信号系统信号与系统分析概述

第一章 信号与系统概论

1.1 信号1.1.1 信号的分类 信号的分类方法很多，可以从不同

的角度对信号进行分类。在信号与系统分析中，我们常以信号所具有的时间函数特性来加以分类。这样，信号可以分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等。

1. 确定信号与随机信号 确定信号是指能够以确定的时间函

数表示的信号，在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。

确定信号与随机信号波形

2. 连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，通常用 f(t) 表示。连续时间信号最明显的特点是自变量 t 在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。例如，正弦信号为连续时间信号。

连续时间信号波形与离散时间信号波形

3. 周期信号与非周期信号

周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为

f(t)=f(t+nT), n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞

f=f(k+nN), n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k 取整数 )

4. 能量信号与功率信号 如果把信号 f(t) 看作是随时间变化的电压

和电流，则当信号 f(t) 通过 1Ω 电阻时，信号在时间间隔 - Ｔ≤ t≤T 内所消耗的能量称为归一化能量，即为

而在上述时间间隔 - Ｔ≤ t≤T 内的平均功率称为归一化功率，即为

2lim ( )T

TTW f t dt

21lim ( )

2

T

TTP f t dt

T

如下图依次为：脉冲信号，持续时间无限而幅度有限的非周期信号为功率信号；持续时间无限，幅度也无限的非周期信号为非功率、非能量信号；单位斜坡信号 t·u(t) 。

三种非周期信号

当然，上述定义式是连续时间信号 f(t)的归一化能量Ｗ和归一化功率Ｐ的定义，对于离散时间信号 f[k] ，其归一化能量Ｗ与归一化功率Ｐ的定义分别为

2

2

lim [ ]

1lim [ ]

2

N

NN

N

NN

W f k

P f kN

5. 实信号与复信号

实信号—— f(t)=f*(t) ，它是一个实函数。

f*(t) 为 f(t) 的共轭函数。 复信号—— f(t)≠f*(t) ，它是一个复函数，即： f(t)=f1(t)+jf2(t) 式中 f1(t) 与 f2(t) 均为实函数。

实际信号一般都是实信号，但是为了简化运算，常常引用复信号并以其实部或虚部表示实际信号。例如，常用复指数信号

exp(jωt)=cosωt+jsinωt 表示余弦、正弦信号；常用 exp(-σt+jωt)=e-σt cosωt+je-σt

sinωt 表示幅度衰减的余弦、正弦振荡信号等等。

1.1.2 信号的基本运算与波形变换

1. 加法运算 任一瞬间的和信号值 y(t) 或 y[k] 等于同一瞬间相

加信号瞬时值的和。即 y(t)=f1(t)+f2(t)

或 y[k]=f1[k]+f2[k]

2. 乘法运算 任一瞬时的乘积信号值 y(t) 或 y[k] 等于同一瞬时

相乘信号瞬时值的积。即 y(t)=f1(t)·f2(t) y[k]=f1[k]·f2[k]

3. 数乘 ( 标乘 ) 信号 f1(t) 或 f1 ［ k ］和一个常数 a 相乘的积。

即 y(t)=a·f1(t) y[k]=a·f1[k]

4. 微分 信号的微分是指信号对时间的导数。可表示为

5. 积分 信号的积分是指信号在区间 (-∞ ， t) 上的积分。

可表示为

( ) ( ) ( )d

y t f t f tdt

( 1)( ) ( ) ( )t

y t f d f t

信号的微分

£­1£­2 10 2

1

f ( t )

t

(a )

£­1£­2 10 2

1

t

£­1

(b )

t

tf

d

)(d

0 t

f ( t )

1

1

0 t1

1

tfty d)()(

信号的积分

6. 反转 以变量－ t 代替 f(t) 中的独立自变量 t ，可得反

转 信 号 f(-t) 。 它 是 f(t) 以 纵 轴 (t=0) 为 转 轴 作180° 反转而得到的信号波形，如下图所示。

离散时间信号及反转波形

连续时间信号及反转波形

7. 平移 以变量 t- t0 代替信号 f(t) 中的独立变量 t ，得信号 f(t- t0) ，它是信号 f(t) 沿时间轴平移 t0 的波形。这里 f(t) 与 f(t-t0) 的波形形状完全一样 , 只是在位置上移动

了 t0(t0 为一实常数 ) 。 t0 >0 ， f(t) 右移； t0 <0 ， f(t) 左移；平移距离为 | t0 | 。 下图表示连续时间信号的平移。这类信号在雷达、声纳

