大学物理实验绪论——

测量不确定度概论和测量不确定度概论和数据处理理论数据处理理论

提要：实验理论是一门课。要强化物理实验绪论中对基本概念的规范性理解，掌握实验中的系统误差的定性分布、测量不确定度的定量评定与分析。在撰写实验报告时尤其需要掌握数据处理的方法，有效位数处理的修约约定。

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一、教学目的1. 理解实验教学中的计量技术规范及其数学模型。2. 熟悉物理实验教学中对测量仪器的系统误差分

析。3. 掌握测量结果的不确定度评定与分析。4. 掌握有效数字的修约约定。5. 了解一些基本仪器的测量知识。

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二、教学任务1. 教学任务及目标： 正确理解实验的基础理论知识，规范各名词的定义

与条件以及相互之间的数学模型。 明确教学实验的知识体系，培养对实验现象的良好

分析能力并提升学生的科学实验素养。2. 课堂教学的难点： 1). 不确定度与误差的关联； 2). 有效数字的位数修

约。3. 课堂教学任务流： 对测量结果表达的详细展开、正确理解与分析。

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4. 课堂实验守则与要求： 了解实验室的三个守则；然后，明白测量数据的

记录和实验过程中的“五个不”：不用铅笔记录，对数据不涂、不擦、不改，对不可靠的数用“划杠”处理（为什么？）。

特别要求：直接测量的读数一定要与对应仪器的测量精度相吻合！即估计位的读数不能漏掉！

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三、教学内容1 ） 测量不确定度理论的教学1. 误差 Δ= ± ︱测量值 x - 真值 x0 ︱； ± 为误差的方

向。2. 实验约定真值（代真值） x0 数学期望 μ= 测

量列平均值。 ，重复性条件下的多次等精度（等精密度）测

量，测量次数 n =1,2,3,…,∞

3. 测量偏差（残差） ν

；相对偏差

n

xx

n

i i 1

n

xx r 100%x x

E xx

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演化式 = 随机产生的偏差 + 系统产生的误差提示：以后常把 Δ 看成是系统产生的误差类。偏差的平均值（应取绝对值！）4. 标准偏差 s ( 是标准误差 σ 的有偏估计 )4.1 由随机偏差效应引起的标准偏差模型

4.2 随机偏差的正态分布，其分布函数为 f (ν) ，即高斯函数；如图 1 所示。

对标准误差有 ；对标准偏差有 。

00 xxxxxx

1

n

iix x

n

2 2

2 1 1( )

1 1

n n

i ix x

sn n

21exp ( )

2 2f

21exp ( )

2 2f

s s

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4.5 不同 σ值的正态曲线图（高斯函数）

68%P s f d

2

22P s f d

3

33 1 0.3%P s f s ds

2 2

2 2 1 1( )1

( 1) ( 1)

n n

i i

x

x xs s

n n n n n

4.3 正态分布的概率计算： ， σ 为正态分布曲线的拐点；即在拐点区内的正确测量已占曲线内总测量的 68% 。同理， =95% ；而对 的偏差属粗差，计算中应略去，但不可抹掉。4.4 测量列平均值的标准偏差

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5. （标准）不确定度 u

属于随机效应引起的 A类不确定度 uA ，

属于系统效应引起的 B类不确定度 uB ，

式中， kB 可见表 1 ； Δins （或 Δ 仪器 ）可见表

2.

A xu s

B

insB k

u

表 2. Δins 与仪器类型之关系

分布类型 平均 三角 正态 梯形（ 0.71 ）

B 类包含因子 3 2

仪器类型

机械式 电子仪表类 数字表（或虚拟表）

Δins 分度 /2；或计量规定

xmax c% （准确度等级 c分七等，分别是 0.1,0.2,

0.5;1.0,1.5; 2.5,5.0）

最小数显单元

3 6

表 1. B 类分布状态与 B 类包含因子 kB ， P=1 之关系

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合成不确定度 uc ，

6. 实验结果表达 直接测量 ；间接测量 ，百分误差

；或相对不确定 。式中， y=f(x) 为间接测量中的应变量函数；包含因子 kP 与概

率和测量次数 n 有关， kP 取 t 分布的临界值。应变量平均值是各（独立）自变量平均值的函数（ ）；其合成不确定度也同理（ ）。

提示： 1. 2.

22BAc uuu

( )P cx x k u x )(yukyy cP

100%x x

E xx

理论

理论

, 100%c xr

uE x

x

)(xfy

2,

2

)(ixc

ic u

x

fyu

)(1

ixfn

y xfu yc ,

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2 ） 有效数字及其修约1. 有效数字可靠数与存疑数的组合。存疑数在直接测量中仅只一位。举例…

2. 有效位数的科学表达不管大数还是小数，小数点都点在最左位非 0 数，然后 10

的幂次化。举例…3. 有效数字的运算及运算法则“+ 、 -”运算，运算结果的位数应与运算数列中存疑位最高的

数一致。举例…“× 、 ÷”运算，运算结果的位数应与运算数列中有效位数最少

的数一致。举例…

4. 有效数字的修约规则4.1 国家计量计量技术规范 JJG1027-91 规定（按国家标准文件： GB8170-87）： 4舍 6入，逢 5 看尾数，尾数是 0 或无数，则配偶；若尾数不为 0，则进 1 。4.2 修约法则： 4舍 6入，逢 5配偶。4.3 民间约定： 4舍 5入举例…5. 不确定度之类位数的修约约定 选择 3判据（因为 3 的平方高近一个数量级， 1/3 的平方又接近低一个数量级），若最左位非 0数≤ 3,则可保留 2位，第三位 4舍 5入（选择民间约定是因为此类数据本身就是个估算值）；若是＞ 3 ，则保留 1 位，第二位 4舍 5入。举例…

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6. 测量结果表达的位数修约 先按修约约定确定不确定度的位数，然后，将测量列平均值的尾数与不确定度的尾数对齐；而测量列平均值的位数修约则按修约规则处理。举例…7. 实验数据的常用处理方法7.1 表差法7.2 逐差法（所逐相邻之差须不低于 2项）7.3 作图法（ a.必须将测量值的坐标位置用×或⊙或Ⅰ标出。 b. 内插值法；内推法→ 0，外推法→∞）

7.4 最小二乘法 (LSM法 )7.5 计算机软件处理（如 excel, origin）；举例…

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8. 实验报告中的数据处理步骤：

1. 依据测量数据列表计算出平均值

2. 依据平均值计算出测量列的偏差（或残差）

3. 依据偏差计算出测量列的平均值标准偏差

4. 依据不确定度传递算出测量结果的合成不确定度

5. 写出实验结果的表达（应有包含因子，如有作图要求的还应图解）（单位）

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9. 实验报告分值评估的大致分布（采用满分 10 分制）

1. 对预习报告中不完善处或尚需要改正的（如原理文字简述、原理公式导出、原理图），约定 0.5 分。

2. 数据记录与处理（于表格中）， 4.0分；分值主要分布在运算处理中有效位数的正确性、物理量的单位和正确作图。

3. 结果表达， 1.5 分；其中 1.0分分布于表达的有效位数正确性和单位， 0.5 分为相对不确定度或百分误差的正确性。

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4. 结果分析， 2.0 分；主要针对形成系统误差的原因及其消减方法的分析。5. 实验讨论， 1.0 分；主要讨论对实验目的的完成程度及对本实验的体会与感想。6. 思考题（对无思考题的应写明无思考题，这表明你是注意到的）， 1.0 分。

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THE END