第五章第五章菲涅耳公式菲涅耳公式与与薄膜光学薄膜光学

第五章第五章菲涅耳公式菲涅耳公式与与薄膜光学薄膜光学

一、菲涅耳公式（一、菲涅耳公式（ Fresnel formulaFresnel formula ））电磁场边界条件：

（ 1）电场强度 E 在界面上的平行分量连续。

（ 3）磁感应强度 B 在界面上的垂直分量连续。

（ 2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度 H 在界面上的平行 分量连续。（ 4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量 D 在界面上的垂 直分量连续。

当一束自然光照射到两种介质的界面上时，可分解为光矢量在入射面内的偏振光（ P光）和光矢量与入射面垂直的偏振光（ S光）。

nn11

nn22

. ×

.

E1

H1 E1 ´

H1 ´

H2

E2

OOYY

XX

i1 i1

i2

ZZ2121 , tttt HHEE

2121 , nnnn BBDD

P P 光反射与折射时的电磁矢量光反射与折射时的电磁矢量

11111 coscos iEiEEt

在入射介质中

111 HHH t

在折射介质中222 cos iEEt 22 HH t EH

r

r

0

0

在非铁磁质中， rrrr n ,1

nEH 221111 EnEnEn

221111 coscoscos iEiEiE

0)coscos()coscos( 2112121121 ininEininE

P 光的振幅反射系数（ reflectionion cofficientreflectionion cofficient）

pp

pp

p

inin

inin

inin

inin

E

Er

21

21

2211

2211

1221

1221

1

1

cos/cos/

cos/cos/

coscos

coscos

inp cos/P 光的有效折射率

根据电磁场边界条件，得

211 HHH

221111 EnEnEn

P 光的振幅透射系数为

1221

11

1

2

coscos

cos2

inin

in

E

Et p

nn11

nn22

.

.

E1

H1

E1 ´

H1 ´

H2

E2

OOYY

XX

i1 i1

i2

ZZ

.

s s 光反射与折射时的电磁矢量光反射与折射时的电磁矢量

S 光的振幅反射系数为

ss

ss

s inin

inin

E

Er

21

21

2211

2211

1

1

coscos

coscos

S 光的等效折射率S光的振幅透射系数（ transmission cofficienttransmission cofficient）

ins cos

2211

11

1

2

coscos

cos2

inin

in

E

Ets

)sin(

)sin(

12

12

ii

iirs

0)(

)(

12

12

iitg

iitgrp

)cos()sin(

cossin2

2121

12

iiii

iit p

)sin(

cossin2

21

12

ii

iits

菲涅耳公式菲涅耳公式

二、对菲涅耳公式进行讨论

（ 1）布儒斯特定律布儒斯特定律 )( 12 iitg

)(

)(

12

12

iitg

iitgrp

2/12 ii当 时，

P光的反射系数

以布儒斯特角入射时反射光为线偏振光，折射光为部分偏振光。

. . . .

..

. .. .i

0i

0

n 1

n 290 0

r

以布儒斯特角入射

90r0 + =i 0

nsin isin r 1

n 20 == n 21

tg isin isin r

0 = sin isin

0

( )90 i 00 = 0

tg i 0 n 1

n 2 == n 21

由折射定律：

布儒斯特定律布儒斯特定律

[例 ] 玻璃对空气的折射率为： =n21 1.50

=tg i 0 1.50 =i 0 56 0...

利用玻璃堆获得偏振光利用玻璃堆获得偏振光

...... .. . . .. ... . . .. .

.

.

.

线偏振光

自然光 入射

外腔式激光器之布儒斯特窗外腔式激光器之布儒斯特窗

临界角（ critical anglecritical angle）

布氏角（ Brewster angleBrewster angle）

12 /arcsin nnic

12 / narctgniB

CB ii 当入射角从零逐渐增大时， P光的反射率先在布氏角处降低到零，再到临界角处上升到 100%

界面 2 也无反射 n3 /n2 = tg = tg (90o － io)= ctg io= n1/n2

故： n3 = n1

例：若入射光是振动面平行入射面的线偏振光，则以布儒斯特角入射时，在界面 1 上无反射，试问 n3 为多少时，在界面 2 上也无反射？

tg io = n2 /n1

io + = 90o

界面 1

界面 2

n1

n2

n3

io

解：界面 1 无反射

例题：如图所示，一块折射率 n =1.50的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水面上时反射光是完全偏振光，若要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与水平面的夹角 q 应是多大 ?

