數學 ------- 通往資訊的終南捷徑張鎮華 臺灣大學數學系

演講內容1. 數學的基本在於計算2. 電腦可幫忙數學計算3. 資訊科學奠基於數學4. 電腦應用的數學理論5. 演算法6. 中小學老師的角色

數學的基本在於計算 -1 3 + 5 = ? 8 + 9 = ? 2 x 5 = ? 384 x 426 = ? 1 + 2 + … + 100 = ?

數學的基本在於計算 -2 3 + 5 = ? *1 *2 *3 *1 *2 *3 *4 *5 * * * * * * * * 1 2 3 4 5 6 7 8

數學的基本在於計算 -3 8 + 9 = ? 另類解法 : 8 = 10 – 2, 9 = 10 – 1, 由 2 + 1 = 3, 得 8 + 9 = 20 – 3 = 17.

數學的基本在於計算 -4 2 x 5 = ? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

數學的基本在於計算 -5 384 x 426 = ? 163584. 1 + 2 + … + 100 = ? (1+100) x 100/2 = 5050.

電腦可幫忙數學計算 -1 6 是完全數 . 上帝利用 6 天的時間創造世界 . 28 是完全數 . 月亮繞地球一圈走了 28 天 .

電腦可幫忙數學計算 -2 一個正整數如果等於比它小的所有正因數的和 , 則稱為完全數 . 6 = 1 + 2 + 3. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. 496 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + ….

電腦可幫忙數學計算 -3 完全數是不是無限多個 ? 到目前為止不知道 ! 是不是有奇完全數 ? 到目前為止不知道 ! 除了 6, 28, 還有那些偶完全數 ?

電腦可幫忙數學計算 -4 歐基里德定理 . 一正偶數是完全數的充分必要條件是 , 這個數可以寫成 2^(n – 1) (2^n – 1) 的樣子 , 其中 2^n – 1 為質數 . 6 = 2^1 (2^2 – 1). 28 = 2^2 (2^3 – 1).

電腦可幫忙數學計算 -5 形如 2^n – 1 的質數稱為梅仙尼質數 . 如果 2^n – 1 是質數 , 則 n 也是質數 . 到目前為只止找到 34 個梅仙尼質數 .

電腦可幫忙數學計算 -6 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 512, 607, 1279, 2203, …… 12512577877787

電腦可幫忙數學計算 -7 http://www.utm.edu/research/primes/mersenne/ 黃文璋 , 完全數與梅仙尼質數 , 數學傳播 21 卷 3 期 , 民國 86 年 9 月 . http://www.math.sinica.edu.tw

電腦可幫忙數學計算 -8 圓周率就是圓周和半徑的比率 . 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

電腦可幫忙數學計算 -9 利用 arctan 的 Taylor 展開式求 pi 的值 . 王九逵 , 怎樣算 pi, 數學傳播 10 卷 2 期 , 民國 75 年 6 月 .

資訊科學奠基於數學 -1 布耳代數出自十九世紀英國學者布耳 (G. Boole, 1815-1864) 所著”思維規律的研究” . MIT 學生夏濃 (C. Shannon, 1916-) 的碩士論文以此為基礎 , 定義資訊的計算單位 , 稱為位元 .

資訊科學奠基於數學 -2 not 1 = 0 not 0 = 1 1 and 1 = 1 1 or 1 = 1 1 and 0 = 0 1 or 0 = 1 0 and 1 = 0 0 or 1 = 1 0 and 0 = 0 0 or 1 = 0

資訊科學奠基於數學 -3 1 xor 1 = 0 1 or 1 = 1 1 xor 0 = 1 1 or 0 = 1 0 xor 1 = 1 0 or 1 = 1 0 xor 0 = 0 0 or 1 = 0

資訊科學奠基於數學 -4 00000011 + 00000101 = 00001000 第 1 位得 0 (= 1 xor 1 ) 進 1 (= 1 and 1)

資訊科學奠基於數學 -5英國數學家杜林 (A. Turing, 1912-1954) 於 1937 年提出通用電腦的概念 , 現在俗稱杜林機 . 為紀念杜林 , 後人成立杜林獎 , 是現在理論計算機界的最大獎 . 姚期智獲得 2000 年杜林機 .

資訊科學奠基於數學 -6 Daniel Hills 著 , 林遠志與陳振男譯 , 電腦如何思考 , 天下文化 , 科學大師系列 (13).

電腦應用的數學理論 -1 楊重駿 , 楊照崑 , 數論在密碼上的應用 , 數學傳播 26 卷 2 期及3 期 , 民國 86 年 9 月及 12 月 . R.L. Rivest, A. Shcmir and L. Adleman, Communication of ACM, 1978, pp. 120-126.

電腦應用的數學理論 -2 代換法 : 我有一個秘密對你說 3314 1432 0001 … (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) (2 3 5 7 6 4 9 0 8 1) 7736 3675 2223 …

電腦應用的數學理論 -3 置換法 : 7736367522231456 7 52 6 7 7 2 5 3 6 2 4 63 31 7526 7725 3624 6331

電腦應用的數學理論 -4 費馬小定理 . 如果 a 不被質數 n 整除 , 則 a 的 n–1 次方除以 n 得到的餘數是 1. 尤拉定理 . 如果 a 和 n 互質 , 界於1 和 n 之間恰有 m 數和 n 互質 , 則a 的 n–1 次方除以 n 得到的餘數是1.

電腦應用的數學理論 -5 利用尤拉定理及 mod 運算的基本性質 , 可造出“公開式密碼” , 著名的如 Rivest-Schmir-Adleman (RSA) 法 .

電腦應用的數學理論 -6 射影幾何與虛擬實境 . 離散數學與網路理論 .排隊理論與通訊網路 . 網頁的搜尋 .指紋及臉形判別 .

演算法 -1 演算法 Algorithm 代數 Algebra A step-by-step procedure for solving a problem or accomplishing some end.

演算法 -2 時間複雜度的重要性排序排序將 a1, a2, …, an 由大到小排序 .例如 : 3, 11, 4, 38, 9, 10.排成 : 38, 11, 10, 9, 4, 3.

演算法 -3 3, 11, 4, 38, 9, 10 11, 3, 4, 38, 9, 10 11, 4, 3, 38, 9, 10 11, 4, 38, 3, 9, 10 11, 4, 38, 9, 3, 10 11, 4, 38, 9, 10, (3)

演算法 -4 Bubble sort 所費時間 O(n^2). Insertion sort 所費時間亦同 . Selection sort 所費時間亦同 . Quick sort 平均較快 . Heap sort 費時 O(n log n) .

演算法 -5給定 n 個實數 a1, a2, …, an, 找出和為最大的一段連續部份 . 3 -1 -4 1 -5 7 -5 6 -9 4 7 -5 6 有 O(n^3) 算法 . 能不能更快 ?

演算法 -6各種設計方法 : 分治法 , 動態規劃 , 貪求法 , 分枝法 .…

演算法 -7近似算法 .平行演算法 .隨機演算法 .量子計算 .

中小學老師的角色 -1教學生數的表示法 . 十進位 : 92 二進位 : 1011100八進位 : 134 (1011100) 十六進位 : 5C (1011100)

中小學老師的角色 -2 數學歸納法與遞迴 . gcd(90, 48) = gcd(48, 42) = gcd(42, 6) = gcd(6, 0) = 6 .

中小學老師的角色 -3 proc gcd(a, b) { if (b==0) return a; r = a mod b; return gcd(b, r); }

中小學老師的角色 -4 while (b != 0) { r = a mod b; a = b; b = r; } gcd = a;

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