第四部分 固定收益证券

● 债券的理论价值●债券的收益●债券的价格与价值变动特性●债券的久期●债券的凸性

第 14 章 债券的价格与收益一 . 债券的含义㈠什么是债券？㈡债券票面主要要素及影响因素1 . 偿还期限⑴ 资金使用性质 ;

⑵ 利率波动趋势 ;

⑶ 流通市场发达程度 ;

⑷ 信用级别 .

2 . 偿还方式⑴ 期中偿还 ;

⑵ 到期偿还 ;

⑶ 延期偿还 .

3 . 票面利率⑴ 金融市场状况：同期存款利率、所得税率、物价变动趋势 ;

⑵ 债券市场供求状况；⑶ 债券期限的长短；⑷ 债券的信用等级 .

4 . 计息方式⑴ 固定、浮动 ;

⑵ 单利、复利 ;

⑶ 贴现 .

单利记息inmmF

)1( inm

复利记息)1(1 imimmF

iimimF )1()1(2

2)1()1()1( imiim iimimF 22

3 )1()1(32 )1()1()1( imiim iimimF nn

n 11 )1()1(nn imiim )1()1()1( 1

5 . 付息方式⑴ 贴现 ;⑵ 一次性还本付息 ;⑶ 每半年或一年定期付息一次 .

㈢债券的分类1. 按发行主体可分为政府债券、金融债券和企业债券金融机构为何发行债券 ;

个人不能发行 ;

国债免税 ;

金边债券、发行国债最初目的是为弥补财政赤字 .

2. 按期限长短可分为短期债券、中期债券和长期债券 短期 :1 年内 中期 : 1-10 年 我国 5 年 长期 : 10 年以上3. 按币种划分可分为本外币债券欧洲债券是指债券发行人所在国、采用币种所在国、发行地所在国为不同国家的外国债券 .

4. 按计息方式可分为单利、复利和累进利率债券第一年 1%, 第二年 1.8%, 第三年 2.5%

5. 按利率是否调整可分为固定、浮动和累进利率债券票面利率真正变化是累进利率债券

6. 按利息支付方式可分为息票、贴现和到期一次性还本付息债券贴现债券又叫零息债券

7. 按募集方式可分为 公募债券和私募债券8. 按是否记名可分为注册、记名和不记名债券9. 按有无担保可分为信用债券、抵押债券和担保债券10. 按偿还方式可分为到期、期中和展期偿还债券10. 按债券形态可分为实物债券、凭证式债券和记帐式债券现在在银行间柜台转让的债券是什么形态的债券 ?

㈣债券面临的主要风险因素⑴ 利率风险 ⑵ 再投资风险 ⑶ 违约风险 : 信用风险⑷ 通货膨胀风险 : 购买力风险⑸ 流动性风险

㈤债券信用评级级别 等级 次序 含义

投资级

一

等

AAA 很高还本付息能力 , 无风险 AA 很高还本付息能力 , 基本无风险 A 有一定还本付息能力 , 经采取保护措施可能还

本付息 , 风险较低

二

等

BBB 还本付息来源不足 , 对经济形势应变能力差 , 可能延付本息 , 有一定风险

投机级

BB 还本付息能力低 , 投资风险大 B 还本付息能力脆弱 , 投资风险大

三

等

CCC 还本付息能力很低 , 投资风险极大

CC 还本付息能力极低 , 投资风险最大

C 破产 , 无还本付息能力 , 绝对有风险

二 . 债券的定价㈠债券理论价值确定的特性1. 未来现金流确定2. 社会平均利息率为折现率较为合理3. 折现率受以下因素影响 :⑴ 市场利率水平⑵ 债券的品质 ( 信用等级 )⑶ 投资者的风险收益偏好特征

㈡债券理论价值的一般模型

nnn

I

F

I

c

I

c

I

cV

)1()1()1()1( 22

11

n

tnt

t

I

F

I

cV

1 )1()1(

TT rrr )1(

1

)1(

11

1

面值利息债券价格

),), TrTr 面值因子（面值年金因子（利息

例：债券价格的计算假设有一种债券，面值为 1000元，年息票利率为 10%，采取半年付息的方式。即期市场利率为每半年 4%，债券离到期还有 3 年。（ 1 ）计算当期债券的价格；（ 2 ）计算一年后且已经付息后的债券价格。给定条件：（ P/A， 4%， 6 ）=5.2421，（ P/F， 4%， 6 ）=0.7903，（ P/A， 4%， 4 ）=3.6299，（ P/F， 4%， 4 ）=0.8548

