第三章 习 题 课

一、重点与难点

二、主要内容

三、典型例题

一、重点与难点

1. 重点二维随机变量的分布有关概率的计算和随机变量的独立性

2. 难点条件概率分布

随机变量函数的分布

定 义

联 合 分 布 函 数

联 合 分 布 律

联 合 概 率 密 度

边 缘 分 布

条 件 分 布

两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布

随 机 变 量 的 相 互 独 立 性

定义

性质

二维随机变量

推 广

二、主要内容

.

),,(

,)()(

},{,

或二维随机变量叫作二维随机向量由它们构成的一个向量上的随机变量是定义在和设

它的样本空间是是一个随机试验　 　 设

YX

SeYYeXX

eSE

二维随机变量

e)(eY

S

)(eX

(1) 定义

.

,),(

},{)}(){(),(

:,

,,),(

的联合分布函数和机变量或称为随的分布函数称为二维随机变量

二元函数对于任意实数是二维随机变量设

YX

YX

yYxXPyYxXPyxF

y

xYX

二维随机变量的分布函数

);,(),(,

,),(1

1212

0

yxFyxFxxy

yxyxF

时当意固定的即对于任的不减函数和是变量

).,(),(, 1212 yxFyxFyyx 时当对于任意固定的

,1),(020 yxF

,y对于任意固定的 ;0),(lim),(

yxFyFx

且有

,x对于任意固定的 ;0),(lim),(

yxFxFy

;0),(lim),(

yxFF

y

x

(2) 性质

.1),(lim),(

yxFFy

x

.,),(

),0,(),(),,0(),(30

也右连续关于右连续关于即 yxyxF

yxFyxFyxFyxF

,,),,(),,(4 212122110 yyxxyxyx 对于任意

.0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有

.),,,(

,

),(,),(),(

},{,

21

2211

维随机变量维随机向量或叫做维向量由它们构成的一个上的随机变量在

是定义设它的样本空间是是一个随机试验　 　 设

nnXXX

nS

eXXeXXeXX

eSE

n

nn

元函数个实数对于任意 nxxxn n ,,,, 21

},,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF

.),,,( 21 联合分布函数的称为随机变量 nXXX

(3) n 维随机变量的概念

.

,),(

,,2,1,,},{

,,2,1,),,(

),(

的联合分布律和随机变量或的分布律变量称此为二维离散型随机

记值为所有可能取的设二维离散型随机变量

YX

YX

jipyYxXP

jiyx

YX

ijji

ji

二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为 :

二维离散型随机变量的分布律

xx yy

ij

i j

pyxF ),(

离散型随机变量 ( X,Y ) 的分布函数为

.,, 求和的其中和式是对一切满足 jiyyxx ji

XY 21 ixxx

jy

y

y

2

1 12111 ippp

22212 ippp

21 ijjj ppp

.

,),(

),(,),(

dd),(),(

,),(

),,(),(

的联合概率密度和机变量或称为随的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称

有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量

YX

YX

yxfYX

vuvufyxF

yxyxf

yxFYX

y x

二维连续型随机变量的概率密度(1) 定义

.1),(dd),(20

Fyxyxf

.dd),(}),{( G

yxyxfGYXP

.0),(10 yxf

(2) 性质

).,(),(

,),(),(32

0 yxfyx

yxFyxyxf

则有连续在若

的概率是内落在点平面上的一个区域是设 GYXxoyG ),(,40

表示介于 f (x, y) 和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于 1.

G

yxyxfGYXP dd),(}),{(

1dd),(

yxyxf

.

),(,}),{(

为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以 yxfzGGYXP

.),(, 表示空间的一个曲面几何上 yxfz

(3) 说明

.,0

,),(,1

),(其它

DyxSyxf

(4) 两个常用的分布

　　设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为 S, 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度

则称 ( X,Y ) 在 D 上服从均匀分布 .

221 1π2

1),(

ρσσyxf

,11,0,0,,,,, 212121 ρσσρσσμμ 为常数其中),( yx

).,,,,(~),( 22

2121 ρσσμμNYX

若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度

])())((2)(

[)1(2

122

22

21

2121

21

2

e σ

μy

σσ

μyμxρ

σ

μx

ρ

记为布的二维正态分服从参数为则称

.