解：1.33tgi1 = 11.50tg i2 = 1.33

r = 900 i1 36.940=

= ri2 = 11.50=48.440 36.940

因为三角形内角之和为 1800

( )+ + r i2900 ( )+ 900 1800=∴

53.60i1 =

48.440i2 = i2

i1

n3 =1.50

n2 =1.33

n1 =1

r

（ 2）斯托克斯定律斯托克斯定律

ppp ttr 21 sss ttr 21

（（ 33 ）反射光的相位关系）反射光的相位关系

)cos()sin(

cossin2

2121

12

iiii

iit p

)sin(

cossin2

21

12

ii

iits

2/0 i 0pt 0st

)(

)(

12

12

iitg

iitgrp

)sin(

)sin(

12

12

ii

iirs

psrr 可正可负。振幅的正负号改变，即相位改变π。（半波损失）

讨论：A A Bii 1 2/21 ii

当 时2121 , iinn 0pr 0sr

2121 , iinn 当 时 0pr 0sr

当光从光疏介质向光密介质入射时，反射光发生相位突变。

B B Bii 1 2/21 ii

当 时2121 , iinn

2121 , iinn 当 时

0pr 0sr

0pr 0sr

. .

nn1 1 > n> n22

SS SSPP

PP0sr

0pr

无相位突变无相位突变

接近正入射接近正入射 ((ii1 1 < < iiB B ))

.

nn1 1 < n< n22

SS SSPP PP 0sr

0pr×

有相位突变有相位突变

.SS SS. PP PP

0sr

0pr

无相位突变无相位突变

×

SS

SS. PP

PP

0sr

0pr

有相位突变有相位突变

接近掠入射接近掠入射 ((ii1 1 >> iiB B ))

当光从光疏介质向光密介质入射时，反射光相位发生变化。但只有入射角接近 0° 或90° ，即垂直入射或掠射时，反射光相位发生π的突变。

半波损失产生的条件半波损失产生的条件

薄膜干涉中额外程差产生的条件薄膜干涉中额外程差产生的条件 当光在薄膜两界面上反射时，由于两界面的物理性质不同，使两束反射光之间可能出现 λ/2 的额外程差。它的出现与入射角的大小无关，仅与介质折射率的分布有关。

ss 11

ss 22*MM

AA

BB

屏屏

PP.

虚光源

点光源

反射镜

A´A´

B´B´

当屏移到 A´B´位置时，在屏上的 P 点应该出现暗条纹，光在镜子表面反射时有相位突变 π。

劳埃镜实验劳埃镜实验

（ 4）反射率与透射率反射率与透射率

S 代表能流密度，即单位时间内，单位面积的辐射能。

总能流 W=SA

反射光束的截面积 A1 ′= A1

入射光束的截面积 A1

透射光束的截面积 A2 = A1cosi2

cosi1

反射率 2

2

1

12

11

211

1

1

11

11

1

1 rE

E

En

En

S

S

AS

AS

W

WR

ww11 AA11

nn11

AA22

ww11′′

ww22

AA11′′

nn22

ii11

ii22

22 , sspp rRrR

2

11

22

12

11

22

22

11

22

1

2

cos

cos

cos

cost

in

in

iEn

iEn

AS

AS

W

WT

透射率

2

11

22

cos

cospp t

in

inT 2

11

22

cos

cosss t

in

inT

若光从介质 n2 射向介质 n1

反射率 RrrR 22 )()(

透射率 pppp tttin

inT 2

22

11

cos

cos

ppPp ttTT ssss ttTT

对于任意两个介质的界面，正反两个方向的透射系数不等，但透射率是相等的。

ppppp TttrR 211

sssss TttrR 211

（ 5）多次反射反射11 22 33 44

TT11

RR11

TT22

RR 总总

TT 总总

第一界面第一界面

第二界面第二界面

1)1( R2

21)2( RT 1

22

21)3( RRT 2

132

21)4( RRT

总反射率

21

2121

21

22

11

2212

21212

212

211

1

2

1 RR

RRRR

RR

RTR

RRRTRRRTRTRR

）（）（总

当 R1= R2= R 时， )1(2 RRR 总

在入射角较小时， RRpp 与 RRss 差别不大；但在 i = ii = iBB 附近， RRpp 与 RRss 差别极大。（ 6）隐失波与光子隧穿效应

当光从光密介质大于临界角入射时，除反射光外，还有沿界面传播且在界面垂直方向上振幅按指数衰减的隐失波（ evanescent wave ）。 在全反射条件下，界面相当于一个势垒，光子在界面法线方向之动量减少，能量小于势垒。作为经典粒子是不可能穿越势垒的。但光子具有波动性，可穿越势垒，隐失波又称光子隧穿效应（ photonic tunneling effects ）