（ 1 ）每半年的付息金额为：

当前债券的价格为：

（ 2 ）一年后且已经付息后的债券价格

502

%101000

4.10527903.010002421.550

)6%,4,(1000)6%,4,(50

F

P

A

P

3.10368548.010006299.350

)4%,4,(1000)4%,4,(50

F

P

A

P

㈢不同债券理论价值的计算1. 贴现债券 发行价格 : )1( dnFP

内在价值 :

按单利记息 :

按复利记息 :

nI

FV

)1(

)1( In

FV

nI

FV

)1(

2. 一次性还本付息

单利记息 :

复利记息 :

)1(

)1(

In

inFV

n

n

I

iFV

)1(

)1(

3. 分期付息一次性还本

⑴ 按年付息一次性还本单利记息 :

复利记息 :

n

t In

F

It

FiV

1 )1()1(

n

tnt I

F

I

FiV

1 )1()1(

⑵ 按半年付息一次性还

n

t nt IF

I

Fi

V2

1 2)2

1()2

1(

2

⑶ 按季付息一次性还本

4. 无期债券 (统一公债 )

n

t nt IF

I

Fi

V4

1 4)4

1()4

1(

4

I

c

I

c

I

cV

22

11

)1()1(

㈣债券价值分析 :比较分析法债券内在价值与市场价格进行比较

内在价值－市场价格 = 净现值（ NPV)

净现值﹥ 0 ，低估 净现值﹤ 0 ，高估

例 :某债券面值 1000元 ,市价 900元 ,年利息 60元 ,期限为三年 ,市场利率为 9%.

06.24

900%)91(

100060

%)91(

60

%)91(

60321

NPV

NPV=24.06 0,﹥ 被低估；如市场利率非 9%，而是 11%， NPV 为

19.22

900%)111(

100060

%)111(

60

%)111(

60321

NPV

NPV=-22． 19 0 ﹤ 被高估

三 .债券的收益㈠债券的收益来源1. 利息收入2. 买卖差价3. 利息再投资收益此项收益息票债券才有 ;利息再投资收益有很大的不确定性 .

㈡债券收益率的计算1.附息债券的收益率⑴持有期收益率

⑵到期收益率

%1002

买价）（卖价

持有年限买价）（卖价年利息y

%1002

买价）（面值

持有年限买价）（面值年利息y

⑶例 :某人于 1995年 1 月 1 日以 102元价

格购买了一张面值为 100元 ,票面利率为

10%,每年 1 月 1 日支付一次利息 ,1996年 1月 1日到期的 5 年期国债券 , 并持有至

1996年 1 月 1 日 .试计算债券出售者和购买者收益率 ?

①出售者 (持有期收益率 )

②购买者 ( 到期收益率 )

91.1.1

4 1

96.1.1.95.1.1

%39.10%1002)100102(

4)100102(%10100

y

%9.7%1002)102100(

1)102100(%10100

y

2. 贴现债券的收益率⑴持有期收益率

%100365

持有天数买入价

买入价卖出价y

)360

1(剩余天数

年折扣率面值卖出价

)360

1(全部天数

年贴现率面值买入价

⑵ 到期收益率

%100365

持有天数买入价

买入价面值y

)360

1(全部天数

年贴现率面值发行时买入价

)360

1(剩余天数

年折扣率面值期中买入价

0 30 60 90

60 30

⑶例 :某债券面值 100元 ,期限 90天 ,以10% 的贴

现率公开发行 ,投资者持有 60天时以面额9%

的折扣率在市场出售 ,买卖双方收益率是多少 ?