,,,,),( 2121 ρσσμμYX

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 .

}{},{),()( yYPyYXPyFyFY

},,{),(

,),(),(

yYxXPyxF

YXyxF

　

则的分布函数为随机变量设

).,()( xFxFX记为

边缘分布函数

,x同理令

为随机变量 ( X,Y ) 关于 Y 的边缘分布函数 .

.),(

),,(},{}{

,

的边缘分布函数关于为随机变量

称令

XYX

xFYxXPxXP

y

.

),(),2,1(),2,1(

,,2,1},{

,,2,1},{

.,2,1,,},{

),(

1

1

的边缘分布律和关于关于

为和分别称

记

的联合分布律为量　 　 设二维离散随机变

YX

YXjpip

jyYPpp

ixXPpp

jipyYxXP

YX

ji

ji

ijj

ij

iji

ijji

离散型随机变量的边缘分布

,),()(1

xx j

ijX

i

pxFxF

.),()(1

yy i

ijY

j

pyFyF

随机变量关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为

联合分布 边缘分布

.),(

d),()(

,d]d),([),()(

),,(

),,(

的的边缘概率密度关于称为随机变量

记

由于度为设它的概率密对于连续型随机变量

XYX

yyxfxf

xyyxfxFxF

yxf

YX

X

x

X

连续型随机变量的边缘分布

同理得 Y 的边缘概率密度 .d),()(

xyxfyfY

.

,2,1

,}{

},{}{

,0}{,

,),(

的条件分布律条件下随机变量为在

则称若对于固定的是二维离散型随机变量设

XyY

i

p

p

yYP

yYxXPyYxXP

jYPj

YX

j

j

ij

j

jiji

(1) 离散型随机变量的条件分布随机变量的条件分布

.

,2,1

,}{

},{}{

,0}{,

的条件分布律条件下随机变量为在

则称对于固定的

YxX

j

p

p

xXP

yYxXPxXyYP

xXPi

i

i

ij

i

jiij

i

同理可定义

.)(),(

)(

,

)(),(

,0)(,

).(),(

),,( ),(

yfyxf

yxf

X

yYyfyxf

yfy

yfYYX

yxfYX

Y

YY

Y

YX

记为的条件概率密度

的条件下为在则称的

若对于固定的边缘概率密度为关于的概率密度为　 　 设二维随机变量

(2) 连续型随机变量的条件分布

联合分布、边缘分布、条件分布的关系

)(),(

)(xfyxf

xyf

YxX

XXY

的条件概率密度为的条件下在给定

联合分布边缘分布

条件分布联合分布

.

),()(),(

},{}{},{

,

.),(

)(),(),(

的是和则称随机变量

即

有若对于所有函数的分布函数及边缘分布量

分别是二维随机变及　 　 设

相互独立YX

yFxFyxF

yYPxXPyYxXP

yx

YX

yFxFyxF

YX

YX

随机变量的相互独立性

则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量

),(),(),,(

),()2(

yfxfyxf

YX

YX

).()(),( yfxfyxf YX

}{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP 相互独立和YX

.)()(,)3( 也相互独立和则相互独立和 YgXfYX

相互独立和YX

说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律为

.,2,1,,},{ jipjYiXP ij

.jiij ppp 即

为的维随机变量 分布函数),,,()1( 21 nXXXn

.,,, 21 为任意实数其中 nxxx

概率密度函数的维随机变量 ),,,()2( 21 nXXXn

二维随机变量的推广

},,,,{),,,( 221121 nnn xXxXxXPxxxF

.ddd),,,(

),,,(

11

2121

21

n nx x

nn

x

n

xxxxxxf

xxxF

.

),,,( 121

分布函数边缘的关于维随机变量称为 XXXXn n

.

),(),,,( 2121

边缘分布函数的关于维随机变量称为 XXXXXn n

其它依次类推 .

