmP

mP

mP

＝

＝

＝

PmmmPmPmPn nn 2222

211

2 ...

n

Pmm

n

P＝

1

n

Pvv

1

nP

PvvM

3 、实例 在水准测量中，从已知水准点 A 、 B 、 C 、 D 经四条水准路线，求得 E 点的观测高程 及各段水准路线长度 列于下表相应栏中。

测段 高程观测值(m)

水准路线长度 (km)

权 v Pv pvv

AE 40.347 4.0 0.25 +17.0 4.2 71.4BE 40.320 2.0 0.50 -10.0 -5.0 50.0CE 40.332 2.5 0.40 +2.0 0.8 1.6DE 40.330 2.5 0.40 0 0 0

[P]=1.55 [Pv]=0 [Pvv]=123.0

ii SP

1

mH Z 330.4040.040.050.025.0

330.40*40.0332.40*40.0320.40*50.0347.40*25.0

mmn

pvv4.6

14

0.123

1

][

mm

PM 1.5

55.1

4.6