5.97)360

90%101(100 买入价

25.99)360

30%91(100 卖出价

①卖出者 (持有期收益率 ):

六十 三十

0 60 90

%9.10%10060

365

5.97

5.9725.99

y

②买入者 ( 到期收益率 ):

25.99)360

30%91(100 买入价

%2.9%10030

365

25.99

25.99100

y

第 15 章 利率的期限结构一 . 远期利率的计算

nnn yfff )1()1()1)(1( 21

1)1)(1(

)1(

21

ff

yf

nn

n

已知一张 3 年期零息票债券的收益率是 7.2%，第一年、第二年的远期利率分别为 6.1% 和6.9%，那么第三年的远期利率应为多少？

33 %)2.71()1%)(9.61%)(1.61( f

%6.8086.01%)9.61%)(1.61(

%)2.71( 3

3

f

二 . 债券收益曲线不同期限的债券具有不同的利率 , 由此形成利率期限结构问题 , 其反映的是不同期限债券利率之间的关系注意 : 第一 ,收益曲线分析对象仅指同质债券 ,即债券风险 \税收待遇及变现能力等基本相同 ,惟有期限不同 , 也即只分析其他条件相同而只

有期限不同的债券利率之间的关系

第二 , 研究债券利率期限结构实质上是研究债券收益率期限结构 ,因为投资者关心的是实际收益率而不是票面利率 .

1. 正收益曲线收益率 %

期限

期限与收益率呈正向关系。表示在正常情况下短期债券利率低于长期债券。通常在经济运行正常 ,不存在通货膨胀压力或经济衰退情形下出现此收益曲线。

2.反收益曲线收益率 %

期限

期限与利率呈反向关系 ,为反常的利率期限结构现象 . 表示短期债券利率较高 ,长期债券利率较低 .通常发生在银根抽紧时期 .短期资金偏紧 ,供不应求 , 造成短期利率急剧上升 ,同时抽紧银根又使人们对后期经济预期悲观 ,长期利率下降

3. 平收益曲线收益率 %

期限

前两种曲线互相替代过程中 ,还会出现长短期债券收益率接近的状况 . 往往是正反收益曲线调整过程中的过渡 ,

或者由市场自动调节 ,或者由央行调控所致 .

4.拱收益曲线收益率 %

期限

表示在某一时期之前债券的利率期限结构为正收益曲线 ,在该期限之后又成反收益曲线 . 这种曲线的出现是在央行采取严厉紧缩政策时短期利率急剧上升所致 .

第 15 章 债券资产组合的管理一 .债券的价格与价值变动特性㈠债券的属性债券价值与六个属性相关 :到期时间长短 \息票率 \可赎回条款 \税收待遇 \流通性 \违约风险其中任何一种属性的变化 , 都会改变债券到期收益率水平 , 从而影响债券价格 .

市场利率 投资者要求的风险溢价上升 折现率上升

债券价格下 跌

到期收益率上升

市场利率与到期收益率同方向变化

1. 到期时间

n

tnt

t

I

F

I

cV

1 )1()1(

由上式 : 市场利率与到期收益率上升时 ,债券的内在价值和市场价格下降 .债券到期时间越长 ,市场利率变化引起的债券价格的波动幅度越大 . 但当到期时间变化时 ,债券边际价格变动率递减 .

内在价值 ( 价格 )与期限之间的关系期

限

相应市场利率下的 V元( 票面利率 6%, 面值100)

内在价值变化率 %

4% 6% 8% 6% 4% 6% 8%

1 102 100 98 +2 -2

10 116 100 86 +16 -14

20 127 100 80 +27 -20

30 135 100 70 +35 -23

①利率与息票率一致时价格等于面值 ,当利率高于息票率时价格低于面值 ,当利率低于息票率

时 , 价格高于面值 ;② 利率下降 , 价值上升 ; 期限延长 , 变动幅度越大 ; 边际变动率下降 ; ③价值对

利率下降越敏感 ;④若利率将走低应买长期债券 ,若利率将走高应买短期债券

2. 息票率 息票率决定未来现金流 大小 . 息票率越低 ,市场利率 变化引起的债券价格波 动幅度越大 . 即面对同 样的市场利率变动 ,无论市场利率上升或下降 ,息票率最低的内在价值波动幅度最大 , 随息票率的提高 ,内在价值的变化幅度逐步降低 .