光纤通信和集成光波导（ integrated optical waveguide ）中的光波耦合问题，必需研究光子隧穿效应；

光子显微镜利用光子隧穿效应来研究表面物理现象。

振幅衰减至 1/e 所对应的距离

贯穿深度（ penetration depth）

薄膜光学薄膜光学薄膜光学薄膜光学第三节

一、薄膜光学的基本概念11 22 33 44

nn00

dd nn11

nn22

rr0101

rr1010

tt0101

tt1010

ii11

01)1( r ii erttetrt 121001101201 )2(

iii errerttetrrrt 10121210012

1012101201 )3(

2210

212121001

310121012101201 )4( iii errerttetrrrrrt

总振幅反射系数

i

i

iii

err

erttr

errerretrtrr

1012

12100101

21012101210120101

1

)(1[

01102

011001 1 rrrtt 斯托克斯定律

rii

i

i

i

ererr

err

err

errrr

0112

1201

0112

122

0101 11

)1(

cos)1()1(

sin)1(2

01122

1201

20112

rrrr

rrarctgr

)2/(sin)1()2/(cos)1(

)2/(sin)()2/(cos)(

cos21

cos2

221201

221201

221201

221201

12012

122

01

12012

122

012

rrrr

rrrr

rrrr

rrrrrR

10

1001

r21

2112

r

等效折射率 η

)2/(sin)/()2/(cos)(

)2/(sin)/()2/(cos)(22

112022

20

221120

2220

R

总折射率

ier

Y

Y

0

0

i

i

er

erY

1

10

把由两个界面组成的单层膜简化成一个新的界面，这个界面的入射介质仍为 n0

，出射介质的折射率为 Y（光学导纳）

rereiφiφ

nn00

YY

rr0101

rr1212dd11

nn00

nn11

nn22rr2323

nn33

dd22

rr0101

rr1212dd

nn00

nn11

nn22

rr22eeiφiφ22

nn00

YY22

rr0101

dd11

nn00

nn11

YY11

rr11eeiφiφ11

（ 1） λ/2 膜层

当薄膜的光学厚度 n1d2/cos 111 idn

2

cos4 11 idn

1)2/(cos2 0)2/(sin 2 2

20

202/ )(

R

折射率为 n1 ，厚度为 d 的薄膜的存在对于其反射率无影响，该膜层为无影响膜。

（ 2） λ/4 膜层4/cos 111 idn 1)2/(sin 2

2

2210

22102

1120

11204/ )

/

/()

