一、例子与计算公式

三、贝特朗奇论

第 1.4 节 几何概率

二、蒲丰问题

四、几何概率基本性质

早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的 .

借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法，来规定事件的概率 . 不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的 . 用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？

显然用几何的方法是容易达到的 .

把等可能推广到无限个样本点场合 ,人们引入了几何概型 . 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法 .

一、例子与计算公式例 (p32 例 1 ）某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于 10钟的概率。

解 每两次正点报时相差 60 分钟，而此人打开收音机应该介于两次报时之间的任何时间，等待不超过 10 分钟占据了两次报时之间 60 分钟的六分之一，因此等待时间短于 10 钟的概率应该等于 10 钟的长度比两次报时时间间距的长度，即

10 1

60 6p

例 (p32 例 2 ）如果在一个 5 万平方公理的海域里有表面积达 40 平方公里的大陆架储藏着石油，假设在这海域里随机选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？

解 由于随机选取一点钻探，因而每一点别选到的可能性是相等的，而储藏着石油的海域占整个海域的 40 50000

因此钻到石油的概率应该为储藏着石油的海域面积比整个海域的面积，即

40 50000 1 800p

, ,

( )

0

g

g

A

g

gP A

若对于一随机试验 每个样本点出现是等可能的若以 表示“ 在区域 中随机的取一点，而该点落

在区域 中” 这一事件。则其概率定义为的测度的测度

其中 的测度 。

通过上述两个例子可以看出，其概率等于部分度量比上整体度量，由此我们给出其一般定义

定义（特例）当随机试验的样本空间是某个区域 ,并且任意一点落在度量 ( 长度 , 面积 , 体积 ) 相同的子区域是等可能的 , 则事件 A 的概率可定义为

)(

)()(

m

AmAP

说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 ,

就归结为几何概率 .

.

)

)(,)((

几何概率规定的概率称为量来合理这样借助于几何上的度的子区域的度量

是构成事件是样本空间的度量其中 AAmm

那末 .0,0 TyTx

两人会面的充要条件为 ,tyx

例 1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内 , 在预定地点会面 . 先到的人等候另一个人 , 经过时间 t

( t<T ) 后离去 . 设每人在 0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连 . 求甲、乙两人能会面的概率 .

会面问题

解,

,,

刻乙两人到达的时分别为甲设 yx

故所求的概率为

正方形面积阴影部分面积

p

2

22 )(T

tTT

.)1(1 2

Tt

xo

ytxy

tyx 若以 x, y 表示平面上点的坐标 , 则有

t

T

T

例 2 甲、乙两人约定在下午 1 时到 2 时之间到某站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别为 1:15 、 1:30 、 1:45 、 2:00.如果它们约定 (1) 见车就乘 ; (2) 最多等一辆车 , 求甲、乙同乘一车的概率 .

假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的 , 且每人在 1

时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的 .

xo

y

1

2

见车就乘的概率为 正方形面积

阴影部分面积p 2

2

)12()41(4

.41

45:1

30:1

15:1

1

2

15:1

30:1

45:1

设 x, y 分别为甲、乙两人到达的时刻 ,则有

,21 x

.21 y

解

最多等一辆车 , 甲、乙同乘一车的概率为 .

85

21

)161(341

p

xo

y

1

2

45:1

30:1

15:1

1

2

15:1

30:1

45:1

二、蒲丰问题例 3　 1777年 , 法国科学家蒲丰 (Buffon)提出了投针试验问题 . 平面上画有等距离为 a(>0) 的一些平行直线 , 现向此平面任意投掷一根长为 b( <a ) 的针 ,试求针与任一平行直线相交的概率 .

解

,

,

直线的距离到最近的一条平行针的中点

表示针投到平面上时 以M

x a

xM

.夹角表示针与该平行直线的.),( 完全确定置可由那么针落在平面上的位 x

蒲丰资料

a

xM

　　由投掷的任意性可知 ,这是一个几何概型问题 .

π0,sin2

0 bx

.

},|),{(

中的所有点一一对应

与矩形区域果投针试验的所有可能结

02

0a

xx

中的点满足发生的充分必要条件为针与任一平行直线相交

所关心的事件

}{A

的面积的面积

G

m

GmAP

)(

)()(

π2

dsin2

π

0

a

b

.πa

b2

πa

b

2

蒲丰投针试验的应用及意义

π

2)(

a

bAP

那么的近似值代入上式作为

即可则频率值的次数算出针与平行直线相交

很大时当投针试验次数 根据频率的稳定性

,)(

,

,,

APn

mm

n

,π

2

a

b

n

m .

2π

am

bn

. π的近似值利用上式可计算圆周率

历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a=1)

3.179585925200.54191925Reina

3.1415929180834080.831901Lazzerini

3.159548910300.751884Fox

3.1373826001.01860De Morgan

3.1554121832040.61855Smith

3.1596253250000.81850Wolf

相交次数投掷次数针长时间试验者 的近似值π

利用蒙特卡罗 (Monte-Carlo) 法进行计算机模拟.85.0,1 ba取

三、贝特朗奇论贝特朗奇论 在半径为 1 的圆内随机的取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长 3 的概率等于多少？

A

B

结论一 固定一点 A ，以此为顶点在圆周上做一等边三角形，显然只有弦落入等边三角形内才满足要求，而这种弦的另一端点 B 所走过的弧长只占整个圆周的三分之一，因而概率为1 3

此过程假设端点在圆周上是等可能分布的

结论二 因为弦长与它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直与某一直径MN，当且仅当它与圆心的距离小于二分之一时，其边长才满足要求，而这样的弦AB与MN 的交点组成的线段只占直径MN的二分之一，因此其概率为二分之一。

A B

M

N

1

2

1

2

C

此过程假设弦的中点在直径上是均匀分布的

A BC

结论三 因为弦长被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为二分之一的同心圆内时，其弦长才满足条件，而此小圆面积为大圆面积的四分之一，因而概率为四分之一。

此过程假设弦的中点在圆内等可能的分布

上述三种结论对于题中的随机性给出了不同的解释，因而其样本空间就完全不一样。对于各自的样本空间它们的结论是正确的。贝特朗在 1899年巴黎出版的《概率论》中以此题为例批评几何概率的定义 .

四、几何概率基本性质0 ( );p A(1)(非负性） 对任一事件 A , 有

1( ) ;P

1 2

1 1

(3)(

, , ,

( ) ( )i ii i

A A

P A P A

）两两互斥的可列多个事件

可列可加性

(2)( 规范性）必然事件的概率满足

作业 习题一 27 、 29 、 30