五种债券的期限均为 20年 , 面值为 100元 ,i与 V的关系

息票率

相应市场利率下内在价值 内在价值变化率 %

7% 8% 5% 7% 8% 7% 5%

4% 68 60 87 -11.3 +28.7

5% 78 70 100 -10.5 +27.1

6% 89 80 112 -10 +25.8

7% 100 90 125 -9.8 +25.1

8% 110 100 137 -9.5 +14.4

①利率上升时息票率越低 ,价值降低越多 ; 利率下降时 ,息票率越低 ,价值上升越多 ;

②未来利率上升应配置息票率高的债券 ; 未来利率下降应配置息票率低的债券

3. 可赎回条款有利于发行人的条款赎回价格制约了债券市场价格上升空间 , 降低了投资收益率和该债券内在价值 .息票率越高 ,发行人行使赎回权概率越大 , 即投资债券的实际收益率与债券承诺的收益率之间的差额越大 .在其他条件相同情形下 ,可赎回债券内在价值低于不可赎回债券 .

4. 税收待遇

利息收入纳税与否直接影响投资的实际收益率 , 故 : 税收待遇成为影响债券市场价格和收益率的一个重要因素 .享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券 .

5. 流通性⑴ 买卖差价较小的债券流动性比较高 ,反之流动性较差⑵债券的流动性与债券的名义到期收益率之间呈反比例关系 , 即流动性高的债券的到期收益率比较低 , 反之反是 ;⑶ 债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系 .

6. 违约风险

违约风险导致投资者要求相应的风险补偿 , 故 : 违约风险越高 ,投资收益率也越高 , 但内在价值却较低 .

㈡债券定价原理1. 债券价格与债券收益率成反向变动

P

r

某券五年期 ,面值 1000元 ,每年利息 80元 ,息票率 8%.若市场价等于面值 ,收益率等于息票率 .

55 )08.01(

1000

)08.01(

80

)08.01(

801000

55 )0576.01(

1000

)0576.01(

80

)0576.01(

801100

55 )1098.01(

1000

)1098.01(

80

)1098.01(

80900

意义 : 市价低于内在价值 ,买入 ; 反之 , 卖出 .预测市场利率水平将降 ,买入 , 待价涨 ; 反之 , 卖出

2.当收益率不变 , 债券的 到期时间与债券价格的波 动幅度之间成正比例关系 ,换言之 ,到期时间越长 ,价格波动幅度越大 , 反之 ,到期时间越短 ,价格波动幅度越小。

某债券面值 1000元 ,每年支付利息 60元 ,以 883.31元发行 ,收益率为 9%, 高于息票率 ;一年后 ,收益率不变 ,市价为902.81变动表明 : 维持收益率不变 , 随着到期时间的临近 ,价格波幅从 116.69元减小为 97.19元 .

55 )09.01(

1000

)09.01(

60

)09.01(

6031.883

44 )09.01(

1000

)09.01(

60

)09.01(

6081.902

3.随着债券到期时间的临近 ,价格波动幅

度减小 , 并以递增的速度减小 ,边际价格呈现递增规律

到期时间越长 ,债券价格波动幅度增大 ,以递减速度增大 ,边际价格递减

4. 收益率以同等幅度变动 ,下降引起的债券价格上涨金额大于提高引起的债券价格下跌金额

价格

P

P

P

0 r r r

PP

PP

收益率

债券的凸性

5. 债券价格波动幅度与收益率相关。若收益率不变 , 且票面利率又等于收益率 , 则

债券价格等于面值 ; 若收益率上升 ,票面利

率低于收益率时 ,债券价格低于面值 ; 若收

益率下降 ,票面利率高于收益率时 ,债券价

格高于面值。

ri FP rr

i﹤ r ﹤P F

i ﹥r P﹥F

某债券 5 年期 ,面值 1000元 ,票面利率 8%若市价 = 面值 =1000,则 =8% ;若市价 至 1100元 , 5.76%, 低于 ;若市价 至 900元 , 10.98%, 高于

ri r ir i

6. 在其他因素不变情况下 ,债券票面利率越低 ,债券价格对收益率的变动越敏感 ,特别是无息债券最敏感

收益率由 10%降至 8%的情形

故 :对到期日相同与收益率也相同的两种债券 , 预期市场利率下降 ,应买票面利率较低的债券 , 若日后市场利率降低 , 该债券价格上涨的幅度会更大 , 从而获取更多