/

/(

R

令 221 /Y

2

0

04/ )(

Y

YR

当 时， ，膜料的折射率比基底高，则反射率提高。

21 2Y

当 时， ，膜料的折射率与基底相同，与不镀时一样。

21 2Y

201

0Y 04/ R

零反射条件

讨论：讨论：

1 、增反膜： n1 ＞ n2 ，无论 n1d 为何值，镀膜后的反射率都比未镀膜时提高或不变。 λ/4 膜层，反射率达到极大。

22120

2120

max )(nnn

nnnR

正入射时单层薄膜的反射率与膜厚的关系正入射时单层薄膜的反射率与膜厚的关系

λ/2 膜层，反射率达到极小。此极小值即等于未镀膜时基板的反射率。 n1

与 n2 的差别越大，增反效果越好。

2 、减反膜： n1 ＜ n2 ，无论 n1d 为何值，镀膜后的反射率都比未镀膜时减少或不变。 λ/4 膜层，反射率达到极小。

λ/2 膜层，反射率达到极大。此极大值即等于未镀膜时基板的反射率。 n1

与 的差别越小，增透效果越好。20nn

二、几种典型的光学薄膜（ 1 ）增透膜

MgF 2

玻璃

1.38=n 1

1.50=n 2

n0=1

单层 λ/4 膜层

201 nnn

正入射反射率为零（ 2 ）高反膜

金属材料有很大的消光系数 κ

折射率为复数 inN 2

1

1

N

NR

用单层金属膜（铝银金）可获得较大的反射率

高反射膜系高反射膜系

nn00

nnHH

nnLL

nnHH

nnLL

nnHH

nnLL

nnHH

nnGG

YY33

YY22

YY11

AA

HH

LL

LL

LL

HH

HH

HH

GG

11 22 33 44 每层膜都是 λ/4 膜△=λ/2 δ=π

反射光束 1 、 3 、 5界面上发生位相突变

反射光与入射光相位相反 π 3π 5 π反射光束 2 、 4 、 6界面上无位相突变 由程差引起的相位差为 π 3π 5 π所有反射光都是同相位

每层膜都是 λ/4 膜，根据导纳递推2

21 /Y GH nnY /2

1 12

2 /YnY L

22

3 /YnY H 32

4 /YnY L

G

KGHK nnnY 22

2 )/(

总的膜系反射率为2

1

1

Y

YR

12

2

12

12

2

12

1212

41

/11

/11

1

1

KK

K

K

KK YY

Y

Y

YR

K

H

G

H

G

KKK n

n

n

n

TRT

2

212

1212 44

1

优点： 与金属膜相比反射率高很多。

缺点：高反带不够宽，满足 λ/4 膜的实际 只有一个波长（中心波长 λ0 ）

λ/4λ/4 高反膜反射率曲线高反膜反射率曲线

当透射率小到膜中的吸收与散射不可忽略时， R =1 － T 不再成立。

高反带的宽度

LH

LHg

arcsin

2

0g高反带的波长宽度 02

22

m

g

m 表示级次， m 越大，反射带越窄。 一个 λ/4 高反射膜的反射率，可通过选择两材料折射率之比和层数来改变； 它的带宽可通过选择两材料折射率之比和级次来改变；

G （ H L ） K H L H （ L H ） KA

λλ11 λλ00 λλ22

（ 3 ）滤光膜

边通滤光片长波通滤光片

短波通滤光片

带通滤光片宽带通滤光片

窄带通滤光片

吸收型

干涉型

吸收型：波长边界不是任意的，往往不陡干涉型：波长边界任意选择，反射带不够宽

滤光膜的半宽度

R

R)1(2

Rm

R

m

)1(

2

金属滤光片：反射带极宽，透射率不高

峰值透射率 2

2

max )1( R

TT

TRA 1 22

2

max )/1(

1

)( TATA

TT

全介质滤光片可进一步压缩带宽，提高 maxT

G （ H L ） K 2 m H （ L H ） KA

G H （ L H ） K 2 m L （ H L ） K H A

（ 5 ）偏振膜

各个界面的入射角满足布儒斯特条件， P 光全透， S 光高反。

LHL nntgi /HLH nntgi /当满足 时，即满足

棱镜偏振膜棱镜偏振膜

22sin

LH

LH

nn

ni

22sin

LH

LHGG

nn

nnin

利用 P 光、 S 光高反带宽度的区别，使 iG iH 满足一定的关系， S 光高反， P 光全透。

小 结小 结

一、菲涅耳公式一、菲涅耳公式

pp

ppp inin

ininr

21

21

2211

2211

cos/cos/

cos/cos/

1221

11

coscos

cos2

inin

int p

ss

sss inin

ininr

21

21

2211

2211

coscos

coscos

2211

11

coscos

cos2

inin

ints

)(

)(

12

12

iitg

iitgrp

)cos()sin(

cossin2

2121

12

iiii

iit p

)i(i

)i(irs

12

12

sin

sin

)sin(

cossin2

21

12

ii

iits

二、对菲涅耳公式进行讨论二、对菲涅耳公式进行讨论（ 1）布儒斯特定律布儒斯特定律

tg i 0 n 1

n 2 == n 21 0)(

)(

12

12

iitg

iitgrp

以布儒斯特角入射时反射光为线偏振光，折射光为部分偏振光。

（ 2）斯托克斯定律斯托克斯定律

ppp ttr 21 sss ttr 21

（（ 33 ）反射光的相位关系）反射光的相位关系

当光从光疏介质向光密介质入射时，反射光相位发生变化。但只有入射角接近 0° 或90° ，即垂直入射或掠射时，反射光相位发生π的突变。（ 4）反射率与透射率反射率与透射率

2

11

22

cos

cost

in

inT 2rR

（ 5）多次反射反射

21

2121

1

2

RR

RRRRR

总

三、薄膜光学的基本概念三、薄膜光学的基本概念

)2/(sin)1()2/(cos)1(

)2/(sin)()2/(cos)(22

120122

1201

221201

2212012

rrrr

rrrrrR

rii

i

ererr

errr

0112

1201

1

ier

Y

Y

0

0Y（光学导纳）

（ 1） λ/2 膜层 2

20

202/ )(

R

（ 2） λ/4 膜层 2

0

04/ )(

Y

YR

零反射条件 201 0Y 04/ R

增反膜： n1 ＞ n2 减反膜： n1 ＜ n2

二、几种典型的光学薄膜

（ 1 ）增透膜

（ 2 ）高反膜2

1

1

Y

YR

G （ H L ） K H L H （ L H ） KA

LH

LHg

arcsin

202

22

m

g

G （ H L ） K 2 m H （ L H ） KA

G H （ L H ） K 2 m L （ H L ） K H A

（ 5 ）偏振膜

22sin

LH

LHGG

nn

nnin

R

R)1(2

Rm

R

m

)1(

2

（ 3 ）滤光膜

峰值透射率 2

2

max )1( R

TT