第二节 微积分基本定理

一、积分上限的函数及其导数

二、牛顿 -莱布尼茨公式

三、小结

一、积分上限的函数及其导数设函数 在区间 上连续， x为区间 上任意一点，则 在区间 上可积，即 在区间 上的积分 存在。这里字母 x即出现在被积表达式中，是积分变量，又出现在积分限中，是积分上限。为避免混淆，把积分变量改用其它字母，如 t，即改记为 。由于积分下限为定数 a，上限 x在区间 上变化，故定积分 的值随 x的变化而变化，由函数定义知 是上限 x的函数（称为变上限积分），如图 6-10 ，记为 ，即

( )f x

,a b

,a b

( )f x ,a b

( )f x ,a x

( )x

af x dx

( )x

af t dt

( )x

af t dt

( )t

af t dt

( )x ( ) ( ) , , .x

ax f t dt x a b

y

( )x

af t dt

a bO x

( )y f x

图 6-10x

,a x

定理 1( 变上限积分对上限的可导定理 )设 在区间 上连续，则函数 在区间 上可导，且其导数就是 ，即

证 取 充分小，使 ，由定积分的性质 3和定积分中 值定理，得 其中 或 。于是，由导数定义和 的连续性，得 即

,a b( ) ( )x

ax f t dt

,a b( )f x

( ) ( ) ( ).x

a

d dx f t dt f x

dx dx

x ,x x a b

( ) ( ) ( ) ( )x x x

a ax x x f t dt f t dt

( ) ( ) ,

x x

xf t dt f x

x x x x x x

( )f x

0 0

( ) ( ) ( )( ) lim lim

x x

d x x x f xx

dx x x

0lim ( ) ( ),xf f x

( ) ( ) ( ).x

a

dx f t dt f x

dx

( )f x

( ) sinf t t解 (1) 是连续函数，由定理 1得

本定理把导数和定积分这两个表面看似不相干的概念联系了起来，它表明：在某区间上连续的函数 ，其变上限积分 是的一个原函数。于是有 定理 2( 原函数存在定理 ) 若函数 在区间 上连续，则在该区间上， 的原函数存在。

( )f x ( )x

af t dt

,a b

( )f x( )f x

0sin sin .xd

tdt xdx

33cos cos cos 3 3 cos

0 03 3

x ut t u xd d due dt e dt e x x e

dx du dx

.

3cos

0;

x tde dt

dx0sin ;xd

tdtdx

2

.x t

x

de dt

dx例 1 求 (1) (2) (3)

3u x(2) 设 ，由复合函数求导法则得

(3) 由定积分性质 3，对任意常数 a，

于是

2 2 2x a x x xt t t t t

x x a a ae dt e dt e dt e dt e dt

2 2 22

2 .x x xt t t x x

x a a

d d de dt e dt e dt xe e

dx dx dx

例 2 设 求 和

解 是由 x的函数 和 相乘，由乘积求导的运算法则，得

2

0( ) (2 1) ( 1) ,

xx x t dt ( )x ( ).x

( )x0

(2 1)xt dt

由例 1可见，变限积分是变限的函数，它是一类构造形式全新的函数。变限积分对变限的导数是一类新型函数的求导问题，完全可以与求导有关的内容相结合，如利用导数的运算法则，洛必达法则求极限，判别导数的单调性，求极值等等。下面再看几个例子，可从中得到启发。

22 1x

2 2

0 0

2

0

( ) (2 1) ( 1) (2 1) ( ( 1) )

4 ( 1) (2 1) ( 1).

x x

x

x x t dt x t dt

x t dt x x

0( ) 4 ( 1) (2 1)( 1)

xx x t dt x x

2

04 ( 1) 6 4 1

xt dt x x

28 8 1.x x

(2) 当 时，该极限是“ ”型未定式，可以用洛必达法则

求极限，有

x

1

11 (1 )(1 ) 1lim lim lim 1 .

1 1

xx ttx

aa

x x x

dtdttt e

x xx

解 (1) 当 时， 因此该极限是“ ”型未定

式，可以用洛必达法则求极限，有

0x 2 3

0sin 0, 0,x

t dt x 0

0

2

2 200

3 20 0 03

sinsin sin 1lim lim lim .

3 3

xx

x x x

t dtt dt x

x xx

例 3 求下列极限： 2

030

1(1 )sin

(1) lim ; (2) lim1

xx t

a

x x

dtt dt tx x

(a>0 为常数 )

证 2

2( ) 0

2 2

xf x

x x

0

20

2(0) 0

2 2

tf dt

t t

例 4 讨论函数 在区间 上的单调性

与最小值。

20

2( )

2 2

x tf x dt

t t

，故函数 在 单调增加，所

以 ，最小值为 ，此时，变上限函数的上限变

为 0 ，即

( )f x [0,1]x

[0,1]