的超额收益

二 .债券的久期㈠什么是久期 ?债券未来一系列现金流入的平均到期时间即收回本金和利息的加权平均年数或各期现金流加权平均年份 , 权数是每一现金流的现值

在总现金流现值中的比例 ,得出的加权平均的

期限即久期。

B

nyF

y

c

yc

yc

Dnn

n

)1()1(

2)1(

1)1( 2

21

1

总现金流现值 :

iFc

nn

n

y

F

y

c

y

c

y

cB

)1()1()1()1( 22

11

nnn

nnn

yF

yc

yc

yc

nyF

yc

yc

yc

D

)1()1()1()1(

)1()1(2

)1(1

)1(

22

11

22

11

B

tcPVD

n

tt

1)(

)1( y

DDM

㈡为什么提出久期综合考虑期限 \息票 \现金流量时间长短效应对债券价格的影响。久期是对债券价格相对易变性的一种量化估计。为如何防范债券风险提供了一个比较好的定量化的参考指标。

有时为了方便 ,定义左式为修正久期

其作用反映在 :

1.当利率发生变化时 ,对债券价格变化迅速作出大致的估计 ;2. 对债券的现金流量特征如息票 \期限 \收益率等的影响进行总体的评估 , 从而提出债券价格相对易变性的估计值 ;

3. 达到获取某种特定的债券资产组合的目标 , 如消除利率变动对资产组合的不利影响。

㈢久期计算的例子某债券面值 1000元 ,票面利率 10%,

期限三年 ,每年支付一次利息 ,到期一次性偿还本金 , 该债券的到期收益率为 10%。

久期计算过程未来现金流支付时间 (t)

未来现金流 (c)

未来现金流的现值

现值乘支付时间

1 100 90.91

90.91×1=

90.91

2 100 82.64 82.65×2=

165.28

3 100+1000 826.44 826.45×3=

2479.32

加总 1000 2735.5

%)101(100

2%)101(100

3%)101(1100

1000

345.826265.82191.90 D

年7355.21000

5.2735

年4869.2%101

7355.2

)1(

y

DDM

㈣久期定理1. 贴现债券的久期就是其到期时间；

2. 到期时间不变时 ,久期随息票利率的降低而延长 ;3.当息票利率不变时 ,久期随债券到

期时间的增长而增长 ,债券无论是以面

值还是以面值的溢价出售 ,久期总是随

到期时间的增长而增长 ;

4. 在其他因素都不变 ,债券的到期收益率较低时 ,息票债券的久期较长 ;

5. 无期债券的久期等于

6.稳定年金的久期等于y

11

1)1()

11(

ty

t

y

7. 息票债券的久期等于：

yyc

ycty

y t

1)1(

)()1()

11(

如果息票债券以面值出售 , 其久期可简化为 :

息票债券久期小于其到期时间 , 只有仅剩最后一期将期满的附息债券的久期等于其到期期限 , 并等于 1 。

tyy

y

)1(

11

1

㈤久期与价格的关系利率弹性指标 :利率弹性＜ 0 （债券价格与收益率、市场利率负相关）利率弹性

价格变动

收益变动或市场利率变动)(

)(

ry

ryP

P

IE

同时 ,可用利率弹性与久期的关系式 ,计算利率弹性 :

故 :

久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系 ,久期越大的债券 , 表示利率变动对该债券的影响越大。

)1( y

yDIE

yDyy

y

y

yD

y

yIE

P

P

)1(

1

)1(

PyDy

P

)1(

1

价格

收益率

P+

P

P-

0 y- y y+

当收益率变动幅度给定 ,久期越大 ,债券价格变动率越高 ,价格波动幅度越大 .故 : 未来利率存在下降预期 ,应配置久期

较大的债券。

未来利率存在上涨预期 ,应配置久期较小的债券。

三 .债券的凸性㈠凸性反映的定律债券价格与贴现率 \收益率成反比 ;同等幅度贴现率 \收益率变动 ,上升引起

价格下跌小于下降引起价格上涨。

价格

P

P

P

0

r r r

收益率

PP

PP

y yy

㈡凸性与债券价格的关系将 按泰勒展开式展开 ,得到 :