分布函数的边缘维随机变量 ),,,()3( 21 nXXXn

),,,,()( 111 xFxFX

),,,,,()( 211, 21 xxFxF XX

边缘概率密度分别为

的关于关于则 ),(,),,,( 21121 XXXXXX n

,ddd),,,()( 322111 nnX xxxxxxfxf

,ddd),,,(),( 432121, 21 nnXX xxxxxxfxxf

.

)1(),,,( 21

率密度

维边缘概的同理可得 nkkXXX n

,

),,,(),,,( 2121

密度的概率是若 nn XXXxxxf

边缘概率密度的维随机变量 ),,,()4( 21 nXXXn

(5) 随机变量相互独立的定义的推广

有若对于所有的 nxxx ,,, 21

)()()(),,,( 2121 21 nXXXn xFxFxFxxxFn

.,,, 21 是相互独立的则称 nXXX

有若对于所有的 nm yyyxxx ,,,,,,, 2121

),,,(),,,(

),,,,,,,(

212211

2121

nm

nm

yyyFxxxF

yyyxxxF

.

),,,(),,,(.

,.),,2,1(),,2,1(

.),,,(),,,(

2121

2121

相互独立

和则是连续函数

又若相互独立和则

相互独立和设定理

nm

ji

nm

YYYgXXXhg

hnjYmX

YYYXXX

.),,,(

),,,(,

),,,,,,,(),,,(

),,,(,,

21

21

212121

2121

是相互独立的

与则称随机变量的分布函数

和依次为随机变量其中

n

m

nmn

m

YYY

XXX

YYYXXXYYY

XXXFFF

随机变量函数的分布 (1) 离散型随机变量函数的分布

.,2,1

,}),({}{

),(

,2,1,,},{

),(

k

pzYXgPzZP

YXgZ

jipyYxXP

jik yxgzijkk

ijji

的分布律为则随机变量函数

变量的联合分布律为　 　 若二维离散型随机

的分布YXZ

的密度函数为则的概率密度为　 　 设 YXZyxfYX ),,(),(

.d),(d),()( yyyzfxxzxfzfZ

当 X, Y 独立时 , 也可表示为)(zfZ

.d)()(

yyfyzf YX

xxzfxfzf YXZ d)()()(

(2) 连续型随机变量函数的分布

密度函数为

则的概率密度为　 　 设

XYZYX

ZyxfYX

,),,(),(

当 X, Y 独立时 ,

的分布的分布、 XYZYX

Z

)(zf XY ,d),(

xxzxfx

)(zf XY .d)()( xxzfxfx YX

)(zf XY .d),(1

xx

zxf

x

)(zf XY .d)()(1

x

x

zfxf

x YX

的分布及 ),min(),max( YXNYXM

则有

),()(

,,

yFxF

YX

YX 和分布函数分别为它们的变量是两个相互独立的随机设

),()()(max zFzFzF YX

)].(1)][(1[1)(min zFzFzF YX

推广

的分布函数分别为及则 ),,,min(),,,max( 2121 nn XXXNXXXM

),()()()(21max zFzFzFzF

nXXX

),,2,1(),(,

,,,, 21

nixF

nXXX

iX

n

i

它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设

)].(1[)](1)][(1[1)(21min zFzFzFzF

nXXX

则函数分布相互独立且具有相同的　 　 若

,)(

,,, 21

xF

XXX n

,)]([)(maxnzFzF .)](1[1)(min

nzFzF

三、典型例题

.,0)4(

;)3(

;,)2(

;),()1(

:.,

,310,

7,210

的条件分布律的条件下在是否独立和

的边缘分布律的联合分布律

求表示其中的二等品数示其中的一等品数表用件件产品中不放回地抽取从件次品

件二等品和一件一等品件产品中有在

YX

YX

YX

YX

Y

X

例 1

有时或当 ,32 jiji

.0},{ jYiXP

由古典概率知时当 ,32 ji

,3

10

3

172},{

jijijYiXP

解 只能取由题设知 X ,2,1,0

只能取Y .3,2,1,0

).3,2,1,0,2,1,0( ji

YX 3210

2

1

012035

12021

00

012042

12014

0

00120

7121

1

12042

的分布律为因此的 ),( YX

的边缘分布律为YX ,)2(

YX 3210

2

1

012035

12021

00

012042

12014

0

00120

7120

1

iP

12056

12056

1208

jP 1201

12021

12063

12035

1

,0}0,0{)3( YXP因为

,0120

112056

}0{}0{ YPXP

.不相互独立与所以 YX

的条件概率为的条件下在 YX ,0)4(

.3,2,1,0,}0{

},0{}0{

jXP

jYXPXjYP

的条件分布律为因此Y

0 XjY

P

32

83

85

..0

,0)2(

;)1(:

.4,3,2,1,4.0}1{,6.0}0{

,,,,

2413

2211

43

21

4321

只有零解的概率方程组

的概率分布行列式求

且独立同分布设

xξxξ

xξxξ

ξξ

ξξξ

iξPξP

ξξξξ

ii

例 2

.0,

,

,

的概率列式而第二问就是求系数行出来些值的概率计算然后利用独立性将取这能值找到

的所有可先要将的分布律　 　 要求行列式

ξ

ξξ[ 思路 ]

解 ,,)1( 321411 ξξηξξη 记

,213241 ηηξξξξξ 则

,,,,,, 214321 也相互独立故相互独立由于 ηηξξξξ

,1,0, 21 两个值都只能取且 ηη

}1,1{}1{}1{ 3221 ξξPηPηP而

,16.0}1{}1{ 32 ξPξP

.84.016.01}0{}0{ 21 ηPηP

.1,0,1321 个可能取值有随机变量 ηηξ

}1,0{}1{ 21 ηηPξP }1{}0{ 21 ηPηP

,1344.016.084.0

}0,1{}1{ 21 ηηPξP

}0{}1{ 21 ηPηP

,1344.084.016.0

}1{}1{1}0{ ξPξPξP .7312.0

的分布律为于是行列式 ξ

ξ

P

101

1344.0 7312.0 1344.0

由于齐次方程)2(

等价于系数行列式不为只有零解的充要条件是 ,0

.0

,0

2413

2211

xξxξ

xξxξ

}0{ ξP }0{1 ξP .2688.07312.01

}.0{,),(

.3,1

,3,0

.,2

,0,1

,0,0

,

,}1,0:),{(

),(22

UVPVU

YX

YXV

YX

YX

X

U

VU

yxyyxD

YX

并计算的联合概率分布求

如下随机变量定义上的均匀分布

服从设随机变量

.

,),(

概率布的特征计算其取值的并利用均匀分的所有可能取值　 　 　 写出 VU

例 3

[ 思路 ]

