第三章几何造型技术

清华大学计算机图形学

第三章几何造型技术• 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表

达物体模型形状的技术。• 描述物体的三维模型有三种 :

线框模型、曲面模型和实体模型。


– 线框模型用顶点和棱边来表示物体。• 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的

物体；• 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点

在物体内部、外部或表面上）。


– 表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。

• 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。

• 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。

• 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。


– 实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。

• 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。


• 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础


• 几何造型的历史– 曲面造型： 60 年代，法国雷诺汽车公司、 Pierre Bézie

r 、汽车外形设计的 UNISURF 系统。– 实体造型： 1973 英国剑桥大学 CAD 小组的 Build 系统、

美国罗彻斯特大学的 PADL-1 系统等。– 独立发展起来，又合二为一。– 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设

计系统


3.1 参数曲线和曲面• 3.1.1 曲线曲面参数表示

– 显式表示 :y=f （ x ）– 隐式表示 :f （ x ， y ） =0– 参数表示 :P(t)=[x(t), y(t), z(t)]


• 显式或隐式表示存在下述问题：（1 ）与坐标轴相关；（2 ）会出现斜率为无穷大的情形 ( 如垂线 ) ；（3) 不便于计算机编程。


• 参数表示 : 曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用 t 表示参数，平面曲线上任一点 P 可表示为：

• 空间曲线上任一三维点 P 可表示为：

)(),()( tytxtP

)(),(),()( tztytxtP


• 参数表示例子：– 直线

– 圆]1,0[,)()( 121 ttPPPtP

]1,0[1

2,11)( 22

2

t

tt

tttP


参数表示的优点：（1 ）以满足几何不变性的要求。（2 ）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状（3 ）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接

进行几何变换。（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。


（ 5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。

（ 6）规格化的参数变量 t∈[0, 1] ，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。

（ 7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。


3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率– 曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z

(t)] ；


– 切向量 (切矢量 )• 选择弧长 s作为参数，则是单位切矢• 根据弧长微分公式有：

• 于是有，即为单位矢量

sP

dsdPT

s

0

lim

2222 dzdydxds

2'2222 )(//// tPdtdzdtdydtdxdtds

0)(' tPdtds

)()(

'

'

tPtP

dsdt

dtdP

dsdP


– 法矢量• 与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢 N• 矢量积是第三个单位矢量，它垂直于 T和 N 。把平行

于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢• 我们可以推导出：

dsdT

NTB

)())()(()())()((

)()()()(

tPtPtPtPtPtPTBN

tPtPtPtPB


– T(切矢 ) 、 N( 主法矢 ) 和 B(副法矢 )构成了曲线上的活动坐标架

– N 、 B构成的平面称为法平面， N 、 T 构成的平面称为密切平面， B、 T 构成的平面称为从切平面。

密切面

从切面

法平面

T

B

N主法线

3.1.2 图曲线的法矢


– 曲率和挠率即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率

曲率 k的倒数称为曲率半径。挠率的绝对值等于副法线方向 ( 或密切平面 ) 对于弧长的转动率 .

ssT

sTT

ss

00

' limlimss

0

lim

1

ss

lim


.对于一般参数 t ，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：

3)(

)()(

tP

tPtP

2))()(())(),(),((

tPtPtPtPtP


)( ssT )(sT

T

O

3.1.3 图曲率和挠率

a（）b（）

1N

1B

1T

0N

0B

0T

0B1B


3.1.3 插值、拟合、逼近和光顺• 给定一组有序的数据点 Pi ， i=0, 1, …, n，构

造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。


– 线性插值：假设给定函数 f(x) 在两个不同点 x1和 x2的值，用一个线形函数： y=ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。

– 抛物线插值 :已知在三个互异点的函数值为，要求构造一个函数

使抛物线在结点处与在处的值相等

cbxaxx 2)(

)(x

321 ,, xxx

321 ,, yyy

)3,2,1( ixi )(xf

ix


x

y

o1y 2y

)(xfy )(xy

1x 2xx

y

o

1y 2y

)(xfy )(xy

1x 2x 3x

3y

(a) (b)

3.1.4 图线性插值和抛物插值


• 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点 ( 但未必通过这些点 ) ，所构造的曲线为拟合曲线。

• 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为逼近。


• 光顺 (Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：– a. 具有二阶几何连续性 (G2) ；– b. 不存在多余拐点和奇异点；– c. 曲率变化较小。


3.1.4 参数化• 过三点 P0 、 P1和 P2构造参数表示的插值多项

式可以有无数条，这是因为对应地参数 t, 在[0, 1]区间中有无数种取法。即 P0 、 P1和 P2可对应不同的参数值，比如，

或其中每个参数值称为节点 (knot) 。

,1,21,0 210 ttt ,1,

21,0 210 ttt


• 对于一条插值曲线，型值点与其参数域内的节点之间有一种对应关系。对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之这组型值点的参数化。

nPPP ,,, 10 ],[ 0 nttt


• 参数化常用方法有：– 均匀参数化 ( 等距参数化 )