n

tt

t

y

cP

1 )1(

n

tt

t yy

cttyDP

yP

1

22)1(

)1(2

1

)1(

1

右边忽略第二项及其以后的项 ,可得价格

变动率的公式保留右边第二项 , 则可得 :

n

tt

t yy

ctt

PyD

yP

P

1

22)1(

)1(2

1

)1(

1

n

tt

t

y

ctt

yPcv

12 )1(

)1()1(

1

就称为凸性 ,它是对债券价格弯曲程度的

度量 ,凸性越大 ,债券价格弯曲程度越大。进一步 ,可得到 :yD

yP

P

)1(

1

本式相对于久期中的价格变动率更能精确地反映利率变化对债券价格的影响。

2

2

1

)1(

1ycvyD

yP

P

㈢凸性计算的例子某债券面值 1000元 ,票面利率 10%, 期限三年 ,每年支付一次利息 ,到期收益率为 10%,其凸性是多少 ?

若市场利率从当前的 10% 上升为11%, 分别利用久期与凸性的公式计算该债券的价格变化。 由于票面利率与到期收益率相同 , 故价格

也与面值相同。

7562.8

)1.01(

110043

))1.01(

10032

)1.01(

10021(

)1.01(1000

1

)1()1(

)1(

1

3

22

12

n

tt

t

r

ctt

rPcv

该债券的凸性为 8.7562

若市场利率从 10% 变化为 11%久期规定的债券价格变化为 :

凸性规定的债券价格变化为 :

87.24100001.07355.2%)101(

1

)1(

1

yPD

yP

43.24100001.07562.82

101.07355.2

%)101(

1

2

1

)1(

1

2

2

PycvyD

yP

㈣债券久期与凸性的关系1. 均反映了债券收益率变动与债券价格变动之间的关系，即收益率与价格成反比关系。

价格p

pp

y y y收益率

价格Dp

pDp

y y y收益率

2. 凸性反映的收益率与价格的关系是非线性的 ;久期反映的收益率与价格

的关系是线性的。凸性准确描述了收益率与价格之间的非线性反比关系 ;久期近似描述了收益率与价格之间的线性反比关系 , 即两者表现的价格变动有误差。

债券的凸性与久期价格p

Dp

p

p

Dp

y y y

误差

收益率

误差

收益率变动比较小时 ,久期与凸性两者的误差也比较小 ,因此 ,对于比较小的收益率变动 ,久期能比较准确地反映债券价格的变

动

3.结论 :⑴ 久期是衡量利率变动对债券收益影响程度的指标 ,久期越大 , 表示债券对

利率变化的敏感程度越高 ,债券的风险也越高。

⑵ 凸性是一种债券价格随市场利率变化的曲度表示 ,对久期相同的债券 ,凸性高的债券越优 ,因为当市场利率下跌时 ,凸性高的债券价格上涨幅度比凸性低的债券价格上涨幅度更大。

而当市场利率上涨时 ,凸性高的债券价格下跌幅度比凸性低的债券价格下跌幅度更小。

价格

债券 B

债券 A

高凸性 低凸性

凸性

四 .构造债券的免疫资产㈠为什么要构造免疫资产通过持有不同期限结构的债券组合，以期在得到未来相对稳定的现金流的同时，免于遭受未来利率变动的不利影响。构造免疫资产需用到的重要原理是债券组合的久期等于组合内各债券久期的加权平均。

n

iiinnP DwDwDwDwD

12211

资产久期应等于负债久期。

㈡怎样构造免疫资产例 1 ：投资者 2 年后将支付 10万元，现市场上仅有一种 1 年期债券（面值 100元、利率 7%）和 3 年期债券（面值 100元、利率 8%），现行市场利率水平 10%。

1

1

2

2

一年期

三年期

10万

10万

投资者 2 年后将支付 10万元的现值为 82645元。

3

必须构建债券免疫资产组合，在一年期、三年期债券之间合理配置，对抗市场利率波动对资产价值的影响。免疫资产的构造过程：1 年期债券的久期为：

3 年期债券的久期为：由于且将 和 的值代入，即可解出：

年11 D

年78.2

)1.01(

1008

)1.01(

8

1.01

8

3)1.01(

10082

)1.01(

81

1.01

8

32

32

3

D

131 ww

23311 DwDw

1D 3D 5618.0

4382.0

2

1

w

w

投资者 2 年后将支付 10万元的现值为：

元82645%)101(

1000002

用于购买 1 年期债券的资金为：元362154382.082645

用于购买 3 年期债券的资金为：元464305618.082645

若 1 年后市场利率上升，可用再投资于 1 年期债券的收益来弥补 3 年期债券价格下跌的损失；若 1 年后市场利率下降，可用 3 年期债券价格的上涨来弥补 1 年期债券的再投资损失。