( ) (0)f x f (0)f

二、牛顿 -莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式

定理 3 设函数 在区间 上连续，且 是它在该区间上的

一个原函数，则有

( )f x ,a b ( )F x

( ) ( ) ( ).b

af x dx F b F a

证 有定理 1知 是 的一个原函数，从本定理条件知

也是 的一个原函数，上述两个原函数之间相差一个常

数 ，即

( )x

af t dt ( )f x

( )F x ( )f x

0C

0( ) ( ) .x

af t dt F x C

用 x=a 代入上式两边，得

0 ( ) ( ) ( ).a

aC f t dt F a F a

再用 x=b 代入前式两边，得

0( ) ( ) ( ) ( ).b

af t dt F b C F b F a

为了书写方便，上式通常表示为

( ) ( ) ( ) ( ) .b b

aaf x dx F b F a F x

上式称为牛顿 -莱布尼茨公式，这是一个非常重要的共识，揭

示了定积分与不定积分之间的内在联系。公式表明：定积分计算

不必用和式的极限，而是利用不定积分来计算，在定理 3的条件

下，函数 在区间 上的定积分得值等于 任意一个原函

数 在区间两个端点处的函数值之差 ，是定积分计

算的基本方法，它为微积分的创立和发展奠定了基础。

( )f x ,a b( )f x

( ) ( )F b F a( )F x

本章开头，由曲线 ，直线 x=0,x=1 和 y=0 所围的曲边梯形的

面积 A，现在可以轻而易举地得到：

2y x

11 2 3 3 3

00

1 1 1 11 0 .

3 3 3 3x dx x

例 5 验证

22

2 .x t x x

x

de dt xe e

dx

2

2 2

2 .x t x x x x

x

d de dt e e xe e

dx dx

证 易知， 是 的一个原函数，由牛顿 -莱布

尼茨公式得

( ) tf t e2 2

2

,x xt t x x

xxe dt e e e

于是

例 6 求

1

2

20

1.

1dx

x

解 在区间 [0， 1/2] 上连续，且

是 的一个原函数，由牛顿 -莱布尼茨公式得

2

1( )

1f x

x

( )f x

( ) arcsinF x x

te

1 12 2

020

1arcsin

1dx x

x

例 7 求 2

0(2cos sin 1)x x dx

2 2

00(2cos sin 1) . 2sin cos 3 .

2x x dx x x x

解

1arcsin arcsin 0 0 .

2 6 6

牛顿 -莱布尼茨公式指明了定积分与不定积分的联系，即

( ) ( ) ,bb

a af x dx f x dx

当计算不定积分用到凑微分方法时，计算定积分的过程可表达为。

例 8 求 1 100

02 1 .x dx

解 1 1100 100

0 0

12 1 2 1 2 1

2x dx x d x

1

101 101101

0

1 1 1 12 1 1 1 .

2 101 202 101x

例 9 设2 0 1

( )5 1 2

x xf x

x

求 2

0( ) .f x dx

解 由定积分的性质 3，有 2 1 2

0 0 1( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dx

1 2

0 12 5 6.xdx dx

2

0sin .x dx

例 10 求 解 2

0sin sinx dx x dx

2

0sin sinxdx xdx

20[ cos ] [ cos ] 4x x

3. 微积分基本公式

1.积分上限函数 x

adttfx )()(

2. 积分上限函数的导数 )()( xfx

)()()( aFbFdxxfb

a

三、小结

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．

设)(xf 在],[ba上连续，则 dttfx

a)(与

duufb

x)( 是x的函数还是t与u的函数？它们

的导数存在吗？如存在等于什么？

dttfx

a)(与duufb

x)(都是x的函数

)()( xfdttfdxd x

a

)()( xfduufdxd b

x

一 、 填 空 题 ：

1 、

b

a

x

dxedx

d2

2

= _ _ _ _ _ _ _ .

2 、 x

adxxf

dx

d))(( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

3 、 2 23 )1ln(x

dtttdx

d_ _ _ _ _ _ _ .

4 、 2

0)( dxxf _ _ _ _ ， 其 中

21,2

10,)(

2

xx

xxxf .

5、设

,coscos1 nxdxmxI

dxnxmx

sinsin ，

练 习 题 6.2

（ 1）、 当 nm 时 ， 1I =_ _ , 2I =_ _ _ _ _ ，（ 2）、 当 nm 时 ， 1I =_ _ _ , 2I =_ _ _ _ _ .

6、 设 ,sincos

nxdxmx

（ 1）、 当 nm 时 ， 3I =_ _ _ _ ,（ 2）、 当 nm 时 ， 3I =_ _ _ _ _ .

7、 9

4)1( dxxx _ _ _ _ _ .

8、

3

3

1 21 x

dx_ _ _ _ _ .

9、

x

dttx

x

0

2

0

coslim _ _ _ _ _ _ _ _ .

二、 求导数：

1、 设函数 )(xyy 由方程 0cos00

xy t tdtdte 所确

定，求dx

dy ；

2、 设

1 2

1

2

2

,ln

,ln

t

t

uduuy

uduux)1( t ,求

2

2

dx

yd ；

3、 x

xdtt

dxd cos

sin

2 )cos( ；

4、设

2

0 31)(

x

x

dxxg ，求 )1(g .

三、 计算下列各定积分：

1、 2

1 22 )

1( dx

xx ; 2、

2

1

2

1 21 x

dx;

3、 0

1 2

24

1

133dx

x

xx; 4、

2

0sin dxx .

四、 求下列极限：

1、

x t

x t

x dte

dte

0

2

2

0

2

2

)(lim ; 2、

2

50

2

0

2

1

)cos1(lim

x

dttx

x

.

一、1、0； 2、 )()( afxf ； 3、 )1ln( 23 xx ；

4、6

5； 5、(1) , ； (2)0,0；

7、 ;6

145 8、

6； 9、1.

二、1、1sin

cos

xx； 2、

tt ln2

12

；

3、 )sincos()cos(sin 2 xxx ； 4、 2 .

三、 1、8

52 ； 2、

3； 3、 1

4 ； 4、4.

四、1、0； 2、10

1.

练习题 6.2 答案