高 等 数 学 （ 工 专 ）

串 讲

第一章　函数

　　教学基本要求：

　　 1. 掌握函数的概念，了解分段函数；

　　 2. 知道函数的 4 种特性：奇偶性、单调性、有界性、周期性。

　　 3. 理解反函数与复合函数的概念；

　　 4. 熟悉基本初等函数的性质及图形；

　　 5. 会建立简单实际问题中的函数关系。

　　重点：

　　函数的概念、基本初等函数、初等函数。

第一章　函数

一、函数的概念

函数定义的两个要素是：

（ 1 ）自变量的取值范围，即定义域。

（ 2 ）对应规则，即函数的依赖关系。

　　一是判断两个函数是否相等，所谓的“两个函数相等”是指这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。　　

　　一是判断两个函数是否相等，所谓的“两个函数相等”是指这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。

　　二是求函数的定义域。如果函数是由实际问题得出，则定义域根据实际情况而定；对于一般用公式表达的函数，只需使函数式有意义即可。例如：分母不能为零；负数不能开偶次方；对数的真数为正， y=arcsinx 和 y=arccosx 的定义域为 [-1,1] ，即 -1 x 1 ，等等。

　　一是判断两个函数是否相等，所谓的“两个函数相等”是指这两个函数的定义域相同，对应法则也相同。

　　二是求函数的定义域。如果函数是由实际问题得出，则定义域根据实际情况而定；对于一般用公式表达的函数，只需使函数式有意义即可。例如：分母不能为零；负数不能开偶次方；对数的真数为正， y=arcsinx 和 y=arccosx 的定义域为 [-1,1] ，即 -1 x 1 ，等等。

　　三是“对应规则”方面的题。

f x一、根据 　　的表达式，求 　 的表达式 f g x

f x

3 2f x x

一、根据 　　的表达式，求 　 的表达式 f g x

例如，已知 ，求

解：

2 ,f h f f x

f x

3 2f x x

2 3 2 2 3 8f h h h

一、根据 　　的表达式，求 　 的表达式 f g x

例如，已知 ，求

解：

2 ,f h f f x

f x

3 2f x x

2 3 2 2 3 8f h h h

3 2 3 3 2 2 9 8f f x f x x x

一、根据 　　的表达式，求 　 的表达式 f g x

例如，已知 ，求

解：

2 ,f h f f x

这类题的求解方法有两种途径：

（ 1 ）令 ，反解出 ，从而得到 的表达式，再将其中的 换为 ，即得到 的表达式。

（ 2 ）将 的表达式凑成 的函数表达式，然后将式中的 换为 ，即得 。

二、根据 的表达式，求 的表达式)]([ xgf )(xf

uxg )( ux ufu x )(xf

)]([ xgf )(xg

)(xg x )(xf

.,2411 2 xfxxxf 求已知例

.,2411 2 xfxxxf 求已知例

.12

,122141

,1,1:1

2

22

xxxf

tttttf

txtx

故

从而则令解法

.,2411 2 xfxxxf 求已知例

.12

1121

12212

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2

2

2

2

xxxf

xx

xxx

xxxf

故

解法

.12

,122141

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2

22

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故

从而则令解法

..;.

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42004

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yfDxfC

xfByfxfA

yxfxf x

月年则设函数例

..;.

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月年则设函数例

yxyxf 3

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月年则设函数例

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月年则设函数例

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月年

则函数例

42005

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xfDxfC

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xxxxf

x

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xxx

x

15

15

1

212

2

2

xf

二、 函数的几种特性

奇偶性；周期性；单调性；有界性。

二、 函数的几种特性

　　 1. 奇偶性

　　掌握定义、图形特点、性质。

　　主要依据定义判断函数的奇偶性。

奇偶性；周期性；单调性；有界性。

性质 1

（ 1 ）奇函数的代数和仍为奇函数；

（ 2 ）偶函数的代数和仍为偶函数。

性质 2

（ 1 ）两个偶函数之积仍为偶函数；

（ 2 ）两个奇函数之积为偶函数；

（ 3 ）奇函数与偶函数之积为奇函数。

　　 2. 周期性

　　掌握定义、图形特点、基本初等函数中的周期函数。

　　主要依据定义来判断函数的周期性，常常需要借助于已知的周期函数及下面的结论。

　

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　若函数 以 为周期，则函数 　　　　　　　　 　 　　　 　的周期为 ．

　更一般地， 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　也以 为周期。

xf axf 0a

axfa

a

二、 函数的几种特性

奇偶性；周期性；单调性；有界性。

　　 3. 单调性

　　掌握定义、图形特点、基本初等函数的单调性。

　　主要依据一阶导数的符号来判断函数的单调性。

二、 函数的几种特性

奇偶性；周期性；单调性；有界性。

　　 4. 有界性

　　掌握定义、图形特点、基本初等函数的有界性。

　　主要依据定义来判断函数的有界性。

二、 函数的几种特性

奇偶性；周期性；单调性；有界性。

..;.

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)12006(.3sin1ln6

非奇非偶函数周期函数偶函数奇函数

月年是函数例

DC

BA

exxy x

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非奇非偶函数周期函数偶函数奇函数

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3sin1ln

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x

x

x

且显然

分析

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分析

选 D ．