第三节 三重积分1. 利用直角坐标计算2. 利用柱面坐标计算3. 利用球面坐标计算4. 小结、作业5. * 重积分的换元法

1/32

一、利用直角坐标计算

dVzyxf ),,( 1、

dxdydzzyxf ),,(

x

y

z

o

D

1z

2z 2S

1S),(1 yxzz

),(2 yxzz

a

b)(1 xyy

)(2 xyy ),( yxDyx

yxzzyxz

),(

),,(2),(1:若

dxdydzzyxfD

yxz

yxz)),,((

),(

),(

2

1

直角坐标系

bxa

xyyxyD

),(2)(1:又若dxdydzzyxf

b

a

xy

xy

yxz

yxz))),,(((

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

b

a

xy

xy

yxz

yxzdzzyxfdydx .),,(

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

D

yxz

yxzdzzyxfdxdy

),(

),(

2

1

),,(

2/32

dxdydzzyxf ),,( 2、

],[ ,),,(:

21 cczDzyx z

若

dzdxdyzyxfc

cDz

)),,((2

1

)()( ),,(),(: 21

zbxzazxyyzxyDz

又若

dzdxdyzyxfc

c

zb

za

zxy

zxy))),,(((

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

2

1

),,(c

cDz

dxdyzyxfdz

z

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(),,(

c

c

zb

za

zxy

zxydyzyxfdxdz

z

3/32

例1 化

dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分，其中

为 22 2yxz 及 22 xz 所围成的闭区域。

解由

2

22

2

2

xz

yxz,

: xOyDz，得消去.yx 122

.11

,11,22 22222

x

xyxxzyx：

.),,(1

1

2

2

1

1

2

22

2

2

x

yx

x

xdzzyxfdydxI

4/32

例2 化

dxdydzzyxfI ),,( 为三次积分，其

中 由 22 yxz , 2xy, 1y , 0z 围成.

1

1 0

1 22

2 ),,(yx

xdzzyxfdydxI .

解

.11,1

,0:2

22

xyx

yxz

5/32

*例3 将1

0

1

0 0

22

),,(yx

dzzyxfdydx 化为xzy,,的次序.

解 .0 ,10: 22 yxzyDx ].1,0[x.10 ,0 : 2

1 yxzD

.1 ,1 : 2222 yxzxzxD

.21 DDDx

dydzzyxfdxDD

),,(][21

1

0 原式

11

0

12

2

2 ),,(xz

x

xdyzyxfdzdx .

1

0

1

0 0),,(

2

dyzyxfdzdxx

6/32

例4 计算

zdxdydz，其中为三个坐标面及

平面 1 zyx 所围成的闭区域.

zdxdydz解 1

z zy

dxdyzdz1

0

1

0

1

0

z

dyzyzdz1

0

1

0)1(

1

0

2)1(21

dzzz241.x

o

z

y

1

1

1

1 zyx

1 zyyOzD

7/32

解 2

zdxdydz

00 1

1

0

y,xzyx:Dz

dxdyzdz

1

0

2)1(2

1dzzz .

24

1x

o

z

y

1

1

1

zD

z

1 zyx

1

0dz|D|z z

例4 计算

zdxdydz，其中为三个坐标面及

平面 1 zyx 所围成的闭区域.

8/32

例5 计算 dxdydzz

2 ， :由 12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

所围成的空间闭区域.

x

y

z

o

zD解

a

dzc

zb

c

zaz

c)1()1(2

2

22

2

22

0

2 .154 3abc

原式b

c

z

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

1

0

22

c

z

b

y

a

x:D

c

z

dxdydzz

c

z dz|D|z0

22

9/32

例6 计算 dxdydzxy

21 ，其中由

221 zxy ， 122 zx ，1y 围成. 解

dxdzzx

xzxD 2

122

2

dxz

zxx xz

xz]|)

3[(1

2

1 2

2

1

1

321

1

2

.