和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号 f(t- t0) 和原信号 f(t) 在时间上的迟延，可以探测目标和震源的距离。

0 1 2 3 4£­1£­2

1

2

f ( t )

0 1 2 3 4£­1£­2

1

2

f ( t£ 2 )

t t

(a ) (b )

连续时间信号的平移

8. 展缩 ( 尺度变换 ) 以变量 at 代替 f(t) 中的独立变量 t 可得 f(at) ，

它是 f(t) 沿时间轴展缩 ( 尺度变换 ) 而成的一个新的信号函数或波形。信号 f(at) 中， a 为常数 ,|a|>1时表示 f(t) 沿时间轴压缩成原来的 1/|a| 倍； |a|<1时表示 f(t) 沿时间轴扩展为原来的 1/|a| 倍。

例图中 (a) 、 (b) 、 (c) 分别表示 f(t) 、 f(2t) 、f(t/2) 的波形。

0 1 2 3 4£­1£­2

f (t)

t£­3

1

2

0 1 2 3 4£­1£­2 t£­3£­4

1

2

0 1 2 3 4£­1£­2 t£­3£­4

1

2

)2(

tf

(c)(b)(a)

f (2 t)

f(t) 、 f(2t) 、 f(t/2) 的波形

9. 综合变换 以变量 at+b 代替 f(t) 中的独立变量 t ，可得一

新的信号函数 f(at+b) 。当 a> ０时，它是 f(t) 沿时间轴展缩、平移后的信号波形；当 a< ０时，它是f(t) 沿时间轴展缩平移和反转后的信号波形，下面举例说明其变换过程。

例： 已知信号 f(t) 的波形如图所示，试画出信号 f(-

2-t) 的波形。 解 f(t)→f(-2-t)=f(-(t+2)) 可分解为 f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2))

t→-t t→t+2

反转 平移

信号的反转、平移

0 1 2£­1

f ( t )

t

1t — £­ t

0 1 2£­1

£­2

f (£­ t )

t

1 t ¡ª­ t £«2

0 1 2£­1£­2

f (£­( t £«2))

t

1

£­3

£­4

£­1£­1 £­1

(a ) (b ) (c )

信号的反转、展缩与平移

£­1

£­2

10 2

1

t

(b )

£­1

£­1£­2 10

2

1

f ( t )

t

(a )

£­1

£­1

£­2 10 2

1

f (£­2 t )

t

(c )

2

1£­1

£­1£­2 10 2

1

f (£­2( t £­1 ))

t

(d )

2

3£­1

通过以上分析，可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：

(1) 、若信号 f(t)→f(at+b) ，则先反转，后展缩，再平移；

(2) 、若信号 f(mt+n)→f(t) ，则先平移，后展缩，再反转；

(3) 、若信 号 f(mt+n)→f(at+b) ， 则先实现f(mt+n)→f(t) ，再进行 f(t)→f(at+b) 。

1.2 系统 为了说明系统的基本概念，我们分析

如图１ . １ 4(a) 所示的ＲＣ一阶动态电路。图中电容Ｃ具有初始电压ＵO ，开关Ｋ在

ｔ＝０时刻闭合，且有Ｕ S>UO ，使电容充电。

u C ( t )

U S

U O

O t

£«

£­

U S u C ( t )

£«

£­

R

C

K

t £½0

(a ) (b )

RC 电路与电容电压

由一阶动态电路知识可知，若以电容电压Ｕ C(t) 为变量，该电路的动态方程式为

其全解为 1 1

( ) 0

( ) (1 ) 0

CC S

RC RCC O S

duRC u t U t

dt

u t U e U e t

单输入单输出系统方框图

f ( t ) y ( t )

y (0 )

整个系统可用上图所示的方框图表示。其中 ψ表示系统的功能作用，它取决于系统的内部结构与元件参数。系统的输出响应 y(t) 是系统的初始状态 y(0) 与输入激励 f(t) 的函数，即

y(t)=ψ[y(0),f(t)],t≥0

当系统的输入激励有多个，系统的初始状态也有多个时，系统响应 y(t) 是这多个输入激励与多个初始状态的函数，即

y(t)=ψ[x1(0),x2(0) ，… ,f1(t),f2(t),…]