例 2 ： 7 年后保险公司须支付 19487元，市场利率为 10%，债务现值为 10000元，有 3 年期零息债券和年息票支付的终身年金来筹集债务。免疫资产的构造过程：1. 计算债务久期：

债务久期为 7 年。2. 计算资产组合的久期：零息债券的久期就是其到期时间，即 3 年；

终身年金的久期为：

年11%10

%1011

y

y

若投资于零息债券的权重为 ，资产组合的久期为：

w

年年 11)1(3 ww

3. 资产组合久期等于资产混合债务的 7 年久期： 年年年 711)1(3 ww

于是： 5.0w

需将一半的资金投资于零息债券，把另一半资金投资于终身年金。

4.全部筹集债务：用于零息债券的资金为： 元50005.010000

用于终身年金的资金为： 元50005.010000

零息债券的面值将为： 元元 6655%)101(5000 3

5. 再平衡与调整：市场利率水平可能变化，即使未变，随着时间的递进也会影响久期，从而需要再平衡。若 1 年后市场利率仍为 10%，免疫力降低了。

1 年后债务的现值因离到期近了一年，故为：元11000

%)101(

194876

持有资产的价值也上升至 11000元，其中：零息债券的价值由 5000元涨至 5500元。

元5500%)101(

66552

终身年金的本金为 5000元，并得到了 500元的息票值，共计 5500元。

尽管债务与资产是匹配的，但资产组合的权重需要调整。因为债务久期变化了，零息债券久期仅有

2年了，终身年金久期仍为 11 年，全部债务离到期为 6 年，权重必须满足新的条件 :

611)1(2 ww

于是： 556.09

5w

故在新的一年，投资在零息债券上的资金为：元11.6111556.011000

零息债券价值仅为 5500元，因此需要用终身年金投资的 500元息票加上减少对终身年金 111.11元投资，才符合投资零息债券的权重。最后，经过调整，投资零息债券的权重为0.556 、资金为 6111.11元；投资终身年金

的权重为 0.444 、资金为 5000-111.11=4888.89元。

㈢怎样构造或然免疫资产例：某公司 2 年后要偿还 121万元债务，当前市场利率为 10%，若采用免疫策略，只需将100万元用以买债券，即可保证 2 年后获得121万元用于偿债： ，但若有103.74万元可供投资， 2 年后要达到 121万元只需每年 8% 的收益率即可，故一开始可用积极策略，而不需免疫。

121%)101(100 2

因为当前收益率水平 10% 高于预定目标 8%，故可采取各种主动投资策略，以谋取更高的投资收益率。

什么情形下需用免疫以保证 2 年后支付 121万？ 以 代表债券剩余年限， 代表市场利率，债券组合的市场价值不少于（触发点）：T r

100%)101(

121

)1(

1212

Tr

债券组合价值由 103.74万元降到等于 100万元时，即启动利率免疫，以确保 2 年后的支付。

综合例题：零息债券的价格反映了远期利率，根据零息债券的价格计算得到零息债券远期利率表如下：期限 1 2 3远期利率（ %）

5 7 8

除了零息债券，投资者还可以购买一种三年期的债券，面值 1000元，每年付息 60元。⑴ 该债券的价格是多少？到期收益率是多少？

⑵ 该债券的久期是多少？

⑶若投资者在投资如上三年期附息债券 100万元的同时，拟出售一年期零息债券和三年期附息债券形成债务，构成完全免疫的债券资产

组合。这两种债券分别应出售多少？⑷如果预计 1 年后收益率曲线达到 7%，投资者持有该债券 1 年预期持有期收益率是多

少？

⑴ 该债券的价格为：

到期收益率 i满足以下：

则到期收益率为：