4528

1

11 :

2) , (

2 2

2 2

1z xz x D

x z y

ydy dxdz xzx

后 先

原式dz

zxxdx

x

x 21

221

1

1

1

22

2

10/32

二、利用柱面坐标计算).,,( zM 的柱（面）坐标点

x

y

z

o

),,( zyxM

),( rPr

.

,sin

,cos

zz

y

x

柱坐标与直角坐标的关系

为常数

为常数z

为常数

三族柱坐标面：圆柱面；

半平面；平 面．

),,( zyxM

),( rPr

z

x

y

z

o

),( P

,

11/32

dvzyxf ),,(

.),sin,cos(

dzddzf d

r

x

y

z

o

dz

drrd柱坐标系中的体积元素：

,dzdddv dd

12/32

例7 计算

zdxdydzI ， 其中 是

4222 zyx 与 zyx 322 所围立体.

解

zz

y

x

sin

cos

由,

z

z

3

42

22

.3

,1

z即知交线

：对在上面的 上

2

3

2

42

0

3

0

dzzddI上 .4

13

：对在下面的 下 下I

.4

13

4222 zyx

zdV：下上

上

zdV0

上

zdV

13/32

另解

zyx

zyx

3

422

222

.yx

,z

3

122

即交线为

zyxDz

dxdyzdzI3:

1

022

上

.4

13同前

下 I .4

13

222 4:

2

1zyxDz

dxdyzdz

1

03zdzz

2

1

2 )4( dzzz

例7 计算

zdxdydzI ， 其中 是

4222 zyx 与 zyx 322 所围立体.

14/32

例8 计算

dxdydzyxI )( 22 ， 其中是曲线

zy 22， 0x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 ,2z 8z 所围立体.

解

0

22

x

zy 绕 oz 轴的旋转曲面 .zyx 222

,zzyx 2 2 Ω 22 所围立体与为记

I 则

8 24

0

2

0 221

dzdrd

柱坐标

2 22

0

2

0 221

dzdd =

345

625

336 .

15/32

另解

0

22

x

zy 绕 oz 轴的旋转曲面 .zyx 222

I 则

zyxDz

dxdyyxdz2:

228

222

)(

z

dddz2

0

22

0

8

2

极坐标

8

2

20

4 |4

12 dzz

.336

例8 计算

dxdydzyxI )( 22 ， 其中是曲线

zy 22， 0x 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 ,2z 8z 所围立体.

16/32

三、利用球面坐标计算).,,( rM的球（面）坐标点

为常数r

为常数

为常数

圆锥面；球 面；

半平面．

三族球坐标面：

.cos

,sinsin

,cossin

rz

ry

rx

球坐标与直角坐标的关系

Px

y

z

o

),,( zyxM

r

z

y

xA

17/32

dxdydzzyxf ),,(

.sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf

球坐标系中的体积元素

,sin2 ddrdrdv

d

r

x

y

z

o

dr

dsinr

rd

d

d

sinr

18/32

例9 计算

dxdydzyxI )( 22 ，其中 是

222 zyx 与 az )0( a 所围的立体.

解 1 采用球面坐标

az ,cos

ar 222 zyx ,

4

drrddIa

4

0

cos

0

342

0sin

da

)0cos

(5

1sin2

5

54

0

3 .10

5a

19/32

解 2 采用柱面坐标 ,: 222 ayxD

aa

dzddI

2

0

2

0

a

da0

3 )(2 .10

5a

222 zyx , z

222:

22

0)(

zyxD

a

z

dxdyyxdzI或

za

dddz0

22

00

.

105a

dzza

04

0|

4

12

例9 计算

dxdydzyxI )( 22 ，其中 是

222 zyx 与 az )0( a 所围的立体.