• 节点在参数轴上呈等距分布， +正常数。– 累加弦长参数化

这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。

ii tt 1

niPtt

t

iii ,,2,1,

0

11

0

iii PPP 1


– 向心参数化法

向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。

niPtt

t

iii ,,2,1,

0

21

11

0


– 修正弦长参数化法

弦长修正系数 Ki>=1。从公式可知，与前后邻弦长及相

niPKttt

iiii ,,2,1,0

11

0

ii

ii

ii

iii PP

PPP

PK

112

12

231

0,2

,min 111

niiii PPPPP


比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角 i-1和 i( 不超过时 )越大，则修正系数就K i 就越大。

• 参数区间的规格化我们通常将参数区间规格化为 [0, 1] ，

，只需对参数化区间作如下处理：

][ ,0 ntt

nittttn

ii ,,1,0,,00

]1,0[][ ,0 ntt


3.1.5 参数曲线的代数和几何形式我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。

• 代数形式

– 上述代数式写成矢量式是

zzzz

yyyy

xxxx

atatatatz

tatatataty

atatatatx

012

23

3

012

23

3

012

23

3

)(

]1,0[)(

)(

]1,0[)( 012

23

3 tatatatatP


• 几何形式– 对三次参数曲线，若用其端点位矢 P(0) 、 P(1) 和切矢 P(0) 、

P(1) 描述。– 将 P(0) 、 P(1) 、 P(0) 和 P(1)简记为 P0 、 P1、 P0 和 P1，

代入得 ]1,0[)( 01

22

33 tatatatatP

'10103

'10

'102

'01

00

22

233

PPPPa

PPPPa

Pa

Pa

]1, 0[ ) ( ) 2 ( ) 3 2 ( )1 3 2( ) ('

12 3 '

02 3

12 3

02 3

t P t t P t t t P t t P t t t P


– 令：可将其简化为：

上式是三次Hermite(Ferguson) 曲线的几何形式，几何系数是 P0 、 P1、 P0 和 P1。称为调和函数（或混合函数）1010 ,,, GGFF

132)( 230 tttF 23

1 32)( tttF

ttttG 230 2)( 23

1 )( tttG

]1,0[)( '11

'001100 tPGPGPFPFtP


3.1.5 Ferguson曲线端点位矢和切矢0P

'0P

1P

'1P

)(tP

)(' tP

0F

to 1

1

to 1

11F

to 1

1

to 1

10G 1G

3.1.6 图三次调和函数


3.1.6 连续性• 曲线间连接的光滑度的度量有两种：

– 函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即 n阶连续可微，这类光滑度称之为或 n阶参数连续性。

– 几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于的某一组约束条件，称为具有 n阶几何连续性，简记为。

nC

nC

nG


• 反例：

21,3

)(213

10,3)(

01010

010

tVVtVVV

ttVVVt

0131)1( VV 013

2)1( VV


• 若要求在结合处达到连续或连续，即两曲线在结合处位置连续：

• 若要求在结合处达到连续，就是说两条曲线在结合处在满足连续的条件下，并有公共的切矢

当 a＝ 1时，连续就成为连续• 若要求在结合处达到连续，就是说两条曲线在结合处

在满足连续的条件下，并有公共的曲率矢：

0G 0C)0()1( QP

1G0G

)0()1()0( '' PQ1G 1C

2G1G


这个关系可写为：为任意常数。当，时，连续就成为连续。

3'

"'

3'

"

)0(

)0()0(

)1(

)1()1('

Q

QQ

P

PP

)1()1()0( '"2" PPQ 1 0 2G 2C

)(tP

)(tQ

)0(P

)1(P)0(Q

)1(Q

3.1.7 图两条曲线的连续性


我们已经看到，连续保证连续，连续能保证连续，但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。

1G1C

2G

2CnC

nG


3.1.7 参数曲面基本概念• 一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为

可记为

]1,0[]1,0[),(,),().(),(

vuvuzzvuyyvuxx

),(),,(),,(),( vuzvuyvuxvuP


示意图

P00

P00

P00

P00

x

y

z

w=wj

Pw(ui , wj )

n(ui , wj )

Pu(ui , wj )

P(ui , wj )u=0

w=0u=1

w=1u=ui


参数曲面的几个基本概念 1.曲面上的点：将给定的参数值代入参数方

程，可得曲面上的点 2.曲面上一点的切向量 (切矢 ) ：

00 ,vu

),( 00 vuP

0

0|),(

vvuuu

vuP

0

0|),(

vvuuv

vuP


3.曲面上一点的法向量 ( 法矢 )

0

0

0

0|),(|),(

vvuu

vvuu u

vuPuvuP


4. 角点

5.边界线：)0,0(P )1,0(P )0,1(P )1,1(P

),1(),,0(),1,(),0,( wPwPuPuP

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