解 的联合密度函数为由题设知 ),( YX

.),(,0

,),(,π2

),(Dyx

Dyxyxf

:6),( 个可能取值有VU

)1,2()0,2()1,1()0,1()1,0()0,0(

,0)(}0,0{ PVUP

,0)(}0,1{ PVUP

}3,0{}1,1{ YXYXPVUP

yxyxfYXPyx

dd),(}0{0

yxyx

ddπ2

0

.41

BCE

AOC

S

S扇

}3,0{}1,0{ YXXPVUP

}0{ XP ,21

BCE

COE

S

S扇

}3,{}0,2{ YXXYPVUP

}3{ YXP ,61

BCE

BOF

S

S扇

}3,{}1,2{ YXXYPVUP

}3{ YXYP .121

BCE

AOF

S

S扇

的联合概率分布为所以 ),( VU

VU 210

1

061

00

121

41

21

从而

}0{ UVP

}1,2{}1,1{ VUPVUP

121

41

.31

..0

,0,),(

),(

其它

的联合概率密度为设随机变量

yxcxeyxf

YXy

例 4

}.1),{min()8(};1{)7(

;)6(

;),()5(

};21{},21{)4(

);(),()3(

??)2(

;)1(

YXPYXP

YXZ

YX

YXPYXP

xyfyxf

YX

c

XYYX

求求的密度函数求

的联合分布函数求

求

求为什么是否独立与

求常数

解 得由 ,1dd),()1(

yxyxf

xcxyy y ded1

00 ,)3(

2de

2 0

2 cc

yyc y

.1 c

yyxfxfX d),()()2(

.0,0

0,de

x

xyxx

y

.0,0

,0,e

x

xx x

xyxfyfY d),()(

.0,0

0,de0

y

yxxy y

.0,0

,0,e21 2

y

yy y

),()(),(,0 yfxfyxfyx YX 上由于在

.不独立与故 YX

)(),(

)()3(yfyxf

yxfY

YX

.,0

,0,2

2

其它

yxyx

)(),(

)(xfyxf

xyfX

XY

.,0

,0,e

其它yxyx

}21{)4( YXP}2{

}2,1{

YP

YXP

2

1 2

d)(

dd),(

yyf

yxyxf

Y

2

0

2

1

0

2

de21

ded

yy

yxx

y

x

y

.e51

e21

e21

2

21

又由条件密度的性质知

,d)2(}21{1

xxfYXP YX

.,0

,20,2)2(其它

而x

xxf YX

从而有

xx

YXP d2

}21{1

0 .41

:},,{),()5( 故有由于 yYxXPyxF

.0),(,00 yxFyx 有时或当

有时当 ,0 xy

},{),( yYxXPyxF

uuvv vy

ded00

y v vv0

2 de21

.e)12

(12

yyy

有时当 ,0 yx

},{),( yYxXPyxF vuuy

u

vxded

0

x yu uu

0d)ee(

.e21

e)1(1 2 yx xx

故得

.0,e21

e)1(1

,0,e)12

(1

,00,0

),(

2

2

yxxx

xyyy

yx

yxF

yx

y

或

,d),()()6( xxzxfzfZ根据

,2

0,0

,),(

时即

只有当非零由于要被积函数z

xxzx

xzxf

从而有 :

;0)(,0 zfz Z时当

,0时当 z 2

0

)( de)(z

xzZ xxzf

2

0dee

zxz xx

;e)12

(e 2

zz z

因此

.0,0

,0e)12

(e)(

2

z

zz

zf

zz

Z

1

d)(}1{)7( zzfYXP Z

zz z

z d]e)12

(e[1

0

2 .ee1 12

1

}1),{min()8( YXP }1),{min(1 YXP

}1,1{1 YXP

uuvv v ded101

vv v de21

11

2

.e25

1 1

,}{

},{}{

,

)2,1,(,),(.1

j

ij

j

jiji

j

ij

p

p

yYP

yYxXPyYxXP

XyY

jipYX

的条件分布律为

条件下随机变量在给定为其联合分布律

是二维离散型随机变量设

.,2,1, ji其中,

}{

},{}{

i

ij

i

jiij

i

p

p

xXP

yYxXPxXyYP

YxX 的条件分布律为条件下随机变量在给定

小 结

则有边缘概率密度分别为的联合概率密度为设连续型随机变量

),(),(),,(

),(.3

yfxfyxf

YX

YX

)()(),( yfxfyxf YX

}.{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP 相互独立和YX

.)()(,.4 也相互独立和则相互独立和 YgXfYX

相互独立和YX

2. 若离散型随机变量 ( X,Y ) 的联合分布律为 .,2,1,,},{ jipjYiXP ij

.d])(),([

d)()(

x

Y

x

YXYX

xyfyxf

xyxfyxF

.d])(),([

d)()(

y

X

y

XYXY

yxfyxf

yxyfxyF

则有是二维连续型随机变量设 ,),(.5 YX

6. 离散型随机变量函数的分布律

的联合分布律为若二维离散型随机变量

,2,1,,},{ jipyYxXP ijji

的分布律为则随机变量函数 ),( YXgZ

}),({}{ kk zYXgPzZP

.,2,1 )(

kpjik yxgzij

7. 连续型随机变量函数的分布

的分布YXZ )1(

的分布及 ),min(),max()3( YXNYXM

的分布YX

Z )2(

课后作业

教材 107 页习题第 23 ， 24 ， 25 题

参考资料

《概率论与数理统计典型题解析及自测试题》第 2 版 西北工业大学， P54-84.

《概率论与数理统计》第三版 浙江大学编， P74 － 83.

思 考 题

设随机变量 在矩形域上

服从上的均匀分布，试求边长为 和 的矩形面积

的概率密度 .

),( YX

}10,20),{( yxyxG

X Y S

)(sf