20/32

例10 求 2222 2azyx 与 22 yxz 所围立体的体积. 解 采用球面坐标。

由2222 2azyx ,2ar

22 yxz ,4

a

drrdd2

0

2

0

2

0sin4

4

0

3

3

)2(sin2

da

.)12(34 3a

由三重积分的性质知

dxdydzV

21/32

解 2)( zyx )(2222 zxyzxyzyx

例11 计算

dxdydzzyx 2)( ，其中 是由

22 yxz 和 2222 zyx 所围空间闭区域。

dVyzxy )(

左右对称

;0 zxdV

前后对称

;0

dVx2 ;2

dVy轮换对称、yx

dVzx )2( 22原式

2

2

2 2221

0

2

0)cos2(

dzzdd

柱坐标

).89290(60

22/32

四、小结1 、直角坐标下 dV=dxdydz, 柱坐标下 dV= dddz,

球坐标下 dV=r2sin drdd 。2 、三重积分计算的基本方法——化为累次积分（降维

数：化为三次（定）积分、二次积分（一次定积分和一次二重积分）。

积分顺序与定限顺序相反——先积分者后定限。3 、关键——选择适宜坐标系和累次积分顺序。根据： 1 ）积分域的形状（分块少，表达简便） 边界主要为直角坐标面（柱坐标面、球坐标面）——

直角坐标（柱坐标、球坐标）； 2 ）被积函数的形式（各层积分中的原函数易求） 含 x2+y2 —— 柱坐标，含 x2+y2 +z2—— 球坐标。4 、利用对称性、轮换对等性等等化简计算。

23/32

作 业• 习题 9-3

1-(3) 4 8 11-(3)(4)

五、 * 重积分的换元法

则

若

,0)(

],,[]),([ ,)( 1],[

tx

baxCtxx

1 、定积分

时；当 0)( ,)())(( txdttxtxf

dttxtxf |)(|))((],[

＝

.0)( ,)())(( 时当 txdttxtxf

dxxfba ],[

)(

＝

24/32

则

、若

,0),(

),(

, ,),(),( 1

vu

yx

DDCvuyyvuxx uvxyDuv

2 、二重积分

dudvvu

yxvuyvuxf

uvD|

),(

),(|)),(),,((

＝

dxdyyxfxyD

),(

特别， dxdyyxfxyD ),(

极坐标变换

ddfD )sin,cos(

25/32

则

、、若

,0),,(

),,( , ,

),,(),,(), ,(

1

wvu

zyxC

wvuzzwvuyywvuxx

uvwxyzuvw

3 、三重积分

dudvdwwvu

zyx

wvuzwvuywvuxfuvw

|),,(

),,(|

)),,(),,,(),,,((

＝

dxdydzzyxfxyz

),,(

26/32

特别，

；dzddzfz

),sin,cos(

dxdydzzyxfxyz

),,(柱坐标变换

.sin

)cos,sinsin,cossin(

2

ddrdr

rrrfr

dxdydzzyxfxyz

),,(球坐标变换

27/32

注：

形式．同时也兼顾被积函数的的形状，于积分区域．变换的选择主要取决 D1

基本要求：变换后定限简便，求积容易．

.

),(),(

1),(),(

.2

yxvuvu

yxJ

28/32

例 12

解所围成的闭区域．

轴和直线轴、由计算

2

,

yx

yxDdxdyeD

xy

xy

,, xyvxyu 令

.2

,2

uvy

uvx

则

,DD

D

x

y

o

2 yx

D

u

v

o

vu vu

2v

.22

;0

;0:

vyx

vuy

vux即

29/32

),(),(

vuyx

J

,21

21

21

21

21

D

v

u

D

xy

xy

dudvedxdye21故

v

v

v

u

duedv2

021

2

0

1 )(21

vdvee .1 ee

D

u

v

o

vu vu

2v

30/32

例 13

解

所围成的闭区域．

为椭圆其中计算

1

,1

2

2

2

2

2

2

2

2

b

y

a

x

Ddxdyb

y

a

x

D

.20,0,0,0 rba其中

,sin

,cos

bry

arx变换作广义极坐标

},20,10),{( rrDD

31/32

.),(),(

abrr

yxJ

故换元公式仍成立，处为零，内仅当在 0 rDJ

drdabrrdxdyb

y

a

x

rDD

20 ,10

22

2

2

2

11：

.3

2ab

32/32

。附： 的概念广义二重（三重）积分