1.2.1 系统的分类 系统可按多种方法进行分类。不同类型的系统其系统分析的过程是一样的，但系统的数学模型不同，因而其分析方法也就不同。

1. 连续时间系统与离散时间系统 系统的输入和输出是连续时间变量 t

的函数，叫作连续时间系统。输入用f(t) 表示 ,输出用 y(t) 表示。

2. 线性系统与非线性系统 线性系统是指具有线性特性的系统，线性

特性包括均匀性与叠加性。线性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。

系统具有叠加性是指当若干个输入激励同时作用于系统时，系统的输出响应是每个输入激励单独作用时 ( 此时其余输入激励为零 ) 相应输出响应的叠加，系统的均匀性和叠加性可表示如下：

1 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

f t y t

n f t n y t

叠加性： 若 f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则 f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t) 线性特性要求系统同时具有均匀性和叠加性。线

性特性可表示为 若 f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则 a·f1(t)+b·f2(t)→a·y1(t)

+b·y2(t) 式中 a 、 b为任意常数，上式下图所示。

系统的线性特性示意图

f1( t ) y

1( t )

f2( t ) y

2( t )

a ¡¤ f1 ( t )£«b¡¤ f2 ( t ) a ¡¤ y 1 ( t )£«b¡¤ y 2 ( t )

系统的零输入响应 yx(t)绝对不应与 f(t) 有关，而系统的零状态响应 yf(t) 也不应与初始状态有关。于是，当线性系统既存在外部输入激励同时又具有初始状态时，系统的输出响应必定是零输入响应与零状态响应的叠加，称之为完全响应，以y(t) 表示，即有

y(t)=yx(t)+yf(t)

同理，对于具有线性特性的离散时间系统，应有以下表达式若

f1[k]→y1[k],f2[k]→y2[k] 则 a·f1[k]+b·f2[k]→a·y1[k]+b·y2[k] 式中 a 、 b 为任意常数。同样，系统的完全响应可表示为

y[k]=yx[k]+yf[k]

3. 非时变系统与时变系统 一个系统，如果在零状态条件下，其输出的响应

与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时，就称为非时变系统。否则，就称为时变系统。非时变系统的特性沿时间轴是均匀的，当输入激励延时一段时间作用于系统时，其零状态响应也延时同样的一段时间，且保持输出的波形不变。这就是非时变特性，可表示为若

f(t)→yf(t)

则 f(t-t0)→yf(t-t0)

同理，对于非时变离散时间系统，可表示为 若 f[k]→yf[k] 则 f[k-n]→yf[k-n] 式中， n 为任意整数。

非时变系统示意图

f ( t )

t1

1

0

f ( t ) yf ( t )

y (0)£½0

y f ( t )

t1

1

0 2

yf ( t£ t

0)

t

1

0 t 0 t 0 £«1 t 0 £«2

f ( t£ t0)

t

1

0 t 0 t 0 £«1

4. 记忆系统与即时系统 如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时

刻的激励，而与它过去的历史无关，则称之为即时系统 ( 或无记忆系统 ) 。全部由无记忆元件 ( 如电阻 ) 组成的系统是即时系统。即时系统可用代数方程来描述。如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史有关，则称之为记忆系统 ( 或动态系统 ) 。含有动态元件 ( 如电容、电感 ) 的系统是记忆系统，记忆系统可用微分方程来描述。

5.集总参数系统与分布参数系统 集总参数系统仅由集总参数元件 ( 如Ｒ、Ｌ、Ｃ等 ) 所组成。对于集总参数系统，人们认为系统的电能仅储存在电容中，磁能仅储存在电感中，而电阻是消耗能量的元件，同时还认为，在这样的系统中电磁能量的传输不需要时间，作用于系统任何处的激励，能立即传输到系统各处。

6. 因果系统与非因果系统 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统。这就是说，因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励之前。反之，不具有因果特性的系统称为非因果系统。一般地说，一个常系数线性微分方程式或差分方程式描述的系统，如果当 t>0 时输入信号为零，而此时的零状态响应也为零。

1.2.2 系统模拟与相似系统 连续系统的模拟通常由三种功能部件组成：

积分器、相加器和数乘器，它们的时域表示符号如下图所示。

连续时间系统的模拟器件

tf d)(f ( t )

f1 ( t )

f2( t )

f1 ( t )£« f2 ( t )

£«

£«

a 1f ( t ) a 1­ f ( t )

1.3 信号与系统分析概述 信号与系统是相互依存的整体。信号必定由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；同样，系统也离不开信号，系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理。没有信号，系统就没有存在的意义。因此在实际应用中，信号与系统必须成为相互协调的整体，才能实现信号与系统各自的功能。